第3节 预言未知星体 计算天体质量
核心素养导学
物理观念 (1)理解“称量”地球质量的基本思路。 (2)理解计算太阳质量的基本思路。
科学思维 (1)理解万有引力定律在天文学上的重要应用——发现未知天体、预言哈雷彗星的回归。 (2)能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。
科学态度与责任 认识万有引力定律的科学成就,体会科学的迷人魅力,有探索太空、了解太空的兴趣。
一、预言彗星回归
1.牛顿断言,行星的运动规律同样适用于 。
2.哈雷根据牛顿的引力理论计算了哈雷彗星的轨道,预言了彗星的回归时间。
3.克雷洛证实了 的预言。
二、预言未知星体
英国剑桥大学的学生 和法国年轻的天文爱好者 ,根据天王星的观测资料,利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日晚,德国的 在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
三、计算天体质量
1.测量地球的质量
(1)若不考虑地球自转的影响,地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的 ,即mg= 。
(2)地球的质量:M= 。
卡文迪许测出引力常量G,也就意味着称出了地球的质量。
2.计算太阳的质量
(1)太阳对行星的万有引力提供行星的 。
(2)由G=mrω2=mr2,得出mS= 。
1.如图是我们测量物体质量的常用工具,地球这么大,我们如何“称量”地球的质量呢 卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值,他称自己是“可以称量地球质量的人”。他“称量”的依据是什么
2.如图是木星和它周围运行的卫星,测出一颗卫星的轨道半径和周期,怎样计算出木星的质量
新知学习(一) 天体质量和密度的计算
[重点释解]
1.天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g,根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力,得mg=G,解得天体的质量为M=,g、R是天体自身的参量,所以该方法俗称“自力更生法”。
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量,俗称“借助外援法”。常见的情况如下:
已知量 万有引力提供向心力 中心天体的质量
线速率v轨道半径r G=m M=
角速度ω轨道半径r G=mrω2 M=
周期T轨道半径r G=mr M=
2.天体密度的计算
若天体的半径为R,则天体的密度ρ=,将M=代入上式可得ρ=。
当卫星环绕天体表面附近运动时,卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R,则ρ=。
[典例体验]
[典例] 半径为R的某天体的一颗卫星距该天体表面的高度为h,测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T,已知引力常量为G,求该天体的质量和密度。
尝试解答:
[拓展] 在[典例]中,假设在该天体上发射一颗贴近该天体的表面做匀速圆周运动的卫星,它的周期为T0 。求该天体的质量和密度。
/易错警示/
计算天体质量和密度时应注意以下两点
(1)根据行星的轨道半径r和运行周期T,求出的是中心天体的质量,而不是行星(或卫星)的质量。
(2)混淆或乱用天体半径与轨道半径,为了正确并清楚地运用,应一开始就养成良好的习惯,比如通常情况下天体半径用R表示,轨道半径用r表示,这样就可以避免代错数据;只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时,如近地卫星,轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
[针对训练]
1.(2024·山东高考)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行,其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r,则月球与地球质量之比可表示为 ( )
A. B.
C. D.
2.(2024·海南高考)嫦娥六号进入环月圆轨道,周期为T,轨道高度与月球半径之比为k,引力常量为G,则月球的平均密度为 ( )
A. B.
C. D.(1+k)3
3.我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms。假设该星体为质量均匀分布的球体,已知引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的该星体的密度最小值约为 ( )
A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3
新知学习(二) 天体运动的分析与计算
[典例体验]
[典例] 金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火,它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金
A.a金>a地>a火 B.a火>a地>a金
C.v地>v火>v金 D.v火>v地>v金
听课记录:
[系统归纳]
1.解决天体运动问题的基本思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供。
2.四个重要结论
项目 推导式 关系式 结论
v与r 的关系 G=m v= r越大, v越小
ω与r 的关系 G=mrω2 ω= r越大, ω越小
T与r 的关系 G=mr T=2π r越大, T越大
a与r 的关系 G=ma a= r越大, a越小
[针对训练]
1.“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一,且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是 ( )
A.火星公转的线速度比地球的大
B.火星公转的角速度比地球的大
C.火星公转的半径比地球的小
D.火星公转的加速度比地球的小
