2024-2025学年湖南省株洲市第一中学高一下学期学业质量摸底检测数学试题A（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年湖南省株洲市第一中学高一下学期学业质量摸底检测数学试题A（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 604.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-14 21:39:08 | ||
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文档简介
2024-2025学年湖南省株洲市第一中学高一下学期学业质量摸底检测数学试题A
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数（为虚数单位），则（ ）
A. 5 B. 3 C. D.
2.已知函数f（x）=sinx-ktanx+2（k∈R），若，则=（ ）
A. 5 B. 3 C. 1 D. 0
3.设是两个不同的平面,m是直线且m.“m∥”是“∥”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知点(a,0)(a>0)是函数y=2(x-)的图象的一个对称中心,则a的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知D为的边的中点，O为上一点，且满足，设，，则（ ）
A. B. C. D.
6.某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，构建了如图所示的几何模型，该模型中均与平面垂直．现已测得可直接到达的两点间距离，用测角仪测得，且在点C处测得点M，N的仰角分别为，，则M，N两点之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
8.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，若P为内一点，且，则（ ）
A. 44 B. 49 C. 88 D. 98
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若复数满足(其中是虚数单位)，则（ ）
A.
B. 的实部是2
C. 的虚部是
D. 复数的共轭复数在复平面内对应的点在第一象限
10.在锐角中，，，则（ ）
A. B. C. D.
11.若将4张铁皮进行任意无重叠地切割，分别可以焊接成底面半径均为1，高均为2的一个密闭圆锥和一个密闭圆柱、上下底面半径分别为，高为2的一个密闭圆台及直径为2的一个球（不考虑损耗），则体积与其表面积之比最大的是（ ）
A. 球 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 圆台
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数据21，19，31，25，28，18，30的极差是 .
13.已知正三棱柱的高为2,底面边长为,则该三棱柱的外接球的体积为 .
14.如图所示，在棱长为2的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，已知平面四边形中，，，.若四点共圆.
(1)求；
(2)求四边形面积的最大值.
16.(本小题12分)
已知.
(1)求的值；
(2)若是第一象限角，，求的值.
17.(本小题12分)
如图1,四边形ABCD为菱形,ABC=,PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点,将PAB沿AB边折起,使PC=3,连接PD,如图2,
(1)证明:ABPC;
(2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值;
(3)在线段PD上是否存在点N,使得PB平面MCN 若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
18.(本小题12分)
锐角的三个内角角，，所对的边分别为，，，满足．
(1)求角的大小及角的取值范围；
(2)若，求的周长的取值范围；
(3)若的外接圆的圆心为，且，求的取值范围．
19.(本小题12分)
对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的.
(1)若，求关于的“差比模”；
(2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】ABD
11.【答案】AC
12.【答案】13
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】【详解】（1）在中，
在中，
因为四点共圆，所以，则，
上述两式相加得，所以（负值舍）.
（2）由（1）得，化简得，
则，①
四边形的面积
，
整理得，
则，②
①②相加得，
即，
由于，当且仅当时，取得最小值，
此时四边形的面积最大，由，解得，
故四边形面积的最大值为.
16.【答案】【详解】（1）
即，解得或.
（2）由是第一象限角，由（1）可知，，又，
因为,
故.
17.【答案】解:（1）证明：连接,
∵△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，
∴PM⊥AB，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°．
所以为正三角形，
∴CM⊥AB，
且PMMC=M，PM，MC平面PMC，
∴AB⊥平面PMC，
∵PC 平面PMC，
∴AB⊥PC；
（2）连接BD交MC于点E，过E作PC的平行线交PM于F点，即EF//PC，
故 为异面直线BD与PC的夹角或其补角，
由,所以点E为MC靠近点M的三等分点，
则F为PM靠近点M的三等分点，
由（1）可得为正三角形，CM⊥AB，
故,,
则，，且,
所以,，
在等腰三角形中，，
故异面直线BD与PC所成角的余弦值为；
（3）在线段PD上存在点N，使得PB平面MCN，
设点N为PD靠近点P的三等分点，连接NE，
因为点E为MC靠近点M的三等分点，
所以PB∥NE，因为NE平面MNC，PB平面MNC，
所以PB∥平面MNC，满足题意，
故线段PD上存在点N，使得PB∥平面MNC，且PN=．
18.【答案】【详解】（1）锐角的三个内角角，，所对的边分别为，，，
因为，
由正弦定理可得，
所以，
故，因为为锐角，所以，
因为为锐角三角形，则，
解得，所以，角的取值范围是.
（2）因为，由正弦定理得，
所以
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以周长的取值范围为
（3）设的外接圆半径为，所以，
，所以
设，则，则，
所以
因为，所以，所以,所以,
所以，所以的取值范围为.
19.【答案】解:(1)由题意得:，
故关于的“差比模”为.
(2)先证明共轭复数有如下性质：若任意，则.
证明：设，
则，
而，
故;
,
,
故,
综上，共轭复数的性质得证.
记当“差比模”取最大值时的复数为，即,
由已知发现，
由已证明共轭复数的性质与复数模的性质可得,
因为，
所以若当时取得，则时取到，
故可知，
由取遍，不恒为常数，则，
故由基本不等式可得，
故不存在，使得关于的“差比模”是协调的.
