“科学思维”专练(三) 万有引力定律的应用
(选择题1～10小题，每小题4分。本检测卷满分70分)
一、选择题
1．“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成。地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍。下列说法正确的是( )
A．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍
B．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍
C．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的
D．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的
2．为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
3．“墨子号”卫星的轨道高度约为500 km，在轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t(t小于其运动周期)，运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为β(弧度)，引力常量为G，则下列关于“墨子号”的说法正确的是( )
A．线速度大于第一宇宙速度
B．质量为
C．环绕周期为
D．向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
4．(多选)天文学家首次在正常星系中发现的超大质量双黑洞如图所示，此发现对验证宇宙学与星系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的意义。若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，双黑洞间距离为L，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。根据所学知识，下列选项正确的是( )
A．双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1
B．双黑洞的线速度之比v1∶v2＝M1∶M2
C．双黑洞的向心加速度之比a1∶a2＝M1∶M2
D．它们的运动周期为T＝2π
5．如图所示，在同一轨道平面内的两颗人造地球卫星A、B绕地球做同方向的匀速圆周运动，周期分别为TA、TB。某时刻A、B和地球恰好在同一条直线上，从此时刻开始到A、B和地球再次共线的时间间隔为t，下列说法中正确的是( )
A．A、B卫星的线速度vA
B．A、B卫星的向心加速度aAC．t一定大于TA
D．t一定大于
6．(多选)我国首个火星探测器“天问一号”已经实现了对火星的环绕。若已知该探测器在近火星圆轨道与在近地球圆轨道运行的速率比和周期比，则可求出火星与地球的( )
A．半径比 B．质量比
C．自转角速度比 D．公转轨道半径比
7．(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有( )
A．由v＝可知，甲的速度是乙的 倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝可知，甲的向心力是乙的
D．由＝k可知，甲的周期是乙的2 倍
8．我国已掌握“高速半弹道跳跃式再入返回技术”，为实现“嫦娥”飞船月地返回任务奠定基础。如图虚线为大气层边界，返回器与服务舱分离后，从a点无动力滑入大气层，然后从c点“跳”出，再从e点“跃”入，实现多次减速，可避免损坏返回器。d点为轨迹的最高点，离地心的距离为r，返回器在d点时的速度大小为v，地球质量为M，引力常量为G。则返回器( )
A．在b点处于失重状态
B．在a、c、e点时的速率相等
C．在d点时的加速度大小为
D．在d点时的速度大小v＞
9．(2024·浙江6月选考)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则( )
A．小行星甲在远日点的速度大于在近日点的速度
B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C．小行星甲与乙的运行周期之比＝
D．甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比＝
10．(多选)如图所示，行星绕太阳的公转可以看作匀速圆周运动。在图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm，则( )
A．水星的公转周期比金星的大
B．水星的公转向心加速度比金星的大
C．水星与金星的公转轨道半径之比为sin αm∶sin βm
D．水星与金星的公转线速度之比为∶
二、非选择题
11．(12分)一宇航员在半径为R、质量均匀分布的某星球表面做如下实验：不可伸长的长为l的轻绳一端连接一质量为m的小球，另一端固定在O点，如图所示，在最低点给小球一个初速度，使其恰能绕O点在竖直面内做圆周运动，已知小球在最高点速度为v0。引力常量为G，忽略各种阻力。求：
(1)该星球的密度ρ；
(2)该星球的第一宇宙速度v。
12．(18分)神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律，天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX 3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的线速度v和运行周期T。
(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示)；
(2)求暗星B的质量m2与可见星A的线速度v、运行周期T和质量m1之间的关系式。
“科学思维”专练(三)
1．选A 由G＝m(R＋h)2＝m＝m(R＋h)ω2＝ma，可得：＝ ≈2，＝≈，＝ ≈0.79，＝2≈0.395，选项A正确。
2．选C 设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP＝16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ＝4R，根据开普勒定律，＝＝64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ＝8∶1，故选项C正确。
3．选C 第一宇宙速度是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，可知“墨子号”的线速度一定小于第一宇宙速度，故A错误；“墨子号”卫星是环绕天体，根据万有引力提供向心力无法求出“墨子号”的质量，故B错误；“墨子号”卫星的角速度ω＝，则周期T＝＝，故C正确；根据G＝ma得a＝，“墨子号”卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，则“墨子号”卫星的向心加速度大于同步卫星的向心加速度，故D错误。