2.(多选)如图,火星与地球近似在同一平面内绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动,火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动,称为顺行;有时观测到火星由东向西运动,称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上,且太阳和火星位于地球两侧时,称为火星冲日。忽略地球自转,只考虑太阳对行星的引力,下列说法正确的是 ( )
A.火星的公转周期大约是地球的 倍
B.在冲日处,地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C.在冲日处,地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D.在冲日处,火星相对于地球的速度最小
新知学习(五) 宇宙双星和三星模型
[典例体验]
[例1·双星模型] 银河系中某双星系统由星体A、B构成,两星体在万有引力的作用下绕两者连线上某一点做匀速圆周运动,已知星体A、B的质量分别为mA、mB,且mAA.两星体做圆周运动的周期相等
B.两星体做圆周运动的向心加速度大小相等
C.A的轨道半径小于B的轨道半径
D.B受到的万有引力大小大于A受到的万有引力大小
听课记录:
[例2·三星模型] 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用,已观测到的稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种形式是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运动;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行,设每个星体的质量均为m。
(1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期;
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同,则第二种形式下星体之间的距离应为多少
尝试解答:
[内化模型]
双星模型 三星模型
情景图
运动特点 转动方向、周期、角速度相同,运动半径一般不等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同,圆周运动半径相等
受力特点 两星间的万有引力提供两星圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力
规律 =m1ω2r1 =m2ω2r2 +=ma向×cos 30°×2=ma向
关键点 m1r1=m2r2 r1+r2=L r=
[针对训练]
1.(多选)冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统,质量之比约为7∶1,同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知卡戎绕O点运动的 ( )
A.角速度大小约为冥王星的7倍
B.向心力大小约为冥王星的
C.轨道半径约为冥王星的7倍
D.周期大小与冥王星周期相同
2.(多选)如图,天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上,并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G,不计其他星体对它们的影响,关于这个三星系统,下列说法正确的是 ( )
A.三颗星的质量可能不相等
B.某颗星的质量为
C.它们的线速度大小均为
D.它们两两之间的万有引力大小为
一、好素材分享——看其他教材如何落实核心素养
科学思维——天体质量的计算
1.(选自人教版教材课后练习)某人造地球卫星沿圆轨道运行,轨道半径是6.8×103 km,周期是5.6×103 s。试从这些数据估算地球的质量。
科学态度与责任——冥王星从太阳系行星中被除名
2.(选自粤教版教材“资料活页”)海王星通过推算被成功预测之后,科学家们继续采用计算、预测和观察结合的方法寻找新的天体。由于技术的进步,人们用照相代替了肉眼的直接观察。1930年2月18日,美国天文学家汤博(C.Tombaugh,1906-1997)用计算、预测、观察和照相结合的方法,发现了冥王星(如图所示)。当时错估了冥王星的质量,以为冥王星与地球质量相当,所以命名为大行星。此后一段时间内,太阳系有九大行星(水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星和冥王星)的说法也被写进了教科书。
然而,经过近三十年的进一步观测,科学家们发现冥王星的直径只有地球直径的五分之一,比月球还要小。它还能被称为行星吗 九大行星的传统观念开始动摇,2005年7月,阋神星(Eris)的发现被公布,它是七十多年来首次在太阳系内发现的比冥王星更大的天体,这是推动行星概念被重新定义的决定性发现。事情已经到了非解决不可的程度,因为如果冥王星都可以算作太阳系的行星之一,那么阋神星无疑更有资格。
2006年,国际天文学联合会订立了行星的新定义:一颗行星首先要是一个天体,它满足:
①环绕太阳运转。
②有足够大的质量来克服固体应力以达到流体静力平衡的(外形接近圆球)形状。
③能清除邻近轨道上的其他天体。
根据行星的新定义,冥王星不符合定义②,即它的质量不够大;而且它也不符合定义③,因为冥王星的轨道与海王星的轨道交叉,如果把冥王星当成行星的话,那么海王星就不是行星。因此,冥王星在被发现76年之后,国际天文学联合会决定将冥王星从大行星中除名,降级列入太阳系的矮行星。教科书中太阳系的行星数量从此被改写。
由此可见,科学理论具有相对性,而科学实践则是检验理论正确与否的唯一标准。
二、新题目精选——品立意深处所蕴含的核心价值
1.(2024·自贡高一检测)某国际科研团队发现了两颗距离地球约100光年的类地新行星,其中一颗可能适合生命生存,被称为“超级地球”。“超级地球”的半径约为地球半径的1.5倍,绕一中心天体运动的公转周期约为8.5天,公转轨道半径约为日、地之间距离的,则该行星所围绕的中心天体的质量约为太阳质量的 ( )
A. B.
C. D.
2.“祝融号”火星车登陆火星之前,“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行,其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行,其周期也为2个火星日。已知一个火星日的时长约为一个地球日,火星质量约为地球质量的0.1倍,则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为 ( )
