甘肃省武威市凉州区片区2024-2025学年九年级上学期开学检测数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024九上·凉州开学考）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】A.原式不能合并，不符合题意；
B.原式= ，不符合题意；
C.原式= ，符合题意；
D.原式= ，不符合题意，
故答案为：C
【分析】A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式合并得到结果，即可做出判断；
C、原式利用二次根式乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式分母有理化得到结果，即可做出判断
2．（2024九上·凉州开学考）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．，2， D．，2，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A. 32+42=52故能构成直角三角形，不符合题意；
B. 52+122=132 故能构成直角三角形，不符合题意；
C. （）2+（2）2=7≠（）2故不能构成直角三角形，符合题意；
D.故能构成直角三角形，不符合题意．
故答案为：C。
【分析】根据勾股定理的逆定理，然后再对选项中各个数据进行运算，即可判断。
3．（2024九上·凉州开学考）已知点都在直线上，则为的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，
根据一次函数的性质：y随x的增大而减小
∵，且点，，都在直线上
∴
故选A．
【分析】本题着重考查了一次函数的性质.熟练掌握一次函数y = kx + b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小是解题的关键.本题充分体现了一次函数性质在比较函数值大小中的应用，是对学生函数知识掌握程度的考查.
4．（2024九上·凉州开学考）如图，在□ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（ ）
A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=3，
∴EC=BC-BE=5-3=2，
故选：B．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定。平行四边形对边平行且相等的性质是解决本题的基础，通过角平分线和平行线的性质得到角相等，进而利用等腰三角形的判定得出边相等，从而求出线段BE和EC的长度．
5．（2024九上·凉州开学考）正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．四个角都是直角
C．对角线互相垂直平分 D．每条对角线平分一组对角
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：A、正方形和菱形均具有，故不正确；
B、菱形的四个角相等但不一定是直角，故正确；
C、正方形和菱形均具有此性质，故不正确；
D、正方形和菱形均具有此性质，故不正确；
故选B．
【分析】根据正方形的性质和菱形的性质对各个选项进行分析，从而得到答案．
6．（2024九上·凉州开学考）如图直线上有三个正方形，若正方形的面积分别为5和11，则正方形B的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，
正方形，的面积分别为5和11，
，，
由正方形的性质得：，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
正方形的面积为，
故答案为：C。
【分析】根据正方形A和C的面积和正方形的面积公式，可得， ，然后再根据正方形的性质，可得， ，易证，然后再根据全等三角形的性质，可得，，则，，易证 正方形的面积等于，代入求出即可。
7．（2024九上·凉州开学考）甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是
A．甲、乙两人的速度相同 B．甲先到达终点
C．乙用的时间短 D．乙比甲跑的路程多
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：结合图象可知：两人同时出发，甲比乙先到达终点，甲的速度比乙的速度快，
故答案为：B。
【分析】根据图象信息，可直接看出甲和乙同时出发，然后再根据V=S÷t，当路程一定时，速度和时间成反比，据此即可求解。
8．（2024九上·凉州开学考）甲、乙两班举行电脑打字输入比赛，参赛学生每分钟输入字的个数统计结果如下表：
班级 参赛人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
某同学分析上表后得出如下结论：
（1）甲、乙两班学生成绩平均水平相同；
（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；
（3）甲班成绩的波动比乙班小.
上述结论正确的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（3）
C．（1）（3） D．（1）（2）
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：从表中可知，平均字数都是135，（1）正确；
甲班的中位数是149，乙班的中位数是151，比甲的多，而平均数都要为135，说明乙的优秀人数多于甲班的，（2）正确；
甲班的方差大于乙班的，又说明甲班的波动情况小，所以（3）错误．
综上可知（1）（2）正确．
故答案为：D。
【分析】根据平均数的定义、中位数的意义和方差的实际意义，结合表格中的数据，然后对各个选项进行逐一分析即可求解。
9．（2024九上·凉州开学考）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E为的中点，则下列式子中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，， ，
∵E为的中点，
∴，
即：，故A、B正确，不符合题意；
∵，
∴为直角三角形，
∵点E是的中点，
∴，故C正确，不符合题意；
不一定正确，故D错误，符合题意．
故答案为：D。
【分析】根据菱形的性质和E是CD的中点，可知OE是BC的中位线，然后再根据中位线定理，可得，据此可判断A；根据菱形的性质，可得，然后再根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此可判断B和C；题干中没提到的度数，因此无法判断D。据此即可求解。
10．（2024九上·凉州开学考）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：正方形边长为，为边的中点，
，，，
由折叠知，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
故选C．
【分析】本题主要考查正方形的折叠问题以及勾股定理的应用。折叠问题中，折叠前后对应边相等，这是解决此类问题的关键性质。勾股定理是直角三角形中非常重要的定理，在已知直角三角形的两边求第三边时经常用到。本题通过设未知数，利用折叠性质和勾股定理建立方程，由折叠前后对应边相等可得，设，则，用勾股定理解，从而求解出线段DN的长度，体现了方程思想在几何问题中的应用．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（2024九上·凉州开学考）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥0且x≠2
