第2节 万有引力定律
核心素养导学
物理观念 (1)知道万有引力定律的内容、表达式和适用范围。 (2)知道万有引力定律公式中r的物理意义,了解引力常量G。
科学思维 (1)理解万有引力定律的推导过程。 (2)会用万有引力定律解决简单的引力计算问题。
科学态度与责任 (1)通过万有引力定律的推导过程,认识在科学规律发现过程中大胆猜想与严格求证的重要性。 (2)知道万有引力定律的发现使地球上的重物下落与天体运动完成了人类认识上的统一。 (3)知道引力常量G的测定在科学史上的重大意义。
一、苹果落地引发的思考
1.牛顿假设苹果与月球在运动中受到的是同种性质的力,都是地球对它们的 。
2.行星围绕太阳运动的向心力也是太阳对行星的 。
二、万有引力定律的建立
1.行星与太阳间的引力
引力 规律
太阳对行 星的引力 太阳对不同行星的引力,与行星的质量成 ,与行星和太阳间距离的二次方成 ,即F∝
行星对太 阳的引力 行星对太阳的引力与太阳的质量成 ,与行星和太阳间距离的二次方成 ,即F'∝
太阳与行星 间的引力 太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比,与两者距离的二次方成反比,即F=G,G为比例系数,其大小与太阳和行星无关,引力的方向沿两者的
2.月—地检验
(1)月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度与地面重力加速度的比值==。
(2)月球绕地球运动的实际向心加速度a=≈2.7×10-3 m/s2,所以=≈。
(3)结论:地面上物体受地球的引力与月球所受地球的引力、太阳与行星的引力遵从相同的规律。
3.万有引力定律
(1)内容:任何两个物体之间都存在 的引力,引力的大小与这两个物体的质量的乘积成 ,与这两个物体之间的距离的平方成 。
(2)公式:F= 。
三、引力常量
1.测量者:英国物理学家 。
2.数值:G= 。
(1)引力常量适用于任何两个物体,具有普适性。
(2)引力常量是自然界中少数几个最重要的物理常量之一。
1.行星绕太阳运行的轨道是椭圆轨道,但大多数行星的运行轨道十分接近如图所示的圆轨道,请对以下结论作出判断:
(1)太阳对行星的引力与行星的质量成正比。 ( )
(2)行星对太阳的引力与行星与太阳间的距离成反比。 ( )
(3)太阳对行星的引力方向沿行星与太阳中心连线且指向太阳。 ( )
(4)地面上两个物体之间由于距离较小,两物体间的万有引力一般不能忽略。 ( )
(5)月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是由地球对月球的引力提供的。 ( )
2.太阳与行星之间、地球与月球之间以及任何两个物体之间都存在万有引力。
(1)公式F=G中r的含义是什么
(2)任何两个物体之间的万有引力都能利用公式F=G计算出来吗
3.两个挨得很近的人之间的万有引力可以用万有引力定律计算吗 设想将一个小球放到地球的中心,小球受到的万有引力是多少呢
新知学习(一) 对万有引力定律的理解
[任务驱动]
如图所示,图甲为两个靠近的人,图乙为行星围绕着太阳运行,他们都是有质量的。
(1)任意两个物体之间都存在引力吗
(2)为什么通常两个人之间感受不到引力 而太阳对行星(或地球对月球、人造卫星)的引力可以使行星(或月球、人造卫星)围绕太阳(地球)运转
(3)当两个人之间的距离很近时,即r→0时,根据公式F=G可知两个人之间的万有引力变得无穷大,对吗
[重点释解]
1.万有引力的四个特性
特性 内容
普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间,宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力,遵守牛顿第三定律
宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小,与其他力比较可忽略不计,但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间,万有引力起着决定性作用
特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关,而与它们所在空间的性质无关,也与周围是否存在其他物体无关
2.对万有引力定律公式F=G的理解
(1)适用条件:适用于计算两个质点间的万有引力。
(2)对引力常量G的理解
①数值:G=6.67×10-11N·m2/kg2;适用于任何物体。
②物理意义:引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。
③G的测定:由英国科学家卡文迪许在实验室里首先通过卡文迪许扭秤装置测出的。
④测定G的意义:证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。
(3)对距离r的理解
r是两个质点间的距离:
①对于两个质量均匀分布的球体,r应是两球心间的距离。
②对于一个均匀球体与球外一个质点,r应是球体球心到质点的距离。
③对于两个物体间的距离比物体本身大得多时,物体可以看成质点,r应是两个物体间的距离。
[针对训练]
1.(多选)对于万有引力定律的表达式F=G,下列说法中正确的是 ( )
A.公式中G为引力常量,与两个物体的质量无关
B.当r趋近于零时,万有引力趋近于无穷大
C.m1与m2受到的引力大小总是相等的,方向相反,是一对平衡力
D.m1与m2受到的引力大小总是相等的,而与m1、m2是否相等无关
2.(2024·四川雅安高一检测)2024年4月25日,“神舟十八号”载人飞船成功发射进入预定轨道,之后在地球引力作用下绕地球做匀速圆周运动,已知地球的质量为M,地球的半径为R,载人飞船的质量为m,离地面的高度为h,引力常量为G,则地球对载人飞船的万有引力大小为 ( )
A.G B.G
C.G D.G
3.火星的质量约为地球质量的,半径约为地球半径的,则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为 ( )
A.0.2 B.0.4
C.2.0 D.2.5
新知学习(二) 万有引力与重力的关系
[重点释解]
1.万有引力和重力的关系
设地球的质量为M,半径为R,A处物体的质量为m,则物体受到地球的引力为F=G,方向指向地心O,如图所示。万有引力F可分解为两个分力:
(1)物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn:方向垂直于自转轴。
(2)物体的重力mg:方向竖直向下,但不一定指向地心:
①在赤道上、两极点的重力方向指向地心;
②在其他位置的重力方向均不指向地心。
2.重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上:重力和向心力在一条直线上F=Fn+mg,即G=mRω2+mg,所以mg=G-mRω2。
(2)地球两极处:向心力为零,所以mg=F=G。
(3)其他位置:重力是万有引力的一个分力,重力的大小mg3.重力与高度的关系
由于地球的自转角速度很小,故地球自转带来的影响很小。
(1)在地面附近:mg=G。
(2)距离地面h高度处:mgh=G(R为地球半径,gh为离地面h高度处的重力加速度)。所以距地面越高,物体的重力加速度越小,则物体所受的重力也越小。
[典例体验]
[典例] 假设地球可视为质量均匀分布的球体,已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G,则地球的密度为 ( )
