13.1 三角形中的边的关系 教学设计 初中数学沪科版（2024）八年级上册
文档属性
| 名称 | 13.1 三角形中的边的关系 教学设计 初中数学沪科版（2024）八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 285.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-15 16:43:32 | ||
图片预览
文档简介
13.1.1 三角形中边的关系
一、教材内容分析
本节课是沪科版教材《数学八年级（上）》第十三章《三角形中的边角关系、命题与证明》第一节第1课时，主要研究：三角形中边的关系。三角形是由线段围成的最简单的平面封闭图形，是边数最少的多边形,是研究其他多边形的基础。在初中学段，对三角形性质的研究中，首先关注的是组成要素。角与角的关系（内角和180°），边与边的关系（两边之和大于第三边），边与角的关系（大角对大边，等角对等边），研究这些组成要素之间的关系，就可以得到基本性质。然后，再往外拓展相关要素，研究其它性质，如高线性质、中线性质、角平分线性质，外角等等。容易发现，对一般三角形的研究，隐含了几何图形的研究通法。
二、教学目标分析
《义务教育数学课程标准》在“课程设计思路”中明确指出：“在数学课程中应注重发展学生的几何直观和推理能力．”依据《课程标准》，遵循我校八年级学生的年龄特征和认知规律，结合教材确定了本节课的教学目标．
1．在小学阶段对三角形认识的基础上，进一步了解三角形的定义、表示方法和分类；
2．经历合作探究三角形三边关系的过程，渗透演绎推理的意识，发展合情推理和演绎推理能力；
3．通过运用三角形的三边关系解决简单问题，培养学生用数学语言表达世界的能力，有条理地分析问题和解决问题的能力；
三、学生学情分析
学生在小学阶段已学习过三角形，包括等腰三角形和等边三角形，了解三角形有关元素的名称，但限于小学时的认知水平和教学要求，对三角形的概念表述还不够严谨。因此，教师应通过必要的引导，让学生形成对三角形概念的准确理解。本节课的按边分类，是在学生已有经验的基础上进行。但等边三角形是等腰三角形的特殊情况，学生容易出现混淆，需要引导学生紧扣定义，进行辨析。小学阶段的数学学习主要建立在观察实验和经验的基础上，由感知实物世界过渡到数值计算和直观思维。初中阶段，学生们会对数学知识产生“刨根问底”的强烈愿望，此时是进行逻辑思维训练的最佳阶段。在这个时段，应该积极引导学生进行抽象思维，建构数学知识链。只有懂得“道理”，学生才能学得清晰，才会有条理地表达自己的思考过程，言之有理，落笔有据。本节课，为什么“任意两边之和大于第三边”，如何导出“任意两边之差小于第三边”，显得尤为重要。因此依据本节课内容和学生学情确定教学重难点是：
教学重点：三角形的三边关系的探究及其简单运用
教学难点：学生自主发现、提出、推导三角形三边关系。
四、教学策略分析
数学是思维的体操，中学生学习数学的主要目的是培养数学素养，发展智力，学习科学的思维方法。本节课是学生开始较为深入、系统地探究平面几何图形，不仅在知识上有铺垫作用，在探究方法和探究思路上更具有很强的启迪作用。因此，本节课主要采用启发探究式教学方法，在每个教学环节中注重引领学生总结反思，从哪里入手、用什么方法、探究什么内容，怎么去运用知识解决问题，在课堂小结环节，除知识总结外，还试图引领学生关注探究思路和方法，为日后研究其他图形奠定方法基础和策略基础。
五、教学过程设计
（一）创设情景，引入定义
【教师活动】展示一组图片。
【学生活动】欣赏图片，读出这些图形形象的共性特征。
