第5节 机械能守恒定律
核心素养导学
物理观念 (1)知道什么是机械能,理解物体动能和势能的相互转化。 (2)通过机械能守恒定律的学习,初步建立能量观念、体会守恒思想。 (3)知道机械能守恒定律的内容和守恒条件。
科学思维 (1)会分析机械能守恒的条件,在具体实例中分析动能与势能(包括弹性势能)之间的相互转化。 (2)理解机械能守恒定律的推导过程。 (3)会从做功和能量转化的角度判断机械能是否守恒,能应用机械能守恒定律解决有关问题。
科学态度与责任 (1)通过对机械能守恒定律的验证,能认识科学规律的建立需要实验证据的检验。 (2)能认识机械能守恒定律对日常生活的影响。
一、动能和势能的相互转化
1.重力势能与动能的相互转化:只有重力做功时,若重力对物体做正功,则物体的重力势能 ,动能 , 转化成了动能;若重力做负功,则 转化为 。
2.弹性势能与动能的相互转化:只有弹簧弹力做功时,若弹力做正功,则弹簧弹性势能 ,物体的动能增加, 转化为动能;若弹力做负功,则 转化为 。
3.机械能: 、弹性势能和 的统称,表达式为E=Ek+Ep。
重力或弹力对物体做功时,不同形式的机械能可以发生相互转化。
二、机械能守恒定律
1.内容
在只有 或 做功的系统内,动能和势能会发生相互转化,但总机械能 。
2.表达式
Ep1+Ek1=Ep2+Ek2,即E1=E2。
3.特例
机械能守恒定律是普遍的 定律在力学范围内的一种特殊情况。
机械能守恒的条件是只有重力或系统内弹力做功,而不一定是只受重力或弹力作用。
三、关于机械能转化与守恒的实验观察
1.摆球实验:忽略 的影响,只有 对小球做功,细线的拉力不做功,小球在摆动过程中的机械能守恒。
2.弹簧、重物实验:弹簧下端悬挂钩码在竖直方向上往复运动,忽略 的影响,只有 和弹簧的 做功, 和 组成的系统机械能守恒。
1.如图所示,为伽利略的斜面实验。
请对以下结论作出判断:
(1)对于任意斜面,都可以使小球在右侧斜面上升到同样高度。 ( )
(2)只有斜面光滑时,小球才能上升到右侧斜面上同样的高度。 ( )
(3)斜面光滑时,伽利略斜面实验中的守恒量是机械能。 ( )
2.毛泽东的诗词中曾写到“一代天骄,成吉思汗,只识弯弓射大雕”。试分析在弯弓射雕过程中,涉及机械能中哪些能量之间的转化
3.物理课上,老师让学生做了一个趣味实验:用细绳把橡皮球吊在高处,并把橡皮球拉到学生的鼻子尖前释放,保持头的位置不动,橡皮球摆回来时,橡皮球会打到鼻子吗 请解释原因。
新知学习(一) 机械能守恒的理解及判断
[任务驱动]
图甲所示为游客正在乘坐翻滚过山车,图乙所示为正在比赛中的撑竿跳高运动员,图丙所示为小朋友正在玩蹦床游戏。如果忽略轨道、空气的阻力,思考以下问题:
(1)图甲中的游客和翻滚过山车整体在运行过程中有什么力做功 其机械能守恒吗
(2)图乙中的撑竿跳高运动员在靠撑竿上升的过程中有什么力做功 运动员的机械能守恒吗
(3)图丙中的小朋友在离开蹦床上升和下落过程中有什么力做功 小朋友的机械能守恒吗
[重点释解]
1.对机械能守恒条件的理解
(1)守恒条件:只有重力或系统内弹力做功。
(2)理解:
①只受重力作用,系统的机械能守恒。例如所有做抛体运动的物体。
②系统内只有重力和弹力作用,系统的机械能守恒。例如:
a.如图甲所示,小球在摆动过程中线的拉力不做功,如不计空气阻力,则只有重力做功,小球的机械能守恒。
b.如图乙所示,各接触面光滑,A自B上端自由下滑的过程中,只有重力和A、B间的弹力做功,A、B组成的系统机械能守恒。但对A来说,B对A的弹力做负功,这个力对A来说是外力,A的机械能不守恒。
c.如图丙所示,不计空气阻力,球在下落过程中,只有重力和弹簧的弹力做功,球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球来说,其机械能不守恒。
③除重力和弹力之外,还有其他力做功,但其他力做功的总和为零,系统机械能没有转化为其他形式的能,物体的机械能不变。
2.机械能守恒的判断方法
(1)通过做功角度判断——常用于单个物体
分析物体或系统受力情况(包括内力和外力),明确各力做功的情况,若对物体或系统只有重力或弹力做功,没有其他力做功或其他力做功的代数和为零,则机械能守恒。
(2)通过能量转化角度判断——常用于多个物体组成的系统
若系统中只有动能和势能的相互转化,无机械能与其他形式的能的相互转化,则系统的机械能守恒。
[针对训练]
1.如图所示,一轻弹簧固定于O点,另一端系一重物,将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放,让它自由摆下,不计空气阻力。在重物由A点摆向最低点B的过程中,下列说法正确的是 ( )
A.重物的机械能守恒
B.重物的机械能增加
C.重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D.重物与弹簧组成的系统机械能守恒
2.如图所示,下列四个选项的图中,木块均在固定的斜面上运动,其中图A、B、C中的斜面是光滑的,图D中的斜面是粗糙的。图A、B中的F为木块所受的外力,方向如图中箭头所示,图A、B、D中的木块向下运动,图C中的木块向上运动。在四个图所示的运动过程中机械能守恒的是 ( )
新知学习(二) 机械能守恒定律的应用
[重点释解]
1.机械能守恒定律的不同表达式
表达式 物理意义
从不同状态看 Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E初=E末 初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化角度看 Ek2-Ek1=Ep1-Ep2或ΔEk=-ΔEp 动能的增加量等于势能的减少量
从转移角度看 EA2-EA1=EB1-EB2或ΔEA=-ΔEB 系统只有A、B两物体时,A增加的机械能等于B减少的机械能
2.应用机械能守恒定律的基本思路
[典例体验]
[典例] [选自鲁科版教材“例题”]荡秋千是一种常见的娱乐休闲活动(如图)。若秋千绳的长度l=2 m,荡到最高点时秋千绳与竖直方向的夹角θ=60°。取重力加速度g=9.8 m/s2,求荡到最低点时秋千的速度大小。(忽略阻力及秋千绳的质量,且人在秋千上的姿势可视为不变)
尝试解答:
[拓展] 在现实中,若人在荡秋千时姿势不变,秋千将逐渐停下来,这是有阻力的缘故。因此,人荡秋千时,只有在保持姿势不变且忽略阻力的情况下,其机械能才守恒。为什么有的人可以越荡越高,他是怎么做到的呢 请分析原因。
[针对训练]