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥0且x≠2．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件，列出不等式组求解即可。
12．（2024九上·凉州开学考）数据“1，2，1，3，3”，则这组数据的方差是 ．
【答案】0.8
【知识点】方差
【解析】【解答】解：数据“1，2，1，3，3”平均数==2，
S2=[（1﹣2）2+（2﹣1）2+…+（3﹣2）2]==0.8，
故答案为0.8．
【分析】首先求出平均数，然后根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，代数计算即可．
13．（2024九上·凉州开学考）已知一次函数的图象经过点，则该一次函数的解析式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：把代入，
得：，
解得：，
即．
故答案为。
【分析】把点（-2，2）代入y=ax-1，然后再解方程，即可求解。
14．（2024九上·凉州开学考）若点E、F、G、H分别是菱形的边、、、的中点，四边形的形状为 ．
【答案】矩形
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接、交于O，
∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
，，，，
，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
，
，，
，
，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：矩形。
【分析】连接、交于O，根据三角形的中位线定理，可得，然后再根据平行四边形的判定定理，可得四边形是平行四边形，然后再根据菱形性质，可得，根据， ，可得，即可得出答案。
15．（2024九上·凉州开学考）若对实数a，b，c，d规定运算，则＝ ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴===，
故答案为：。
【分析】根据新定义的运算规则：，然后再代入数据即可求解。
16．（2024九上·凉州开学考）如图，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为 ．
【答案】x＞1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：从图象上得到函数y=x+b和y=ax+3的图象交点P，点P的横坐标为1，
在x＞1时，函数y=x+b的值大于y=ax+3的函数值，
∴可得不等式x+b＞ax+3的解集x＞1．
故答案为：x＞1．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
17．（2024九上·凉州开学考）如图所示，在 ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若添加一个条件 ，则四边形EBFD为平行四边形．
【答案】AE＝FC
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形EBFD要为平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，又AE=FC
∴△AEB≌△CFD，
∴AE=FC，
∴DE=BF
∴四边形EBFD为平行四边形．
∴可添加的条件是AE=FC，同理还可添加∠ABE=∠CDF．
故答案为：AE=FC或∠ABE=∠CDF。
【分析】根据平行四边形的性质可得，∠A=∠C，AB=CD，要让△AEB≌△CFD，则只需添加AE=FC这个条件或添加∠ABE=∠CDF，即可。
18．（2024九上·凉州开学考）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；矩形的性质；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：设DE=x，则AE=8-x.
因为矩形ABCD沿着直线BD折叠，根据折叠的性质，得∠EBD=∠CBD.
∵AD∥BC
∴∠CBD=∠ADB
∴∠EBD=∠EDB
∴BE=DE=x.
在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得
x2=(8-x)2+16
解得x=5.
故填：5.
【分析】 本题主要考查矩形的折叠问题以及勾股定理的应用.设DE=x，则AE=8-x需要利用折叠的性质和平行线的性质得出角的关系，进而得到线段的关系，得∠EBD=∠CBD=∠EDB，则BE=DE=x，然后在直角三角形ABE中根据勾股定理即可求解.在解决本题时，准确运用这些知识，通过设未知数和列方程，能够有效解决问题.本题充分体现了几何图形的性质和勾股定理在折叠问题中的综合应用，是对学生几何思维和知识掌握程度的全面考查.
三、解答题（共66分）
19．（2024九上·凉州开学考）计算：
（1）；
（2）．
（3）用适当的方法解方程：
【答案】（1）解：
。
（2）解：
。
（3）解：∵
∴
∴或
∴
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；二次根式的加减法；二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的运算法则，对各个二次根式进行运算，然后再合并同类项，即可求解。
（2）根据平方差公式、平方根、零次幂和二次根式的分式进行运算，然后再逐一进行化简，最后再进行加减即可。
（3）利用十字交叉法，对一元二次方程进行分解即可求解。
（1）
（2）
（3）∵
∴
∴或
∴
20．（2024九上·凉州开学考）2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：
抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）
6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
八年级教师竞赛成绩扇形统计图
七、八年级教师竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8.5 8.5
中位数 9
众数 8
优秀率 45% 55%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：__________，_________；
（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．
【答案】(1)8；9；
(2)解：由题可知，七年被抽查的20名教师成绩中，8分及以上的人数为17人
（人）
答：该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数为102人
(3)解：八年级教师更优异，因为八年级教师成绩的中位数高于七年级教师成绩的中位数.(不唯一，符合题意即可)
【知识点】用样本估计总体；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：(1)题干中七年级的成绩已经从小到达排列
所以七年级的中位数为；
扇形统计图中，D的占比更多，D代表得分为9分的人数
故八年级的众数为.
