人教版九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程同步练习（含答案）

22.2二次函数与一元二次方程 同步练习
学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________
一、单选题
1．已知二次函数，下列说法中正确的是（　　）
A．该函数图像的开口向下
B．该函数图像的最大值是﹣7
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．该函数图像与x轴有两个不同的交点，且分布在坐标原点的两侧
2．若关于的函数的图象与轴只有一个交点，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．或
3．下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.29 0.76
那么方程的一个近似根是（精确到0.1）（ ）
A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4
4．若抛物线（m为常数）经过点，则该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（）
A．， B．，
C．， D．，
5．如图是二次函数的图象，表明无论x为何值，函数值y永远为负，则下列结论成立的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：
则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是( )
A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值-8
C．图象与轴的一个交点是 D．图象开口向下
7．二次函数的图象与轴交于，两点，则的值是（ ）
A．2025 B． C．2024 D．
8．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①方程无实数根；②；③若点在该函数图象上，则；④不等式一定成立．其中结论错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．写出一个开口向上且与x轴没有公共点的抛物线的表达式 　 　．
10．二次函数的图像与轴有两个公共点，则的取值范围为
11．如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是 ．
12．如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，则关于的方程的解为 ．

13．将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．若直线与这个新图象有个公共点，则的值为 ．
14．二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论：①；②；③；④关于的方程无实数根．
其中正确的结论是 （填写序号）.
三、解答题
15．如图抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求S△ABC的面积．
16．已知二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 1 0 …
(1)根据上表画出函数图象，并填空：

①该函数的顶点坐标为__________；
②抛物线与坐标轴的交点坐标为__________；
③当时，x的取值范围是__________；
(2)求该二次函数的解析式．
17．已知抛物线的部分图象如图所示，顶点，与轴右侧交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）方程的解为 　　；
（3）当时，请观察函数图象，直接写出的取值范围 　　．
18．已知二次函数．（是常数，且）
(1)证明：不论取何值时，该二次函数图象总与轴有两个交点；
(2)若，是该二次函数图象上的两个不同点，当时，求二次函数表达式；
(3)若二次函数图象与轴两个交点的横坐标分别为，（其中），是关于的函数．且，当时，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【分析】将二次函数化成顶点式，然后根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：A．由于中的，所以该抛物线的开口方向是向上，故本选项不符合题意．
B．由知，该函数图象的顶点坐标是，抛物线的开口方向是向上，故有最小值，本选项不符合题意．
C．由知，该抛物线的对称轴是直线且抛物线开口方向向上，所以当时，随的增大而增大，故本选项不符合题意．
D．由知，，则该抛物线与轴有两个不同的交点；设，是该抛物线与轴交点横坐标，则，所以两个不同的交点分布在坐标原点两侧，故本选项符合题意．
故此题答案为D．
2．【答案】D
【分析】分两种情况：当时，函数为一次函数，函数与x轴有一个交点，当时，函数为二次函数，根据方程有两个相等的实数解，求出a的值即可．
【详解】解：当，即时，函数为与x轴有一个交点，符合题意；
当时，函数为二次函数，
令，则，
∵此时方程有两个相等的实数根，
∴，
解得；
综上,关于的函数的图象与轴只有一个交点时，的值为或．
故此题答案为D．
3．【答案】B
【分析】理解二次函数与的交点横坐标就是方程根，从而在交点左右两侧取得的自变量值代入函数求得异号，即可得到近似根的范围，结合选项即可得到答案．
【详解】解：由表可知，当时，；
当时，；
方程的一个近似根，
两个数中，更接近于0，
方程的一个近似根是1.2，
故此题答案为B.
4．【答案】B
【详解】解：把点代入得，，
∴，
∴抛物线解析式为，，
令，，
解得，，，
∴该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，，
故此题答案为B．
5．【答案】D
【分析】根据二次函数的图象在x轴的下方，可得抛物线开口向下，与x轴无交点，即．
【详解】解：∵无论x为何值，函数值y永远为负，
∴函数图象都在轴下方，与轴无交点，
∴，，
故此题答案为D．
6．【答案】C
【分析】由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果．
【详解】解：设二次函数的解析式为,
由题意知
，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴函数的图象开口向上，顶点为，图象与x轴的一个交点是和，
∴顶点在第四象限，函数有最小值，
故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意．
故此题答案为C．
7．【答案】D
【分析】根据二次函数与轴交于，两点，把点代入得，结合一元二次方程根与系数的关系计算得，再将变形得，由此即可求解．
【详解】解：二次函数的图象与轴交于，两点，
∴，，
当时，解为，
∴，
∴
，
，
故此题答案为D ．
8．【答案】A
【分析】由图象可知与直线有两个交点，即可判断①；由图象求出一元二次方程有两个实数根为，则，得到，即可判断②；点关于直线的对称点为，当时，二次函数的函数值随着x的增大而减小，由以及在该函数图象上，即可判断③；由图象可知，当时，二次函数有最小值为，即对任意的都有，变形后即可判断④.
【详解】解：①由图象可知与直线有两个交点，
则方程有两个不相等的实数根，
即方程有两个不相等的实数根；
故①错误；
②∵抛物线对称轴为直线，抛物线与x轴有一个交点为，抛物线开口向上，
∴抛物线与x轴另一个交点为，，
∴一元二次方程有两个实数根为，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
③点关于直线的对称点为，
∵抛物线对称轴为直线，开口向上，
∴当时，二次函数的函数值随着x的增大而减小，
∵，在该函数图象上，
∴，
故③正确；
④由图象可知，当时，二次函数有最小值为，
∴对任意的都有，
即，则，
∴，
即不等式一定成立．
故④正确；
其中结论错误的是①，共1个；
故此题答案为A
9．【答案】y＝x2+3（答案不唯一）
【详解】解：一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式为y＝x2+3（答案不唯一）．
10．【答案】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数与轴由两个公共点，即，从而求出的范围，即可求解．
【详解】解：二次函数的图像与轴有两个公共点，
方程有个不等实数解，
，
11．【答案】，
【分析】根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标，即可求得对应方程的根．
【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴，
∵与x轴的一个交点横坐标是，
∴设与x轴的另外一个交点横坐标是
∴，
解得：，
∴方程的解是：，．
12．【答案】或
【分析】由图象可知，、图象的交点的横坐标为和，则当或时，，由此即可得到答案
【详解】解：由图象可知，、图象的交点的横坐标为和，
当或时，，
关于的方程的解为或
13．【答案】-13或-4/-4或-13
【分析】如图所示，过点A作直线y＝x＋m，将直线向下平移到恰好相切位置，根据一次函数y＝x＋m在这两个位置时，两个图象恰好有3个交点，即可求m的值．
【详解】解：如图所示，直线、在图示位置时，直线与新图象有个交点，
，令，则或，则点，
将点的坐标代入即可解得：，
二次函数在轴下方的图象对应的函数表达式为：，
令，
整理得：，
，解得：
14．【答案】①②④
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对②进行判断；时，，可对③进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵有图可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴，即，
故②正确，符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，
∴时，，
即，
∵，
∴，
故③错误，不符合题意；
∵抛物线开口向下，顶点为，
∴函数有最大值n，
∴抛物线与直线无交点，
∴一元二次方程无实数根，
故④正确，符合题意．
15．【答案】(1) y=x2-2x﹣3；(2)6.
【分析】(1)先根据直线y=x﹣3求出A、B两点的坐标,然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值；
（2）根据(1)中抛物线的解析式可求出C点的坐标,然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【详解】（1）当x=0时，y=x﹣3=﹣3，则B（0，﹣3）；
当y=0时，x﹣3=0，解得x=3，则A（3，0），
把A（3，0），B（0，﹣3）代入y=x2+bx﹣c得，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x﹣3；
（2）当y=0时，x2-2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则C（﹣1，0），
∴S△ABC=×（3+1）×3=6．
【关键点拨】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，二次函数解析式的确定、三角形面积的求法等知识点.考查了学生数形结合的数学思想方法．
16．【答案】(1)画图见解析，①；②，；③
(2)
【分析】（1）根据表格中的数据描点，然后连线即可画出图形，然后根据二次函数的图象和性质求解即可；
（2）利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）如图所示，