1.如图所示,质量为m的小球从距桌面h1高处的A点由静止释放,自由下落到地面上的B点,桌面离地高为h2。选择桌面为参考平面,则小球 ( )
A.在A点时的重力势能为-mgh1
B.在A点时的机械能为mg(h1+h2)
C.在B点时的重力势能为mgh2
D.在B点时的机械能为mgh1
2.如图所示,质量m=60 kg 的运动员以6 m/s 的速度从高h=8 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下,以最低点B为零势能面,g=10 m/s2,一切阻力可忽略不计。求:
(1)运动员在A点时的机械能;
(2)运动员到达最低点B时的速度大小;
(3)运动员继续沿斜坡向上运动能到达的最大高度。
新知学习(三) 系统机械能守恒的三类模型
[典例体验]
[例1·轻绳模型] 如图所示,质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B,用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧,轻绳正好拉直,且A物体底面与地面接触,B物体距地面高度为0.8 m。求:(g取10 m/s2)
(1)放开B物体,当B物体着地时A物体的速度;
(2)B物体着地后A物体还能上升的高度(不会与滑轮相碰)。
尝试解答:
[例2·轻杆模型] 如图所示,有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动,在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B,杆长为L。开始时,杆静止在水平位置,求无初速度释放后杆转到竖直位置时,A、B两小球的速度各是多少
尝试解答:
[例3·轻弹簧模型] (多选)如图所示,足够长的光滑斜面固定在水平地面上,轻质弹簧与A、B物块相连,A、C物块由跨过光滑小滑轮的轻绳连接。初始时刻,C在外力作用下静止,绳中恰好无拉力,B放置在水平面上,A静止。现撤去外力,物块C沿斜面向下运动,当C运动到最低点时,B对地面的压力刚好为零。已知A、B的质量均为m,弹簧始终处于弹性限度内,则上述过程中 ( )
A.C的质量mC可能小于m
B.C的速度最大时,A的加速度为零
C.C的速度最大时,弹簧的弹性势能最小
D.A、B、C构成的系统的机械能先变大后变小
听课记录:
[内化模型]
1.轻绳连接的物体系统
(1)常见情景
(2)三点提醒
①分清两物体是速度大小相等,还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体,一般绳上的力要做功,机械能不守恒;但对于绳连接的系统,机械能则可能守恒。
2.轻杆连接的物体系统
(1)常见情景
(2)三大特点
①平动时两物体线速度大小相等,转动时两物体角速度大小相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。
③对于杆和物体组成的系统,忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统机械能守恒。
3.轻弹簧连接的物体系统
题型 特点 由轻弹簧连接的物体系统,一般既有重力做功,又有弹簧弹力做功,这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化,而总的机械能守恒。
两点 提醒 ①对同一弹簧,弹性势能的大小由弹簧的形变量决定,无论弹簧伸长还是压缩。 ②物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量往往有关联。
一、好素材分享——看其他教材如何落实核心素养
物理观念——动能与势能的相互转化
1.(选自粤教版教材“讨论与交流”)如图所示是一个网球竖直下落,与地面碰撞并回弹的过程。若网球与地面接触过程中机械能守恒,空气阻力可忽略不计,试分析以下过程中各有什么力做功,动能和势能之间如何转化。
(1)网球下落的过程;
(2)网球与地面接触至下落到最低点的过程;
(3)网球从最低点上升至离开地面的过程;
(4)网球离开地面至上升到最高点的过程。
科学态度与责任——地铁线路节能坡
2.(选自粤教版教材“资料活页”)地铁线路理想的纵断面是将车站设在纵断面的坡顶上,如图所示,列车进站时上坡,将动能转化为势能,列车出站时下坡,再将势能转化为动能,这样有利于减少机械能的消耗,达到节能的目的。因此在进行地铁线路纵断面的设计时,应根据沿线地形、地质及施工方法等因素,尽量将地下或地面车站布置在纵断面的坡顶上,并设置合理的进出站坡度,以减少机械能消耗。
例如,广州地铁3号线北延段就加入了节能坡的设计。这是国内首条时速达到120 km的地铁,根据节能坡的原理和相关研究,节能坡的坡度(坡面的垂直高度h和水平距离l的比)维持在25‰~30‰,坡长根据最高运行速度设计为250~350 m。
二、新题目精选——品立意深处所蕴含的核心价值
1.(2024·重庆高考)2024年5月3日,嫦娥六号探测器成功发射,开启月球背面采样之旅,探测器的着陆器上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中 ( )
A.减速阶段所受合外力为0
B.悬停阶段不受力
C.自由下落阶段机械能守恒
D.自由下落阶段加速度大小g=9.8 m/s2
2.如图甲所示是一打桩机的简易模型。质量m=1 kg的物体在拉力F作用下从与钉子接触处由静止开始运动,上升一段高度后撤去F,到最高点后自由下落,撞击钉子,将钉子打入2 cm深度,且物体不再被弹起。
若以初始状态物体与钉子接触处所在平面为零势能面,物体上升过程中,机械能E与上升高度h的关系图像如图乙所示。撞击前不计所有摩擦,钉子质量忽略不计,重力加速度g取10 m/s2,则 ( )
A.物体上升过程的加速度为12 m/s2
B.物体上升过程的最大速度为2 m/s
C.物体上升到0.25 m高度处拉力F的瞬时功率为10 W
D.钉子受到的平均阻力为600 N
微专题整合——非质点类物体的机械能守恒问题
类型(一) “液柱”类问题
(1)不计液体与筒壁的摩擦阻力时,对液柱整体来说,只有重力做功,机械能守恒。
(2)液体总的重力势能的减少量转化为所有液体的动能。
[应用体验]
1.如图所示,粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体,开始时两边液面高度差为h,管中液柱总长度为4h,后来让液体自由流动,当两液面高度相等时,右侧液面下降的速度为(重力加速度大小为g) ( )