4．选AD 双黑洞做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，向心力大小相等，由G＝M1r1ω2＝M2r2ω2，得双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1，选项A正确；由v＝ωr得双黑洞的线速度之比v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，选项B错误；由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度之比为a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，选项C错误；由G＝M1r12＝M2r22和r1＋r2＝L得T＝2π ，选项D正确。
5．选D 设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球的质量为M，根据万有引力提供向心力，得G＝m＝ma，可得v＝，a＝。由v＝ 知卫星的轨道半径越大，线速度越小，所以有vA＞vB，故A错误；由a＝知，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，所以有aA＞aB，故B错误；由几何关系可知，从图中位置开始至A、B和地球再次共线，A比B多转过的角度为nπ(n＝1,2，3，…)，则有·t－·t＝nπ(n＝1,2,3，…)，可得t＝(n＝1,2,3，…)，即t一定大于，故C错误，D正确。
6．选AB 探测器在近火星圆轨道和近地球圆轨道做圆周运动，根据v＝，可知r＝，若已知探测器在近火星圆轨道和近地球圆轨道的速率比和周期比，则可求得探测器的运行半径比；又由于探测器在近火星圆轨道和近地球圆轨道运行，轨道半径比近似等于火星和地球的半径比，故A正确；根据万有引力提供向心力，有G＝m，可得M＝，结合A选项分析可知可以求得火星与地球的质量之比，故B正确；由于探测器运行的周期之比不是火星或地球的自转周期之比，故不能求得火星和地球的自转角速度之比，故C错误；由于题目中我们只能求出火星与地球的质量之比和星球半径之比，根据现有条件不能求出火星与地球的公转轨道半径之比，故D错误。
7．选CD 两卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，由＝，可得v＝ ，则乙的速度是甲的倍，选项A错误；由ma＝，可得a＝，则乙的向心加速度是甲的4倍，选项B错误，由F＝，结合两人造卫星质量相等，可知甲的向心力是乙的，选项C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，且甲的轨道半径是乙的2倍，结合开普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2 倍，选项D正确。
8．选C 由题意知，返回器在b点处于超重状态，故A错误；从a到e通过大气层，除了受到万有引力作用，由于有空气的阻力作用，在a、c、e三点时的速率不等，故B错误；在d点受万有引力：F＝＝ma ，所以加速度a＝，故C正确；在d点，v＜ ，所以D错误。
9．选D 根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度，故A错误；根据万有引力提供向心力有＝ma，小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误；根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比＝ ＝ ，故C错误；甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比等于周期之比，＝ ，故D正确。
10．选BC 水星的公转半径比金星小，所以水星的周期小，向心加速度大，故A错误，B正确；根据题意，当水星与地球连线与水星公转轨道相切时，α有最大值，同理，当金星与地球连线与金星公转轨道相切时，β有最大值，可知水星与金星的公转半径之比为sin αm∶sin βm，故C正确；公转线速度与成反比，故D错误。
11．解析：(1)设星球表面的重力加速度为g，小球在最高点时，有mg＝m，解得g＝。
小球在星球表面所受的重力近似等于万有引力，有mg＝G，
联立解得星球质量M＝，
故星球的密度ρ＝＝。
(2)假设质量为m0的物体绕该星球表面做匀速圆周运动，有G＝m0，则该星球的第一宇宙速度v＝ ，又M＝，联立解得v＝ 。
答案：(1) (2)
12．解析：(1)设A、B的轨道半径分别为r1、r2，由题意知A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设为ω。由牛顿第二定律，有FA＝m1ω2r1，FB＝m2ω2r2，又FA＝FB，
设A、B之间的距离为r，有r＝r1＋r2，
由以上各式得r＝r1①
由万有引力定律，有FA＝G，
将①代入上式得FA＝G，
令FA＝G，
可得m′＝。②
(2)由牛顿第二定律，有G＝m1③
可见星A的轨道半径r1＝④
由②③④式解得＝。⑤
答案：(1) (2)＝
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“科学思维”专练(三)
万有引力定律的应用
(选择题1~10小题，每小题4分。本检测卷满分70分)
一、选择题
1.“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成。地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍。下列说法正确的是( )
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6
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A.静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍
B.静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍
C.静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的
D.静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的
√
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解析：由G=m(R+h)=m=m(R+h)ω2=ma，可得：=≈2，=≈=≈0.79，=≈0.395，选项A正确。
2.为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为 ( )
A.2∶1 B.4∶1
C.8∶1 D.16∶1