A. B.
C. D.
3.科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测,给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆,银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力,设太阳的质量为M,可以推测出该黑洞质量约为 ( )
A.4×104M B.4×106M
C.4×108M D.4×1010M
第3节 预言未知星体 计算天体质量
落实必备知识
[预读教材]
一、
1．彗星 3.哈雷
二、
亚当斯 勒维耶 伽勒
三、
1．(1)万有引力 G (2) 2.(1)向心力 (2)
[情境创设]
1．提示：若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，因为地球表面的重力加速度g已知，地球的半径R已知，由mg＝G，可得m地＝。
2．提示：设木星和卫星的质量分别为m木、m，测得卫星的轨道半径和周期分别为r和T。根据万有引力提供向心力G＝m，解得m木＝。
强化关键能力
新知学习(一)
[典例] 解析：卫星距天体表面的高度为h时，有
G＝m(R＋h)
则该天体的质量M＝
则该天体的密度ρ＝＝＝。
答案：
[拓展] 解析：设卫星的质量为m，天体的质量为M，
卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，
则该天体的质量M＝
根据数学知识可知天体的体积为V＝πR3
故该天体的密度为ρ＝＝。
答案：
[针对训练]
1．选D 根据万有引力公式＝mr，整理得M＝，因为“鹊桥二号”中继星环绕月球运行的周期与地球同步卫星环绕地球运行的周期相等，故＝，故选D。
2．选D 设月球的半径为R，质量为M，对嫦娥六号分析，根据万有引力提供向心力有G＝m·(k＋1)R，月球的体积V＝πR3，月球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝(1＋k)3。故选D。
3．选C 脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，又M＝ρ·πr3，整理得密度ρ＝＝ kg/m3≈5.2×1015 kg/m3，故C正确。
新知学习(二)
[典例] 选A 行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿第二定律和圆周运动知识可解，由G＝ma得向心加速度a＝，由G＝m得速度v＝ ，由于R金a地>a火，v金>v地>v火，选项A正确。
[针对训练]
1．选D 由题意可知，火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍，说明火星的公转周期为地球公转周期的1.88倍，根据万有引力提供向心力，得：G＝mr2＝m＝mrω2＝ma，解得：T＝2π ，v＝ ，ω＝ ，a＝，由于T火>T地，可知，r火>r地、v火2．选CD 由题意根据开普勒第三定律可知＝，火星轨道半径大约是地球轨道半径的1.5倍，则可得T火＝ T地，故A错误；根据G＝m，可得v＝ ，由于火星轨道半径大于地球轨道半径，故火星运行线速度小于地球运行线速度，所以在冲日处火星相对于地球由东向西运动，为逆行，故B错误，C正确；由于火星和地球运动的线速度大小不变，在冲日处火星和地球速度方向相同，故相对速度最小，故D正确。
新知学习(三)
[例1] 选A 双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有mAω2rA＝mBω2rB，＝，故A的轨道半径大于B的轨道半径，C错误。周期T＝，角速度相等，则周期相等，A正确。A、B间的万有引力是相互作用力，故B受到的万有引力大小等于A受到的万有引力大小，又因mA＜mB，则A的向心加速度大，B、D错误。
[例2] 解析：(1)对于第一种运动情况，以某个做圆周运动的星体为研究对象，受力分析如图甲所示，根据牛顿第二定律和万有引力定律有F1＝，F2＝
F1＋F2＝①
运动星体的线速度v＝②
周期T＝③
T＝4π 。④
(2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为R′＝⑤
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，受力分析如图乙所示，由力的合成和牛顿运动定律有F合＝2cos 30°⑥
F合＝mR′⑦
由④⑤⑥⑦式得r＝R。
答案：(1) 4π (2)R
[针对训练]
1．选CD 由题图可知，冥王星与卡戎绕O点转动时每转一圈所用的时间相同，故D对，A错；冥王星与卡戎绕O点转动时万有引力提供向心力，即G＝M冥ω2r冥＝m卡 ω2r卡，故＝＝，B错，C对。
2．选BD 三星做匀速圆周运动的轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r＝＝l。根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相等，设为m，则2Gcos 30°＝m··l，解得m＝，它们两两之间的万有引力F＝G＝G＝，A错误，B、D正确；线速度大小为v＝＝·＝，C错误。
浸润学科素养和核心价值
一、
1．解析：根据G＝mr，得地球的质量M＝＝ kg≈6×1024 kg。
答案：6×1024 kg
二、
1．选A 由万有引力提供向心力得G＝mr，可得M＝，故＝＝≈，故选A。
2．选D 由万有引力提供向心力有G＝m2r，解得r＝，所以飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值＝＝＝。故A、B、C错误，D正确。
3．选B 由万有引力提供向心力有＝mR，整理得＝，可知只与中心天体的质量有关，则＝，已知T地＝1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞≈4×106M，B正确。
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预言未知星体 计算天体质量
第 3节
核心素养导学
物理观念 (1)理解“称量”地球质量的基本思路。
(2)理解计算太阳质量的基本思路。
科学思维 (1)理解万有引力定律在天文学上的重要应用——发现未知天体、预言哈雷彗星的回归。
(2)能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。
科学态度与责任 认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，有探索太空、了解太空的兴趣。
1
四层学习内容1落实必备知识
2
四层学习内容2强化关键能力
3
四层学习内容3·4浸润学科素养和核心价值
CONTENTS
目录
4
课时跟踪检测
四层学习内容1落实必备知识
一、预言彗星回归
1.牛顿断言，行星的运动规律同样适用于__________。
2.哈雷根据牛顿的引力理论计算了哈雷彗星的轨道，预言了彗星的回归时间。
3.克雷洛证实了_________的预言。
彗星
哈雷
二、预言未知星体
