广东省深圳市福田区华富中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2024九上·福田开学考）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴A中的图象不是中心对称图形，
∴选项A不正确；
∵B中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，
∴选项B正确；
∵C中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴C中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形，
∴选项C不正确；
∵D中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴D中的图形不是中心对称图形，
∴选项D不正确；
故答案为：B．
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形；将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
2．（2024九上·福田开学考）已知 ， 下列式子一定成立的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：、，A不符合题意；
、当时，，B不符合题意；
、，C符合题意；
、，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据不等式的性质：性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；进行即可求解.
3．（2024九上·福田开学考）等腰三角形的一个角是，它的底角度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：80°是底角，则它的底角度数为80°；
若80°是顶角，.
∴等腰三角形的底角为80°或50°，
故答案为：D.
【分析】分80°是顶角或底角两种情况结合三角形的内角和定理分别讨论即可.
4．（2024九上·福田开学考）一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 （ ）．
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形边数是n，根据题意及多边形内角和公式得：
解得：
故这个多边形是四边形．
故选：B.
【分析】本题着重考查了多边形的内角和与外角和.多边形内角和公式是解决本题的关键，外角和为是一个重要的性质.在解决本题时，准确运用这些知识，通过列方程求解，能够有效解决问题.本题充分体现了多边形内角和与外角和在几何问题中的应用，是对基础知识的考查.
5．（2024九上·福田开学考）下列命题中，假命题的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，故选项A不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，是真命题，故选项B不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，故选项C不符合题意；
D、对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题，故选项D符合题意.
故选D．
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方性质对角线的判定方法进行判断即可．
6．（2024九上·福田开学考）某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设原计划每天挖x米，则实际每天挖（x+20）米，
根据题意得： ；
故答案为：C.
【分析】 设原计划每天挖x米，则实际每天挖（x+20）米，根据原计划所用的天数-实际所用的天数=4，列出方程即可.
7．（2024九上·福田开学考）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：设k是正整数，
∵，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意；
∵，
∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意，
B选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．
故答案为：B．
【分析】设k是正整数，先利用“智慧数”的定义及平方差公式可得，再分析求解即可.
8．（2024九上·福田开学考）已知，中，，，为边上的中线，若是线段上任意一点，，交直线于点．为的中点，连接并延长交直线于点．若，，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
，
，
，是的中点，
，
在中，，，且为边上的中线，
，，
，，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
在中，，
故答案为：B。
【分析】连接，根据，可得 根据直角三角形斜边上的中线，可得，，，进而可得，根据，易证，在中，根据勾股定理：在中， ，代入数据即可求解。
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分
9．（2024九上·福田开学考）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：原式=
故答案为： .
【分析】观察式子发现，可先提取公因式4，然后再利用完全平方展开式进行合并即可。
10．（2024九上·福田开学考）如图，已知一次函数y=kx+3和y=-x+b的图象交于点P(2，4)，则关于x的一元一次不等式kx+3>-x+b的解集是 .
【答案】x>2
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：当x＞2时，kx+3＞-x+b，
即不等式kx+3＞-x+b的解集为x＞2．
故答案为：x＞2．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
11．（2024九上·福田开学考）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是
【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是BD的中点，F是DC的中点，
∴PF是△BCD的中位线，
∴.
∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴.
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴
故答案为：20°．
【分析】根据三角形中位线定理得到，，可得PE＝PF，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠EFP．
12．（2024九上·福田开学考）如图，在中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置（阴影部分），若小平行四边形的面积是2，则面积是 ．
【答案】18
【知识点】平行四边形的性质；平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
又AC=CA，
∴△ACB≌△CAD（SSS）.
同理：△FCE≌△CFG.
∴.
在中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置（阴影部分），
，AB//EF，
∴△ABC∽△FEC，
∴，即
小平行四边形的面积是2，
∴平行四边形ABCD的面积为2×9=18.
故答案为：18．
【分析】记平移后的平行四边形的四个顶点坐标分别为F，E，C，G，点F在AC上，点E在BC上，由平行四边形的性质得AB=CD，AD=BC，证明△ACB≌△CAD，△FCE≌△CFG，于是有.再证明△ABC∽△FEC，AB=3EF，即可利用相似三角形面积的性质求出平行四边形ABCD的面积.