故答案为：8；9
【分析】本题围绕数据统计与分析展开，着重考查中位数，众数的定义与应用.
(1)求a和b的值，根据中位数和众数的定义，结合七年级的成绩排列和八年级的扇形统计图进行求解；
(2)估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数，先求出被调查的20人中成绩达到8分及以上的人数及占比，再用120乘以该比例；
(3)评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异，根据平均数，中位数，众数等统计量的实际意义进行分析判断．
21．（2024九上·凉州开学考）如图，在平行四边形中，是它的一条对角线，于点于点F．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，且，
．
又，
．
在与中，
，
，
；
，
，
四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，可得，且，又跟据，易证，然后再根据全等三角形的性质，可得，由，从而可求得，最后再根据平行四边形的判定，即可证明。
22．（2024九上·凉州开学考）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若菱形的边长为4，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：四边形为矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质对角线互相垂直平分得，结合已知推出DE=CO，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形OCED是平行四边形，进而由一个角是90°的平行四边形是矩形来证明结论；
（2）根据菱形的性质得BC=CD，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△BCD是等边三角形，得BD=BC=4，由菱形的对角线互相垂直平分得OD=OB=2，由勾股定理算出CO，进而再由菱形对角线互相平分得AC得长，由矩形性质得EC=OD=2，再利用勾股定理求解即可．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：四边形为矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：．
23．（2024九上·凉州开学考）如图，已知：在四边形中，的垂直平分线交于点D，交于点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当是满足什么条件时，四边形是正方形，说明理由．
【答案】（1）证明：垂直平分，
，，
，
∵
，
，
，，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：当时，四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是菱形，
则，
，，
∴
，
菱形是正方形．
即当时，四边形是正方形。
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可得，，，然后再根据平行线的性质，可得，易得，然后再根据全等三角形的性质，可得，最后再根据菱形的判定定理，即可证明。
（2）根据菱形的性质，可得，然后再根据，，易得，即可证明菱形是正方形，据此即可证明。
（1）证明：垂直平分，
，，
，
∵
，
，
，，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：当时，四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是菱形，
则，
，，
∴
，
菱形是正方形．
即当时，四边形是正方形．
24．（2024九上·凉州开学考）如图1，小明家，学校，到达图书馆在同一条直线上，小明骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计），小明离家的距离y（m）与他所用的时间x（min）的函数关系如图2所示．
（1）小明家与学校的距离为 m，小明骑自行车的速度为 m/min；
（2）求小明从图书馆返回家的过程中，y关于x的函数解析式；
（3）小明离家5000m时，他出发了多长时间？
【答案】（1）4000；200
（2）解：小明从图书馆返回家的时间：6000÷200＝30min，
∴总时间：20＋30＝50min，
设小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式为y＝kx＋b，
把，代入得：
，
解得，
∴。
（3）解：设小明从学校到图书馆的过程中y与x的函数解析式为y＝mx＋n，把，代入得：，解得，
∴y＝200x＋4000
当y＝5000时，
5000＝200x＋4000
∴x＝5
5000＝ 200x＋10000
∴x＝25
∴小明出发5分钟或25分钟时离家距离5000m．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图象可知小明家与学校的距离为4000m，
小明骑自行车的速度为．
故答案为：4000，200。
【分析】（1）根据图象可读出小明家与学校的距离，然后再根据速度=路程÷时间，再结合图象信息，即可求出小明骑自行车的速度；
（2）根据题意可求出小明从图书馆返回家的时间，从而得到小明从家到图书馆的往返总时间，从图像中可直接看出返回时的函数图象经过点，，设小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式为y＝kx＋b，将这两个坐标代入y＝kx＋b，即可求出k和b，从而得到y关于x的函数解析式；
（3）设小明从学校到图书馆的过程中y与x的函数解析式为y＝mx＋n，把，代入y＝mx＋n，求出m和n，进而可得y关于x的函数解析式，令y=5000，即可求出x的值。
（1）由图象可知小明家与学校的距离为4000m，
小明骑自行车的速度为．
故答案为：4000，200；
（2）小明从图书馆返回家的时间：6000÷200＝30min，
∴总时间：20＋30＝50min，
设小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式为y＝kx＋b，
把，代入得：，解得，
∴；
（3）设小明从学校到图书馆的过程中y与x的函数解析式为y＝mx＋n，
把，代入得：，解得，
∴y＝200x＋4000
当y＝5000时，
5000＝200x＋4000
∴x＝5
5000＝ 200x＋10000
∴x＝25
∴小明出发5分钟或25分钟时离家距离5000m．
25．（2024九上·凉州开学考）已知：如图一次函数与的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）若一次函数与的图象与x轴分别交于点B、C，求的面积．
（3）结合图象，直接写出时的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可得：
，
解得，
所以点A坐标为。
（2）解：当时，，即，则B点坐标为；
当时，，即，则C点坐标为；
，
的面积为：
（3）
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是
【分析】（1）根据图形所示，可知A点是两条函数的交点，因此，只需联立两条函数建立方程组：，然后再解此方程组即可求出A点的坐标；