英国剑桥大学的学生________和法国年轻的天文爱好者________，根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的_________在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
亚当斯
勒维耶
伽勒
三、计算天体质量
1.测量地球的质量
(1)若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的___________，即mg=_________。
(2)地球的质量：M=__________。
万有引力
G
[微点拨]
卡文迪许测出引力常量G，也就意味着称出了地球的质量。
2.计算太阳的质量
(1)太阳对行星的万有引力提供行星的___________。
(2)由G=mrω2=mr ()2，得出mS=__________。
向心力
1.如图是我们测量物体质量的常用工具，地球这么大，我们如何“称量”地球的质量呢 卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”。他“称量”的依据是什么
提示：若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，因为地球表面的重力加速度g已知，地球的半径R已知，由mg=G，可得m地=。
2.如图是木星和它周围运行的卫星，测出一颗卫星的轨道半径和周期，怎样计算出木星的质量
提示：设木星和卫星的质量分别为m木、m，测得卫星的轨道半径和周期分别为r和T。根据万有引力提供向心力G=m，解得m木=。
四层学习内容2强化关键能力
1.天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg=G，解得天体的质量为M=，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。
新知学习(一) 天体质量和密度的计算
重点释解
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
已知量 万有引力提供向心力 中心天体的质量
线速率v轨道半径r
角速度ω轨道半径r
周期T轨道半径r
2.天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ=，将M=代入上式可得ρ=。
当卫星环绕天体表面附近运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ=。
[典例] 半径为R的某天体的一颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T，已知引力常量为G，求该天体的质量和密度。
[解析] 卫星距天体表面的高度为h时，有
G=m(R+h)
典例体验
则该天体的质量M=
则该天体的密度ρ===。
[答案]
[拓展] 在[典例]中，假设在该天体上发射一颗贴近该天体的表面做匀速圆周运动的卫星，它的周期为T0 。求该天体的质量和密度。
解析：设卫星的质量为m，天体的质量为M，
卫星贴近天体表面运动时有G=mR，
则该天体的质量M=
根据数学知识可知天体的体积为V=πR3
故该天体的密度为ρ==。
答案：
/易错警示/
计算天体质量和密度时应注意以下两点
(1)根据行星的轨道半径r和运行周期T，求出的是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。
(2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免代错数据；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
1.(2024·山东高考)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为 ( )
A. B.
C. D.
针对训练
√
解析：根据万有引力公式=mr，整理得M=，因为“鹊桥二号”中继星环绕月球运行的周期与地球同步卫星环绕地球运行的周期相等，故=，故选D。
2.(2024·海南高考)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为 ( )
A. B.
C. D.(1+k)3
√
解析：设月球的半径为R，质量为M，对嫦娥六号分析，根据万有引力提供向心力有G=m·(k+1)R，月球的体积V=πR3，月球的平均密度ρ=，联立可得ρ=(1+k)3。故选D。
3.我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms。假设该星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的该星体的密度最小值约为 ( )
A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3
√
解析：脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有G=mr，又M=ρ·πr3，整理得密度ρ== kg/m3≈5.2×1015 kg/m3，故C正确。
[典例] 金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金A.a金>a地>a火 B.a火>a地>a金
C.v地>v火>v金 D.v火>v地>v金
新知学习(二) 天体运动的分析与计算
典例体验
√
[解析] 行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿第二定律和圆周运动知识可解，由G=ma得向心加速度a=，由G=m得速度v=，由于R金a地>a火，v金>v地>v火，选项A正确。
1.解决天体运动问题的基本思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供。
系统归纳
2.四个重要结论
项目 推导式 关系式 结论
v与r的关系 r越大，v越小
ω与r的关系 r越大，ω越小
T与r的关系 r越大，T越大
a与r的关系 r越大，a越小
1.“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是 ( )
A.火星公转的线速度比地球的大 B.火星公转的角速度比地球的大
C.火星公转的半径比地球的小 D.火星公转的加速度比地球的小
针对训练
√
解析：由题意可知，火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍，说明火星的公转周期为地球公转周期的1.88倍，根据万有引力提供向心力，得：G=mr=m =mrω2=ma，解得：T=2π ，v= ，ω= ，a=，由于T火>T地，可知，r火>r地、v火2.(多选)如图，火星与地球近似在同一平面内绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是 ( )
A.火星的公转周期大约是地球的 倍
B.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D.在冲日处，火星相对于地球的速度最小