A. B.
C. D.
类型(二) “链条”类问题
(1)均匀链条的重心在链条的中心。
(2)桌面光滑时,链条滑落过程中机械能守恒。
[应用体验]
2.如图所示,长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上,且使长度的垂在桌边,松手后链条从静止开始沿桌边下滑,则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为(重力加速度大小为g) ( )
A. B. C. D.4
类型(三) “过山车”类问题
(1)“过山车”若能安全通过固定的圆形轨道,在最高点时速度至少为。
(2)若过山车长度L>2πR时,当过山车充满圆形轨道时,对应速度最小。
[应用体验]
3.如图所示,露天娱乐场空中列车是由许多节完全相同的车厢组成,列车先沿光滑水平轨道行驶,然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道,若列车全长为L(L >2πR),R远大于一节车厢的长度和高度,那么列车在运行到圆形光滑轨道前的速度至少要多大,才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)。
第5节 机械能守恒定律
落实必备知识
[预读教材]
一、
1．减少 增加 重力势能 动能 重力势能 2.减少 弹性势能 动能 弹性势能 3.重力势能 动能
二、
1．重力 弹力 保持不变 3.能量守恒
三、
1．空气阻力 重力 2.空气阻力 重力 弹力 弹簧 钩码
[情境创设]
1．(1)× (2)√ (3)√
2．提示：箭被射出过程中，弓的弹性势能转化为箭的动能；箭上升过程中，箭的动能转化为重力势能；箭下落过程中，箭的重力势能转化为动能。
3．提示：橡皮球不会打到鼻子。由伽利略的理想斜面实验知，若没有阻力，橡皮球刚好能回到初位置，遵循机械能守恒定律。若存在阻力，机械能损失，橡皮球速度为零时的高度低于开始下落时的高度，橡皮球一定不能到达鼻子的位置。
强化关键能力
新知学习(一)
[任务驱动]
提示：(1)游客和翻滚过山车整体在运行过程中重力做功，其机械能守恒。
(2)撑竿跳高运动员上升的过程中重力、竿的弹力都做功，运动员的机械能不守恒；但运动员和撑竿组成的系统机械能守恒。
(3)小朋友在离开蹦床上升和下落过程中重力、弹性绳的弹力做功，小朋友的机械能不守恒；但小朋友和弹性绳组成的系统机械能守恒。
[针对训练]
1．选D 重物由A点摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，故选项A、B错误；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以重物与弹簧组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能，等于重物获得的动能与弹簧的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。
2．选C 根据力的做功情况来判断机械能守恒的条件是只有重力(或系统内弹力)做功。在图A、B中木块受三个力作用，即重力、支持力和外力F，因外力F做功，故机械能不守恒。图D中因有摩擦力做功，机械能亦不可能守恒。只有图C中除重力做功外，其他力不做功，故机械能守恒。
新知学习(二)
[典例] 解析：以人和秋千座椅组成的系统为研究对象并将其视为质点，受力分析如图所示。选择秋千在最低位置时的水平面为零势能参考平面。设秋千荡到最高点A处为初状态，在最低点B处为末状态。已知l＝2 m，θ＝60°。
初动能Ek1＝0，此时重力势能Ep1＝mgl(1－cos θ)。末动能Ek2＝mv2，此时重力势能Ep2＝0。
根据机械能守恒定律有Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1
即mv2＝mgl(1－cos θ)
所以v＝＝ m/s
≈4.4 m/s。
答案：4.4 m/s
[拓展] 提示：人荡秋千时越荡越高，是在荡秋千的过程中，人通过做一些合适的动作做功，将人体内的化学能转化为人和秋千的机械能的缘故。
[针对训练]
1．选D 选择桌面为参考平面，小球在A点的重力势能为mgh1，选项A错误；小球在A点的机械能等于重力势能和动能之和，而动能为零，所以在A点的机械能为mgh1，选项B错误；小球在B点的重力势能为－mgh2，小球在B点的机械能与在A点的机械能相同，也是mgh1，选项C错误，选项D正确。
2．解析：(1)运动员在A点时的机械能
E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgh＝5 880 J。
(2)运动员从A运动到B的过程，根据机械能守恒定律得E＝mvB2，解得vB＝ ＝14 m/s。
(3)运动员从A运动到斜坡上最高点的过程，
由机械能守恒得E＝mghm，解得hm＝9.8 m。
答案：(1)5 880 J (2)14 m/s (3)9.8 m
新知学习(三)
[例1] 解析：(1)法一：由E1＝E2
对A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为零势能参考平面，则mBgh＝mAgh＋(mA＋mB)v2，
解得v＝ ＝ m/s
＝2 m/s。
法二：由ΔEk增＝ΔEp减，得(mA＋mB)v2＝mBgh－mAgh
解得v＝2 m/s。
法三：由ΔEA增＝ΔEB减，得
mAgh＋mAv2＝mBgh－mBv2
解得v＝2 m/s。
(2)当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，由机械能守恒定律可得mAgh′＝mAvA2，则A还能上升的高度为
h′＝＝ m＝0.2 m。
答案：(1)2 m/s (2)0.2 m
[例2] 解析：把A、B两小球和杆看成一个系统，杆对A、B两小球的弹力为系统的内力，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。以A球在最低点的位置所在的水平面为零势能参考平面，则初状态：系统的动能为Ek1＝0，重力势能为Ep1＝2mgL；末状态(即杆转到竖直位置)：系统的动能为Ek2＝mvA2＋mvB2，重力势能为Ep2＝mg；由机械能守恒定律得2mgL＝mgL＋mvA2＋mvB2
又因为在转动过程中A、B两球的角速度相同，故vA＝2vB，联立解得vA＝，vB＝。
答案：
[例3] 选BCD 弹簧原来的压缩量x1＝；当C运动到最低点时，B对地面的压力刚好为零，可知弹簧的拉力等于B的重力，则弹簧此时的伸长量为x2＝；x1＝x2，弹簧初、末状态的弹性势能相等。由于A、B、C和弹簧构成的系统机械能守恒，则有mCg sin α·＝mg·(α是斜面的倾角)，解得mC sin α＝m，由于sin α<1，所以mC>m，选项A错误。C的速度最大时，加速度为零，则有绳子拉力T＝mCgsin α＝mg，A的加速度为零，此时弹簧的弹力为零，弹簧的弹性势能最小，选项B、C正确。由于A、B、C和弹簧构成的系统机械能守恒，而弹簧先由压缩恢复原长再拉伸，所以弹性势能先减小后增加，故A、B、C构成的系统的机械能先变大后变小，选项D正确。
浸润学科素养和核心价值
一、
1．提示：(1)网球下落过程中，网球的重力势能转化为网球的动能。
(2)网球与地面接触至下落到最低点的过程中，网球的动能、重力势能的减少量全部转化为网球的弹性势能。
(3)网球从最低点上升到离开地面的过程中，网球的弹性势能转化为网球的动能和重力势能。
(4)网球离开地面上升到最高点的过程中，网球的动能全部转化为网球的重力势能。
二、
1．选C 组合体在减速阶段有加速度，合外力不为0，故A错误；组合体在悬停阶段加速度为0，处于平衡状态，合外力为0，但仍受重力和向上的力，故B错误；组合体在自由下落阶段只受重力，机械能守恒，故C正确；月球表面重力加速度不为9.8 m/s2，故D错误。
2．选B 物体在拉力F作用下向上加速运动，撤去F瞬间，物体速度最大，之后只受重力作用，机械能守恒，由题图乙可知，物体上升1.0 m高度时的机械能为E＝mgh1＋mv12，代入数据解得物体上升过程中最大速度v1＝2 m/s，根据匀变速直线运动的速度—位移公式得v12＝2ah1，可得物体上升过程中的加速度为a＝2 m/s2，故A错误，B正确；物体上升到0.25 m高度处时，根据速度—位移公式得v22＝2ah2，解得v2＝1 m/s，根据牛顿第二定律得F－mg＝ma，解得F＝12 N，则此处拉力F的瞬时功率为P＝Fv2＝12 W，故C错误；根据机械能守恒定律得物体与钉子撞击时的动能为12 J，钉子打入2 cm深度的过程，对物体和钉子整体，根据动能定理得mgh3－fh3＝0－12 J，其中h3＝0.02 m，代入数据得钉子受到的平均阻力f＝610 N，故D错误。
微专题整合——非质点类物体的机械能守恒问题
[应用体验]
1．选A 当两液面高度相等时，液体减少的重力势能转化为全部液体的动能，且各部分液体的速度大小相同，根据机械能守恒定律得mg·h＝mv2，解得v＝ ，选项A正确。
2．选C 由机械能守恒定律得ΔEp减＝ΔEk增，即mg·L＋mg·L＝mv2，所以v＝，选项C正确。
3．解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时速度最小，设此时的速度为v，列车的质量为M，