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解析：设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP=16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ=4R，根据开普勒定律，==64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ=8∶1，故选项C正确。
3.“墨子号”卫星的轨道高度约为500 km，在轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t(t小于其运动周期)，运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为β(弧度)，引力常量为G，则下列关于“墨子号”的说法正确的是 ( )
A.线速度大于第一宇宙速度
B.质量为
C.环绕周期为
D.向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
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解析：第一宇宙速度是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，可知“墨子号”的线速度一定小于第一宇宙速度，故A错误；“墨子号”卫星是环绕天体，根据万有引力提供向心力无法求出“墨子号”的质量，故B错误；“墨子号”卫星的角速度ω=，则周期T==，故C正确；根据G=ma得a=，“墨子号”卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，则“墨子号”卫星的向心加速度大于同步卫星的向心加速度，故D错误。
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4.(多选)天文学家首次在正常星系中发现的超大质量双黑洞如图所示，此发现对验证宇宙学与星系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的意义。若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，双黑洞间距离为L，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。根据所学知识，下列选项正确的是 ( )
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A.双黑洞的轨道半径之比r1∶r2=M2∶M1
B.双黑洞的线速度之比v1∶v2=M1∶M2
C.双黑洞的向心加速度之比a1∶a2=M1∶M2
D.它们的运动周期为T=2π
√
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解析：双黑洞做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，向心力大小相等，由G=M1r1ω2=M2r2ω2，得双黑洞的轨道半径之比r1∶r2=M2∶M1，选项A正确；由v=ωr得双黑洞的线速度之比v1∶v2=r1∶r2=M2∶M1，选项B错误；由a=ω2r得双黑洞的向心加速度之比为a1∶a2=r1∶r2=M2∶M1，选项C错误；由G=M1r1=M2r2和r1+r2=L得T=2π ，选项D正确。
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5.如图所示，在同一轨道平面内的两颗人造地球卫星A、B绕地球做同方向的匀速圆周运动，周期分别为TA、TB。某时刻A、B和地球恰好在同一条直线上，从此时刻开始到A、B和地球再次共线的时间间隔为t，下列说法中正确的是 ( )
A.A、B卫星的线速度vAB.A、B卫星的向心加速度aAC.t一定大于TA
D.t一定大于
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解析：设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球的质量为M，根据万有引力提供向心力，得G=m=ma，可得v= ，a=。由v= 知卫星的轨道半径越大，线速度越小，所以有vA>vB，故A错误；由a=知，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，所以有aA>aB，故B错误；由几何关系可知，从图中位置开始至A、B和地球再次共线，A比B多转过的角度为nπ(n=1，2，3，…)，则有·t-·t=nπ(n=1，2，3，…)，可得t=(n=1，2，3，…)，即t一定大于，故C错误，D正确。
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6.(多选)我国首个火星探测器“天问一号”已经实现了对火星的环绕。若已知该探测器在近火星圆轨道与在近地球圆轨道运行的速率比和周期比，则可求出火星与地球的 ( )
A.半径比 B.质量比
C.自转角速度比 D.公转轨道半径比
√
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解析：探测器在近火星圆轨道和近地球圆轨道做圆周运动，根据v=，可知r=，若已知探测器在近火星圆轨道和近地球圆轨道的速率比和周期比，则可求得探测器的运行半径比；又由于探测器在近火星圆轨道和近地球圆轨道运行，轨道半径比近似等于火星和地球的半径比，故A正确；
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根据万有引力提供向心力，有G=m，可得M=，结合A选项分析可知可以求得火星与地球的质量之比，故B正确；由于探测器运行的周期之比不是火星或地球的自转周期之比，故不能求得火星和地球的自转角速度之比，故C错误；由于题目中我们只能求出火星与地球的质量之比和星球半径之比，根据现有条件不能求出火星与地球的公转轨道半径之比，故D错误。
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7.(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有 ( )
A.由v=可知，甲的速度是乙的 倍
B.由a=ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C.由F=可知，甲的向心力是乙的
D.由=k可知，甲的周期是乙的2 倍
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解析：两卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，由=，可得v= ，则乙的速度是甲的倍，选项A错误；由ma=，可得a=，则乙的向心加速度是甲的4倍，选项B错误，由F=，结合两人造卫星质量相等，可知甲的向心力是乙的，选项C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，且甲的轨道半径是乙的2倍，结合开普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2 倍，选项D正确。