√
√
解析：由题意根据开普勒第三定律可知=，火星轨道半径大约是地球轨道半径的1.5倍，则可得T火= T地，故A错误；根据G=m，可得v= ，由于火星轨道半径大于地球轨道半径，故火星运行线速度小于地球运行线速度，所以在冲日处火星相对于地球由东向西运动，为逆行，故B错误，C正确；由于火星和地球运动的线速度大小不变，在冲日处火星和地球速度方向相同，故相对速度最小，故D正确。
[例1·双星模型] 银河系中某双星系统由星体A、B构成，两星体在万有引力的作用下绕两者连线上某一点做匀速圆周运动，已知星体A、B的质量分别为mA、mB，且mAA.两星体做圆周运动的周期相等
B.两星体做圆周运动的向心加速度大小相等
C.A的轨道半径小于B的轨道半径
D.B受到的万有引力大小大于A受到的万有引力大小
新知学习(三) 宇宙双星和三星模型
典例体验
√
[解析] 双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有mAω2rA=mBω2rB，=，故A的轨道半径大于B的轨道半径，C错误。周期T=，角速度相等，则周期相等，A正确。A、B间的万有引力是相互作用力，故B受到的万有引力大小等于A受到的万有引力大小，又因mA[例2·三星模型] 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到的稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种形式是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运动；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m。
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；
[解析] 对于第一种运动情况，以某个做圆周运动的星体为研究对象，受力分析如图甲所示，根据牛顿第二定律和万有引力定律有F1=，F2=
F1+F2=①
F1+F2=①
运动星体的线速度v=②
周期T=③
T=4π 。④
[答案] 4π
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，则第二种形式下星体之间的距离应为多少
[解析] 设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为R'=⑤
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，受力分析如图乙所示，由力的合成和牛顿运动定律有F合=2cos 30°⑥
F合=mR'⑦
由④⑤⑥⑦式得r=R。
[答案] R
双星模型 三星模型
情景图
运动 特点 转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等
内化模型
双星模型 三星模型
受力 特点 两星间的万有引力提供两星圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力
规律
关键点 m1r1=m2r2 r1+r2=L
1.(多选)冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，质量之比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知卡戎绕O点运动的 ( )
A.角速度大小约为冥王星的7倍
B.向心力大小约为冥王星的
C.轨道半径约为冥王星的7倍
D.周期大小与冥王星周期相同
针对训练
√
√
解析：由题图可知，冥王星与卡戎绕O点转动时每转一圈所用的时间相同，故D对，A错；冥王星与卡戎绕O点转动时万有引力提供向心力，即G=M冥ω2r冥=m卡 ω2r卡，故==，B错，C对。
2.(多选)如图，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是 ( )
A.三颗星的质量可能不相等
B.某颗星的质量为
C.它们的线速度大小均为
D.它们两两之间的万有引力大小为
√
√
解析：三星做匀速圆周运动的轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r==l。根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相等，设为m，则2Gcos 30°=m··l，解得m=，它们两两之间的万有引力F= G=G=，A错误，B、D正确；线速度大小为v== ·=，C错误。
四层学习内容3·4浸润学科
素养和核心价值
科学思维——天体质量的计算
1.(选自人教版教材课后练习)某人造地球卫星沿圆轨道运行，轨道半径是6.8×103 km，周期是5.6×103 s。试从这些数据估算地球的质量。
解析：根据G=mr，得地球的质量M== kg≈6×1024 kg。
答案：6×1024 kg
一、好素材分享——看其他教材如何落实核心素养
科学态度与责任——冥王星从太阳系行星中被除名
2.(选自粤教版教材“资料活页”)海王星通过推算被成功预测之后，科学家们继续采用计算、预测和观察结合的方法寻找新的天体。由于技术的进步，人们用照相代替了肉眼的直接观察。1930年2月18日，美国天文学家汤博(C.Tombaugh，1906-1997)用计算、预测、观察和照相结合的
方法，发现了冥王星(如图所示)。当时错估了冥王星的质量，以为冥王星与地球质量相当，所以命名为大行星。此后一段时间内，太阳系有九大行星(水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星和冥王星)的说法也被写进了教科书。
然而，经过近三十年的进一步观测，科学家们发现冥王星的直径只有地球直径的五分之一，比月球还要小。它还能被称为行星吗 九大行星的传统观念开始动摇，2005年7月，阋神星(Eris)的发现被公布，它是七十多年来首次在太阳系内发现的比冥王星更大的天体，这是推动行星概念被重新定义的决定性发现。事情已经到了非解决不可的程度，因为如果冥王星都可以算作太阳系的行星之一，那么阋神星无疑更有资格。
2006年，国际天文学联合会订立了行星的新定义：一颗行星首先要是一个天体，它满足：
①环绕太阳运转。
②有足够大的质量来克服固体应力以达到流体静力平衡的(外形接近圆球)形状。
③能清除邻近轨道上的其他天体。
根据行星的新定义，冥王星不符合定义②，即它的质量不够大；而且它也不符合定义③，因为冥王星的轨道与海王星的轨道交叉，如果把冥王星当成行星的话，那么海王星就不是行星。因此，冥王星在被发现76年之后，国际天文学联合会决定将冥王星从大行星中除名，降级列入太阳系的矮行星。教科书中太阳系的行星数量从此被改写。
由此可见，科学理论具有相对性，而科学实践则是检验理论正确与否的唯一标准。
1.(2024·自贡高一检测)某国际科研团队发现了两颗距离地球约100光年的类地新行星，其中一颗可能适合生命生存，被称为“超级地球”。“超级地球”的半径约为地球半径的1.5倍，绕一中心天体运动的公转周期约为8.5天，公转轨道半径约为日、地之间距离的，则该行星所围绕的中心天体的质量约为太阳质量的( )