A. B.
C. D.
听课记录:
/方法技巧/
万有引力和重力关系的处理方法
(1)地面附近的物体:由于地球自转角速度很小,物体转动需要的向心力很小,一般情况下,认为重力约等于万有引力,mg=G。
(2)离地面h高度处的物体:离地面h高度处的物体也受地球自转的影响,同地面附近的物体一样,一般情况下不考虑自转,认为重力约等于万有引力,mg=G。
(3)求比例关系时,可先写出一般表达式,找出相关量间的正比或反比关系等。由g=得g∝,然后再求比值。
[针对训练]
1.将物体由赤道向两极移动,则 ( )
A.它的重力减小
B.它随地球转动的向心力增大
C.它随地球转动的向心力减小
D.向心力方向、重力的方向都指向地心
2.地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,若高空中某处的重力加速度为g,则该处距地球表面的高度为 ( )
A.(-1)R B.R
C.R D.2R
3.设地球表面的重力加速度为g0(不考虑地球自转的影响),物体在距离地心4R(R是地球的半径)处,由于地球的作用而产生的加速度为g,则为 ( )
A.1 B. C. D.
一、好素材分享——看其他教材如何落实核心素养
物理观念——牛顿哲学探索自然的推理法则
1.(选自粤教版教材“实践与拓展”)牛顿在其著作《自然哲学的数学原理》中,提出了哲学探索自然的四条推理法则,如图所示。请搜索相关资料,结合具体的案例谈谈这些法则在科学探究中的应用。
法则1:寻求自然事物的原因,不得超出真实和足以解释其现象者。
法则2:对于相同的自然现象,必须尽可能地寻求相同的原因。
法则3:物体的特性,若其程度既不能增加也不能减少,且在实验所及范围内为所有物体所共有,则应视为一切物体的普遍属性。
法则4:在实验哲学中,我们必须将由现象所归纳出的命题视为完全正确的或基本正确的,而不管想象所可能得到的与之相反的种种假说,直至出现了其他的或可排除这些命题,或可使之变得更加精确的现象。
科学态度与责任——从卡文迪许的扭秤实验到中国的引力实验中心
2.(选自粤教版教材“资料活页”)1687年牛顿发表了著名的万有引力定律,但没有给出引力常量G的具体数值。受到前人实验思想的启发,英国物理学家卡文迪许为了测量地球质量,设计了扭秤实验装置(如图所示):借助实验转换法,将小球和大球之间的万有引力测量转化为对金属丝扭转角度的测量;又利用横杆与光学仪器,将金属丝扭转角度的测量转化为对光斑在刻度尺上移动距离的测量;再借助实验放大法,通过光路放大光斑在刻度尺上移动的距离,以提高测量精度。终于,卡文迪许在1797~1798年间测得地球质量,并推算得到当时精确度很高的引力常量G=6.75×10-11 N·m2/kg2,成为对牛顿万有引力定律普适性的有力证明。
科学在继承中发展,我国华中科技大学引力中心三十年如一日,利用精密扭秤弱力检测技术开展引力测量研究,将卡文迪许扭秤实验中的智慧之光进一步发扬和创新。
“实验状态记录要翔实,不准含糊遗漏;实验流程安排要论证,不准随心所欲……”在引力中心的墙上,随处可见实验室“十要十不准”。秉承着“规范只是约束行为,但不禁锢思想,必须坚持学术自由的精神”的理念,在引力中心,学术思想的讨论从来都非常开放,为了一个学术问题,学生经常和老师争得面红耳赤。
对引力常量G的研究正是在这样严谨的科学准则和鼓励创新的氛围下进行的。2009年,该研究团队将G的测量精度提高到26 ppm(1 ppm即百万分之一),突破了当时国际上采用扭秤周期法测得的最高精度。引力中心也被外国专家称为“世界的引力中心”。
投入如此大的精力来测量引力常量,一方面是为了检验万有引力定律是否精确成立,另一方面通过精确的地面重力测量,能够了解地下物质密度分布,从而了解地下矿藏的大致分布,甚至能测绘海洋、水文、冰川出现的变化。而在不断提高G值测量精度的过程中,一批高精端的仪器设备被研发出来,在地球重力场的测量、地质勘探等方面发挥重要作用。这其中的很多关键技术也为由中国主导的空间引力波探测计划——“天琴计划”奠定了基础。
基础科学研究漫长而艰辛,引力中心研究团队数十年如一日坚持不懈地进行着地球科学基础研究和精密重力仪器研制、测量与应用研究,朝着当今世界引力研究最前沿不断前进,攀登科学研究新高峰,为解决固体地球演化、海洋与气候变化、水资源分布和地质灾害研究中的科学问题提供重要支撑,为建设世界科技强国贡献一份力量!
二、新题目精选——品立意深处所蕴含的核心价值
1.(2024·泸州高一检测)(多选)在讨论地球潮汐成因时,地球绕太阳运行的轨道与月球绕地球运行的轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍,地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力,以下说法正确的是 ( )
A.太阳引力远大于月球引力
B.太阳引力与月球引力相差不大
C.月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D.月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
2.人类对自然的探索远至遥远的太空,深至地球内部。若地球半径为R,把地球看成质量分布均匀的球体。某地下探测器P的质量为m,深入地面以下h处,假设h以上的地球球壳物质对探测器P的引力为零;另一太空探测器Q质量也为m,围绕地球做圆周运动,轨道距离地面高度为d,则地球对太空探测器Q和地下探测器P的引力之比为 ( )
A. B.
C. D.
3.卫星电话在抢险救灾中能发挥重要作用。第一代、第二代海事卫星只使用静止轨道卫星,不能覆盖地球上的高纬度地区,而第三代海事卫星采用同步和中轨道卫星结合的方案,解决了覆盖全球的问题,它由4颗同步卫星与12颗中轨道卫星构成。中轨道卫星离地面的高度约为地球半径的2倍,分布在几个轨道平面上(与赤道平面有一定的夹角)。地球表面处的重力加速度为g,则由于地球的作用,中轨道处的重力加速度约为 ( )
