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第七章《平行线与相交线》复习题
一．选择题（共10小题）
1．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠1+∠3＝180° D．∠3+∠4＝180°
2．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠DEF＝120°，则∠CDE的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
3．如图，已知AB∥CD，EF∥CD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．∠BCD＝∠DCE
B．∠ABC+∠BCE+∠CEF＝360°
C．∠BCE+∠DCE＝∠ABC+∠BCD
D．∠ABC+∠BCE﹣∠CEF＝180°
4．已知，EF∥AB，CD⊥DF，判断∠1，∠2，∠3之间的关系满足（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠2＝∠3+∠1
C．∠1+∠2﹣∠3＝90° D．∠2+∠3﹣∠1＝90°
5．如图，下列条件中，能判定AD∥CB的条件个数有（ ）
①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠D＝∠5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠BAC＝100°，则∠C的度数是（ ）
A．50° B．40° C．35° D．45°
7．如图所示，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝70°，则∠4的度数是（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
8．如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝45°，∠1+∠3+∠4＝255°，则∠2等于（ ）
A．60° B．70° C．55° D．75°
9．如图，若∠1＝∠3，则下列结论一定成立的是（ ）
A．∠1＝∠4 B．∠3＝∠4
C．∠1+∠2＝180° D．∠2+∠4＝180°
10．如图，直线a，b被c，d所截，且a∥b，则下列结论中正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠2+∠4＝180° D．∠1+∠4＝180°
二．填空题（共8小题）
11．一副三角板按如图方式摆放，若∠α＝20°，则∠β的度数为 ．
12．已知：直线a∥b，点A，B分别是a，b上的点，APB是a，b之间的一条折线段，且50°＜∠APB＜90°，Q是a，b之间且在折线段APB左侧的一点，如图，若∠AQC的一边与PA的夹角为35°，另一边与PB平行，请直接写出∠AQC，∠1，∠2之间满足的数量关系是 ．
13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D，C的对应点分别为M，N，EM与BC的交点为G，若∠EFG＝50°，则∠2﹣∠1＝ ．
14．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点B落在直线a上，若∠1＝25°，则∠2的大小为 °．
15．如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝28°，则∠1的度数是 ．
16．如图，如果AB∥CD，则角α＝130°，γ＝20°，则β＝ ．
17．在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上，若∠1＝56°，则∠2的度数是 ．
18．如图，已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD，则∠A、∠D、∠APD之间的等量关系为 ．
三．解答题（共10小题）
19．如图所示，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，试说明AC∥DF．
20．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图，探索这两个角之间的关系，并说明理由．
（1）如图①，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是 ；
证明：
（2）如图②，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是 ；
证明：
（3）经过上述证明，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角 ；
（4）若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度？
解：
21．如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，试问∠E与∠F相等吗？理由是什么？
22．已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于点C．
（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；
（2）求证：CG平分∠OCD．
23．如图，直线AB，CD被两条直线所截，已知∠1+∠2＝180°．求证：∠3＝∠4．
24．如图，已知AB∥CD，∠B＝64°，CM平分∠BCE，∠MCN＝90°．求∠DCN的度数．
25．问题解决：
（1）如图1，AC∥BD，点P在AC与BD之间，过P作PE∥AC，探究∠A、∠APB、∠B之间的数量关系，并直接写出它们之间的关系式；
（2）如图2，变换点P的位置，∠A、∠APB、∠B之间的数量关系发生了怎样的变化；写出关系式，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的基础上，AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD，写出∠APB与∠Q之间的关系式，并说明理由．
