22.1二次函数的图象和性质 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1二次函数的图象和性质 同步练习2025-2026学年人教版数学九年级上册
学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________
一、单选题
1．下列函数中，属于二次函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象的开口方向向上 B．函数的最小值为
C．图象的顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
3．把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　　）
A． B．
C． D．
4．当时，二次函数的最小值为6，则的值为（ ）
A．或3 B． C．或1 D．1
5．二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
6．二次函数均为常数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数y＝2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（　　）
A．8 B．﹣10 C．﹣42 D．﹣24
8．如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③为任意实数，则；④当时，．其中，正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为 ．
10．下面是三位同学对某个二次函数图象的描述.甲：该二次函数图象的形状、开口方向与的图象相同；乙：图象的顶点在轴上；丙：图象的对称轴是直线.请你写出这个二次函数的表达式：____________________.
11．若点和在二次函数的图象上，则____.（填“ ”“ ”或“”）
12．已知三个二次函数的图象如图所示，那么,,的大小关系是____________________.（请用“ ”连接）
（第3题图）
13．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是________.
14．如图，边长为2的正方形的中心为平面直角坐标系的原点，轴，以为顶点且过,两点的抛物线与以为顶点且过,两点的抛物线将正方形分割成几部分,则图中阴影部分的面积是______.
15．如图，在平面直角坐标系中有，两点，若抛物线与线段没有公共点，则的取值范围是________________________.
三、解答题
16．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，求此抛物线的解析式．
17．如图．已知抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在点B左侧．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求的面积．
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围．
19．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标．
20．如图，二次函数y＝-x2+（k-1）x+3的图象与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点C是二次函数图象上的一个动点，且位于第二象限；设△ABC的面积为S，试求出S的最大值．
21．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．点是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点．
(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
(2)若点，在抛物线上，则a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；
(3)若对于时，总有，求m的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据二次函数的定义进行判定求解．
【详解】解：、自变量的次数是次，故它不是二次函数，此项不符合题意；
、自变量在分母上，它不是整式，故它不是二次函数，此项不符合题意；
、自变量的次数是次，且不在分母上，故它是二次函数，此项符合题意；
、自变量的次数是次，故它不是二次函数，此项不符合题意．
故选．
2．【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：二次函数，
，函数的图象开口向上，
故选项A正确，不符合题意；
函数的最小值为，
故选项B正确，不符合题意；
图象的顶点坐标为，
故选项C不正确，符合题意；
当时，随的增大而减小，
故选项D正确，不符合题意.
故此题答案为C．
3．【答案】C
【分析】根据抛物线平移的特征：左加右减，上加下减法则解题．
【详解】把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是.
故此题答案为C．
4．【答案】B
【分析】先求出抛物线的顶点式，可得出顶点坐标，再求出时x的值，然后根据抛物线的增减性判断即可．
【详解】二次函数，
∴抛物线的开口向上，当时，y有最小值2.
当时，，
解得．
当时，函数值y随着x的增大而减小，
当时，二次函数则最小值是6，
所以．
故此题答案为B．
5．【答案】D
【分析】根据两个函数的图象确定出a，c的符号，矛盾的则不符合题意，相同的则符合题意，则可判断．
【详解】解：A、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意；
B、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意；
C、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意；
D、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，符合题意，
故此题答案为D．
6．【答案】C
【分析】由可知图象开口向下，求出对称轴，图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小．
【详解】解：∵二次函数的解析式为，，
∴函数图象开口向下，对称轴为，
∴，，到对称轴的距离分别为：3，1，2．
∵函数图象开口向下，
∴图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小，即函数值越小，
∴．
故此题答案为C．
7．【答案】D
【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线，通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理．
【详解】抛物线的对称轴为直线，
而抛物线在时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，
，
当时，则，
令，则，
解得，，
则有当时，它的图象位于x轴的上方；
当时，则，
令，则，
解得，，
则有当时，它的图象位于x轴的下方；
当时，则，
令，则，
解得，，
则有当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方；
故此题答案为D．
8．【答案】B
【分析】根据二次函数图象的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据时y的值判定②，由抛物线图象和性质判定④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，则，
∵抛物线与x轴交于点和点，
∴对称轴为直线，
则，
即，
抛物线与轴的交点在负半轴，则，
∴，故①正确；
∵抛物线经过点，
∴，
又，
∴，即，故②错误；
∵对称轴为直线，，
∴当时，的最小值，
∴当为任意实数，则，
即，故③错误；
∵抛物线与x轴交于点和点，
∴当时，．故④正确.