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8.我国已掌握“高速半弹道跳跃式再入返回技术”，为实现“嫦娥”飞船月地返回任务奠定基础。如图虚线为大气层边界，返回器与服务舱分离后，从a点无动力滑入大气层，然后从c点“跳”出，再从e点“跃”入，实现多次减速，可避免损坏返回器。d点为轨迹的最高点，离地心的距离为r，返回器在d点时的速度大小为v，地球质量为M，引力常量为G。则返回器 ( )
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A.在b点处于失重状态
B.在a、c、e点时的速率相等
C.在d点时的加速度大小为
D.在d点时的速度大小v>
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解析：由题意知，返回器在b点处于超重状态，故A错误；从a到e通过大气层，除了受到万有引力作用，由于有空气的阻力作用，在a、c、e三点时的速率不等，故B错误；在d点受万有引力：F==ma ，所以加速度a=，故C正确；在d点，v<，所以D错误。
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9.(2024·浙江6月选考)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则 ( )
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A.小行星甲在远日点的速度大于在近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C.小行星甲与乙的运行周期之比=
D.甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比=
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解析：根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度，故A错误；根据万有引力提供向心力有=ma，小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误；根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比==，故C错误；甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比等于周期之比，=，故D正确。
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10.(多选)如图所示，行星绕太阳的公转可以看作匀速圆周运动。在图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm，则 ( )
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A.水星的公转周期比金星的大
B.水星的公转向心加速度比金星的大
C.水星与金星的公转轨道半径之比为sin αm∶sin βm
D.水星与金星的公转线速度之比为∶
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解析：水星的公转半径比金星小，所以水星的周期小，向心加速度大，故A错误，B正确；根据题意，当水星与地球连线与水星公转轨道相切时，α有最大值，同理，当金星与地球连线与金星公转轨道相切时，β有最大值，可知水星与金星的公转半径之比为sin αm∶sin βm，故C正确；公转线速度与成反比，故D错误。
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二、非选择题
11.(12分)一宇航员在半径为R、质量均匀分布的某星球表面做如下实验：不可伸长的长为l的轻绳一端连接一质量为m的小球，另一端固定在O点，如图所示，在最低点给小球一个初速度，使其恰能绕O点在竖直面内做圆周运动，已知小球在最高点速度为v0。引力常量为G，忽略各种阻力。求：
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(1)该星球的密度ρ；
解析：设星球表面的重力加速度为g，小球在最高点时，有mg=m，解得g=。
小球在星球表面所受的重力近似等于万有引力，有mg=G，
联立解得星球质量M=，故星球的密度ρ==。
答案：
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(2)该星球的第一宇宙速度v。
解析：假设质量为m0的物体绕该星球表面做匀速圆周运动，有G=m0，则该星球的第一宇宙速度v= ，又M=，联立解得v= 。
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12.(18分)神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一
种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的
运动规律，天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发
现了LMCX 3双星系统，它由可见星A和不可见的暗
星B构成，两星可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的线速度v和运行周期T。
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(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m'的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m'(用m1、m2表示)；
解析：设A、B的轨道半径分别为r1、r2，由题意知A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设为ω。由牛顿第二定律，有FA=m1ω2r1，FB=m2ω2r2，又FA=FB，
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设A、B之间的距离为r，有r=r1+r2，
由以上各式得r=r1①
由万有引力定律，有FA=G，
将①代入上式得FA=G，令FA=G，可得m'=。②
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(2)求暗星B的质量m2与可见星A的线速度v、运行周期T和质量m1之间的关系式。
解析：由牛顿第二定律，有G=m1③
可见星A的轨道半径r1=④
由②③④式解得=。⑤
答案：=