26．如图，已知∠1＝∠B，∠2＝∠C，则∠B＝∠D吗？请说明理由．
27．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠ACB＝∠EFC，请说明∠CAB＝∠DAE．
28．如图，MN∥BC，BD⊥DC．∠1＝∠2＝60°，BD是∠ABC的角平分线．
（1）AB与DE平行吗？请说明理由；
（2）试说明∠ABC＝∠C；
（3）试说明DC是∠NDE的角平分线．中小学教育资源及组卷应用平台
第七章《平行线与相交线》复习题
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C B B C A C B
一．选择题（共10小题）
1．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠1+∠3＝180° D．∠3+∠4＝180°
【思路点拔】依据AB∥CD，可得∠3+∠5＝180°，再根据∠5＝∠4，即可得出∠3+∠4＝180°．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，
∴∠3+∠5＝180°，
又∵∠5＝∠4，
∴∠3+∠4＝180°，
故选：D．
2．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠DEF＝120°，则∠CDE的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【思路点拔】延长FE交DC于点N，由平行线的性质可得出∠BCD＝∠END＝95°，再由三角形外角的定义以及性质可得出∠DEF＝∠END+∠CDE，代入计算即可得出答案．
【解答】解：延长FE交DC于点N，
∵AB∥EF，
∴∠BCD＝∠END＝95°，
∵∠DEF＝∠END+∠CDE，
∴∠CDE＝∠DEF﹣∠END＝120°﹣95°＝25°，
故选：B．
3．如图，已知AB∥CD，EF∥CD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．∠BCD＝∠DCE
B．∠ABC+∠BCE+∠CEF＝360°
C．∠BCE+∠DCE＝∠ABC+∠BCD
D．∠ABC+∠BCE﹣∠CEF＝180°
【思路点拔】根据平行线的性质，找图中的内错角，同旁内角即可判断，所以想到延长DC到G，然后结合图形去分析即可解答．
【解答】解：延长DC到G，
∵EF∥CD，
∴∠GCE＝∠CEF，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCG＝180°，
∴∠ABC+∠BCE﹣∠GCE＝180°，
∴∠ABG+∠BCE﹣∠CEF＝180°，
故选：D．
4．已知，EF∥AB，CD⊥DF，判断∠1，∠2，∠3之间的关系满足（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠2＝∠3+∠1
C．∠1+∠2﹣∠3＝90° D．∠2+∠3﹣∠1＝90°
【思路点拔】延长CD交EF于点M，延长DC交AB于点N，先由CD⊥DF得出∠DMF＝90°﹣∠1，结合EF∥AB知∠DMF＝∠CNA＝90°﹣∠1，再根据∠2＝∠3+∠CNA可得答案．
【解答】解：如图，延长CD交EF于点M，延长DC交AB于点N，
∵CD⊥DF，
∴∠MDF＝90°，
∴∠DMF＝90°﹣∠1，
又∵EF∥AB，
∴∠DMF＝∠CNA＝90°﹣∠1，
∵∠2＝∠3+∠CNA，
∴∠2＝∠3+90°﹣∠1，
则∠1+∠2﹣∠3＝90°，
故选：C．
5．如图，下列条件中，能判定AD∥CB的条件个数有（ ）
①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠D＝∠5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】由平行线的判定方法，即可判断．
【解答】解：①∠B+∠BCD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行判定AB∥DC，不能判定AD∥CB，故①不符合题意；
②∠1＝∠2，由内错角相等，两直线平行判定AD∥CB，故②符合题意；
③∠3＝∠4，由内错角相等，两直线平行判定AB∥DC，不能判定AD∥CB，故③不符合题意；
④∠D＝∠5，由内错角相等，两直线平行判定AD∥CB，故④符合题意．
∴能判定AD∥CB的条件个数有2个．
故选：B．
6．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠BAC＝100°，则∠C的度数是（ ）
A．50° B．40° C．35° D．45°
【思路点拔】由邻补角的性质得到∠EAC＝180°﹣∠BAC＝80°，由角平分线定义，得到∠DAC＝40°，由平行线的性质得到∠C＝∠DAC＝40°．
【解答】解：∵∠BAC＝100°，
∴∠EAC＝180°﹣∠BAC＝80°，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠DAC∠EAC＝40°，
∵AD∥BC，
∴∠C＝∠DAC＝40°．
故选：B．
7．如图所示，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝70°，则∠4的度数是（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【思路点拔】先根据∠1＝∠2，易证a∥b，那么有∠3+∠4＝180°，而∠3＝70°，可求得∠4的度数．
【解答】解：如图所示，
∵∠1＝72°，∠2＝72°，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠3+∠4＝180°，
∵∠3＝70°，
∴∠4＝180°﹣∠3＝110°．
故选：C．
8．如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝45°，∠1+∠3+∠4＝255°，则∠2等于（ ）