(3)且，设，
则，
平方整理可得：
所以，
即，
平方整理得：，
令，设方程，
则，
故方程有两个不等的实数根，设为，不妨设,
由题意知，，
则，且，
故方程有两不等的正实数根，
由关于的不等式，
解得，则，，
由已知关于的“差比模”是协调的，则，
所以，
利用韦达定理，，
则有，
化简可得，
故．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数（为虚数单位），则（ ）
A. 5 B. 3 C. D.
2.已知函数f（x）=sinx-ktanx+2（k∈R），若，则=（ ）
A. 5 B. 3 C. 1 D. 0
3.设是两个不同的平面,m是直线且m.“m∥”是“∥”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知点(a,0)(a>0)是函数y=2(x-)的图象的一个对称中心,则a的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知D为的边的中点，O为上一点，且满足，设，，则（ ）
A. B. C. D.
6.某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，构建了如图所示的几何模型，该模型中均与平面垂直．现已测得可直接到达的两点间距离，用测角仪测得，且在点C处测得点M，N的仰角分别为，，则M，N两点之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
8.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，若P为内一点，且，则（ ）
A. 44 B. 49 C. 88 D. 98
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若复数满足(其中是虚数单位)，则（ ）
A.
B. 的实部是2
C. 的虚部是
D. 复数的共轭复数在复平面内对应的点在第一象限
10.在锐角中，，，则（ ）
A. B. C. D.
11.若将4张铁皮进行任意无重叠地切割，分别可以焊接成底面半径均为1，高均为2的一个密闭圆锥和一个密闭圆柱、上下底面半径分别为，高为2的一个密闭圆台及直径为2的一个球（不考虑损耗），则体积与其表面积之比最大的是（ ）
A. 球 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 圆台
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数据21，19，31，25，28，18，30的极差是 .
13.已知正三棱柱的高为2,底面边长为,则该三棱柱的外接球的体积为 .
14.如图所示，在棱长为2的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，已知平面四边形中，，，.若四点共圆.
(1)求；
(2)求四边形面积的最大值.
16.(本小题12分)
已知.
(1)求的值；
(2)若是第一象限角，，求的值.
17.(本小题12分)
如图1,四边形ABCD为菱形,ABC=,PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点,将PAB沿AB边折起,使PC=3,连接PD,如图2,
(1)证明:ABPC;
(2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值;
(3)在线段PD上是否存在点N,使得PB平面MCN 若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
18.(本小题12分)
锐角的三个内角角，，所对的边分别为，，，满足．
(1)求角的大小及角的取值范围；
(2)若，求的周长的取值范围；
(3)若的外接圆的圆心为，且，求的取值范围．
19.(本小题12分)
对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的.
(1)若，求关于的“差比模”；
(2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】ABD
11.【答案】AC
12.【答案】13
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】【详解】（1）在中，
在中，
因为四点共圆，所以，则，
上述两式相加得，所以（负值舍）.
（2）由（1）得，化简得，
则，①
四边形的面积
，
整理得，
则，②
①②相加得，
即，
由于，当且仅当时，取得最小值，
此时四边形的面积最大，由，解得，
故四边形面积的最大值为.
16.【答案】【详解】（1）
即，解得或.
（2）由是第一象限角，由（1）可知，，又，
因为,
故.
17.【答案】解:（1）证明：连接,
∵△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，
∴PM⊥AB，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°．
所以为正三角形，
∴CM⊥AB，
且PMMC=M，PM，MC平面PMC，
∴AB⊥平面PMC，
∵PC 平面PMC，
∴AB⊥PC；
（2）连接BD交MC于点E，过E作PC的平行线交PM于F点，即EF//PC，
故 为异面直线BD与PC的夹角或其补角，
由,所以点E为MC靠近点M的三等分点，
则F为PM靠近点M的三等分点，
由（1）可得为正三角形，CM⊥AB，
故,,
则，，且,
所以,，
在等腰三角形中，，
故异面直线BD与PC所成角的余弦值为；
（3）在线段PD上存在点N，使得PB平面MCN，
设点N为PD靠近点P的三等分点，连接NE，
因为点E为MC靠近点M的三等分点，
所以PB∥NE，因为NE平面MNC，PB平面MNC，
所以PB∥平面MNC，满足题意，
故线段PD上存在点N，使得PB∥平面MNC，且PN=．
18.【答案】【详解】（1）锐角的三个内角角，，所对的边分别为，，，
因为，
由正弦定理可得，
所以，
故，因为为锐角，所以，
因为为锐角三角形，则，
解得，所以，角的取值范围是.
（2）因为，由正弦定理得，
所以
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以周长的取值范围为
（3）设的外接圆半径为，所以，
，所以
设，则，则，
所以
因为，所以，所以,所以,
所以，所以的取值范围为.
19.【答案】解:(1)由题意得:，
故关于的“差比模”为.
(2)先证明共轭复数有如下性质：若任意，则.
证明：设，
则，
而，
故;
,
,
故,
综上，共轭复数的性质得证.
记当“差比模”取最大值时的复数为，即,
由已知发现，
由已证明共轭复数的性质与复数模的性质可得,
因为，
所以若当时取得，则时取到，
故可知，
由取遍，不恒为常数，则，
故由基本不等式可得，
故不存在，使得关于的“差比模”是协调的.
(3)且，设，
则，
平方整理可得：
所以，
即，
平方整理得：，
令，设方程，
则，
故方程有两个不等的实数根，设为，不妨设,
由题意知，，
则，且，
故方程有两不等的正实数根，
由关于的不等式，
解得，则，，
由已知关于的“差比模”是协调的，则，
所以，
利用韦达定理，，
则有，
化简可得，
故．
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