圆形轨道上那部分列车的质量M′＝·2πR
由机械能守恒定律可得Mv02＝Mv2＋M′gR
又因圆形轨道顶部车厢应满足mg＝m，
可求得v0＝ 。
答案：
1 / 11(共111张PPT)
机械能守恒定律
第 5 节
核心素养导学
物理观念 (1)知道什么是机械能，理解物体动能和势能的相互转化。
(2)通过机械能守恒定律的学习，初步建立能量观念、体会守恒思想。
(3)知道机械能守恒定律的内容和守恒条件。
科学思维 (1)会分析机械能守恒的条件，在具体实例中分析动能与势能(包括弹性势能)之间的相互转化。
(2)理解机械能守恒定律的推导过程。
(3)会从做功和能量转化的角度判断机械能是否守恒，能应用机械能守恒定律解决有关问题。
科学态度与责任 (1)通过对机械能守恒定律的验证，能认识科学规律的建立需要实验证据的检验。
(2)能认识机械能守恒定律对日常生活的影响。
续表
1
四层学习内容1落实必备知识
2
四层学习内容2强化关键能力
3
四层学习内容3·4浸润学科素养和核心价值
CONTENTS
目录
4
课时跟踪检测
四层学习内容1落实必备知识
一、动能和势能的相互转化
1.重力势能与动能的相互转化：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能______，动能______，__________转化成了动能；若重力做负功，则______转化为_____________。
减少
增加
重力势能
动能
重力势能
2.弹性势能与动能的相互转化：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧弹性势能______，物体的动能增加，__________转化为动能；若弹力做负功，则_______转化为______________。
3.机械能：___________、弹性势能和_______的统称，表达式为E=Ek+Ep。
[微点拨]
重力或弹力对物体做功时，不同形式的机械能可以发生相互转化。
减少
弹性势能
动能
弹性势能
重力势能
动能
二、机械能守恒定律
1.内容
在只有_______或_______做功的系统内，动能和势能会发生相互转化，但总机械能____________。
2.表达式
Ep1+Ek1=Ep2+Ek2，即E1=E2。
重力
弹力
保持不变
3.特例
机械能守恒定律是普遍的____________定律在力学范围内的一种特殊情况。
[微点拨]
机械能守恒的条件是只有重力或系统内弹力做功，而不一定是只受重力或弹力作用。
能量守恒
三、关于机械能转化与守恒的实验观察
1.摆球实验：忽略___________的影响，只有_______对小球做功，细线的拉力不做功，小球在摆动过程中的机械能守恒。
2.弹簧、重物实验：弹簧下端悬挂钩码在竖直方向上往复运动，忽略__________的影响，只有______和弹簧的_____做功，_______和_______组成的系统机械能守恒。
空气阻力
重力
空气阻力
重力
弹力
弹簧
钩码
1.如图所示，为伽利略的斜面实验。
请对以下结论作出判断：
(1)对于任意斜面，都可以使小球在右侧斜面上升到同样高度。( )
(2)只有斜面光滑时，小球才能上升到右侧斜面上同样的高度。( )
(3)斜面光滑时，伽利略斜面实验中的守恒量是机械能。( )
×
√
√
2.毛泽东的诗词中曾写到“一代天骄，
成吉思汗，只识弯弓射大雕”。试分析在
弯弓射雕过程中，涉及机械能中哪些能量
之间的转化
提示：箭被射出过程中，弓的弹性势能转化为箭的动能；箭上升过程中，箭的动能转化为重力势能；箭下落过程中，箭的重力势能转化为动能。
3.物理课上，老师让学生做了一个趣味
实验：用细绳把橡皮球吊在高处，并把橡皮
球拉到学生的鼻子尖前释放，保持头的位置
不动，橡皮球摆回来时，橡皮球会打到鼻子吗 请解释原因。
提示：橡皮球不会打到鼻子。由伽利略的理想斜面实验知，若没有阻力，橡皮球刚好能回到初位置，遵循机械能守恒定律。若存在阻力，机械能损失，橡皮球速度为零时的高度低于开始下落时的高度，橡皮球一定不能到达鼻子的位置。
四层学习内容2强化关键能力
图甲所示为游客正在乘坐翻滚过山车，图乙所示为正在比赛中的撑竿跳高运动员，图丙所示为小朋友正在玩蹦床游戏。如果忽略轨道、空气的阻力，思考以下问题：
新知学习(一) 机械能守恒的理解及判断
任务驱动
(1)图甲中的游客和翻滚过山车整体在运行过程中有什么力做功 其机械能守恒吗
提示：游客和翻滚过山车整体在运行过程中重力做功，其机械能守恒。
(2)图乙中的撑竿跳高运动员在靠撑竿上升的过程中有什么力做功 运动员的机械能守恒吗
提示：撑竿跳高运动员上升的过程中重力、竿的弹力都做功，运动员的机械能不守恒；但运动员和撑竿组成的系统机械能守恒。
(3)图丙中的小朋友在离开蹦床上升和下落过程中有什么力做功 小朋友的机械能守恒吗
提示：小朋友在离开蹦床上升和下落过程中重力、弹性绳的弹力做功，小朋友的机械能不守恒；但小朋友和弹性绳组成的系统机械能守恒。
1.对机械能守恒条件的理解
(1)守恒条件：只有重力或系统内弹力做功。
(2)理解：
①只受重力作用，系统的机械能守恒。例如所有做抛体运动的物体。
重点释解
②系统内只有重力和弹力作用，系统的机械能守恒。例如：
a.如图甲所示，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力，则只有重力做功，小球的机械能守恒。
b.如图乙所示，各接触面光滑，A自B上端自由下滑的过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒。但对A来说，B对A的弹力做负功，这个力对A来说是外力，A的机械能不守恒。
c.如图丙所示，不计空气阻力，球在下落过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球来说，其机械能不守恒。
③除重力和弹力之外，还有其他力做功，但其他力做功的总和为零，系统机械能没有转化为其他形式的能，物体的机械能不变。
2.机械能守恒的判断方法
(1)通过做功角度判断——常用于单个物体
分析物体或系统受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。
(2)通过能量转化角度判断——常用于多个物体组成的系统
若系统中只有动能和势能的相互转化，无机械能与其他形式的能的相互转化，则系统的机械能守恒。
1.如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是 ( )
针对训练
A.重物的机械能守恒
B.重物的机械能增加
C.重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D.重物与弹簧组成的系统机械能守恒
√
解析：重物由A点摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，故选项A、B错误；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以重物与弹簧组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能，等于重物获得的动能与弹簧的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。
2.如图所示，下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的。图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动。在四个图所示的运动过程中机械能守恒的是 ( )
√
解析：根据力的做功情况来判断机械能守恒的条件是只有重力(或系统内弹力)做功。在图A、B中木块受三个力作用，即重力、支持力和外力F，因外力F做功，故机械能不守恒。图D中因有摩擦力做功，机械能亦不可能守恒。只有图C中除重力做功外，其他力不做功，故机械能守恒。
1.机械能守恒定律的不同表达式
新知学习(二) 机械能守恒定律的应用
重点释解
表达式 物理意义
从不同 状态看 Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E初=E末 初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化 角度看 Ek2-Ek1=Ep1-Ep2或ΔEk=-ΔEp 动能的增加量等于势能的减少量
从转移 角度看 EA2-EA1=EB1-EB2或ΔEA= -ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2.应用机械能守恒定律的基本思路
[典例] [选自鲁科版教材“例题”]荡秋千是一种常见的娱乐休闲活动(如图)。若秋千绳的长度l=2 m，荡到最高点
时秋千绳与竖直方向的夹角θ=60°。取重力加速
度g=9.8 m/s2，求荡到最低点时秋千的速度大小。
(忽略阻力及秋千绳的质量，且人在秋千上的姿势可视为不变)
典例体验
[解析] 以人和秋千座椅组成的系统为
研究对象并将其视为质点，受力分析如图所示。
选择秋千在最低位置时的水平面为零势能参考
平面。设秋千荡到最高点A处为初状态，在最低
点B处为末状态。已知l=2 m，θ=60°。