二、新题目精选——品立意深处所蕴含的核心价值
A. B.
C. D.
解析：由万有引力提供向心力得G=mr，可得M=，故==≈，故选A。
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2.“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日。已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为 ( )
A. B. C. D.
解析：由万有引力提供向心力有G=mr，解得r=，所以飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值===。故A、B、C错误，D正确。
√
3.科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为 ( )
A.4×104M B.4×106M
C.4×108M D.4×1010M
解析：由万有引力提供向心力有=mR，整理得=，可知只与中心天体的质量有关，则=，已知T地=1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期TS2=2×(2002-1994)年=16年，解得M黑洞≈4×106M，B正确。
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课时跟踪检测
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(选择题1~8小题，每小题4分；10~12小题，每小题6分。本检测卷满分80分)
A级 学考达标
1.地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )
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A.物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B.赤道处的角速度比南纬30°大
C.地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D.地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
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解析：由F=G可知，若把地球近似看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力。在赤道上，向心力最大，重力最小，A对。地球上各处的角速度均等于地球自转的角速度，B错。地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错。地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D错。
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2.假设冥王星的卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量，这两个物理量可以是 ( )
A.卫星的速度和角速度 B.卫星的质量和轨道半径
C.卫星的质量和角速度 D.卫星的质量和运行周期
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解析：卫星围绕冥王星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，若已知卫星的速度和角速度，则轨道半径r=，根据=mωv即可求出冥王星的质量M；根据=m=mω2r=mr可知，卫星的质量可以约去，只知道轨道半径(角速度或运行周期)不能求出冥王星的质量，A正确。
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3.(2024·贵州高考)土星的部分卫星绕土星的运动可视为匀速圆周运动，其中的两颗卫星轨道半径分别为r1、r2且r1≠r2，向心加速度大小分别为a1、a2，则 ( )
A.= B.=
C.a1r1=a2r2 D.a1=a2
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解析：设土星的质量为M，两颗卫星的质量分别为m1、m2，对两颗卫星，根据牛顿第二定律有G=m1a1，G=m2a2，整理可得a1=a2。故选D。
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4.若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是 ( )