A. B.
C.4g D.9g
微专题整合——“填补法”计算物体间的万有引力
对于质量分布均匀的不完整的球形物体间的万有引力,无法直接应用万有引力公式求得,解决该类问题常用“填补法”。
所谓“填补法”,即对本来是非对称的物体,通过“填补”后构成对称物体,然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法。常见的类型是把非对称物体(挖空部分为球体)补成球体,即先把挖去的部分“填补”上,使其成为半径为R的完整球体,再根据万有引力公式,分别计算出半径为R的球体和“填补”上的球体对物体的万有引力,最后两引力相减即可得到答案。
[典例] 一个质量为M的匀质实心球,半径为R。如果从球上挖去一个直径为R的球,放在与被挖球相距为d的地方,求下列两种情况下,两球之间的万有引力分别是多大,并指出在什么条件下,以下两种情况计算结果相同。
(1)如图甲所示,从球的正中心挖去;
(2)如图乙所示,从与球面相切处挖去。
[解题指导] 当从球M的正中心挖去一个直径为R的球m时,剩余部分M'仍关于球心对称,且质量均匀分布,所以剩余部分M'与挖出的球m之间的距离为d。当从与球面相切处挖去直径为R的球m时,剩余部分M'不再关于球心对称,所以剩余部分M'与球m之间的距离不再是d。
尝试解答:
[应用体验]
1.有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体,在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从M中挖去半径为R的球体,如图所示,则剩余部分对m的万有引力 F为 ( )
A. B.
C. D.
2.两个质量分布均匀、密度相同且大小相同的实心小铁球紧靠在一起,它们之间的万有引力为F。现将其中一个小球中挖去半径为原球半径一半的球,并按如图所示的形式紧靠在一起,三个球心在一条直线上,试计算它们之间的万有引力大小。
第2节 万有引力定律
落实必备知识
[预读教材]
一、
1．引力 2.引力
二、
1．正比 反比 正比 反比 连线
3．(1)相互作用 正比 反比 (2)G
三、
1．卡文迪许 2.6.67×10－11 N·m2/kg2
[情境创设]
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．提示：(1)r指的是两个质点间的距离。
(2)不能。万有引力定律的表达式F＝G只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之间万有引力的计算，形状不规则、质量分布不均匀的物体间r不易确定。
3．提示：两个挨得很近的人不能看作质点，不能根据万有引力定律求他们间的万有引力；将小球放在地球的中心，地球的各部分对小球的吸引力是对称的，小球受到的万有引力为零。
强化关键能力
新知学习(一)
[任务驱动]
提示：(1)任意两个有质量的物体间都存在着引力。
(2)由于引力常量G的数值很小，人的质量很小，故两个人之间的引力很小，一般感受不到；但天体质量很大，天体间的引力很大，对天体的运动起决定作用。
(3)不对，r→0时，公式F＝G不再适用了。
[针对训练]
1．选AD 公式中的G为比例系数，称作引力常量，与两个物体的质量无关，A对；当两物体表面距离r越来越小，直至趋近于零时，物体不能再看作质点，表达式F＝G已不再适用于计算它们之间的万有引力，B错；m1与m2受到彼此的引力为作用力与反作用力，此二力总是大小相等、方向相反，与m1、m2是否相等无关，C错，D对。
2．选A 根据万有引力定律可知地球对载人飞船的万有引力大小为F＝G，故选A。
3．选B 由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面受到的万有引力大小为F地＝G，质量为m的物体在火星表面受到的万有引力大小为F火＝G，二者的比值＝＝0.4，B正确，A、C、D错误。
新知学习(二)
[典例] 选B 在地球的两极处有G＝mg0，在赤道处有G－mg＝m2R，又地球质量与地球半径的关系M＝πR3ρ，联立三式可得ρ＝，故B正确。
[针对训练]
1．选C 地球表面上所有物体所受地球的万有引力，按其作用效果分为重力和向心力，向心力使物体得以随地球一起绕地轴自转，所以说重力是地球对物体的万有引力的一个分力。万有引力、重力和向心力三个力遵循力的平行四边形定则，只有万有引力的方向指向地心，选项D错误。物体由赤道向两极移动时，万有引力大小不变，向心力减小，重力增大，当到达两极时，重力等于万有引力，选项A、B错误，C正确。
2．选A 设地球质量为M，则质量为m的物体在地球表面上重力mg＝G，在高度为h处的重力mg＝G，解以上两式得：h＝(－1)R，A正确。
3．选D 在地面上有G＝mg0，在离地心4R处有G＝mg，联立两式得＝2＝，D正确。
浸润学科素养和核心价值
二、
1．选AD 根据F＝G，可得＝·，代入数据可知，太阳对相同质量海水的引力远大于月球对海水的引力，故A正确，B错误；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以月球对不同区域海水的吸引力大小有差异，故C错误，D正确。
2．选B 设地球的密度为ρ，则地球的质量为M＝ρπR3，所以地球对太空探测器Q的引力F＝＝，根据题意可得深入地下为h处的探测器P受到地球的万有引力即为半径等于(R－h)的球体在其表面产生的万有引力，此时M′＝ρπ(R－h)3，故探测器P受到的引力F′＝G＝πρGm(R－h)，所以有＝，故B正确。
3．选A 由题意可知，中轨道卫星的轨道半径是地球半径的3倍，设地球半径为R，质量为M，则中轨道卫星的轨道半径为3R，忽略地球自转的影响，当质量为m的中轨道卫星在地球表面时有G＝mg，在中轨道处时有G＝mg′，解得g′＝，A正确。
微专题整合——“填补法”计算物体间的万有引力
[典例] 解析：根据匀质实心球的质量与其半径的关系M球＝πr3·ρ∝r3，可知被挖去球的质量和剩余部分的质量分别为m＝，M′＝ 。
(1)当从球的正中心挖去时，根据万有引力定律，这时两球之间的引力F1＝G＝G。
(2)当从与球面相切处挖去时，这种情况不能直接用万有引力公式计算，可利用等效割补法，先将M′转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球M，这时M与m之间的引力
F＝G＝G，
因为填补空心球而增加的引力
ΔF＝G＝G，
所以，这时M′与m之间的引力
F2＝F－ΔF＝GM2。
当d R时，F2≈GM2＝G＝F1，
即两种情况计算结果相同。
答案：见解析
[应用体验]
1．选A 质量为M的球体对质点m的万有引力F1＝G＝G，挖去的球体的质量M′＝M＝，质量为M′的球体对质点m的万有引力F2＝G＝G，则剩余部分对质点m的万有引力F＝F1－F2＝G－G＝，故选项A正确。
2．解析：如图甲所示，原来是个实心球时，可知：F＝G；①
右边的球体被挖去一小球体后，设它们之间的万有引力为F′；右边的球体不能看成质点，则不能直接应用万有引力定律求F′的值；如图乙所示，可以用“填补法”处理该问题。如图丙所示，被挖掉部分小球体与左边球体之间的万有引力为：F1＝G，②
且m1∶m＝3∶r3＝1∶8，③
联立①②③式得：F1＝F；④