（2）分别令y1=0和y2=0，分别求出B和C点的坐标，进而求出BC的距离，最后再根据三角形的面积公式，即可求解。
（3）根据图像所示，可知，要让，x的取值必须位于A点横坐标的右边，即，据此即可求解。
（1）解：由题意可得：
，解得，
所以点A坐标为．
（2）解：当时，，即，则B点坐标为；
当时，，即，则C点坐标为；
，
的面积为：．
（3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是．
26．（2024九上·凉州开学考）甲超市在国庆节期间进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为5元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价6折售卖．其中x（单位：kg）表示购买苹果的重量，（单位：元）表示付款金额．
（1）文文购买3kg苹果需付款______元；购买5kg苹果需付款______元；
（2）写出付款金额关于购买苹果的重量x的函数关系式：
（3）乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为5元/kg，且全部按标价的8折售卖．文文如果要购买10kg苹果，请问她在哪个超市购买更划算？
【答案】（1）15，23
（2）解：当 时，，
当时，
当时，设，将，代入解析式
解得，
∴。
（3）解：当时，，
，
∵，
∴甲超市比乙超市划算．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；有理数混合运算的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由题意：（元）；
（元）；
故答案为：15，23。
【分析】（1）用苹果乘以苹果的单价，即可求出3kg苹果的总价；用4kg乘以苹果的单价，然后再加上超过4kg部分的价格，即可求解。
（2）根据题干信息，可知，当重量在时，，令x=4，求出的值；当时x>4时，设，将，代入解析式，建立方程组，即可求解。
（3）当x=10时，求出和的值，然后再进行比较即可。
（1）由题意：（元）；
（元）；
故答案为：15，23；
（2）当时，，
当时，
当时，设，将，代入解析式
解得，
∴，
（3）当时，，，
∵，
∴甲超市比乙超市划算．
27．（2024九上·凉州开学考）如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．
（1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．
（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．
【答案】证明：（1）PC=PE，PC⊥PE。理由如下
∵点P位于AE的垂直平分线上，
∴PA=PE，
∴∠PAD=∠E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB，
∵PD=PD，
∴△ADP≌△CDP（SAS）
∴PA=PC，∠PAD=∠PCD，
∴PC=PE，∠PCD=∠E，
∵∠PFC=∠DFE，
∴∠CPF=∠FDE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∴∠FDE=90°，
∴∠CPF=90°，
∴PC⊥PE．
（2）PA=CE．理由如下：
证明：∵点P位于AE的垂直平分线上，
∴PA=PE，
∴∠PAD=∠E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB，
∵PD=PD，
∴△ADP≌△CDP（SAS）
∴PA=PC，∠PAD=∠PCD，
∴PC=PE，∠PCD=∠E，
∵∠PFC=∠DFE，
∴∠CPF=∠FDE，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°
∴∠ADC=∠ABC=120°
∴∠EDF=180°-∠ADC=60°
∴∠CPF=60°
∵PE=PC
∴△PCE是等边三角形
∴CE=PE
∴AP=CE．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；菱形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可得PA=PE，进而可得∠PAD=∠E，然后再根据正方形的性质，可得AD=DC，∠ADB=∠CDB，易证△ADP≌△CDP（SAS），然后再根据全等三角形的性质，可得PA=PC，∠PAD=∠PCD，易得PC=PE，∠PCD=∠E，然后再根据∠PFC=∠DFE，易得∠CPF=∠FDE，最后再根据正方形的性质，可得∠FDE=90°，据此即可证明。
（2）根据垂直平分线的性质，可得PA=PE，进而可得∠PAD=∠E，然后再根据菱形的基本性质，可知AD=DC，∠ADB=∠CDB，易证△ADP≌△CDP（SAS），然后再根据全等三角形的性质，可得PC=PE，∠PCD=∠E，再根据菱形的基本性质及∠ABC的度数，求出∠ADC的度数，进而可求出∠EDF和∠CPF的度数，又根据PE=PC，易证△PCE是等边三角形，最后再根据等边三角形的性质，即可证明。
1 / 1甘肃省武威市凉州区片区2024-2025学年九年级上学期开学检测数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024九上·凉州开学考）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·凉州开学考）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．，2， D．，2，
3．（2024九上·凉州开学考）已知点都在直线上，则为的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·凉州开学考）如图，在□ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（ ）
A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4
5．（2024九上·凉州开学考）正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．四个角都是直角
C．对角线互相垂直平分 D．每条对角线平分一组对角
6．（2024九上·凉州开学考）如图直线上有三个正方形，若正方形的面积分别为5和11，则正方形B的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
7．（2024九上·凉州开学考）甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是
A．甲、乙两人的速度相同 B．甲先到达终点
C．乙用的时间短 D．乙比甲跑的路程多
8．（2024九上·凉州开学考）甲、乙两班举行电脑打字输入比赛，参赛学生每分钟输入字的个数统计结果如下表：
班级 参赛人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
某同学分析上表后得出如下结论：
（1）甲、乙两班学生成绩平均水平相同；
（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；
（3）甲班成绩的波动比乙班小.