【设计意图】图片欣赏，自然引入三角形。从生活现实中获得研究对象，拉近生活与数学之间的距离，感受生活与数学的整体统一。
【教师活动】请学生动手画一个三角形，并说一说是怎么画的。（让一位学生上黑板作图）
【学生活动】经历定义三角形的过程，体验如何用数学的严谨方式定义一个研究对象。
【设计意图】“画三角形”的目的：将生活图片抽象为数学图形。从“生活中的三角形”走向“数学图形的三角形”。三角形定义是一个操作性定义，在自己亲手画三角形的过程中，孩子们不难明白，“不在同一条直线上”，“首尾顺次相接”的含义。而这些就是它的图形特征。在学生概括的过程中，先让学生独立思考，然后小组内交流各自想法，通过组内交流，互相补充、互相完善，形成组内答案。然后班内展示，教师再适时指导和引导，最终总结出三角形概念。
【教师活动】同学们，刚才这位同学画了三条线段，围成了三角形。是哪三条线段呢？我们怎么表示这三条线段呢？如何表示这个三角形呢？
【学生活动】学生主动对三个顶点进行字母表示
【教学内容】顺理成章地得出组成要素
以及三角形的表示法。强化边的两种
表示、三角形的角和角的区别，以及
“△ABC”一般是按照字母顺序进行
书写等细节。
【设计意图】先给出三角形的图形和文字表述，指导学生认识，这两种表示方式分别为
“图形语言”“文字语言”，然后给出三角形的符号语言表述，并对顶点、边、内角的表示
及注意事项进行讲解。然后让学生按照自主完成-小组交流-班内展示交流的模式完成跟踪练习，巩固和加深对三种语言表述方法的认识。
【教师活动】出示跟踪练习，填写下列表格，表示出相应三角形及其元素.
文字语言 三角形
图形语言
几何语言 三角形 △MPQ
边 边，边，边
角
顶点
【学生活动】自主完成-小组交流-班内展示交流
（二）感悟体验，形成分类
【教学内容】我们在七年级时，学习过两条线段的长短比较。让学生观察所画的三角形，判断三条线段的长短。引导学生从边长“相等不相等”的角度来概括归纳。
【学生活动】回忆等边和等腰三角形的概念，抓住定义对谁是谁的特殊情况进行辨析。
【教学内容】现在咱们能以“三角形的边”为分类标准，对所有三角形进行归类吗？
【学生活动】在刚才的基础上，更进一步完成分类。
【设计意图】先让学生对最容易混淆的等腰和等边三角形进行辨析，再进行全体三角形分类，可以有效突破难点，学生更易于接受。教师引导学生寻找是否“有两边相等”。有两边相等就是等腰，没有两边相等就是不等边。“分类”，是理解数学结构的关键一环，也是理清研究顺序的重要一环。对于“分类”，教师适时给予渗透，希望可以利用分类，来发展学生的研究意识和思维水平。
（三）数智探索，发现边的规律
【教师活动】刚才我们讨论了三角形中，“有没有两条边相等”，据此对三角形进行了分类。继续观察所画三角形，三条边相互之间还有没有其它的大小关系呢？
【学生活动】回忆小学所学。
【教师活动】用GeoGebra开发“动态三角形实验室”定制工具，输入任意两边一角，AI预测第三边的范围。
【学生活动】学生动手操作，发现能不能组成三角形与三边长度有关。
【教师活动】引导学生操作实验，得出结论
【学生活动】学生可以通过实验中AI模拟出的数据得出，三角形的三边满足的关系。
【设计意图】学生经历用符号语言表示、用文字语言概括的过程。本环节，学生通过动手操作，观察，对比，不难得出“三角形两边之和大于第三边”。但引导孩子思考其中的道理，知其然更要知其所以然。
合作探究，归纳性质【教师活动】根据刚才同学们的发现，我们能不能用数学知识去解释为什么“三角形两边之和大于第三边”呢？出示情景问题，小明从家出发，去学校，有几条路，哪条最短。
【学生活动】两点之间，线段最短。
【教师活动】用不等式表示发现的结果。