13．（2024九上·福田开学考）如图在中，，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接、，
，为的平分线，
，
又∵，
，
∵是的垂直平分线，
∴，
，
∴，
∵为的平分线，，
∴为底边上的中线和高线，
即垂直平分，
∴，
，
将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴，
，
在中，．
故答案为：。
【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，代入数据，求出的度数 ，根据 ，根据等腰三角形内角和公式，求出的度数，再根据垂直平分线的性质，可得，进而， 根据，代入数据即可求出的度数，然后根据等腰三角形的性质得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，进而即可求出的度数，最后再根据三角形的内角和公式，即可求解。
三、解答题：本题共7小题，共61分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
14．（2024九上·福田开学考） 计算
（1） 解不等式组： .
（2）解分式方程：
【答案】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：
（2）解：，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，
是原分式方程的解．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据题意解不等式①和②，进而得到不等式组的解集；
（2）先根据题意方程两边同乘，进而解分式方程，再检验即可求解。
15．（2024九上·福田开学考）化简：，并从1，2，3中选择一个合适的数代入求值．
【答案】解：原式
∵
∴或3
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
16．（2024九上·福田开学考）如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形），和关于点成中心对称．
（1）画出对称中心，并写出点的坐标；
（2）画出绕点逆时针旋转后的并标明对应字母；
（3）画出与关于点成中心对称的并标明对应字母．
【答案】（1）D点坐标
（2）
（3）
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】本题围绕平面直角坐标系中的图形变换展开，着重考查中心对称和旋转的性质及作图方法.
（1）确定和的对称中心D，根据中心对称的性质，连接对应点、，其交点即为对称中心D，并确定其坐标；
（2）画出绕点O逆时针旋转后的，依据旋转的性质，分别作出点、、绕点O逆时针旋转后的对应点，再顺次连接得到旋转后的三角形；
（3）画出与关于点O成中心对称的，根据中心对称的性质，分别作出点、、关于点O的对称点，然后顺次连接得到对称后的三角形.
（1）D点坐标
（2）如图，画出；
（3）如图，画出．
17．（2024九上·福田开学考）在中，，、分别是、的中点，使，连接、、、．
（1）试说明与互相平分；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：、分别是、的中点
是的中位线
且．
又，即
，
四边形是平行四边形
与互相平分
（2）解：在中，，，
由勾股定理得
又由知，，且
在中，，，
由勾股定理得.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题围绕直角三角形和中位线等知识展开，着重考查三角形中位线定理，勾股定理以及平行四边形的判定与性质；
(1)要说明AF与DE互相平分，需要先根据三角形中位线定理得出EF与AB的关系，再结合已知条件AB=2AD，推导出AD与EF的关系，从而判定四边形AEFD是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AF与DE互相平分；
(2)求DO的长，首先利用勾股定理求出AC的长度，再根据平行四边形的性质得到OA的长度，最后在中，利用勾股定理求出DO的长度．
18．（2024九上·福田开学考）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元.
（1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
【答案】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元，
由题意得：
，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
则x+30=80.
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元.
（2）解：设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50-a）个，
由题意得：50×（1+8%）（50-a）+80×0.9a≤3060，
解得：a≤20，
答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需(x+30)元，由题意可得购买A品牌篮球的数量为，购买B品牌篮球的数量为，然后根据购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍建立方程，求解即可；
（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球(50-a)个，A品牌篮球第二次的售价为50×(1+8%)，B篮球第二次的售价为80×0.9，然后根据售价×个数=总费用结合题意可得关于a的不等式，求解即可.
19．（2024九上·福田开学考）定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”．如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”．
（1）分式与分式 “等和积分式”(填“是”或“不是”)；
（2）求分式的“等和积分式”；
（3）①观察(1)(2)的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式” ；
②用发现的规律解决问题：
若与互为“等和积分式”，求实数m，n的值．
【答案】（1）是
（2）解：设分式的等和积分式为A，则
即分式的等和积分式为.
