2024-2025学年湖南省株洲市第一中学高一下学期学业质量摸底检测数学试题B（含答案）

2024-2025学年湖南省株洲市第一中学高一下学期学业质量摸底检测数学试题B
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则（ ）
A. B. C. D. 20
2.下列函数中，周期为π且在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
3.如图，在四棱锥中，底面四边形的两组对边均不平行．给出下列命题：
①在平面内不存在直线与平行；
②在平面内存在无数多条直线与平面平行；
③平面与平面的交线与底面不平行．
其中正确的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4.先将函数的图象上所有点的横坐标扩大为原来3倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的对称中心为（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
6.如图，甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，当甲、乙两船相距最近时，行驶的时间为（ ）
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
7.已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（ ）
A. B. C. D.
8.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，设是的高，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数，则（ ）
A.
B.
C. 复数在复平面内对应的点在第一象限
D. 复数是方程在复数集内的解
10.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的是（ ）
A. 若A=,a=2,b=2,则ABC只有一解
B. 若>0,则ABC为钝角三角形
C. 若ABC的外心为O,AB=3,AC=5,则=-8
D. 若a-b=cB-cA,则ABC的形状是直角三角形
11.如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆锥母线与底面所成的角为
B. 圆锥的侧面积为
C. 挖去圆柱的体积为
D. 剩下几何体的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，34，32，41，则这8人年龄的25%分位数是 .
13.如图，在梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的半径为 ．
14.在棱长为1的正方体中，点E在线段上运动，则下列说法正确的是 .

①点E从点C运动到点的过程中，三棱锥的体积不变；
②对于每一个点E，在棱DC上总存在一点Q，使得平面；
③平面截正方体所得截面图形的面积的取值范围为；
④二面角的平面角的正切值最大为.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，证明：是直角三角形.
16.(本小题12分)
已知函数.
(1)求的最小正周期及对称中心；
(2)求在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的的值.
17.(本小题12分)
如图，在三棱台中，平面ABC，，．
(1)求三棱台的体积；
(2)证明：平面平面；
(3)求与平面所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
在中，角，，对应的边分别为，，若，，是内任一点，过点作，，的垂线，垂足分别为，，.
(1)求角；
(2)若为边中点，求的最大值；
(3)柯西不等式是以数学家柯西的名字命名.请借助于三维分式型柯西不等式：对任意，，，有：，当且仅当时等号成立.求的最小值.
19.(本小题12分)
设复数z1和z2满足关系式，其中 A为不等于0的复数．
证明：
（1）；
（2）|z1+A||z2+A|＝|A|2；
（3）．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】AB
11.【答案】ACD
12.【答案】33
13.【答案】2
14.【答案】①④
15.【答案】【详解】（1）由条件及正弦定理得，
即，得，
又，所以，所以，解得，
又，所以.
（2）解法一：由及正弦定理可得，
由余弦定理得，即，
化简得，所以，
因此，
所以是直角三角形.
解法二：因为，所以.
所以，
所以，又，故，
即是直角三角形.

16.【答案】【详解】（1）
，
故的最小正周期为，
令，故，
故对称中心为：.
（2）当时，，故，
所以，
故，此时对应的的值为；
，此时对应的的满足即；

17.【答案】【详解】（1）在三棱台中，平面，平面，则，
在直角梯形中，由，得，
而，则，，
所以
．
（2）由平面，平面，得，
又，，平面，则平面，
又平面，所以平面平面．
（3）连接，
由（2）知，平面，则与平面所成角即为，
在中，，，，
则，即与平面所成角的正弦值为．

18.【答案】解：（1）因为，
由正弦定理可得，
整理可得，
且，则，可得，
且，所以；
（2）在中，，由（1）知，
由余弦定理，即，
所以，
当且仅当时取等号，所以，
因为为边中点，所以，
所以
，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为；
（3）
，
又，，，
因为，
所以，
由三维分式型柯西不等式有：
，
当且仅当，
即时等号成立，
由余弦定理，得：，
所以，即，
则，
令，则，
因为，解得，
当且仅当时等号成立，
所以，则，
令，
则当，即时，有最大值，
则有最小值为.

19.【答案】解:(1)设=a+bi(a,bR),=c+di(c,dR),
则=a-bi,=c-di,
因为+=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i,
所以=(a+c)-(b+d)i,
又因为+=a-bi+c-di=(a+c)-(b+d)i,
所以=+；
(2)由++A=0,得(+A)(+)==,
++A|=+A|||=+A||+|=|(+A)(+)|,
由证得++A|=|(+A)( +)|=||=;
(3)A0,由(2)得+A0,+0,+A=,
由此得===,
由(2)得====||.
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