A．60° B．70° C．55° D．75°
【思路点拔】根据平行线的性质先求出∠1＝135°，结合已知可求出∠4＝75°，再根据平行线的性质可求出∠5＝75°，最后利用平角定义即可求出∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵l1∥l2，∠3＝45°，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠3＝180°﹣45°＝135°，
∵∠1+∠3+∠4＝255°，
∴∠4＝255°﹣（∠1+∠3）＝75°，
∵l1∥l2，
∴∠5＝∠4＝75°，
∴∠2＝180°﹣（∠5+∠3）＝180°﹣（75°+45°）＝180°﹣120°＝60°．
故选：A．
9．如图，若∠1＝∠3，则下列结论一定成立的是（ ）
A．∠1＝∠4 B．∠3＝∠4
C．∠1+∠2＝180° D．∠2+∠4＝180°
【思路点拔】先根据∠1＝∠3，判定AD∥BC，再根据平行线的性质，得出∠1+∠2＝180°．
【解答】解：∵∠1＝∠3，
∴AD∥BC，
∴∠1+∠2＝180°．
而AB与CD不一定平行
∴∠1与∠4不一定相等，∠3与∠4不一定相等，∠2与∠4不一定互补．
故选：C．
10．如图，直线a，b被c，d所截，且a∥b，则下列结论中正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠2+∠4＝180° D．∠1+∠4＝180°
【思路点拔】依据两直线平行，同位角相等，即可得到正确结论．
【解答】解：∵直线a，b被c，d所截，且a∥b，
∴∠3＝∠4，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．一副三角板按如图方式摆放，若∠α＝20°，则∠β的度数为 70° ．
【思路点拔】通过观察可得∠α和∠β互为余角，由此可得出答案．
【解答】解：由题意得：∠α和∠β互为余角，
又∵∠α＝20°，
∴∠β＝90°﹣20°＝70°．
故答案为：70°．
12．已知：直线a∥b，点A，B分别是a，b上的点，APB是a，b之间的一条折线段，且50°＜∠APB＜90°，Q是a，b之间且在折线段APB左侧的一点，如图，若∠AQC的一边与PA的夹角为35°，另一边与PB平行，请直接写出∠AQC，∠1，∠2之间满足的数量关系是 ∠AQC＝∠1+∠2+35° ．
【思路点拔】先过点Q作WQ∥a，得出∠5＝∠6+∠1，∠4＝∠3，再结合∠6＝35°，CQ∥BP，得出∠5＝35°+∠1，∠2＝∠3，即可作答．
【解答】解：如图：过点Q作WQ∥a，
∵a∥b，WQ∥a，
∴WQ∥a∥b，
∴∠5＝∠6+∠1，∠4＝∠3，
∵∠6＝35°，CQ∥BP，
∴∠5＝35°+∠1，∠2＝∠3，
∴∠AQC＝∠5+∠4＝∠1+∠2+35°，
故答案为：∠AQC＝∠1+∠2+35°．
13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D，C的对应点分别为M，N，EM与BC的交点为G，若∠EFG＝50°，则∠2﹣∠1＝ 20° ．
【思路点拔】先由平行线的性质可得∠EFG＝∠FED，再由折叠的性质可得∠FEG＝∠FED，即可得出∠DEG的度数，由平角的性质可得∠1的度数，再由平行线的性质即可得出∠2的度数，代入计算即可得得出答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠EFG＝∠FED＝50°，
由折叠的性质可得，
∠FEG＝∠FED＝50°，
∴∠DEG＝∠FEG+∠FED＝50°+50°＝100°，
∴∠1＝180°﹣∠DEG＝180°﹣100°＝80°，
∵∠2＝∠DEG＝100°，
∴∠2﹣∠1＝100°﹣80°＝20°．
故答案为：20°．
14．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点B落在直线a上，若∠1＝25°，则∠2的大小为 65 °．
【思路点拔】先由平角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠2的度数，即可得出结论．
【解答】解：如图．
∵∠1＝25°，∠1+∠ABC+∠3＝180°，
∴∠3＝180﹣∠1﹣∠ABC＝180°﹣25°﹣90°＝65°．
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝65°．
故答案为65．
15．如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝28°，则∠1的度数是 56° ．
【思路点拔】根据平行线的性质得出∠BCD＝∠B＝28°，根据角平分线定义求出∠ECD＝2∠BCD＝56°，再根据平行线的性质即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝28°，
∴∠BCD＝∠B＝28°，
∵CB平分∠ECD，
∴∠ECD＝2∠BCD＝56°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ECD＝56°．
故答案为：56°．
16．如图，如果AB∥CD，则角α＝130°，γ＝20°，则β＝ 70° ．
【思路点拔】过点E作EF∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥CD∥EF，根据平行线的性质即可求出β的度数．
【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠D＝∠FED，
∴∠AEF＝180°﹣130°＝50°，∠FED＝20°，
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝50°+20°＝70°．
即β＝70°．
故答案为：70°．
17．在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上，若∠1＝56°，则∠2的度数是 34° ．
【思路点拔】根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以求得∠2的度数，本题得以解决．