A. B.
C. D.
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解析：根据万有引力定律有G=mR，又M=ρ·，解得T= ，B、C、D项错误，A项正确。
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5.宇宙中，两颗靠得比较近的天体，只受到彼此之间的万有引力作用而互相绕转，称之为双星系统。设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。若AO2
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A.星球A的向心力一定大于星球B的向心力
B.星球A的线速度一定大于星球B的线速度
C.星球A的质量一定大于星球B的质量
D.双星的总质量一定，双星之间的距离越大，转动周期越小
解析：星球A、B做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，所以向心力大小相等，A错误；星球A、B做圆周运动的角速度相等，星球B的轨道半径大于星球A的，根据v=ωr可知，星球A的线速度一定小于星球B的线速度，B错误；
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根据万有引力提供向心力，有G=mAω2rA=mBω2rB，可知星球的轨道半径越大，质量越小，故星球A的质量一定大于星球B的质量，C正确；根据G=mAω2rA=mBω2rB、rA+rB=L及ω=，解得T2=，则双星的总质量一定，双星之间的距离越大，转动周期越大，D错误。
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6.(多选)探索精神是人类进步的动力源泉。在向未知宇宙探索的过程中，有一宇宙飞船飞到了某行星附近，绕着该行星做匀速圆周运动，测出宇宙飞船运动的周期为T，线速度大小为v，已知引力常量为G，则下列说法正确的是 ( )
A.该宇宙飞船的轨道半径为
B.该行星的质量为
C.该行星的平均密度为
D.该行星表面的重力加速度为
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解析：由v=可得，该宇宙飞船的轨道半径r=，A正确；根据G=mr，可知该行星的质量M==，B正确；该行星的平均密度ρ==，C正确；该行星表面的重力加速度g==，D错误。
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7.(多选)三颗火星卫星A、B、C绕火星做匀速圆周运动，如图所示，已知mA=mBA.运行线速度关系为vA>vB=vC
B.运行周期关系为TAC.向心力大小关系为FA=FBD.半径与周期关系为==
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解析：由G=m得v= ，所以vA>vB=vC，选项A正确；由G=mr得T=2π ，所以TAaB=aC，又mA=mBFB，FB2
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8.假设某航天员到达一自转较慢的星球后，在星球表面展开了科学实验。他让一小球在离地高1 m处自由下落，测得落地时间为0.2 s。已知该星球半径为地球半径的5倍，地球表面重力加速度g=10 m/s2，该星球的质量和地球质量的比值为 ( )
A.100∶1 B.75∶1
C.125∶1 D.150∶1
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解析：依题意，可求得该星球表面重力加速度大小为g'==50 m/s2，在星球表面由万有引力等于重力可得G=mg'，在地球表面由万有引力等于重力可得G=mg，可得该星球的质量和地球质量的比值==，C正确，A、B、D错误。
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9.(12分)有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求：
(1)该星球半径与地球半径之比；
解析：由=mg得M=，所以ρ===，R=，又由题意知星球密度ρ=ρ地，星球表面重力加速度g=4g地，得=·==。
答案： 4∶1
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(2)该星球质量与地球质量之比。
解析：由(1)可知该星球半径R=4R地，根据M=得=·=。
答案：64∶1
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B级 选考进阶
10.(2024·新课标卷)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c 的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的( )
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000倍
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解析：设红矮星质量为M1，行星质量为m1，轨道半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有G=m1r1，G=m2r2，联立可得=·，由于行星轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得≈0.1，故选B。
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11.(2024·重庆高考)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动。假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c(图中未画出)质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则 ( )
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A.c的线速度大小为a的倍
B.c的向心加速度大小为b的一半
C.c在一个周期内的路程为2πr
D.c的角速度大小为
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解析： a、b、c三个天体角速度相同，由于m M，则对a天体有G=Mω2r，解得ω=，故D错误；设c与a、b的连线跟a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有2Gcos α=mω2，解得α=30°，则c的轨道半径为rc==r，由v=ωr，可知c的线速度大小为a的倍，故A正确；由a=ω2r，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s=2πrc=2πr，故C错误。
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12.执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为 ( )
A.6×105 m B.6×106 m
C.6×107 m D.6×108 m
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解析：在火星表面附近，对于绕火星做匀速圆周运动的物体，有mg火=mR火，得=，根据开普勒第三定律，有=，代入数据解得l远≈6×107m，C正确。
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13.(18分)我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。求：
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(1)该星球表面的重力加速度；
解析：小球在星球表面做平抛运动，
有L=vt，h=gt2，解得g=。
答案：
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(2)该星球的平均密度。
解析：在星球表面满足G=mg
又M=ρ·πR3，解得ρ=。