综上，①④正确.
故此题答案为B．
9．【答案】m＞1
【分析】直接利用二次函数的性质得出m－1的取值范围进而得出答案．
【详解】解：∵抛物线y=（m－1）x2有最低点，
∴m－1＞0，
解得：m＞1．
10．【答案】
【解析】根据题意设二次函数的表达式为.根据题意得，,， 这个二次函数的表达式是，故答案为.
11．【答案】
【解析】 二次函数的表达式为， 该抛物线开口向下，对称轴为轴，在轴的左侧随的增大而增大. 点和在二次函数的图象上，，.故答案为 .
12．【答案】
【解析】中二次项系数与图象的关系：
综上所述，.故答案为.
13．【答案】
【解析】由题意得函数图象的对称轴为直线，图象开口向下， 在对称轴的右侧，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小，.
14．【答案】2
【解析】根据题图及抛物线、正方形的性质，可知．故答案为2．
15．【答案】或
【解析】点在抛物线上时，将代入，得，时，抛物线开口变小，与线段无交点，符合题意；点在抛物线上时，将代入，得，解得，时，抛物线开口变大，与线段无交点，符合题意.综上，或.故答案为或.
16．【答案】
【分析】根据题意设，再代入即可得到函数解析式．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于，，
∴设抛物线为，
把代入得，，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
17．【答案】（1）
（2）3
【分析】（1）分别令求出点A、B、C的坐标即可；
（2）利用三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，当时，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
∴的面积．
18．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）把代入，转化成顶点式即可求解；
（2）分和两种情况，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）解：把代入得，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：抛物线的对称轴是直线，分两种情况：
①当时，和都在对称轴右侧，此时随的增大而增大，
，
，
此时，
，
又 ∵，
；
②当时，在对称轴右侧，在对称轴左侧，
此时，与矛盾，故不符合题意，
综上，．
19．【答案】（1）；
（2）。
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，连接交对称轴于点，由点，关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解；
【详解】（1）解：把代入抛物线得，，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵抛物线，
∴抛物线对称轴为直线，
连接交对称轴于点，
∵点，关于对称轴对称，
，
，
由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长，
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
．
20．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）当x＝﹣时，S有最大值，S最大＝．
【分析】（1）由题意易得点B的坐标为（0，3），则有点A的坐标为（﹣3，0），然后代入函数解析式即可求解；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，交AB于点E，过点B作BF⊥CD于点F，设直线AB的解析式为y＝kx+b，然后把点A、B坐标代入可得直线AB的解析式为y＝x+3，设点E的坐标为（x，x+3）、点C坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），进而根据割补法及二次函数的性质可求解．
【详解】解：（1）∵二次函数解析式为y＝﹣x2+（k﹣1）x+3，
∴当x＝0，y＝3，
即点B的坐标为（0，3），
∵OA＝OB，
∴OA＝3，
即点A的坐标为（﹣3，0），
把点A的坐标代入y＝﹣x2+（k﹣1）x+3得，
﹣（﹣3）2+（﹣3）（k﹣1）+3＝0，
解得k＝﹣1，
∴该二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，交AB于点E，过点B作BF⊥CD于点F，如图所示：
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把点A（﹣3，0）、B（0，3）代入y＝kx+b得，
，
解得k＝1，b＝3，
∴直线AB的解析式为y＝x+3，
设点E的坐标为（x，x+3）、点C坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），
∴S＝S△ACE+S△BCE＝CE（AD+BF）＝ [（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）]×3＝，
∴当x＝﹣时，S有最大值，S最大＝．
21．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，可得抛物线的顶点坐标；
（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，可知关于对称轴对称的点坐标为，进而可知的关系；
（3）将代入，得，则，过A，B两点的直线解析式为，当时，由题意知，当时，随的增大而减小，，即，可得，可得；当时，由题意知，当时，随的增大而减小，点关于直线的对称点为，则，计算求出此时的取值范围；进而可得的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
∴，
故答案为：．
（3）解：将代入，得，
∴，
将代入，解得，
∴，
当时，由题意知，当时，随的增大而减小，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
∴；
当时，由题意知，当时，随的增大而减小，
点关于直线的对称点为，
∵对于时，总有，
∴，
解得，
∴；
综上所述，的取值范围为．
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