（3）①
②解：由规律可得的等和积分式为，
与互为等和积分式
由得：
将代入，得：
解得
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算；解二元一次方程组；列二元一次方程
【解析】【解答】(1)解：，
分式与分式是等和积分式
故答案为：是；
(3)①解：分式的等和积分式为，理由如下：
设分式的等和积分式为M，则
．
故答案为：.
【分析】 本题围绕等和积分式这一创新定义展开，着重考查分式的混合运算以及对新定义的理解和运用能力.
(1)判断两个分式是否为 等和积分式，需要根据定义分别计算它们的和与积，然后比较两者是否相等；
(2)求一个分式的等和积分式，需要设出这个等和积分式为一个未知数，再依据 等和积分式 的定义列出方程，通过分式的运算来求解。
(3)①通过观察前面(1)(2)的计算结果，总结出分式ab 的等和积分式的规律.②利用发现的规律，写出给定分式的等和积分式，然后根据两个分式互为等和积分式的条件，列出关于m和n的方程组，最后解方程组求出m和n的值．
20．（2024九上·福田开学考）【课本再现】
（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动，则下列结论正确的是 （填序号即可）．
①；②：③四边形的面积总等于；④连接，总有．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，求线段的长度．
【答案】解：（1）①②③④；
（2），理由如下：
连接，
∵O为矩形中心，
∴，
延长交于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵矩形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵在中，
∴；
（3）设，
①当E在之间时，
，
，
在中，，
，
又由（2）易知，
，
，
解得：，
；
②当E在延长线上时，
同理可论：，
设，则，
即：，
解得：，
∴，
综上所述：或．
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；图形的旋转；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图1中，连接．
∵四边形是正方形，
，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∴，故②正确，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②③④.
【分析】（1）连接EF，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质、三角形的面积及等量代换和勾股定理逐项分析判断即可；
（2）连接AC，先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用垂直平分线的性质及等量代换可得，最后利用勾股定理及等量代换求出即可；
（3）分类讨论：①当E在之间时；②当E在延长线上时，先分别画出图形并利用勾股定理求解即可.
1 / 1广东省深圳市福田区华富中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2024九上·福田开学考）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·福田开学考）已知 ， 下列式子一定成立的是 ( )
A． B． C． D．
3．（2024九上·福田开学考）等腰三角形的一个角是，它的底角度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（2024九上·福田开学考）一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 （ ）．
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
5．（2024九上·福田开学考）下列命题中，假命题的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
6．（2024九上·福田开学考）某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·福田开学考）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
8．（2024九上·福田开学考）已知，中，，，为边上的中线，若是线段上任意一点，，交直线于点．为的中点，连接并延长交直线于点．若，，则的长为( )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分
9．（2024九上·福田开学考）因式分解： ．
10．（2024九上·福田开学考）如图，已知一次函数y=kx+3和y=-x+b的图象交于点P(2，4)，则关于x的一元一次不等式kx+3>-x+b的解集是 .
11．（2024九上·福田开学考）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是
12．（2024九上·福田开学考）如图，在中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置（阴影部分），若小平行四边形的面积是2，则面积是 ．
13．（2024九上·福田开学考）如图在中，，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是 ．
三、解答题：本题共7小题，共61分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
14．（2024九上·福田开学考） 计算
（1） 解不等式组： .
（2）解分式方程：
15．（2024九上·福田开学考）化简：，并从1，2，3中选择一个合适的数代入求值．
16．（2024九上·福田开学考）如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形），和关于点成中心对称．
（1）画出对称中心，并写出点的坐标；
（2）画出绕点逆时针旋转后的并标明对应字母；
（3）画出与关于点成中心对称的并标明对应字母．
17．（2024九上·福田开学考）在中，，、分别是、的中点，使，连接、、、．
（1）试说明与互相平分；
（2）若，，求的长．
18．（2024九上·福田开学考）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元.