初动能Ek1=0，此时重力势能Ep1=mgl(1-cos θ)。末动能Ek2=mv2，此时重力势能Ep2=0。
根据机械能守恒定律有Ek2+Ep2=Ek1+Ep1
即mv2=mgl(1-cos θ)
所以v== m/s≈4.4 m/s。
[答案] 4.4 m/s
[拓展] 在现实中，若人在荡秋千时姿势不变，秋千将逐渐停下来，这是有阻力的缘故。因此，人荡秋千时，只有在保持姿势不变且忽略阻力的情况下，其机械能才守恒。为什么有的人可以越荡越高，他是怎么做到的呢 请分析原因。
提示：人荡秋千时越荡越高，是在荡秋千的过程中，人通过做一些合适的动作做功，将人体内的化学能转化为人和秋千的机械能的缘故。
1.如图所示，质量为m的小球从距桌面h1高处的A点由静止释放，自由下落到地面上的B点，桌面离地高为h2。选择桌面为参考平面，则小球 ( )
A.在A点时的重力势能为-mgh1
B.在A点时的机械能为mg(h1+h2)
C.在B点时的重力势能为mgh2
D.在B点时的机械能为mgh1
针对训练
√
解析：选择桌面为参考平面，小球在A点的重力势能为mgh1，选项A错误；小球在A点的机械能等于重力势能和动能之和，而动能为零，所以在A点的机械能为mgh1，选项B错误；小球在B点的重力势能为-mgh2，小球在B点的机械能与在A点的机械能相同，也是mgh1，选项C错误，选项D正确。
2.如图所示，质量m=60 kg的运动员以6 m/s 的速度从高h=8 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B为零势能面，g=10 m/s2，一切阻力可忽略不计。求：
(1)运动员在A点时的机械能；
解析：运动员在A点时的机械能
E=Ek+Ep=mv2+mgh=5 880 J。
答案：5 880 J
(2)运动员到达最低点B时的速度大小；
解析：运动员从A运动到B的过程，根据机械能守恒定律得E=m
解得vB= =14 m/s。
答案：14 m/s
(3)运动员继续沿斜坡向上运动能到达的最大高度。
解析：运动员从A运动到斜坡上最高点的过程，
由机械能守恒得E=mghm
解得hm=9.8 m。
答案：9.8 m
[例1·轻绳模型] 如图所示，质量分别为
3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个
定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与
地面接触，B物体距地面高度为0.8 m。求：
(g取10 m/s2)
新知学习(三) 系统机械能守恒的三类模型
典例体验
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度；
[解析] 法一：由E1=E2
对A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为零势能参考平面，则mBgh=mAgh+(mA+mB)v2，
解得v== m/s=2 m/s。
法二：由ΔEk增=ΔEp减，得(mA+mB)v2=mBgh-mAgh
解得v=2 m/s。
法三：由ΔEA增=ΔEB减，得mAgh+mAv2=mBgh-mBv2
解得v=2 m/s。
[答案] 2 m/s
(2)B物体着地后A物体还能上升的高度(不会与滑轮相碰)。
[解析] 当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，由机械能守恒定律可得mAgh'=mA，则A还能上升的高度为h'== m=0.2 m。
[答案] 0.2 m
[例2·轻杆模型] 如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L。开始时，杆静止在水平位置，求无初速度释放后杆转到竖直位置时，A、B两小球的速度各是多少
[解析] 把A、B两小球和杆看成一个系统，杆对A、B两小球的弹力为系统的内力，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。以A球在最低点的位置所在的水平面为零势能参考平面，则初状态：系统的动能为Ek1=0，重力势能为Ep1=2mgL；末状态(即杆转到竖直位置)：
系统的动能为Ek2=m+m，重力势能为Ep2=mg；
由机械能守恒定律得2mgL=mgL+m+m
又因为在转动过程中A、B两球的角速度相同，
故vA=2vB，联立解得vA=，vB=。
[答案]
[例3·轻弹簧模型] (多选)如图所示，
足够长的光滑斜面固定在水平地面上，
轻质弹簧与A、B物块相连，A、C物块
由跨过光滑小滑轮的轻绳连接。初始时刻，C在外力作用下静止，绳中恰好无拉力，B放置在水平面上，A静止。现撤去外力，物块C沿斜面向下运动，当C运动到最低点时，B对地面的压力刚好为零。已知A、B的质量均为m，弹簧始终处于弹性限度内，则上述过程中 ( )
A.C的质量mC可能小于m
B.C的速度最大时，A的加速度为零
C.C的速度最大时，弹簧的弹性势能最小
D.A、B、C构成的系统的机械能先变大后变小
[解析] 弹簧原来的压缩量x1=；当C运动到最低点时，B对地面的压力刚好为零，可知弹簧的拉力等于B的重力，则弹簧此时的伸长量为x2=；x1=x2，弹簧初、末状态的弹性势能相等。
√
√
√
由于A、B、C和弹簧构成的系统机械能守恒，则有mCg sin α·=
mg·(α是斜面的倾角)，解得mC sin α=m，由于sin α<1，所以mC>m，选项A错误。C的速度最大时，加速度为零，则有绳子拉力T=mCgsin α=mg，A的加速度为零，此时弹簧的弹力为零，弹簧的弹性势能最小，选项B、C正确。由于A、B、C和弹簧构成的系统机械能守恒，而弹簧先由压缩恢复原长再拉伸，所以弹性势能先减小后增加，故A、B、C构成的系统的机械能先变大后变小，选项D正确。
1.轻绳连接的物体系统
(1)常见情景
内化模型
(2)三点提醒
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
2.轻杆连接的物体系统
(1)常见情景
(2)三大特点
①平动时两物体线速度大小相等，转动时两物体角速度大小相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
③对于杆和物体组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
3.轻弹簧连接的物体系统
题型 特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功，又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
两点 提醒 ①对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
②物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量往往有关联。
四层学习内容3·4浸润学科
素养和核心价值
物理观念——动能与势能的相互转化
1.(选自粤教版教材“讨论与交流”)如图所示是一个网球竖直下落，与地面碰撞并回弹的过程。若网球与地面接触过程中机械能守恒，空气阻力可忽略不计，试分析以下过程中各有什么力做功，动能和势能之间如何转化。
一、好素材分享——看其他教材如何落实核心素养
(1)网球下落的过程；
提示：网球下落过程中，网球的重力势能转化为网球的动能。
(2)网球与地面接触至下落到最低点的过程；
提示：网球与地面接触至下落到最低点的过程中，网球的动能、重力势能的减少量全部转化为网球的弹性势能。
(3)网球从最低点上升至离开地面的过程；
提示：网球从最低点上升到离开地面的过程中，网球的弹性势能转化为网球的动能和重力势能。
(4)网球离开地面至上升到最高点的过程。
提示：网球离开地面上升到最高点的过程中，网球的动能全部转化为网球的重力势能。
科学态度与责任——地铁线路节能坡
2.(选自粤教版教材“资料活页”)地铁线路理想的纵断面是将车站设在纵断面的坡顶上，如图所示，列车进站时上坡，将动能转化为势能，列车出站时下坡，再将势能转化为动能，这样有利于减少机械能的消耗，达到节能的目的。
因此在进行地铁线路纵断面的设计时，应根据沿线地形、地质及施工方法等因素，尽量将地下或地面车站布置在纵断面的坡顶上，并设置合理的进出站坡度，以减少机械能消耗。
例如，广州地铁3号线北延段就加入了节能坡的设计。这是国内首条时速达到120 km的地铁，根据节能坡的原理和相关研究，节能坡的坡度(坡面的垂直高度h和水平距离l的比)维持在25‰~30‰，坡长根据最高运行速度设计为250~350 m。
1.(2024·重庆高考)2024年5月3日，嫦娥六号探测器成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器的着陆器上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中( )
A.减速阶段所受合外力为0
B.悬停阶段不受力
C.自由下落阶段机械能守恒
D.自由下落阶段加速度大小g=9.8 m/s2
√
二、新题目精选——品立意深处所蕴含的核心价值
解析：组合体在减速阶段有加速度，合外力不为0，故A错误；组合体在悬停阶段加速度为0，处于平衡状态，合外力为0，但仍受重力和向上的力，故B错误；组合体在自由下落阶段只受重力，机械能守恒，故C正确；月球表面重力加速度不为9.8 m/s2，故D错误。