剩余部分之间的万有引力大小为：F′＝F－F1，⑤
联立④⑤式得：F′＝F。
答案：F
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万有引力定律
第 2节
核心素养导学
物理观念 (1)知道万有引力定律的内容、表达式和适用范围。
(2)知道万有引力定律公式中r的物理意义，了解引力常量G。
科学思维 (1)理解万有引力定律的推导过程。
(2)会用万有引力定律解决简单的引力计算问题。
科学态度 与责任 (1)通过万有引力定律的推导过程，认识在科学规律发现过程中大胆猜想与严格求证的重要性。
(2)知道万有引力定律的发现使地球上的重物下落与天体运动完成了人类认识上的统一。
(3)知道引力常量G的测定在科学史上的重大意义。
续表
1
四层学习内容1落实必备知识
2
四层学习内容2强化关键能力
3
四层学习内容3·4浸润学科素养和核心价值
CONTENTS
目录
4
课时跟踪检测
四层学习内容1落实必备知识
一、苹果落地引发的思考
1.牛顿假设苹果与月球在运动中受到的是同种性质的力，都是地球对它们的________。
2.行星围绕太阳运动的向心力也是太阳对行星的_______。
引力
引力
二、万有引力定律的建立
1.行星与太阳间的引力
引力 规律
太阳对行 星的引力
行星对太 阳的引力
正比
反比
正比
反比
引力 规律
太阳与 行星 间的 引力
连线
2.月—地检验
(1)月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度与地面重力加速度的比值==。
(2)月球绕地球运动的实际向心加速度a=≈2.7×10-3 m/s2，所以=≈。
(3)结论：地面上物体受地球的引力与月球所受地球的引力、太阳与行星的引力遵从相同的规律。
3.万有引力定律
(1)内容：任何两个物体之间都存在_________的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成______，与这两个物体之间的距离的平方成_____。
(2)公式：F=__________。
相互作用
正比
反比
G
三、引力常量
1.测量者：英国物理学家_________。
2.数值：G=_____________________。
卡文迪许
6.67×10-11 N·m2/kg2
[微点拨]
(1)引力常量适用于任何两个物体，具有普适性。
(2)引力常量是自然界中少数几个最重要的物理常量之一。
1.行星绕太阳运行的轨道是椭圆轨道，但大多数行星的运行轨道十分接近如图所示的圆轨道，请对以下结论作出判断：
(1)太阳对行星的引力与行星的质量成正比。 ( )
(2)行星对太阳的引力与行星与太阳间的距离成反比。( )
(3)太阳对行星的引力方向沿行星与太阳中心连线且指向太阳。( )
(4)地面上两个物体之间由于距离较小，两物体间的万有引力一般不能忽略。( )
(5)月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是由地球对月球的引力提供的。( )
√
√
√
×
×
2.太阳与行星之间、地球与月球之间以及任何两个物体之间都存在万有引力。
(1)公式F=G中r的含义是什么
提示： r指的是两个质点间的距离。
(2)任何两个物体之间的万有引力都能利用公式F=G计算出来吗
提示：不能。万有引力定律的表达式F=G只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之间万有引力的计算，形状不规则、质量分布不均匀的物体间r不易确定。
3.两个挨得很近的人之间的万有引力可以用万有引力定律计算吗 设想将一个小球放到地球的中心，小球受到的万有引力是多少呢
提示：两个挨得很近的人不能看作质点，不能根据万有引力定律求他们间的万有引力；将小球放在地球的中心，地球的各部分对小球的吸引力是对称的，小球受到的万有引力为零。
四层学习内容2强化关键能力
如图所示，图甲为两个靠近的人，图乙为行星围绕着太阳运行，他们都是有质量的。
新知学习(一) 对万有引力定律的理解
任务驱动
(1)任意两个物体之间都存在引力吗
提示：任意两个有质量的物体间都存在着引力。
(2)为什么通常两个人之间感受不到引力 而太阳对行星(或地球对月球、人造卫星)的引力可以使行星(或月球、人造卫星)围绕太阳(地球)运转
提示：由于引力常量G的数值很小，人的质量很小，故两个人之间的引力很小，一般感受不到；但天体质量很大，天体间的引力很大，对天体的运动起决定作用。
(3)当两个人之间的距离很近时，即r→0时，根据公式F=G可知两个人之间的万有引力变得无穷大，对吗
提示：不对，r→0时，公式F=G不再适用了。
1.万有引力的四个特性
重点释解
特性 内容
普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，遵守牛顿第三定律
特性 内容
宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
2.对万有引力定律公式F=G的理解
(1)适用条件：适用于计算两个质点间的万有引力。
(2)对引力常量G的理解
①数值：G=6.67×10-11N·m2/kg2；适用于任何物体。
②物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。
③G的测定：由英国科学家卡文迪许在实验室里首先通过卡文迪许扭秤装置测出的。
④测定G的意义：证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。
(3)对距离r的理解
r是两个质点间的距离：
①对于两个质量均匀分布的球体，r应是两球心间的距离。
②对于一个均匀球体与球外一个质点，r应是球体球心到质点的距离。
③对于两个物体间的距离比物体本身大得多时，物体可以看成质点，r应是两个物体间的距离。
1.(多选)对于万有引力定律的表达式F=G，下列说法中正确的是( )
A.公式中G为引力常量，与两个物体的质量无关
B.当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C.m1与m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力
D.m1与m2受到的引力大小总是相等的，而与m1、m2是否相等无关
针对训练
√
√
解析：公式中的G为比例系数，称作引力常量，与两个物体的质量无关，A对；当两物体表面距离r越来越小，直至趋近于零时，物体不能再看作质点，表达式F=G已不再适用于计算它们之间的万有引力，B错；m1与m2受到彼此的引力为作用力与反作用力，此二力总是大小相等、方向相反，与m1、m2是否相等无关，C错，D对。
2.(2024·四川雅安高一检测)2024年4月25日，“神舟十八号”载人飞船成功发射进入预定轨道，之后在地球引力作用下绕地球做匀速圆周运动，已知地球的质量为M，地球的半径为R，载人飞船的质量为m，离地面的高度为h，引力常量为G，则地球对载人飞船的万有引力大小为 ( )
A.G B.G
C.G D.G
√
解析：根据万有引力定律可知地球对载人飞船的万有引力大小为F=G，故选A。
3.火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A.0.2 B.0.4