（1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
19．（2024九上·福田开学考）定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”．如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”．
（1）分式与分式 “等和积分式”(填“是”或“不是”)；
（2）求分式的“等和积分式”；
（3）①观察(1)(2)的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式” ；
②用发现的规律解决问题：
若与互为“等和积分式”，求实数m，n的值．
20．（2024九上·福田开学考）【课本再现】
（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动，则下列结论正确的是 （填序号即可）．
①；②：③四边形的面积总等于；④连接，总有．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，求线段的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴A中的图象不是中心对称图形，
∴选项A不正确；
∵B中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，
∴选项B正确；
∵C中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴C中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形，
∴选项C不正确；
∵D中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴D中的图形不是中心对称图形，
∴选项D不正确；
故答案为：B．
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形；将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：、，A不符合题意；
、当时，，B不符合题意；
、，C符合题意；
、，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据不等式的性质：性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；进行即可求解.
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：80°是底角，则它的底角度数为80°；
若80°是顶角，.
∴等腰三角形的底角为80°或50°，
故答案为：D.
【分析】分80°是顶角或底角两种情况结合三角形的内角和定理分别讨论即可.
4．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形边数是n，根据题意及多边形内角和公式得：
解得：
故这个多边形是四边形．
故选：B.
【分析】本题着重考查了多边形的内角和与外角和.多边形内角和公式是解决本题的关键，外角和为是一个重要的性质.在解决本题时，准确运用这些知识，通过列方程求解，能够有效解决问题.本题充分体现了多边形内角和与外角和在几何问题中的应用，是对基础知识的考查.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，故选项A不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，是真命题，故选项B不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，故选项C不符合题意；
D、对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题，故选项D符合题意.
故选D．
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方性质对角线的判定方法进行判断即可．
6．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设原计划每天挖x米，则实际每天挖（x+20）米，
根据题意得： ；
故答案为：C.
【分析】 设原计划每天挖x米，则实际每天挖（x+20）米，根据原计划所用的天数-实际所用的天数=4，列出方程即可.
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：设k是正整数，
∵，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意；
∵，
∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意，
B选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．
故答案为：B．
【分析】设k是正整数，先利用“智慧数”的定义及平方差公式可得，再分析求解即可.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
，
，
，是的中点，
，
在中，，，且为边上的中线，
，，
，，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
在中，，
故答案为：B。
【分析】连接，根据，可得 根据直角三角形斜边上的中线，可得，，，进而可得，根据，易证，在中，根据勾股定理：在中， ，代入数据即可求解。
9．【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：原式=
故答案为： .
【分析】观察式子发现，可先提取公因式4，然后再利用完全平方展开式进行合并即可。
10．【答案】x>2
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：当x＞2时，kx+3＞-x+b，
即不等式kx+3＞-x+b的解集为x＞2．
故答案为：x＞2．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
11．【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是BD的中点，F是DC的中点，
∴PF是△BCD的中位线，
∴.
∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴.
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴
故答案为：20°．
【分析】根据三角形中位线定理得到，，可得PE＝PF，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠EFP．
12．【答案】18
【知识点】平行四边形的性质；平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
又AC=CA，
∴△ACB≌△CAD（SSS）.
同理：△FCE≌△CFG.
∴.
在中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置（阴影部分），
，AB//EF，
∴△ABC∽△FEC，
∴，即
小平行四边形的面积是2，
∴平行四边形ABCD的面积为2×9=18.
故答案为：18．
【分析】记平移后的平行四边形的四个顶点坐标分别为F，E，C，G，点F在AC上，点E在BC上，由平行四边形的性质得AB=CD，AD=BC，证明△ACB≌△CAD，△FCE≌△CFG，于是有.再证明△ABC∽△FEC，AB=3EF，即可利用相似三角形面积的性质求出平行四边形ABCD的面积.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接、，
，为的平分线，
，
又∵，
，
∵是的垂直平分线，
∴，
，
∴，
∵为的平分线，，
∴为底边上的中线和高线，
即垂直平分，
∴，
，
将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴，
，
在中，．
故答案为：。
【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，代入数据，求出的度数 ，根据 ，根据等腰三角形内角和公式，求出的度数，再根据垂直平分线的性质，可得，进而， 根据，代入数据即可求出的度数，然后根据等腰三角形的性质得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，进而即可求出的度数，最后再根据三角形的内角和公式，即可求解。
14．【答案】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：
（2）解：，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，
是原分式方程的解．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据题意解不等式①和②，进而得到不等式组的解集；
（2）先根据题意方程两边同乘，进而解分式方程，再检验即可求解。
15．【答案】解：原式
∵
∴或3
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
16．【答案】（1）D点坐标
（2）
（3）
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】本题围绕平面直角坐标系中的图形变换展开，着重考查中心对称和旋转的性质及作图方法.