【学生活动】学生独立思考，自主完成。一位同学投影展示说明。
【教师活动】论证这位同学的发现，再来看看能不能由两条线段的和得到差的形式呢？
学生说出“移项”之后，进入探究。
【学生活动】学生独立思考，自主完成。
【教学内容】文字语言总结，板书推论。
【教师活动】关于第三边的取值范围，我们是不是也可以确定？板书应用。
【设计意图】整个探究过程从特殊到一般，先动手操作，观察，发现，猜想，再证明，得出三边关系及其推论：三角形任意两边之差小于第三边。最后进入三边关系的应用：求第三边的取值范围。引导学生提炼得出解决此类问题的方法，即：则以a,b为两边的三角形的第三边的取值范围为：。
（四）内化新知，巩固应用
【教学内容】出示例题：等腰三角形中，周长为18cm
1、如果腰长是底边长的2倍，求各边的长；
2、如果一边长为4cm，求另两边的长。
变式：等腰三角形的周长为18cm，求腰长的取值范围
【学生活动】学生先独立思考、再交流探究
【设计意图】本环节是知识运用过程，让学生先独立思考、再交流探究，确保学生思维的调动，通过变式练习，侧重分类讨论思想在等腰三角形三边关系中的运用。关注学生在整个过程中，能否通过解题体会出“如何去研究”，思维是否得到训练，创造力是否得到培养。
【教学内容】出示跟踪练习
（1）如右图，其中共有 个三角形，分别是 。
（2）已知一个三角形的两边长分别为7和11,
则该三角形第三条边长度的范围是 。
（3）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A、15cm、10cm、7cm B、 4cm、5cm、10cm
C、 3cm、8cm、5cm D、 2cm、3cm、4cm
（4）已知等腰三角形的一边长为3 cm,且它的周长为12 cm,则它的底边长为( )
A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.3 cm或6 cm
【设计意图】本环节跟踪练习，重点就“仅验证最小两边之和大于第三边”“分类讨论”
两点进行引领和交流。进一步加深学生对知识的理解，提高学生运用知识解决问题的能力。
（五）梳理小结，布置作业
【教学内容】同学们对三角形有了哪些新的认识呢？
三角形的探究：1.定义；2.表示；3.按边分类；4.性质（三边长度之间的关系）
【教学内容】先由学生畅谈收获，然后教师给出上述板书，引导学生从知识和研究方法两个
层面关注本节课的收获。最后问学生，你们觉得三角形的内容我们研究完了吗？你还想研
究哪些内容，你会怎么去研究，为下一节内容作铺垫，结束本节课的学习。
【设计说明】小结环节，既有学生的分享，也有教师的总结。既有知识点梳理，也有探究方法的总结。揭示对研究对象的背景、研究对象的定义、对研究对象的分类为前提的性质研究，最终形成一个研究数学问题的思维体系，体现了“思维之道”．依据几何图形的定义、组成要素，分类，研究性质的逻辑思维顺序，真正为发生学习迁移奠定基础．
【教学内容】分层布置作业，设置必做题和选做题。
必做题
1.以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是 （ ）
A. 2,3,4 B. 2,3,5 C.2,5,10 D.8,4,4
2.一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是（ ）
A. 7 B. 9 C. 12 D. 9或12
3. 已知等腰三角形的一边长等于12 cm，腰长是底边长的，求它的周长.
选做题
已知一个三角形的三边长分别为，其中有两边相等，求此三角形周长.