2.如图甲所示是一打桩机的简易模型。质量m=1 kg的物体在拉力F作用下从与钉子接触处由静止开始运动，上升一段高度后撤去F，到最高点后自由下落，撞击钉子，将钉子打入2 cm深度，且物体不再被弹起。若以初始状态物体与钉子接触处所在平面为零势能面，物体上升过程中，机械能E与上升高度h的关系图像如图乙所示。
撞击前不计所有摩擦，钉子质量忽略不计，重力加速度g取10 m/s2，则 ( )
A.物体上升过程的加速度为12 m/s2
B.物体上升过程的最大速度为2 m/s
C.物体上升到0.25 m高度处拉力F的瞬时功率为10 W
D.钉子受到的平均阻力为600 N
√
解析：物体在拉力F作用下向上加速运动，撤去F瞬间，物体速度最大，之后只受重力作用，机械能守恒，由题图乙可知，物体上升
1.0 m高度时的机械能为E=mgh1+m，代入数据解得物体上升过程中最大速度v1=2 m/s，根据匀变速直线运动的速度—位移公式得=2ah1，可得物体上升过程中的加速度为a=2 m/s2，故A错误，B正确；
物体上升到0.25 m高度处时，根据速度—位移公式得=2ah2，解得v2=1 m/s，根据牛顿第二定律得F-mg=ma，解得F=12 N，则此处拉力F的瞬时功率为P=Fv2=12 W，故C错误；根据机械能守恒定律得物体与钉子撞击时的动能为12 J，钉子打入2 cm深度的过程，对物体和钉子整体，根据动能定理得mgh3-fh3=0-12 J，其中h3=0.02 m，代入数据得钉子受到的平均阻力f=610 N，故D错误。
微专题整合——非质点类物体的机械能守恒问题
类型(一) “液柱”类问题
(1)不计液体与筒壁的摩擦阻力时，对液柱整体来说，只有重力做功，机械能守恒。
(2)液体总的重力势能的减少量转化为所有液体的动能。
[应用体验]
1.如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(重力加速度大小为g)( )
A. B.
C. D.
√
解析：当两液面高度相等时，液体减少的重力势能转化为全部液体的动能，且各部分液体的速度大小相同，根据机械能守恒定律得mg·h=mv2，解得v=，选项A正确。
类型(二) “链条”类问题
(1)均匀链条的重心在链条的中心。
(2)桌面光滑时，链条滑落过程中机械能守恒。
[应用体验]
2.如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为(重力加速度大小为g)( )
A. B.
C. D.4
解析：由机械能守恒定律得ΔEp减=ΔEk增，即mg·L+mg·L=mv2，所以v=，选项C正确。
√
类型(三) “过山车”类问题
(1)“过山车”若能安全通过固定的圆形轨道，在最高点时速度至少为。
(2)若过山车长度L>2πR时，当过山车充满圆形轨道时，对应速度最小。
[应用体验]
3.如图所示，露天娱乐场空中列车是由许多
节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道
行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为L(L >2πR)，R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形光滑轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)。
解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时速度最小，设此时的速度为v，列车的质量为M，
圆形轨道上那部分列车的质量M'=·2πR
由机械能守恒定律可得M=Mv2+M'gR
又因圆形轨道顶部车厢应满足mg=m，
可求得v0=。
答案：
课时跟踪检测
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12
(选择题1~8小题，每小题4分；10~11小题，每小题6分。本检测卷满分80分)
A级 学考达标
1.下列物体在运动过程中，机械能守恒的是( )
A.物体在空中做平抛运动
B.跳伞运动员在空中匀减速下落
C.人乘电梯匀加速上升
D.物体沿斜面匀速下滑
√
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解析：物体在空中做平抛运动时，只有重力做功，机械能守恒，A符合题意；跳伞运动员在空中匀减速下落时，动能和重力势能均减少，机械能减少，B不符合题意；人乘电梯匀加速上升时，动能和重力势能都增加，机械能增加，C不符合题意；物体沿斜面匀速下滑时，动能不变，重力势能减少，机械能减少，D不符合题意。
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2.如图所示，无人机在空中匀速上升时，不断增加的能量是 ( )
A.动能
B.动能、重力势能
C.重力势能、机械能
D.动能、重力势能、机械能
2
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解析：无人机匀速上升，所以动能保持不变，所以选项A、B、D均错；高度不断增加，所以重力势能不断增加，在上升过程中升力对无人机做正功，所以无人机机械能不断增加，所以选项C正确。
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3.质量为1 kg的物体从倾角为30°、长2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能点，那么，当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g取10 m/s2) ( )
A.0，-5 J B.0，-10 J
C.10 J，5 J D.20 J，-10 J
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解析：物体下滑时机械能守恒，故它下滑到斜面中点时的机械能等于在初始位置的机械能，即为0，选项C、D错误；下滑到斜面中点时的重力势能Ep=-mg·sin 30°=-1×10×× J=-5 J，故选项A正确，选项B错误。
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4.(2024·浙江1月选考)如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球 ( )
A.从1到2动能减少mgh
B.从1到2重力势能增加mgh
C.从2到3动能增加mgh
D.从2到3机械能不变
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解析：由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从1到2重力势能增加mgh，从1到2动能减少量大于mgh，A错误，B正确；从2到3由于空气阻力作用，则机械能减少，重力势能减少mgh，则动能增加量小于mgh，选项C、D错误。
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5.如图所示，倾角30°的斜面连接水平面，在水平面上安装半径为R的半圆竖直挡板，质量为m的小球从斜面上高为处静止释放，到达水平面恰能贴着挡板内侧运动。不计小球体积，不计摩擦和机械能损失。则小球沿挡板运动时对挡板的作用力大小为( )
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A.0.5mg B.mg
C.1.5mg D.2mg
解析：由机械能守恒定律知，mg·=mv2，又F=m，解得F=mg，选项B正确。
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6.(2023·浙江6月选考)铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是 ( )
2
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解析：由于不计空气阻力，铅球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不随时间改变，故A错误；铅球被水平推出后做平抛运动，竖直方向有vy=gt，则被水平推出后速度大小为v=，可知速度大小与时间不是一次函数关系，故B错误；铅球被水平推出后的动能Ek=mv2=m，可知动能与时间不是一次函数关系，故C错误；由于忽略空气阻力，所以被水平推出后铅球机械能守恒，故D正确。
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7.如图所示，光滑的曲面与光滑的水平面平滑相连，一轻弹簧右端固定，质量为m的小球从高度h处由静止下滑，则 ( )
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A.小球与弹簧刚接触时，速度大小为
B.小球与弹簧接触的过程中，小球机械能守恒