C.2.0 D.2.5
√
解析：由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面受到的万有引力大小为F地=G，质量为m的物体在火星表面受到的万有引力大小为F火=G，二者的比值==0.4，B正确，A、C、D错误。
1.万有引力和重力的关系
设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的引力为F=G，方向指向地心O，如图所示。万有引力F可分解为两个分力：
新知学习(二) 万有引力与重力的关系
重点释解
(1)物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn：方向垂直于自转轴。
(2)物体的重力mg：方向竖直向下，但不一定指向地心：
①在赤道上、两极点的重力方向指向地心；
②在其他位置的重力方向均不指向地心。
2.重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F=Fn+mg，即G=mRω2+mg，所以mg=G-mRω2。
(2)地球两极处：向心力为零，所以mg=F=G。
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg3.重力与高度的关系
由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小。
(1)在地面附近：mg=G。
(2)距离地面h高度处：mgh=G(R为地球半径，gh为离地面h高度处的重力加速度)。所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。
[典例] 假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的密度为 ( )
A. B.
C. D.
典例体验
√
[解析] 在地球的两极处有G=mg0，在赤道处有G-mg=mR，又地球质量与地球半径的关系M=πR3ρ，联立三式可得ρ=，故B正确。
/方法技巧/
万有引力和重力关系的处理方法
(1)地面附近的物体：由于地球自转角速度很小，物体转动需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，mg=G。
(2)离地面h高度处的物体：离地面h高度处的物体也受地球自转的影响，同地面附近的物体一样，一般情况下不考虑自转，认为重力约等于万有引力，mg=G。
(3)求比例关系时，可先写出一般表达式，找出相关量间的正比或反比关系等。由g=得g∝，然后再求比值。
1.将物体由赤道向两极移动，则 ( )
A.它的重力减小
B.它随地球转动的向心力增大
C.它随地球转动的向心力减小
D.向心力方向、重力的方向都指向地心
针对训练
√
解析：地球表面上所有物体所受地球的万有引力，按其作用效果分为重力和向心力，向心力使物体得以随地球一起绕地轴自转，所以说重力是地球对物体的万有引力的一个分力。万有引力、重力和向心力三个力遵循力的平行四边形定则，只有万有引力的方向指向地心，选项D错误。物体由赤道向两极移动时，万有引力大小不变，向心力减小，重力增大，当到达两极时，重力等于万有引力，选项A、B错误，C正确。
2.地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为g，则该处距地球表面的高度为( )
A.(-1)R B.R
C.R D.2R
解析：设地球质量为M，则质量为m的物体在地球表面上重力mg=G，在高度为h处的重力mg=G，解以上两式得：h=(-1)R，A正确。
√
3.设地球表面的重力加速度为g0(不考虑地球自转的影响)，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则为( )
A.1 B. C. D.
解析：在地面上有G=mg0，在离地心4R处有G=mg，联立两式得==，D正确。
√
四层学习内容3·4浸润学科
素养和核心价值
物理观念——牛顿哲学探索自然的推理法则
1.(选自粤教版教材“实践与拓展”)牛顿在其著作《自然哲学的数学原理》中，提出了哲学探索自然的四条推理法则，如图所示。请搜索相关资料，结合具体的案例谈谈这些法则在科学探究中的应用。
一、好素材分享——看其他教材如何落实核心素养
法则1：寻求自然事物的原因，不得超出真实和足以解释其现象者。
法则2：对于相同的自然现象，必须尽可能地寻求相同的原因。
法则3：物体的特性，若其程度既不能增加也不能减少，且在实验所及范围内为所有物体所共有，则应视为一切物体的普遍属性。
法则4：在实验哲学中，我们必须将由现象所归纳出的命题视为完全正确的或基本正确的，而不管想象所可能得到的与之相反的种种假说，直至出现了其他的或可排除这些命题，或可使之变得更加精确的现象。
科学态度与责任——从卡文迪许的扭秤实验到中国的引力实验中心
2.(选自粤教版教材“资料活页”)1687年牛顿发表了著名的万有引力定律，但没有给出引力常量G的具体数值。受到前人实验思想的启发，英国物理学家卡文迪许为了测量地球质量，设计了扭秤实验装置(如图所示)：借助实验转换法，将小球和大球之间的万有引力测量转化为对金属丝扭转角度的测量；又利用横杆与光学仪器，将金属丝扭转角度的测量转化为对光斑在刻度尺上移动距离的测量；再借助实验放大法，通过光路放大光斑
在刻度尺上移动的距离，以提高测量精度。终于，卡文迪许在1797 ~1798年间测得地球质量，并推算得到当时精确度很高的引力常量G=6.75×10-11 N·m2/kg2，成为对牛顿万有引力定律普适性的有力证明。
科学在继承中发展，我国华中科技大学引力中心三十年如一日，利用精密扭秤弱力检测技术开展引力测量研究，将卡文迪许扭秤实验中的智慧之光进一步发扬和创新。
“实验状态记录要翔实，不准含糊遗漏；实验流程安排要论证，不准随心所欲……”在引力中心的墙上，随处可见实验室“十要十不准”。秉承着“规范只是约束行为，但不禁锢思想，必须坚持学术自由的精神”的理念，在引力中心，学术思想的讨论从来都非常开放，为了一个学术问题，学生经常和老师争得面红耳赤。
对引力常量G的研究正是在这样严谨的科学准则和鼓励创新的氛围下进行的。2009年，该研究团队将G的测量精度提高到26 ppm(1 ppm即百万分之一)，突破了当时国际上采用扭秤周期法测得的最高精度。引力中心也被外国专家称为“世界的引力中心”。
投入如此大的精力来测量引力常量，一方面是为了检验万有引力定律是否精确成立，另一方面通过精确的地面重力测量，能够了解地下物质密度分布，从而了解地下矿藏的大致分布，甚至能测绘海洋、水文、冰川出现的变化。而在不断提高G值测量精度的过程中，一批高精端的仪器设备被研发出来，在地球重力场的测量、地质勘探等方面发挥重要作用。这其中的很多关键技术也为由中国主导的空间引力波探测计划——“天琴计划”奠定了基础。
基础科学研究漫长而艰辛，引力中心研究团队数十年如一日坚持不懈地进行着地球科学基础研究和精密重力仪器研制、测量与应用研究，朝着当今世界引力研究最前沿不断前进，攀登科学研究新高峰，为解决固体地球演化、海洋与气候变化、水资源分布和地质灾害研究中的科学问题提供重要支撑，为建设世界科技强国贡献一份力量!