5、在书本后面章节中,选择你喜欢的一个环节，对它进行深入研究。
【设计意图】作业设计分层，必做题为本节基础知识的巩固，要求所有学生完成。选做题是课堂活动的延展，既面向全体学生，又满足学生个性发展的需要，是“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的较好体现．
六、板书设计
13.1 三角形中边的关系
一、三角形定义 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 组成元素：顶点、边、(内）角 2.表示法：“△” “△ABC” 二、三角形按边分类 三、三角形三边关系 1.定理：（内容） 2.推论：（内容） 3.应用： 已知a、b,则第三边x的取值范围是： 学生作答区 图形展示区
学生作答区 作图区
【设计意图】板书不仅仅可以对本节课的关键性知识一目了然，减轻学生认知负担，利于学生学习、记忆，而且也利于学生学习迁移和类比思考，
一、教材内容分析
本节课是沪科版教材《数学八年级（上）》第十三章《三角形中的边角关系、命题与证明》第一节第1课时，主要研究：三角形中边的关系。三角形是由线段围成的最简单的平面封闭图形，是边数最少的多边形,是研究其他多边形的基础。在初中学段，对三角形性质的研究中，首先关注的是组成要素。角与角的关系（内角和180°），边与边的关系（两边之和大于第三边），边与角的关系（大角对大边，等角对等边），研究这些组成要素之间的关系，就可以得到基本性质。然后，再往外拓展相关要素，研究其它性质，如高线性质、中线性质、角平分线性质，外角等等。容易发现，对一般三角形的研究，隐含了几何图形的研究通法。
二、教学目标分析
《义务教育数学课程标准》在“课程设计思路”中明确指出：“在数学课程中应注重发展学生的几何直观和推理能力．”依据《课程标准》，遵循我校八年级学生的年龄特征和认知规律，结合教材确定了本节课的教学目标．
1．在小学阶段对三角形认识的基础上，进一步了解三角形的定义、表示方法和分类；
2．经历合作探究三角形三边关系的过程，渗透演绎推理的意识，发展合情推理和演绎推理能力；
3．通过运用三角形的三边关系解决简单问题，培养学生用数学语言表达世界的能力，有条理地分析问题和解决问题的能力；
三、学生学情分析
学生在小学阶段已学习过三角形，包括等腰三角形和等边三角形，了解三角形有关元素的名称，但限于小学时的认知水平和教学要求，对三角形的概念表述还不够严谨。因此，教师应通过必要的引导，让学生形成对三角形概念的准确理解。本节课的按边分类，是在学生已有经验的基础上进行。但等边三角形是等腰三角形的特殊情况，学生容易出现混淆，需要引导学生紧扣定义，进行辨析。小学阶段的数学学习主要建立在观察实验和经验的基础上，由感知实物世界过渡到数值计算和直观思维。初中阶段，学生们会对数学知识产生“刨根问底”的强烈愿望，此时是进行逻辑思维训练的最佳阶段。在这个时段，应该积极引导学生进行抽象思维，建构数学知识链。只有懂得“道理”，学生才能学得清晰，才会有条理地表达自己的思考过程，言之有理，落笔有据。本节课，为什么“任意两边之和大于第三边”，如何导出“任意两边之差小于第三边”，显得尤为重要。因此依据本节课内容和学生学情确定教学重难点是：
教学重点：三角形的三边关系的探究及其简单运用
教学难点：学生自主发现、提出、推导三角形三边关系。
四、教学策略分析
数学是思维的体操，中学生学习数学的主要目的是培养数学素养，发展智力，学习科学的思维方法。本节课是学生开始较为深入、系统地探究平面几何图形，不仅在知识上有铺垫作用，在探究方法和探究思路上更具有很强的启迪作用。因此，本节课主要采用启发探究式教学方法，在每个教学环节中注重引领学生总结反思，从哪里入手、用什么方法、探究什么内容，怎么去运用知识解决问题，在课堂小结环节，除知识总结外，还试图引领学生关注探究思路和方法，为日后研究其他图形奠定方法基础和策略基础。
五、教学过程设计
（一）创设情景，引入定义
【教师活动】展示一组图片。
【学生活动】欣赏图片，读出这些图形形象的共性特征。