上述结论正确的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（3）
C．（1）（3） D．（1）（2）
9．（2024九上·凉州开学考）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E为的中点，则下列式子中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·凉州开学考）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（2024九上·凉州开学考）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（2024九上·凉州开学考）数据“1，2，1，3，3”，则这组数据的方差是 ．
13．（2024九上·凉州开学考）已知一次函数的图象经过点，则该一次函数的解析式为 ．
14．（2024九上·凉州开学考）若点E、F、G、H分别是菱形的边、、、的中点，四边形的形状为 ．
15．（2024九上·凉州开学考）若对实数a，b，c，d规定运算，则＝ ．
16．（2024九上·凉州开学考）如图，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为 ．
17．（2024九上·凉州开学考）如图所示，在 ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若添加一个条件 ，则四边形EBFD为平行四边形．
18．（2024九上·凉州开学考）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为 ．
三、解答题（共66分）
19．（2024九上·凉州开学考）计算：
（1）；
（2）．
（3）用适当的方法解方程：
20．（2024九上·凉州开学考）2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：
抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）
6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
八年级教师竞赛成绩扇形统计图
七、八年级教师竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8.5 8.5
中位数 9
众数 8
优秀率 45% 55%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：__________，_________；
（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．
21．（2024九上·凉州开学考）如图，在平行四边形中，是它的一条对角线，于点于点F．求证：四边形是平行四边形．
22．（2024九上·凉州开学考）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若菱形的边长为4，，求的长．
23．（2024九上·凉州开学考）如图，已知：在四边形中，的垂直平分线交于点D，交于点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当是满足什么条件时，四边形是正方形，说明理由．
24．（2024九上·凉州开学考）如图1，小明家，学校，到达图书馆在同一条直线上，小明骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计），小明离家的距离y（m）与他所用的时间x（min）的函数关系如图2所示．
（1）小明家与学校的距离为 m，小明骑自行车的速度为 m/min；
（2）求小明从图书馆返回家的过程中，y关于x的函数解析式；
（3）小明离家5000m时，他出发了多长时间？
25．（2024九上·凉州开学考）已知：如图一次函数与的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）若一次函数与的图象与x轴分别交于点B、C，求的面积．
（3）结合图象，直接写出时的取值范围．
26．（2024九上·凉州开学考）甲超市在国庆节期间进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为5元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价6折售卖．其中x（单位：kg）表示购买苹果的重量，（单位：元）表示付款金额．
（1）文文购买3kg苹果需付款______元；购买5kg苹果需付款______元；
（2）写出付款金额关于购买苹果的重量x的函数关系式：
（3）乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为5元/kg，且全部按标价的8折售卖．文文如果要购买10kg苹果，请问她在哪个超市购买更划算？
27．（2024九上·凉州开学考）如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．
（1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．
（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】A.原式不能合并，不符合题意；
B.原式= ，不符合题意；
C.原式= ，符合题意；
D.原式= ，不符合题意，
故答案为：C
【分析】A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式合并得到结果，即可做出判断；
C、原式利用二次根式乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式分母有理化得到结果，即可做出判断
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A. 32+42=52故能构成直角三角形，不符合题意；
B. 52+122=132 故能构成直角三角形，不符合题意；
C. （）2+（2）2=7≠（）2故不能构成直角三角形，符合题意；
D.故能构成直角三角形，不符合题意．
故答案为：C。
【分析】根据勾股定理的逆定理，然后再对选项中各个数据进行运算，即可判断。
3．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，
根据一次函数的性质：y随x的增大而减小
∵，且点，，都在直线上
∴
故选A．
【分析】本题着重考查了一次函数的性质.熟练掌握一次函数y = kx + b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小是解题的关键.本题充分体现了一次函数性质在比较函数值大小中的应用，是对学生函数知识掌握程度的考查.