根据图象可得，
①该函数的顶点坐标为；
②抛物线与坐标轴的交点坐标为，；
③当时，x的取值范围是；
（2）由表格可得，
二次函数经过点，，
∴代入得，
解得
∴．
【关键点拨】本题考查的是二次函数的作图，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的图象与性质，解题的关键是要能采用数形结合的思想．
17．【答案】（1）抛物线的解析式为；（2），；（3）．
【详解】解：（1）由图象可知抛物线顶点，设抛物线解析式为，抛物线与轴右侧交于点，，解得，抛物线的解析式为；
（2）抛物线对称轴为直线，的对称点是，方程的解为是，；
（3）抛物线与轴的交点为和，观察函数图象，当时，的取值范围为．
18．【答案】(1)见详解，
(2)，
(3)或．
【分析】（1）根据二次函数与轴交点的判定方法进行判定即可；
（2）当时，点是二次函数上关于对称轴对称的两个点，由此可得对称轴直线，解出的值，代入即可求解；
（3）分别用含的式子表示出，再代入，得到是关于的函数是反比例函数，根据题意作图，数形结合分析即可求解．
【详解】（1）证明：在二次函数中，
∵，
∴不论取何值时，该二次函数图象总与轴有两个交点；
（2）解：∵，是该二次函数图象上的两个不同点，
∴当时，点是二次函数上关于对称轴对称的两个点，
∴二次函数对称轴为，
∴，
解得，，
∴二次函数解析式为：；
（3）解：令，则，
∵，
∴，
∵，
解得，，，
∵，
∴，
如图所示，
当时，，
解得，，
∴当时，或．
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