1.(2024·泸州高一检测)(多选)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行的轨道与月球绕地球运行的轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是 ( )
A.太阳引力远大于月球引力
B.太阳引力与月球引力相差不大
C.月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D.月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
二、新题目精选——品立意深处所蕴含的核心价值
√
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解析：根据F=G，可得=·，代入数据可知，太阳对相同质量海水的引力远大于月球对海水的引力，故A正确，B错误；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以月球对不同区域海水的吸引力大小有差异，故C错误，D正确。
2.人类对自然的探索远至遥远的太空，深至地球内部。若地球半径为R，把地球看成质量分布均匀的球体。某地下探测器P的质量为m，深入地面以下h处，假设h以上的地球球壳物质对探测器P的引力为零；另一太空探测器Q质量也为m，围绕地球做圆周运动，轨道距离地面高度为d，则地球对太空探测器Q和地下探测器P的引力之比为 ( )
A. B. C. D.
√
解析：设地球的密度为ρ，则地球的质量为M=ρπR3，所以地球对太空探测器Q的引力F==，根据题意可得深入地下为h处的探测器P受到地球的万有引力即为半径等于(R-h)的球体在其表面产生的万有引力，此时M'=ρπ(R-h)3，故探测器P受到的引力F'=G=πρGm(R-h)，所以有=，故B正确。
3.卫星电话在抢险救灾中能发挥重要作用。第一代、第二代海事卫星只使用静止轨道卫星，不能覆盖地球上的高纬度地区，而第三代海事卫星采用同步和中轨道卫星结合的方案，解决了覆盖全球的问题，它由4颗同步卫星与12颗中轨道卫星构成。中轨道卫星离地面的高度约为地球半径的2倍，分布在几个轨道平面上(与赤道平面有一定的夹角)。地球表面处的重力加速度为g，则由于地球的作用，中轨道处的重力加速度约为 ( )
A. B. C.4g D.9g
√
解析：由题意可知，中轨道卫星的轨道半径是地球半径的3倍，设地球半径为R，质量为M，则中轨道卫星的轨道半径为3R，忽略地球自转的影响，当质量为m的中轨道卫星在地球表面时有G=mg，在中轨道处时有G=mg'，解得g'=，A正确。
微专题整合——“填补法”计算物体间的万有引力
对于质量分布均匀的不完整的球形物体间的万有引力，无法直接应用万有引力公式求得，解决该类问题常用“填补法”。
所谓“填补法”，即对本来是非对称的物体，通过“填补”后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法。常见的类型是把非对称物体(挖空部分为球体)补成球体，即先把挖去的部分“填补”上，使其成为半径为R的完整球体，再根据万有引力公式，分别计算出半径为R的球体和“填补”上的球体对物体的万有引力，最后两引力相减即可得到答案。
[典例] 一个质量为M的匀质实心球，半径为R。如果从球上挖去一个直径为R的球，放在与被挖球相距为d的地方，求下列两种情况下，两球之间的万有引力分别是多大，并指出在什么条件下，以下两种情况计算结果相同。
[解题指导] 当从球M的正中心挖去一个直径为R的球m时，剩余部分M'仍关于球心对称，且质量均匀分布，所以剩余部分M'与挖出的球m之间的距离为d。当从与球面相切处挖去直径为R的球m时，剩余部分M'不再关于球心对称，所以剩余部分M'与球m之间的距离不再是d。
(1)如图甲所示，从球的正中心挖去；
[解析] 根据匀质实心球的质量与其半径的关系M球=πr3·ρ∝r3，可知被挖去球的质量和剩余部分的质量分别为m=，M'=。
(1)当从球的正中心挖去时，根据万有引力定律，这时两球之间的引力F1=G=G。
[答案] 见解析
(2)如图乙所示，从与球面相切处挖去。
[解析] 当从与球面相切处挖去时，这种情况不能直接用万有引力公式计算，可利用等效割补法，先将M'转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球M，这时M与m之间的引力F=G=G，
因为填补空心球而增加的引力ΔF=G=G，
所以，这时M'与m之间的引力F2=F-ΔF=GM2。
当d R时，F2≈GM2=G=F1，
即两种情况计算结果相同。
[答案] 见解析
1.有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从M中挖去半径为R的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力F为( )