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=3，
∴EC=BC-BE=5-3=2，
故选：B．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定。平行四边形对边平行且相等的性质是解决本题的基础，通过角平分线和平行线的性质得到角相等，进而利用等腰三角形的判定得出边相等，从而求出线段BE和EC的长度．
5．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：A、正方形和菱形均具有，故不正确；
B、菱形的四个角相等但不一定是直角，故正确；
C、正方形和菱形均具有此性质，故不正确；
D、正方形和菱形均具有此性质，故不正确；
故选B．
【分析】根据正方形的性质和菱形的性质对各个选项进行分析，从而得到答案．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，
正方形，的面积分别为5和11，
，，
由正方形的性质得：，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
正方形的面积为，
故答案为：C。
【分析】根据正方形A和C的面积和正方形的面积公式，可得， ，然后再根据正方形的性质，可得， ，易证，然后再根据全等三角形的性质，可得，，则，，易证 正方形的面积等于，代入求出即可。
7．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：结合图象可知：两人同时出发，甲比乙先到达终点，甲的速度比乙的速度快，
故答案为：B。
【分析】根据图象信息，可直接看出甲和乙同时出发，然后再根据V=S÷t，当路程一定时，速度和时间成反比，据此即可求解。
8．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：从表中可知，平均字数都是135，（1）正确；
甲班的中位数是149，乙班的中位数是151，比甲的多，而平均数都要为135，说明乙的优秀人数多于甲班的，（2）正确；
甲班的方差大于乙班的，又说明甲班的波动情况小，所以（3）错误．
综上可知（1）（2）正确．
故答案为：D。
【分析】根据平均数的定义、中位数的意义和方差的实际意义，结合表格中的数据，然后对各个选项进行逐一分析即可求解。
9．【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，， ，
∵E为的中点，
∴，
即：，故A、B正确，不符合题意；
∵，
∴为直角三角形，
∵点E是的中点，
∴，故C正确，不符合题意；
不一定正确，故D错误，符合题意．
故答案为：D。
【分析】根据菱形的性质和E是CD的中点，可知OE是BC的中位线，然后再根据中位线定理，可得，据此可判断A；根据菱形的性质，可得，然后再根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此可判断B和C；题干中没提到的度数，因此无法判断D。据此即可求解。
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：正方形边长为，为边的中点，
，，，
由折叠知，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
故选C．
【分析】本题主要考查正方形的折叠问题以及勾股定理的应用。折叠问题中，折叠前后对应边相等，这是解决此类问题的关键性质。勾股定理是直角三角形中非常重要的定理，在已知直角三角形的两边求第三边时经常用到。本题通过设未知数，利用折叠性质和勾股定理建立方程，由折叠前后对应边相等可得，设，则，用勾股定理解，从而求解出线段DN的长度，体现了方程思想在几何问题中的应用．
11．【答案】x≥0且x≠2
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥0且x≠2．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件，列出不等式组求解即可。
12．【答案】0.8
【知识点】方差
【解析】【解答】解：数据“1，2，1，3，3”平均数==2，
S2=[（1﹣2）2+（2﹣1）2+…+（3﹣2）2]==0.8，
故答案为0.8．
【分析】首先求出平均数，然后根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，代数计算即可．
13．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：把代入，
得：，
解得：，
即．
故答案为。
【分析】把点（-2，2）代入y=ax-1，然后再解方程，即可求解。
14．【答案】矩形
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接、交于O，
∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
，，，，
，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
，
，，
，
，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：矩形。
【分析】连接、交于O，根据三角形的中位线定理，可得，然后再根据平行四边形的判定定理，可得四边形是平行四边形，然后再根据菱形性质，可得，根据， ，可得，即可得出答案。
15．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴===，
故答案为：。
【分析】根据新定义的运算规则：，然后再代入数据即可求解。
16．【答案】x＞1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：从图象上得到函数y=x+b和y=ax+3的图象交点P，点P的横坐标为1，
在x＞1时，函数y=x+b的值大于y=ax+3的函数值，
∴可得不等式x+b＞ax+3的解集x＞1．
故答案为：x＞1．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
17．【答案】AE＝FC
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形EBFD要为平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，又AE=FC
∴△AEB≌△CFD，
∴AE=FC，
∴DE=BF
∴四边形EBFD为平行四边形．
∴可添加的条件是AE=FC，同理还可添加∠ABE=∠CDF．
故答案为：AE=FC或∠ABE=∠CDF。
【分析】根据平行四边形的性质可得，∠A=∠C，AB=CD，要让△AEB≌△CFD，则只需添加AE=FC这个条件或添加∠ABE=∠CDF，即可。
18．【答案】5
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；矩形的性质；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：设DE=x，则AE=8-x.
因为矩形ABCD沿着直线BD折叠，根据折叠的性质，得∠EBD=∠CBD.