答案：
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4课时跟踪检测(九) 预言未知星体 计算天体质量
(选择题1～8小题，每小题4分；10～12小题，每小题6分。本检测卷满分80分)
A级——学考达标
1．地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )
A．物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B．赤道处的角速度比南纬30°大
C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
2．假设冥王星的卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量，这两个物理量可以是( )
A．卫星的速度和角速度
B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的质量和运行周期
3．(2024·贵州高考)土星的部分卫星绕土星的运动可视为匀速圆周运动，其中的两颗卫星轨道半径分别为r1、r2且r1≠r2，向心加速度大小分别为a1、a2，则( )
A.＝ B.＝
C．a1r1＝a2r2 D．a1r12＝a2r22
4．若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
A. B．
C. D．
5．宇宙中，两颗靠得比较近的天体，只受到彼此之间的万有引力作用而互相绕转，称之为双星系统。设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。若AO＜OB，则( )
A．星球A的向心力一定大于星球B的向心力
B．星球A的线速度一定大于星球B的线速度
C．星球A的质量一定大于星球B的质量
D．双星的总质量一定，双星之间的距离越大，转动周期越小
6．(多选)探索精神是人类进步的动力源泉。在向未知宇宙探索的过程中，有一宇宙飞船飞到了某行星附近，绕着该行星做匀速圆周运动，测出宇宙飞船运动的周期为T，线速度大小为v，已知引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．该宇宙飞船的轨道半径为
B．该行星的质量为
C．该行星的平均密度为
D．该行星表面的重力加速度为
7．(多选)三颗火星卫星A、B、C绕火星做匀速圆周运动，如图所示，已知mA＝mBA．运行线速度关系为vA>vB＝vC
B．运行周期关系为TAC．向心力大小关系为FA＝FBD．半径与周期关系为＝＝
8．假设某航天员到达一自转较慢的星球后，在星球表面展开了科学实验。他让一小球在离地高1 m处自由下落，测得落地时间为0.2 s。已知该星球半径为地球半径的5倍，地球表面重力加速度g＝10 m/s2，该星球的质量和地球质量的比值为( )
A．100∶1 B．75∶1
C．125∶1 D．150∶1
9．(12分)有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求：
(1)该星球半径与地球半径之比；
(2)该星球质量与地球质量之比。
B级——选考进阶
10．(2024·新课标卷)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c 的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的( )
A．0.001倍 B．0.1倍
C．10倍 D．1 000倍
11．(2024·重庆高考)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动。假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c(图中未画出)质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则( )
A．c的线速度大小为a的倍
B．c的向心加速度大小为b的一半
C．c在一个周期内的路程为2πr
D．c的角速度大小为
12．执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
13．(18分)我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的平均密度。
课时跟踪检测(九)
1．选A 由F＝G可知，若把地球近似看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力。在赤道上，向心力最大，重力最小，A对。地球上各处的角速度均等于地球自转的角速度，B错。地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错。地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D错。
2．选A 卫星围绕冥王星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，若已知卫星的速度和角速度，则轨道半径r＝，根据＝mωv即可求出冥王星的质量M；根据＝m＝mω2r＝mr可知，卫星的质量可以约去，只知道轨道半径(角速度或运行周期)不能求出冥王星的质量，A正确。
3．选D 设土星的质量为M，两颗卫星的质量分别为m1、m2，对两颗卫星，根据牛顿第二定律有G＝m1a1，G＝m2a2，整理可得a1r12＝a2r22。故选D。
4．选A 根据万有引力定律有G＝mR，又M＝ρ·，解得T＝ ，B、C、D项错误，A项正确。
5．选C 星球A、B做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，所以向心力大小相等，A错误；星球A、B做圆周运动的角速度相等，星球B的轨道半径大于星球A的，根据v＝ωr可知，星球A的线速度一定小于星球B的线速度，B错误；根据万有引力提供向心力，有G＝mAω2rA＝mBω2rB，可知星球的轨道半径越大，质量越小，故星球A的质量一定大于星球B的质量，C正确；根据G＝mAω2rA＝mBω2rB、rA＋rB＝L及ω＝，解得T2＝，则双星的总质量一定，双星之间的距离越大，转动周期越大，D错误。
6．选ABC 由v＝可得，该宇宙飞船的轨道半径r＝，A正确；根据G＝m2r，可知该行星的质量M＝＝，B正确；该行星的平均密度ρ＝＝，C正确；该行星表面的重力加速度g＝＝，D错误。
7．选ABD 由G＝m得v＝ ，所以vA>vB＝vC，选项A正确；由G＝mr得T＝2π ，所以TAaB＝aC，又mA＝mBFB，FB8．选C 依题意，可求得该星球表面重力加速度大小为g′＝＝50 m/s2，在星球表面由万有引力等于重力可得G＝mg′，在地球表面由万有引力等于重力可得G＝mg，可得该星球的质量和地球质量的比值＝＝，C正确，A、B、D错误。
9．解析：(1)由＝mg得M＝，所以ρ＝＝＝，R＝，又由题意知星球密度ρ＝ρ地，星球表面重力加速度g＝4g地，得＝·＝＝。
(2)由(1)可知该星球半径R＝4R地，根据
M＝得＝·＝。
答案：(1)4∶1 (2)64∶1
10．选B 设红矮星质量为M1，行星质量为m1，轨道半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有G＝m1r1，G＝m2r2，联立可得＝3·2，由于行星轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得≈0.1，故选B。
11．选A a、b、c三个天体角速度相同，由于m M，则对a天体有G＝Mω2r，解得ω＝ ，故D错误；设c与a、b的连线跟a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有2Gcos α＝mω2，解得α＝30°，则c的轨道半径为rc＝＝r，由v＝ωr，可知c的线速度大小为a的倍，故A正确；由a＝ω2r，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s＝2πrc＝2πr，故C错误。
12．选C 在火星表面附近，对于绕火星做匀速圆周运动的物体，有mg火＝mR火，得T12＝，根据开普勒第三定律，有＝，代入数据解得l远≈6×107m，C正确。
13．解析：(1)小球在星球表面做平抛运动，
有L＝vt，h＝gt2，解得g＝。
(2)在星球表面满足G＝mg
又M＝ρ·πR3，解得ρ＝。
答案：(1) (2)
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