【设计意图】图片欣赏，自然引入三角形。从生活现实中获得研究对象，拉近生活与数学之间的距离，感受生活与数学的整体统一。
【教师活动】请学生动手画一个三角形，并说一说是怎么画的。（让一位学生上黑板作图）
【学生活动】经历定义三角形的过程，体验如何用数学的严谨方式定义一个研究对象。
【设计意图】“画三角形”的目的：将生活图片抽象为数学图形。从“生活中的三角形”走向“数学图形的三角形”。三角形定义是一个操作性定义，在自己亲手画三角形的过程中，孩子们不难明白，“不在同一条直线上”，“首尾顺次相接”的含义。而这些就是它的图形特征。在学生概括的过程中，先让学生独立思考，然后小组内交流各自想法，通过组内交流，互相补充、互相完善，形成组内答案。然后班内展示，教师再适时指导和引导，最终总结出三角形概念。
【教师活动】同学们，刚才这位同学画了三条线段，围成了三角形。是哪三条线段呢？我们怎么表示这三条线段呢？如何表示这个三角形呢？
【学生活动】学生主动对三个顶点进行字母表示
【教学内容】顺理成章地得出组成要素
以及三角形的表示法。强化边的两种
表示、三角形的角和角的区别，以及
“△ABC”一般是按照字母顺序进行
书写等细节。
【设计意图】先给出三角形的图形和文字表述，指导学生认识，这两种表示方式分别为
“图形语言”“文字语言”，然后给出三角形的符号语言表述，并对顶点、边、内角的表示
及注意事项进行讲解。然后让学生按照自主完成-小组交流-班内展示交流的模式完成跟踪练习，巩固和加深对三种语言表述方法的认识。
【教师活动】出示跟踪练习，填写下列表格，表示出相应三角形及其元素.
文字语言 三角形
图形语言
几何语言 三角形 △MPQ
边 边，边，边
角
顶点
【学生活动】自主完成-小组交流-班内展示交流
（二）感悟体验，形成分类
【教学内容】我们在七年级时，学习过两条线段的长短比较。让学生观察所画的三角形，判断三条线段的长短。引导学生从边长“相等不相等”的角度来概括归纳。
【学生活动】回忆等边和等腰三角形的概念，抓住定义对谁是谁的特殊情况进行辨析。
【教学内容】现在咱们能以“三角形的边”为分类标准，对所有三角形进行归类吗？
【学生活动】在刚才的基础上，更进一步完成分类。
【设计意图】先让学生对最容易混淆的等腰和等边三角形进行辨析，再进行全体三角形分类，可以有效突破难点，学生更易于接受。教师引导学生寻找是否“有两边相等”。有两边相等就是等腰，没有两边相等就是不等边。“分类”，是理解数学结构的关键一环，也是理清研究顺序的重要一环。对于“分类”，教师适时给予渗透，希望可以利用分类，来发展学生的研究意识和思维水平。
（三）数智探索，发现边的规律
【教师活动】刚才我们讨论了三角形中，“有没有两条边相等”，据此对三角形进行了分类。继续观察所画三角形，三条边相互之间还有没有其它的大小关系呢？
【学生活动】回忆小学所学。
【教师活动】用GeoGebra开发“动态三角形实验室”定制工具，输入任意两边一角，AI预测第三边的范围。
【学生活动】学生动手操作，发现能不能组成三角形与三边长度有关。
【教师活动】引导学生操作实验，得出结论
【学生活动】学生可以通过实验中AI模拟出的数据得出，三角形的三边满足的关系。
【设计意图】学生经历用符号语言表示、用文字语言概括的过程。本环节，学生通过动手操作，观察，对比，不难得出“三角形两边之和大于第三边”。但引导孩子思考其中的道理，知其然更要知其所以然。
合作探究，归纳性质【教师活动】根据刚才同学们的发现，我们能不能用数学知识去解释为什么“三角形两边之和大于第三边”呢？出示情景问题，小明从家出发，去学校，有几条路，哪条最短。
【学生活动】两点之间，线段最短。
【教师活动】用不等式表示发现的结果。
【学生活动】学生独立思考，自主完成。一位同学投影展示说明。
【教师活动】论证这位同学的发现，再来看看能不能由两条线段的和得到差的形式呢？
学生说出“移项”之后，进入探究。
【学生活动】学生独立思考，自主完成。
【教学内容】文字语言总结，板书推论。
【教师活动】关于第三边的取值范围，我们是不是也可以确定？板书应用。