C.小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为mgh
D.小球在压缩弹簧的过程中，小球的加速度保持不变
2
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解析：小球在曲面上下滑过程中，根据机械能守恒定律得mgh=mv2，得v=，即小球与弹簧刚接触时，速度大小为，故A正确；小球与弹簧接触的过程中，弹簧的弹力对小球做负功，则小球机械能不守恒，故B错误；对整个过程，根据系统的机械能守恒可知，小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为mgh，故C错误；小球在压缩弹簧的过程中，弹簧弹力增大，则小球的加速度增大，故D错误。
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8.两质量相等的小球A和B，A球系在一根不可伸长的细绳的一端，B球系在一根原长小于细绳长度的橡皮筋一端，绳与橡皮筋的另一端都固定在O点，不计细绳和橡皮筋的质量。
现将两球拉到如图所示的位置上，让细绳
和橡皮筋均水平拉直(此时橡皮筋为原长)，
然后无初速度释放，当两球通过最低点时，橡皮筋与细绳等长，小球A和B速度大小分别为vA和vB，细绳长度为L。关于上述过程，下列说法中正确的是 ( )
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A.小球A、B从释放的位置下落到最低点的过程中，细绳和橡皮筋都对小球做了功
B.小球A、B从释放的位置下落到最低点的过程中，重力对小球A、B所做的功不相等
C.在最低点时vA=vB
D.在最低点时vA>vB
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解析：下落时细绳对A球的拉力方向与速度方向始终垂直，不做功，选项A错误；因两球质量相等，两球下降的高度都是L，所以重力对两球做的功都是mgL，选项B错误；根据机械能守恒定律，对A球有mgL=m，对B球有mgL=m+Ep，Ep是橡皮筋的弹性势能。可见，在最低点时，vA>vB。选项C错误，D正确。
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9.(16分)如图为一跳台的示意图。假设运动员从雪道的最高点A由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑雪道到达跳台的B点时速度多大 当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多大 (设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦和空气阻力，取g=10 m/s2)
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解析：运动员在滑雪过程中只有重力做功，故运动员在滑雪过程中机械能守恒。取B点所在水平面为参考平面。由题意知A点到B点的高度差h1=4 m，B点到C点的高度差h2=10 m，从A点到B点的过程由机械能守恒定律得m=mgh1，
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故vB==4 m/s；
从B点到C点的过程由机械能守恒定律得
m=-mgh2+m，
故vC==2 m/s。
答案：4m/s 2 m/s
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B级 选考进阶
10.(多选)如图所示，固定在地面的斜面体上开有凹槽，槽内紧挨放置六个半径均为r的相同小球，各球编号
如图所示。斜面与水平轨道OA平滑连接，
OA长度为6r。现将六个小球由静止同时
释放，小球离开A点后均做平抛运动，
不计一切摩擦。则在各小球运动过程中，下列说法正确的是( )
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A.球1的机械能守恒
B.球6在OA段机械能增大
C.球6的水平射程最大
D.有三个球落地点相同
解析：6个小球都在斜面上运动时，只有重力做功，整个系统的机械能守恒，当有部分小球在水平轨道上运动时，斜面上的小球仍在加速，球2对球1的作用力做负功，球1的机械能不守恒，故A错误；
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球6在OA段运动时，斜面上的小球在加速，球5对球6的作用力做正功，动能增加，机械能增大，故B正确；由于有部分小球在水平轨道上运动时，斜面上的小球仍在加速，所以可知离开A点时球6的速度最小，水平射程最小，故C错误；由于OA长度为6r，最后三个小球在水平面上运动时不再加速，小球3、2、1的速度相等，水平射程相同，落地点位置相同，故D正确。
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11.(多选)粗细均匀、内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中 ( )
A.水柱的重力做正功
B.大气压力对水柱做负功
C.水柱的机械能守恒
D.当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS(h1-h2)2
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√
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解析：整个过程水柱的机械能守恒，
重力做功等于重力势能的减少量，等于
水柱增加的动能，等效于把左管高
的水柱移至右管，如图中的斜线所示，重心下降，重力做正功：WG=ρgS·=ρgS(h1-h2)2，故A、C、D正确，B错误。
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12.(20分)如图所示装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成。其中轨道Ⅰ由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接，高度差分别是h1=0.20 m、h2=0.10 m，BC水平距离L=1.00 m，轨道Ⅱ由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成，且A点与F点等高，当弹簧压缩量为d时，恰能使质量m=0.05 kg的滑块沿轨道Ⅰ上升到B点；当弹簧压缩量为2d时，恰能使滑块沿轨道Ⅰ上升到C点。(已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比，g取10 m/s2)
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(1)当弹簧压缩量为d时，求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小；
解析：以A点所在的水平面为参考平面，由机械能守恒定律可得
E弹=ΔEk=ΔEp=mgh1=0.05×10×0.2 J=0.1 J
由ΔEk=m可得v0=2 m/s。
答案：0.1 J 2 m/s
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(2)求滑块与轨道BC间的动摩擦因数；
解析：由E弹∝d2，可得ΔEk'=E弹'=4E弹=4mgh1
由动能定理可得-mg(h1+h2)-μmgL=-ΔEk'
解得μ=0.5。
答案：0.5
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(3)当弹簧压缩量为d时，若沿轨道Ⅱ运动，滑块能否上升到B点 请通过计算说明理由。
解析：恰能通过圆形轨道最高点必须满足的条件是mg=
由机械能守恒定律有v=v0=2 m/s,得Rm=0.4 m
当R≤0.4 m时，滑块能上升到B点；当R>0.4 m时，滑块不能上升到B点。
答案：不一定，原因见解析
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4课时跟踪检测(十五) 机械能守恒定律
(选择题1～8小题，每小题4分；10～11小题，每小题6分。本检测卷满分80分)
A级——学考达标
1．下列物体在运动过程中，机械能守恒的是( )
A．物体在空中做平抛运动
B．跳伞运动员在空中匀减速下落
C．人乘电梯匀加速上升
D．物体沿斜面匀速下滑
2．如图所示，无人机在空中匀速上升时，不断增加的能量是( )
A．动能 B．动能、重力势能
C．重力势能、机械能 D．动能、重力势能、机械能
3．质量为1 kg的物体从倾角为30°、长2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能点，那么，当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g取10 m/s2)( )
A．0，－5 J B．0，－10 J