A. B.
C. D.
应用体验
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解析：质量为M的球体对质点m的万有引力F1=G=G，挖去的球体的质量M'=M=质量为M'的球体对质点m的万有引力F2=G=G，则剩余部分对质点m的万有引力F=F1-F2=G-G=，故选项A正确。
2.两个质量分布均匀、密度相同且大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F。现将其中一个小球中挖去半径为原球半径一半的球，并按如图所示的形式紧靠在一起，三个球心在一条直线上，试计算它们之间的万有引力大小。
解析：如图甲所示，原来是个实心球时，可知：
F=G；①
右边的球体被挖去一小球体后，设它们之间的万有引力为F'；右边的球体不能看成质点，则不能直接应用万有引力定律求F'的值；如图乙所示，可以用“填补法”处理该问题。如图丙所示，被挖掉部分小球体与左边球体之间的万有引力为：F1=G，②
且m1∶m=∶r3=1∶8，③
联立①②③式得：F1=F；④
剩余部分之间的万有引力大小为：F'=F-F1，⑤
联立④⑤式得：F'=F。
答案：F
课时跟踪检测
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(选择题1~8小题，每小题4分；10~11小题，每小题6分。本检测卷满分70分)
A级 学考达标
1.(2024·广西高考)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在( )
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A.a处最大 B.b处最大
C.c处最大 D.a、c处相等，b处最小
解析：根据万有引力公式F=G可知，题图中a处距离月球最近，单位质量的海水受月球的引力最大。故选A。
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2.根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动知识知：太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F'∝，其中M、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离。下列说法正确的是( )
A.F和F'大小相等，是一对作用力与反作用力
B.F和F'大小相等，是一对平衡力
C.F和F'大小相等，是同一个力
D.由F∝和F'∝知F∶F'=m∶M
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解析：根据牛顿第三定律，太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力，故两个力的大小相等、方向相反，故A正确，B、D错误；太阳对行星的引力受力物体是行星，行星对太阳的引力受力物体是太阳，故两个力不是同一个力，C错误。
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3.如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，则两球的万有引力大小为 ( )
A.G B.G
C.G D.G
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解析：对两质量分布均匀的球体，F=G中的R为两球心之间的距离，两球的万有引力F=G，故D正确。
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4.(多选)对于万有引力的表达式F=G，下列说法正确的是( )
A.两个物体间的引力总是大小相等、方向相反
B.当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C.如果m1>m2，则物体1对物体2的引力大于物体2对物体1的引力
D.公式中的G是引力常量，其单位是N·m2/kg2，它的数值是卡文迪许用扭秤在实验室首先测得的
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解析：根据牛顿第三定律可知，两个物体之间的引力是一对作用力与反作用力，总是大小相等，方向相反，作用在两个不同的物体上，故A正确，C错误；万有引力公式只适用于两个质点间引力的计算，距离趋于零时物体不能再看成质点，即此公式不再适用，所以得不到当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大的结论，故B错误；万有引力公式F=G中的G为引力常量，其单位为N·m2/kg2，它的数值是卡文迪许用扭秤在实验室首先测得的，故D正确。
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5.2024年4月25日，我国神舟十八号载人飞船成功发射，在飞船发射过程中，用h表示飞船与地球表面的距离，F表示它受到的地球引力，下图能够正确描述F随h变化关系的图像是 ( )
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解析：设地球半径为R，根据万有引力定律可得地球对飞船的引力为F=，可知F随h的增大而减小，但不是线性关系，故选D。
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6.(2023·江苏高考)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是 ( )
A.质量 B.向心力大小
C.向心加速度大小 D.受到地球的万有引力大小
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解析：根据G=ma，可得a=，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度大小相同；因该卫星的质量与月球质量不一定相等，则向心力大小以及受到地球的万有引力大小均不一定相等。故选C。
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7.两大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为 ( )
A.F B.4F
C.F D.16F
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解析：设实心小铁球的半径为r，实心小铁球之间的万有引力F=G=G，
小铁球的质量m=ρV=ρ×πr3，
实心大铁球的半径是小铁球的2倍，对大铁球，有M=ρV'=ρ×π(2r)3=8×ρ×πr3=8m，
两个实心大铁球间的万有引力F'=G=G=4G=16F，故D正确。
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8.(多选)如图所示，三颗质量均为m的地球卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是 ( )
A.地球对一颗卫星的引力大小为
B.一颗卫星对地球的引力大小为
C.两颗卫星之间的引力大小为
D.三颗卫星对地球引力的合力大小为
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解析：利用万有引力公式计算，地心与卫星间的距离为r，地球与一颗卫星间的引力大小为，故A错误，B正确；由几何知识可得，两颗卫星之间的距离为r，两颗卫星之间利用万有引力定律可得引力大小为，故C正确；三颗卫星对地球的引力大小相等，方向在同一平面内，相邻两个力夹角为120°，所以三颗卫星对地球引力的合力等于零，故D错误。
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9.(12分)两个质量均为50 kg中学生距离1 m。
(1)假设两个中学生可以看成质点，请计算其万有引力F的大小；
解析：两个中学生看成质点，其万有引力F=G=1.667 5×10-7 N。
答案：见解析
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(2)g=10 N/kg，请计算其万有引力F与一位中学生的重力比值；
解析：一位中学生的重力G'=mg=500 N，则万有引力F与一位中学生的重力比值=3.335×10-10。
答案：见解析
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(3)比较(2)结果你能得到什么启发
解析：由(2)结果可以看出两个中学生间的万有引力与一位中学生的重力比较完全可以忽略不计，因此，分析地球上物体间的相互作用力时，不用分析万有引力。
答案：见解析
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B级 选考进阶
10.(2024·浙江湖州调研)已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍。若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为x月和x地，则x月∶x地约为( )
A.9∶4 B.6∶1
C.3∶2 D.1∶1
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解析：设月球的质量为M'、半径为R'，地球的质量为M、半径为R。已知==，根据在星体表面万有引力等于重力得=mg，则有g=，因此地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比为=①，由题意知物体从月球和地球表面同样高度抛出，设抛出的高度为h，则有h=gt2=g't'2②，联立①②解得t'=t，在地球上的水平位移x地=v0t，在月球上的水平位移x月=v0t'，因此得到x月∶x地=9∶4，故A正确，B、C、D错误。