【设计意图】整个探究过程从特殊到一般，先动手操作，观察，发现，猜想，再证明，得出三边关系及其推论：三角形任意两边之差小于第三边。最后进入三边关系的应用：求第三边的取值范围。引导学生提炼得出解决此类问题的方法，即：则以a,b为两边的三角形的第三边的取值范围为：。
（四）内化新知，巩固应用
【教学内容】出示例题：等腰三角形中，周长为18cm
1、如果腰长是底边长的2倍，求各边的长；
2、如果一边长为4cm，求另两边的长。
变式：等腰三角形的周长为18cm，求腰长的取值范围
【学生活动】学生先独立思考、再交流探究
【设计意图】本环节是知识运用过程，让学生先独立思考、再交流探究，确保学生思维的调动，通过变式练习，侧重分类讨论思想在等腰三角形三边关系中的运用。关注学生在整个过程中，能否通过解题体会出“如何去研究”，思维是否得到训练，创造力是否得到培养。
【教学内容】出示跟踪练习
（1）如右图，其中共有 个三角形，分别是 。
（2）已知一个三角形的两边长分别为7和11,
则该三角形第三条边长度的范围是 。
（3）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A、15cm、10cm、7cm B、 4cm、5cm、10cm
C、 3cm、8cm、5cm D、 2cm、3cm、4cm
（4）已知等腰三角形的一边长为3 cm,且它的周长为12 cm,则它的底边长为( )
A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.3 cm或6 cm
【设计意图】本环节跟踪练习，重点就“仅验证最小两边之和大于第三边”“分类讨论”
两点进行引领和交流。进一步加深学生对知识的理解，提高学生运用知识解决问题的能力。
（五）梳理小结，布置作业
【教学内容】同学们对三角形有了哪些新的认识呢？
三角形的探究：1.定义；2.表示；3.按边分类；4.性质（三边长度之间的关系）
【教学内容】先由学生畅谈收获，然后教师给出上述板书，引导学生从知识和研究方法两个
层面关注本节课的收获。最后问学生，你们觉得三角形的内容我们研究完了吗？你还想研
究哪些内容，你会怎么去研究，为下一节内容作铺垫，结束本节课的学习。
【设计说明】小结环节，既有学生的分享，也有教师的总结。既有知识点梳理，也有探究方法的总结。揭示对研究对象的背景、研究对象的定义、对研究对象的分类为前提的性质研究，最终形成一个研究数学问题的思维体系，体现了“思维之道”．依据几何图形的定义、组成要素，分类，研究性质的逻辑思维顺序，真正为发生学习迁移奠定基础．
【教学内容】分层布置作业，设置必做题和选做题。
必做题
1.以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是 （ ）
A. 2,3,4 B. 2,3,5 C.2,5,10 D.8,4,4
2.一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是（ ）
A. 7 B. 9 C. 12 D. 9或12
3. 已知等腰三角形的一边长等于12 cm，腰长是底边长的，求它的周长.
选做题
已知一个三角形的三边长分别为，其中有两边相等，求此三角形周长.
5、在书本后面章节中,选择你喜欢的一个环节，对它进行深入研究。
【设计意图】作业设计分层，必做题为本节基础知识的巩固，要求所有学生完成。选做题是课堂活动的延展，既面向全体学生，又满足学生个性发展的需要，是“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的较好体现．
六、板书设计
13.1 三角形中边的关系
一、三角形定义 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 组成元素：顶点、边、(内）角 2.表示法：“△” “△ABC” 二、三角形按边分类 三、三角形三边关系 1.定理：（内容） 2.推论：（内容） 3.应用： 已知a、b,则第三边x的取值范围是： 学生作答区 图形展示区
学生作答区 作图区
【设计意图】板书不仅仅可以对本节课的关键性知识一目了然，减轻学生认知负担，利于学生学习、记忆，而且也利于学生学习迁移和类比思考，