∵AD∥BC
∴∠CBD=∠ADB
∴∠EBD=∠EDB
∴BE=DE=x.
在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得
x2=(8-x)2+16
解得x=5.
故填：5.
【分析】 本题主要考查矩形的折叠问题以及勾股定理的应用.设DE=x，则AE=8-x需要利用折叠的性质和平行线的性质得出角的关系，进而得到线段的关系，得∠EBD=∠CBD=∠EDB，则BE=DE=x，然后在直角三角形ABE中根据勾股定理即可求解.在解决本题时，准确运用这些知识，通过设未知数和列方程，能够有效解决问题.本题充分体现了几何图形的性质和勾股定理在折叠问题中的综合应用，是对学生几何思维和知识掌握程度的全面考查.
19．【答案】（1）解：
。
（2）解：
。
（3）解：∵
∴
∴或
∴
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；二次根式的加减法；二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的运算法则，对各个二次根式进行运算，然后再合并同类项，即可求解。
（2）根据平方差公式、平方根、零次幂和二次根式的分式进行运算，然后再逐一进行化简，最后再进行加减即可。
（3）利用十字交叉法，对一元二次方程进行分解即可求解。
（1）
（2）
（3）∵
∴
∴或
∴
20．【答案】(1)8；9；
(2)解：由题可知，七年被抽查的20名教师成绩中，8分及以上的人数为17人
（人）
答：该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数为102人
(3)解：八年级教师更优异，因为八年级教师成绩的中位数高于七年级教师成绩的中位数.(不唯一，符合题意即可)
【知识点】用样本估计总体；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：(1)题干中七年级的成绩已经从小到达排列
所以七年级的中位数为；
扇形统计图中，D的占比更多，D代表得分为9分的人数
故八年级的众数为.
故答案为：8；9
【分析】本题围绕数据统计与分析展开，着重考查中位数，众数的定义与应用.
(1)求a和b的值，根据中位数和众数的定义，结合七年级的成绩排列和八年级的扇形统计图进行求解；
(2)估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数，先求出被调查的20人中成绩达到8分及以上的人数及占比，再用120乘以该比例；
(3)评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异，根据平均数，中位数，众数等统计量的实际意义进行分析判断．
21．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，且，
．
又，
．
在与中，
，
，
；
，
，
四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，可得，且，又跟据，易证，然后再根据全等三角形的性质，可得，由，从而可求得，最后再根据平行四边形的判定，即可证明。
22．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：四边形为矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质对角线互相垂直平分得，结合已知推出DE=CO，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形OCED是平行四边形，进而由一个角是90°的平行四边形是矩形来证明结论；
（2）根据菱形的性质得BC=CD，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△BCD是等边三角形，得BD=BC=4，由菱形的对角线互相垂直平分得OD=OB=2，由勾股定理算出CO，进而再由菱形对角线互相平分得AC得长，由矩形性质得EC=OD=2，再利用勾股定理求解即可．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：四边形为矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：．
23．【答案】（1）证明：垂直平分，
，，
，
∵
，
，
，，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：当时，四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是菱形，
则，
，，
∴
，
菱形是正方形．
即当时，四边形是正方形。
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可得，，，然后再根据平行线的性质，可得，易得，然后再根据全等三角形的性质，可得，最后再根据菱形的判定定理，即可证明。
（2）根据菱形的性质，可得，然后再根据，，易得，即可证明菱形是正方形，据此即可证明。
（1）证明：垂直平分，
，，
，
∵
，
，
，，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：当时，四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是菱形，
则，
，，
∴
，
菱形是正方形．
即当时，四边形是正方形．
24．【答案】（1）4000；200
（2）解：小明从图书馆返回家的时间：6000÷200＝30min，
∴总时间：20＋30＝50min，
设小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式为y＝kx＋b，
把，代入得：
，
解得，
∴。
（3）解：设小明从学校到图书馆的过程中y与x的函数解析式为y＝mx＋n，把，代入得：，解得，
∴y＝200x＋4000
当y＝5000时，
5000＝200x＋4000
∴x＝5
5000＝ 200x＋10000
∴x＝25