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11.如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)( )
A.G B.0
C.4G D.G
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解析：若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为的球，易知其质量为M，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故大球体的剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律得F=G=G，D正确。
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12.(14分)某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以a=g的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体受到卫星的支持力为90 N时，卫星距地球表面有多远 (地球半径R地=6.4×103 km，g表示地球表面重力加速度，g取10 m/s2)
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解析：卫星在升空过程中可以认为是竖直向上做匀加速直线运动，设卫星离地面的距离为h，这时受到地球的万有引力为F=G
在地球表面G=mg①
在上升至离地面高度为h时，
FN-G=ma②
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由①②式得=
则h=R地③
将m=16 kg，FN=90 N，a=g=5 m/s2，R地=6.4×103 km，g=10 m/s2代入③式得h=1.92×104 km。
答案：1.92×104 km
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4课时跟踪检测(八) 万有引力定律
(选择题1～8小题，每小题4分；10～11小题，每小题6分。本检测卷满分70分)
A级——学考达标
1．(2024·广西高考)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在( )
A．a处最大 B．b处最大
C．c处最大 D．a、c处相等，b处最小
2．根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动知识知：太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F′∝，其中M、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离。下列说法正确的是( )
A．F和F′大小相等，是一对作用力与反作用力
B．F和F′大小相等，是一对平衡力
C．F和F′大小相等，是同一个力
D．由F∝和F′∝知F∶F′＝m∶M
3．如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，则两球的万有引力大小为( )
A．G B．G
C．G D．G
4．(多选)对于万有引力的表达式F＝G，下列说法正确的是( )
A．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反
B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．如果m1＞m2，则物体1对物体2的引力大于物体2对物体1的引力
D．公式中的G是引力常量，其单位是N·m2/kg2，它的数值是卡文迪许用扭秤在实验室首先测得的
5．2024年4月25日，我国神舟十八号载人飞船成功发射，在飞船发射过程中，用h表示飞船与地球表面的距离，F表示它受到的地球引力，下图能够正确描述F随h变化关系的图像是( )
6．(2023·江苏高考)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是( )
A．质量
B．向心力大小
C．向心加速度大小
D．受到地球的万有引力大小
7．两大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )
A.F B．4F
C.F D．16F
8．(多选)如图所示，三颗质量均为m的地球卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
9．(12分)两个质量均为50 kg中学生距离1 m。
(1)假设两个中学生可以看成质点，请计算其万有引力F的大小；
(2)g＝10 N/kg，请计算其万有引力F与一位中学生的重力比值；
(3)比较(2)结果你能得到什么启发？
B级——选考进阶
10．(2024·浙江湖州调研)已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍。若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为x月和x地，则x月∶x地约为( )
A．9∶4 B．6∶1 C．3∶2 D．1∶1
11．如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)( )
A．G B．0
C．4G D．G
12．(14分)某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以a＝g的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体受到卫星的支持力为90 N时，卫星距地球表面有多远？(地球半径R地＝6.4×103 km，g表示地球表面重力加速度，g取10 m/s2)
课时跟踪检测(八)
1．选A 根据万有引力公式F＝G可知，题图中a处距离月球最近，单位质量的海水受月球的引力最大。故选A。
2．选A 根据牛顿第三定律，太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力，故两个力的大小相等、方向相反，故A正确，B、D错误；太阳对行星的引力受力物体是行星，行星对太阳的引力受力物体是太阳，故两个力不是同一个力，C错误。
3．选D 对两质量分布均匀的球体，F＝G中的R为两球心之间的距离，两球的万有引力F＝G，故D正确。
4．选AD 根据牛顿第三定律可知，两个物体之间的引力是一对作用力与反作用力，总是大小相等，方向相反，作用在两个不同的物体上，故A正确，C错误；万有引力公式只适用于两个质点间引力的计算，距离趋于零时物体不能再看成质点，即此公式不再适用，所以得不到当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大的结论，故B错误；万有引力公式F＝G中的G为引力常量，其单位为N·m2/kg2，它的数值是卡文迪许用扭秤在实验室首先测得的，故D正确。
5．选D 设地球半径为R，根据万有引力定律可得地球对飞船的引力为F＝，可知F随h的增大而减小，但不是线性关系，故选D。
6．选C 根据G＝ma，可得a＝，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度大小相同；因该卫星的质量与月球质量不一定相等，则向心力大小以及受到地球的万有引力大小均不一定相等。故选C。
7．选D 设实心小铁球的半径为r，实心小铁球之间的万有引力F＝G＝G，小铁球的质量m＝ρV＝ρ×πr3，实心大铁球的半径是小铁球的2倍，对大铁球，有M＝ρV′＝ρ×π(2r)3＝8×ρ×πr3＝8m，两个实心大铁球间的万有引力F′＝G＝G＝4G＝16F，故D正确。
8．选BC 利用万有引力公式计算，地心与卫星间的距离为r，地球与一颗卫星间的引力大小为，故A错误，B正确；由几何知识可得，两颗卫星之间的距离为r，两颗卫星之间利用万有引力定律可得引力大小为，故C正确；三颗卫星对地球的引力大小相等，方向在同一平面内，相邻两个力夹角为120°，所以三颗卫星对地球引力的合力等于零，故D错误。
9．解析：(1)两个中学生看成质点，其万有引力F＝G＝1.667 5×10－7 N。
(2)一位中学生的重力G′＝mg＝500 N，则万有引力F与一位中学生的重力比值＝3.335×10－10。
(3)由(2)结果可以看出两个中学生间的万有引力与一位中学生的重力比较完全可以忽略不计，因此，分析地球上物体间的相互作用力时，不用分析万有引力。
答案：见解析
10．选A 设月球的质量为M′、半径为R′，地球的质量为M、半径为R。已知＝，＝，根据在星体表面万有引力等于重力得＝mg，则有g＝，因此地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比为＝①，由题意知物体从月球和地球表面同样高度抛出，设抛出的高度为h，则有h＝gt2＝g′t′2②，联立①②解得t′＝t，在地球上的水平位移x地＝v0t，在月球上的水平位移x月＝v0t′，因此得到x月∶x地＝9∶4，故A正确，B、C、D错误。
11．选D 若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为的球，易知其质量为M，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故大球体的剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律得F＝G＝G，D正确。
12．解析：卫星在升空过程中可以认为是竖直向上做匀加速直线运动，设卫星离地面的距离为h，这时受到地球的万有引力为F＝G
在地球表面G＝mg①
在上升至离地面高度为h时，
FN－G＝ma②
由①②式得＝
则h＝R地③
将m＝16 kg，FN＝90 N，a＝g＝5 m/s2，R地＝6.4×103 km，g＝10 m/s2代入③式得h＝1.92×104 km。
答案：1.92×104 km
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