C．10 J,5 J D．20 J，－10 J
4．(2024·浙江1月选考)如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球( )
A．从1到2动能减少mgh
B．从1到2重力势能增加mgh
C．从2到3动能增加mgh
D．从2到3机械能不变
5．如图所示，倾角30°的斜面连接水平面，在水平面上安装半径为R的半圆竖直挡板，质量为m的小球从斜面上高为处静止释放，到达水平面恰能贴着挡板内侧运动。不计小球体积，不计摩擦和机械能损失。则小球沿挡板运动时对挡板的作用力大小为( )
A．0.5mg B．mg
C．1.5mg D．2mg
6．(2023·浙江6月选考)铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是( )
7．如图所示，光滑的曲面与光滑的水平面平滑相连，一轻弹簧右端固定，质量为m的小球从高度h处由静止下滑，则( )
A．小球与弹簧刚接触时，速度大小为
B．小球与弹簧接触的过程中，小球机械能守恒
C．小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为mgh
D．小球在压缩弹簧的过程中，小球的加速度保持不变
8．两质量相等的小球A和B，A球系在一根不可伸长的细绳的一端，B球系在一根原长小于细绳长度的橡皮筋一端，绳与橡皮筋的另一端都固定在O点，不计细绳和橡皮筋的质量。现将两球拉到如图所示的位置上，让细绳和橡皮筋均水平拉直(此时橡皮筋为原长)，然后无初速度释放，当两球通过最低点时，橡皮筋与细绳等长，小球A和B速度大小分别为vA和vB，细绳长度为L。关于上述过程，下列说法中正确的是( )
A．小球A、B从释放的位置下落到最低点的过程中，细绳和橡皮筋都对小球做了功
B．小球A、B从释放的位置下落到最低点的过程中，重力对小球A、B所做的功不相等
C．在最低点时vA＝vB
D．在最低点时vA>vB
9．(16分)如图为一跳台的示意图。假设运动员从雪道的最高点A由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑雪道到达跳台的B点时速度多大？当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多大？(设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦和空气阻力，取g＝10 m/s2)
B级——选考进阶
10．(多选)如图所示，固定在地面的斜面体上开有凹槽，槽内紧挨放置六个半径均为r的相同小球，各球编号如图所示。斜面与水平轨道OA平滑连接，OA长度为6r。现将六个小球由静止同时释放，小球离开A点后均做平抛运动，不计一切摩擦。则在各小球运动过程中，下列说法正确的是( )
A．球1的机械能守恒
B．球6在OA段机械能增大
C．球6的水平射程最大
D．有三个球落地点相同
11．(多选)粗细均匀、内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中( )
A．水柱的重力做正功
B．大气压力对水柱做负功
C．水柱的机械能守恒
D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是
ρgS(h1－h2)2
12．(20分)如图所示装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成。其中轨道Ⅰ由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接，高度差分别是h1＝0.20 m、h2＝0.10 m，BC水平距离L＝1.00 m，轨道Ⅱ由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成，且A点与F点等高，当弹簧压缩量为d时，恰能使质量m＝0.05 kg的滑块沿轨道Ⅰ上升到B点；当弹簧压缩量为2d时，恰能使滑块沿轨道Ⅰ上升到C点。(已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比，g取10 m/s2)
(1)当弹簧压缩量为d时，求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小；
(2)求滑块与轨道BC间的动摩擦因数；
(3)当弹簧压缩量为d时，若沿轨道Ⅱ运动，滑块能否上升到B点？请通过计算说明理由。
课时跟踪检测(十五)
1．选A 物体在空中做平抛运动时，只有重力做功，机械能守恒，A符合题意；跳伞运动员在空中匀减速下落时，动能和重力势能均减少，机械能减少，B不符合题意；人乘电梯匀加速上升时，动能和重力势能都增加，机械能增加，C不符合题意；物体沿斜面匀速下滑时，动能不变，重力势能减少，机械能减少，D不符合题意。
2．选C 无人机匀速上升，所以动能保持不变，所以选项A、B、D均错；高度不断增加，所以重力势能不断增加，在上升过程中升力对无人机做正功，所以无人机机械能不断增加，所以选项C正确。
3．选A 物体下滑时机械能守恒，故它下滑到斜面中点时的机械能等于在初始位置的机械能，即为0，选项C、D错误；下滑到斜面中点时的重力势能Ep＝－mg·sin 30°＝－1×10×× J＝－5 J，故选项A正确，选项B错误。
4．选B 由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从1到2重力势能增加mgh，从1到2动能减少量大于mgh，A错误，B正确；从2到3由于空气阻力作用，则机械能减少，重力势能减少mgh，则动能增加量小于mgh，选项C、D错误。
5．选B 由机械能守恒定律知，mg·＝mv2，又F＝m，解得F＝mg，选项B正确。
6．选D 由于不计空气阻力，铅球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不随时间改变，故A错误；铅球被水平推出后做平抛运动，竖直方向有vy＝gt，则被水平推出后速度大小为v＝，可知速度大小与时间不是一次函数关系，故B错误；铅球被水平推出后的动能Ek＝mv2＝m，可知动能与时间不是一次函数关系，故C错误；由于忽略空气阻力，所以被水平推出后铅球机械能守恒，故D正确。
7．选A 小球在曲面上下滑过程中，根据机械能守恒定律得mgh＝mv2，得v＝，即小球与弹簧刚接触时，速度大小为，故A正确；小球与弹簧接触的过程中，弹簧的弹力对小球做负功，则小球机械能不守恒，故B错误；对整个过程，根据系统的机械能守恒可知，小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为mgh，故C错误；小球在压缩弹簧的过程中，弹簧弹力增大，则小球的加速度增大，故D错误。
8．选D 下落时细绳对A球的拉力方向与速度方向始终垂直，不做功，选项A错误；因两球质量相等，两球下降的高度都是L，所以重力对两球做的功都是mgL，选项B错误；根据机械能守恒定律，对A球有mgL＝mvA2，对B球有mgL＝mvB2＋Ep，Ep是橡皮筋的弹性势能。可见，在最低点时，vA>vB。选项C错误，D正确。
9．解析：运动员在滑雪过程中只有重力做功，故运动员在滑雪过程中机械能守恒。取B点所在水平面为参考平面。由题意知A点到B点的高度差h1＝4 m，B点到C点的高度差h2＝10 m，从A点到B点的过程由机械能守恒定律得mvB2＝mgh1，
故vB＝＝4 m/s；
从B点到C点的过程由机械能守恒定律得
mvB2＝－mgh2＋mvC2，
故vC＝＝2 m/s。
答案：4 m/s 2 m/s
10．选BD 6个小球都在斜面上运动时，只有重力做功，整个系统的机械能守恒，当有部分小球在水平轨道上运动时，斜面上的小球仍在加速，球2对球1的作用力做负功，球1的机械能不守恒，故A错误；球6在OA段运动时，斜面上的小球在加速，球5对球6的作用力做正功，动能增加，机械能增大，故B正确；由于有部分小球在水平轨道上运动时，斜面上的小球仍在加速，所以可知离开A点时球6的速度最小，水平射程最小，故C错误；由于OA长度为6r，最后三个小球在水平面上运动时不再加速，小球3、2、1的速度相等，水平射程相同，落地点位置相同，故D正确。
11．选ACD 整个过程水柱的机械能守恒，重力做功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高的水柱移至右管，如图中的斜线所示，重心下降，重力做正功：WG＝ρgS＝ρgS(h1－h2)2，故A、C、D正确，B错误。
12．解析：(1)以A点所在的水平面为参考平面，由机械能守恒定律可得
E弹＝ΔEk＝ΔEp＝mgh1＝0.05×10×0.2 J＝0.1 J
由ΔEk＝mv02可得v0＝2 m/s。
(2)由E弹∝d2，可得ΔEk′＝E弹′＝4E弹＝4mgh1
由动能定理可得－mg(h1＋h2)－μmgL＝－ΔEk′
解得μ＝0.5。
(3)恰能通过圆形轨道最高点必须满足的条件是mg＝
由机械能守恒定律有v＝v0＝2 m/s
得Rm＝0.4 m
当R≤0.4 m时，滑块能上升到B点；
当R>0.4 m时，滑块不能上升到B点。
答案：(1)0.1 J 2 m/s (2)0.5 (3)不一定，原因见解析
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