（1）确定和的对称中心D，根据中心对称的性质，连接对应点、，其交点即为对称中心D，并确定其坐标；
（2）画出绕点O逆时针旋转后的，依据旋转的性质，分别作出点、、绕点O逆时针旋转后的对应点，再顺次连接得到旋转后的三角形；
（3）画出与关于点O成中心对称的，根据中心对称的性质，分别作出点、、关于点O的对称点，然后顺次连接得到对称后的三角形.
（1）D点坐标
（2）如图，画出；
（3）如图，画出．
17．【答案】（1）证明：、分别是、的中点
是的中位线
且．
又，即
，
四边形是平行四边形
与互相平分
（2）解：在中，，，
由勾股定理得
又由知，，且
在中，，，
由勾股定理得.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题围绕直角三角形和中位线等知识展开，着重考查三角形中位线定理，勾股定理以及平行四边形的判定与性质；
(1)要说明AF与DE互相平分，需要先根据三角形中位线定理得出EF与AB的关系，再结合已知条件AB=2AD，推导出AD与EF的关系，从而判定四边形AEFD是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AF与DE互相平分；
(2)求DO的长，首先利用勾股定理求出AC的长度，再根据平行四边形的性质得到OA的长度，最后在中，利用勾股定理求出DO的长度．
18．【答案】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元，
由题意得：
，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
则x+30=80.
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元.
（2）解：设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50-a）个，
由题意得：50×（1+8%）（50-a）+80×0.9a≤3060，
解得：a≤20，
答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需(x+30)元，由题意可得购买A品牌篮球的数量为，购买B品牌篮球的数量为，然后根据购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍建立方程，求解即可；
（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球(50-a)个，A品牌篮球第二次的售价为50×(1+8%)，B篮球第二次的售价为80×0.9，然后根据售价×个数=总费用结合题意可得关于a的不等式，求解即可.
19．【答案】（1）是
（2）解：设分式的等和积分式为A，则
即分式的等和积分式为.
（3）①
②解：由规律可得的等和积分式为，
与互为等和积分式
由得：
将代入，得：
解得
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算；解二元一次方程组；列二元一次方程
【解析】【解答】(1)解：，
分式与分式是等和积分式
故答案为：是；
(3)①解：分式的等和积分式为，理由如下：
设分式的等和积分式为M，则
．
故答案为：.
【分析】 本题围绕等和积分式这一创新定义展开，着重考查分式的混合运算以及对新定义的理解和运用能力.
(1)判断两个分式是否为 等和积分式，需要根据定义分别计算它们的和与积，然后比较两者是否相等；
(2)求一个分式的等和积分式，需要设出这个等和积分式为一个未知数，再依据 等和积分式 的定义列出方程，通过分式的运算来求解。
(3)①通过观察前面(1)(2)的计算结果，总结出分式ab 的等和积分式的规律.②利用发现的规律，写出给定分式的等和积分式，然后根据两个分式互为等和积分式的条件，列出关于m和n的方程组，最后解方程组求出m和n的值．
20．【答案】解：（1）①②③④；
（2），理由如下：
连接，
∵O为矩形中心，
∴，
延长交于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵矩形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵在中，
∴；
（3）设，
①当E在之间时，
，
，
在中，，
，
又由（2）易知，
，
，
解得：，
；
②当E在延长线上时，
同理可论：，
设，则，
即：，
解得：，
∴，
综上所述：或．
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；图形的旋转；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图1中，连接．
∵四边形是正方形，
，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∴，故②正确，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②③④.
【分析】（1）连接EF，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质、三角形的面积及等量代换和勾股定理逐项分析判断即可；
（2）连接AC，先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用垂直平分线的性质及等量代换可得，最后利用勾股定理及等量代换求出即可；
（3）分类讨论：①当E在之间时；②当E在延长线上时，先分别画出图形并利用勾股定理求解即可.
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