【解答】解：∵图中的直线互相平行，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝56°，
∴∠2＝34°，
故答案为：34°．
18．如图，已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD，则∠A、∠D、∠APD之间的等量关系为 ∠APD＝180°+∠A﹣∠D ．
【思路点拔】过点P作PE∥AB，从而可得∠A＝∠APE，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得PE∥CD，然后利用平行线的性质可得∠DPE＝180°﹣∠D，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点P作PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠D+∠DPE＝180°，
∴∠DPE＝180°﹣∠D，
∵∠APD＝∠APE+∠DPE，
∴∠APD＝∠A+180°﹣∠D，
∴∠A、∠D、∠APD之间的等量关系为：∠APD＝180°+∠A﹣∠D，
故答案为：∠APD＝180°+∠A﹣∠D．
三．解答题（共10小题）
19．如图所示，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，试说明AC∥DF．
【思路点拔】首先证明BD∥CE，然后根据平行线的性质以及已知条件，证明∠D＝∠ABD，根据同位角相等，两直线平行即可证得．
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知）
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行）
∴∠C＝∠DBA（两直线平行，同位角相等）
又∵∠C＝∠D（已知）
∴∠D＝∠DBA（等量代换）
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）
20．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图，探索这两个角之间的关系，并说明理由．
（1）如图①，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是 相等 ；
证明：
（2）如图②，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是 互补 ；
证明：
（3）经过上述证明，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角 相等或互补 ；
（4）若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度？
解：
【思路点拔】（1）根据平行线的性质易得∠1＝∠3，∠2＝∠3，则∠1＝∠2；
（2）根据平行线的性质易得∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，所以∠1+∠2＝180°；
（3）由（1）和（2）的结论进行回答；
（4）设一个角的度数为x，则另一个角的度数为3x﹣60°，根据（3）的结论进行讨论：x＝3x﹣60°或x+3x﹣60°＝180°，然后分别解方程求出x，则可得到对应两个角的度数．
【解答】解：（1）∠1＝∠2．
证明如下：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵BE∥DF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2；
故答案为：相等；
（2）∠1+∠2＝180°．
证明如下：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵BE∥DF，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠1+∠2＝180°；
故答案为：互补；
（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
故答案为：相等或互补；
（4）设一个角的度数为x，则另一个角的度数为3x﹣60°，
当x＝3x﹣60°，解得x＝30°，则这两个角的度数分别为30°，30°；
当x+3x﹣60°＝180°，解得x＝60°，则这两个角的度数分别为60°，120°．
21．如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，试问∠E与∠F相等吗？理由是什么？
【思路点拔】先根据同位角相等两直线平行得出AE∥BF，再根据两直线平行内错角相等可得∠2＝∠E，∠2＝∠F，即可求解．
【解答】解：∠E＝∠F，理由：
∵∠1＝∠A，
∴AE∥BF，
∴∠2＝∠E．
∵CE∥DF，
∴∠2＝∠F，
∴∠E＝∠F．
22．已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于点C．
（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；
（2）求证：CG平分∠OCD．
【思路点拔】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得∠ECF的度数；
（2）根据角平分线的性质、平角的定义可以求得∠OCG和∠DCG的关系，从而可以证明结论成立．
【解答】解：（1）∵直线DE∥OB，CF平分∠ACD，∠O＝40°，
∴∠ACE＝∠O，∠ACF＝∠FCD，
∴∠ACE＝40°，
∴∠ACD＝140°，
∴∠ACF＝70°，
∴∠ECF＝∠ECA+∠ACF＝40°+70°＝110°；
（2）证明：∵CF平分∠ACD，CG⊥CF，∠ACD+∠OCD＝180°，
∴∠ACF＝∠FCD，∠FCG＝90°，
∴∠FCD+∠DCG＝90°，∠ACF+∠OCG＝90°，
∴∠DCG＝∠OCG，
∴CG平分∠OCD．
23．如图，直线AB，CD被两条直线所截，已知∠1+∠2＝180°．求证：∠3＝∠4．