∴小明出发5分钟或25分钟时离家距离5000m．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图象可知小明家与学校的距离为4000m，
小明骑自行车的速度为．
故答案为：4000，200。
【分析】（1）根据图象可读出小明家与学校的距离，然后再根据速度=路程÷时间，再结合图象信息，即可求出小明骑自行车的速度；
（2）根据题意可求出小明从图书馆返回家的时间，从而得到小明从家到图书馆的往返总时间，从图像中可直接看出返回时的函数图象经过点，，设小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式为y＝kx＋b，将这两个坐标代入y＝kx＋b，即可求出k和b，从而得到y关于x的函数解析式；
（3）设小明从学校到图书馆的过程中y与x的函数解析式为y＝mx＋n，把，代入y＝mx＋n，求出m和n，进而可得y关于x的函数解析式，令y=5000，即可求出x的值。
（1）由图象可知小明家与学校的距离为4000m，
小明骑自行车的速度为．
故答案为：4000，200；
（2）小明从图书馆返回家的时间：6000÷200＝30min，
∴总时间：20＋30＝50min，
设小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式为y＝kx＋b，
把，代入得：，解得，
∴；
（3）设小明从学校到图书馆的过程中y与x的函数解析式为y＝mx＋n，
把，代入得：，解得，
∴y＝200x＋4000
当y＝5000时，
5000＝200x＋4000
∴x＝5
5000＝ 200x＋10000
∴x＝25
∴小明出发5分钟或25分钟时离家距离5000m．
25．【答案】（1）解：由题意可得：
，
解得，
所以点A坐标为。
（2）解：当时，，即，则B点坐标为；
当时，，即，则C点坐标为；
，
的面积为：
（3）
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是
【分析】（1）根据图形所示，可知A点是两条函数的交点，因此，只需联立两条函数建立方程组：，然后再解此方程组即可求出A点的坐标；
（2）分别令y1=0和y2=0，分别求出B和C点的坐标，进而求出BC的距离，最后再根据三角形的面积公式，即可求解。
（3）根据图像所示，可知，要让，x的取值必须位于A点横坐标的右边，即，据此即可求解。
（1）解：由题意可得：
，解得，
所以点A坐标为．
（2）解：当时，，即，则B点坐标为；
当时，，即，则C点坐标为；
，
的面积为：．
（3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是．
26．【答案】（1）15，23
（2）解：当 时，，
当时，
当时，设，将，代入解析式
解得，
∴。
（3）解：当时，，
，
∵，
∴甲超市比乙超市划算．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；有理数混合运算的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由题意：（元）；
（元）；
故答案为：15，23。
【分析】（1）用苹果乘以苹果的单价，即可求出3kg苹果的总价；用4kg乘以苹果的单价，然后再加上超过4kg部分的价格，即可求解。
（2）根据题干信息，可知，当重量在时，，令x=4，求出的值；当时x>4时，设，将，代入解析式，建立方程组，即可求解。
（3）当x=10时，求出和的值，然后再进行比较即可。
（1）由题意：（元）；
（元）；
故答案为：15，23；
（2）当时，，
当时，
当时，设，将，代入解析式
解得，
∴，
（3）当时，，，
∵，
∴甲超市比乙超市划算．
27．【答案】证明：（1）PC=PE，PC⊥PE。理由如下
∵点P位于AE的垂直平分线上，
∴PA=PE，
∴∠PAD=∠E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB，
∵PD=PD，
∴△ADP≌△CDP（SAS）
∴PA=PC，∠PAD=∠PCD，
∴PC=PE，∠PCD=∠E，
∵∠PFC=∠DFE，
∴∠CPF=∠FDE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∴∠FDE=90°，
∴∠CPF=90°，
∴PC⊥PE．
（2）PA=CE．理由如下：
证明：∵点P位于AE的垂直平分线上，
∴PA=PE，
∴∠PAD=∠E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB，
∵PD=PD，
∴△ADP≌△CDP（SAS）
∴PA=PC，∠PAD=∠PCD，
∴PC=PE，∠PCD=∠E，
∵∠PFC=∠DFE，
∴∠CPF=∠FDE，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°
∴∠ADC=∠ABC=120°
∴∠EDF=180°-∠ADC=60°
∴∠CPF=60°
∵PE=PC
∴△PCE是等边三角形
∴CE=PE
∴AP=CE．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；菱形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可得PA=PE，进而可得∠PAD=∠E，然后再根据正方形的性质，可得AD=DC，∠ADB=∠CDB，易证△ADP≌△CDP（SAS），然后再根据全等三角形的性质，可得PA=PC，∠PAD=∠PCD，易得PC=PE，∠PCD=∠E，然后再根据∠PFC=∠DFE，易得∠CPF=∠FDE，最后再根据正方形的性质，可得∠FDE=90°，据此即可证明。
（2）根据垂直平分线的性质，可得PA=PE，进而可得∠PAD=∠E，然后再根据菱形的基本性质，可知AD=DC，∠ADB=∠CDB，易证△ADP≌△CDP（SAS），然后再根据全等三角形的性质，可得PC=PE，∠PCD=∠E，再根据菱形的基本性质及∠ABC的度数，求出∠ADC的度数，进而可求出∠EDF和∠CPF的度数，又根据PE=PC，易证△PCE是等边三角形，最后再根据等边三角形的性质，即可证明。
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