【思路点拔】根据对顶角相等和已知条件得到∠BAC+∠2＝180°，即可证明AB∥CD，再根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1＝∠BAC，
∴∠BAC+∠2＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠3＝∠4．
24．如图，已知AB∥CD，∠B＝64°，CM平分∠BCE，∠MCN＝90°．求∠DCN的度数．
【思路点拔】先根据平行线的性质得∠BCD＝64°，再根据角的换算即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝64°，
∴∠BCD＝64°，
∴∠BCE＝180°﹣∠BCD＝180°﹣64°＝116°，
∵CM平分∠BCE，
∴∠BCM116°＝58°，
∵∠MCN＝90°，
∴∠BCN＝∠MCN﹣∠BCM＝90°﹣58°＝32°，
∴∠DCN＝∠BCD﹣∠BCN＝64°﹣32°＝32°．
25．问题解决：
（1）如图1，AC∥BD，点P在AC与BD之间，过P作PE∥AC，探究∠A、∠APB、∠B之间的数量关系，并直接写出它们之间的关系式；
（2）如图2，变换点P的位置，∠A、∠APB、∠B之间的数量关系发生了怎样的变化；写出关系式，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的基础上，AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD，写出∠APB与∠Q之间的关系式，并说明理由．
【思路点拔】（1）由两直线平行、同旁内角互补，可得∠A+∠APE＝180°，∠B+∠BPE＝180°，进而可得∠A+∠B+∠APB＝360°；
（2）作过P作PF∥AC，由两直线平行、内错角相等，可得∠A＝∠APF，∠B＝∠BPF，进而可得∠A+∠B＝∠APB；
（3）同（2）可证∠CAQ+∠DBQ＝∠AQB，结合角平分线的定义可得，结合（2）的结论可得∠APB＝2∠Q．
【解答】解：（1）∵PE∥AC，
∴∠A+∠APE＝180°，
∵PE∥AC，AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠B+∠BPE＝180°，
∴∠A+∠B+∠APE+∠BPE＝360°，
即∠A+∠B+∠APB＝360°；
（2）∠A+∠B＝∠APB．理由如下：
如图，过P作PF∥AC，
∵PF∥AC，
∴∠A＝∠APF，
∵PF∥AC，AC∥BD，
∴PF∥BD，
∴∠B＝∠BPF，
∴∠A+∠B＝∠APF+∠BPF，
即∠A+∠B＝∠APB；
（3）∠APB＝2∠Q．理由如下：
过Q作QG∥AC，如图，
∵QG∥AC，
∴∠CAQ＝∠AQG，
∵QG∥AC，AC∥BD，
∴QG∥BD，
∴∠DBQ＝∠BQG，
∴∠CAQ+∠DBQ＝∠AQG+∠BQG，
即∠CAQ+∠DBQ＝∠AQB，
∵AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD，
∴，，
∴，
由（2）得∠PAC+∠PBD＝∠APB，
∴∠APB＝2∠Q．
26．如图，已知∠1＝∠B，∠2＝∠C，则∠B＝∠D吗？请说明理由．
【思路点拔】由∠1＝∠B，判定AD∥BC，再根据平行线的性质得出∠B+∠2＝180，等量代换之后即可证明DC∥AB，进而可得出∠B＝∠D．
【解答】解：∠B＝∠D，理由如下：
∵∠1＝∠B（已知），
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠B+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠2＝∠C（已知），
∴∠B+∠C＝180°（等量代换），
∴AB∥DC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠D（两直线平行，内错角相等），
∴∠B＝∠D（等量代换）．
27．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠ACB＝∠EFC，请说明∠CAB＝∠DAE．
【思路点拔】根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠EAB，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵∠ACB＝∠EFC，
∴∠EAB＝∠DAC，
即∠EAC+∠CAB＝∠EAC+∠DAE，
∴∠CAB＝∠DAE．
28．如图，MN∥BC，BD⊥DC．∠1＝∠2＝60°，BD是∠ABC的角平分线．
（1）AB与DE平行吗？请说明理由；
（2）试说明∠ABC＝∠C；
（3）试说明DC是∠NDE的角平分线．
【思路点拔】（1）根据MN∥BC证得∠ABC＝∠1＝60°，再根据∠1＝∠2等量代换得∠ABC＝∠2，证得结论；
（2）先根据角平分线的定义求出∠DBC＝30°，再根据BD⊥DC求出∠C＝60°，即可得得出∠ABC＝∠C；
（3）先根据平行线的性质证得∠ADE＝∠1＝60°，∠NDC＝∠C＝60°，进而求出∠CDE，证得∠CDE＝∠NDC得出结论．
【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下：
∵MN∥BC（已知），
∴∠ABC＝∠1＝60° （两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠ABC＝∠2（等量代换），
∴AB∥DE （同位角相等，两直线平行）；
（2）∵BD是∠ABC的平分线，由（1）知∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝30°，
∵BD⊥DC，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠DBC＝60°，
∴∠ABC＝∠C；
（3）∵AB∥DE，MN∥BC，
∴∠ADE＝∠1＝60°，∠NDC＝∠C＝60°，
∴∠NDE＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CDE＝60°，
∴∠CDE＝∠NDC，
∴DC是∠NDE的角平分线．
