2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区源清中学高二下学期期中考数学试题（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区源清中学高二下学期期中考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点和点的直线倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数的导函数为，且，则（ ）
A. 2 B. 1 C. 8 D. 4
3.某校一次数学考试成绩服从正态分布，已知，则（ ）
A. 0.15 B. 0.25 C. 0.3 D. 0.2
4.在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.
A. 18 B. 15 C. 12 D. 9
5.已知为等差数列，且．若直线l：与圆：相切，则的公差为（ ）
A. 8 B. 4或8 C. 6 D. 2或6
6.关于二项式，若展开式中含的项的系数为，则（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. -1
7.已知抛物线，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，其中位于第一象限，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.在直三棱柱中，分别是的中点，D在线段上，则下面说法中不正确的是（ ）
A. 平面
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 直三棱柱的外接球半径为
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则（ ）
A. 椭圆C的长轴为
B. 椭圆C的离心率为
C.
D. 抛物线上与焦点距离等于9的点的坐标为
10.饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅饺子，2盒三鲜馅饺子和5盒青菜馅饺子，乙箱中有3盒肉馅饺子，3盒三鲜馅饺子和4盒青菜馅饺子，则下列正确的是（）
A. 从甲箱中取出两盒饺子都是肉馅的概率是
B. 依次从甲箱中取出两盒饺子，第一盒是肉馅的条件下，第二盒是青菜馅的概率是
C. 先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是
D. 先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，若从乙箱取出的饺子是肉馅的，则从甲箱中取出三鲜 饺子的概率是
11.已知函数其中，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. ，使有两解，则
D. 有最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，且，则 .
13.已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数 ．
14.为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，而甲不能参加C课程，则不同的报名方法数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知等差数列的首项为1，前项和为．记，数列是等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：．
16.(本小题12分)
书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
(2)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则①；②；③．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求与平面所成角的正弦值.
18.(本小题12分)
已知椭圆C：，，，，这四点中恰有三点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点E是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值；
(3)过的直线l交椭圆C于A、B两点，设直线l的斜率，在x轴上是否存在一点，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
19.(本小题12分)
已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若关于的方程有两根（其中），
①求的取值范围；
②当时，求的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】ACD
11.【答案】AD
12.【答案】1
13.【答案】1
14.【答案】100
15.【答案】【详解】（1）解：设等差数列的公差为
由题意得，，
，
，
因为数列是等差数列，
所以，即，
解得，，所以.
（2）由（1）得，
所以，
故，
所以
因为，所以，故，
因为为单调递减函数，
所以为单调递增函数，
故当时，，
综上：.

16.【答案】【详解】（1）根据频率分布直方图得：
．
（2）由题意知，即，
所以．
（3）由题意可知，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以.

17.【答案】【详解】（1）取中点，连接，由为中点，为中点，得，
又，则，因此四边形为平行四边形，
于是，而平面平面，
所以平面.
（2）过作于点，连接，由，得≌，
则，即，而，
因此，又平面，则平面，平面，
所以平面平面.
（3）由（2）知，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量，则，令，得，
设与平面所成角为，，
所以与平面所成角的正弦值是.

18.【答案】【详解】（1）因为，关于轴对称，根据题意以及椭圆的对称性可知，两点都在椭圆上，即有成立.
若在椭圆上，则有.
联立可得，，不合题意，舍去.
所以，在椭圆上，即有，所以，代入，可得.
所以，椭圆C的方程为.
（2）要使面积最大，则应有点E到直线的距离最大.
由，，可得直线方程为.
过点作直线，使得，则到直线的距离即等于直线到直线的距离.
显然，当直线与椭圆相切时，距离为最大或最小.
则设直线方程为，联立直线与椭圆的方程
可得，.
因为，直线与椭圆相切，则，
解得，.
则当时，此时直线方程为，与直线距离最大，此时.
又，
所以面积的最大值为.
（3）设，，假设在x轴上存在一点，使得、为邻边的平行四边形为菱形.
因为直线过点，则直线的方程为，
联立直线的方程与椭圆的方程可得，，
恒成立，
且，，，，
所以，
则的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为，
显然该直线过点.
令，则，即.
因为，所以，
当且仅当时，即时，等号成立.
所以，，所以，则，
所以.即实数m的取值范围为.

19.【答案】【详解】（1）当时，，所以，
由解得，由解得，
故的单调递增区间为的单调递减区间为.
（2）①由，即，即，
令，上式为，因为，
所以在上单调递增，故等价于，
即在上有两根，
令，则，
由解得，由解得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以有极大值，且当时，，
其图象如图所示：

所以的取值范围为.
②由①得在上有两根，所以，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，所以，
可得，所以，所以.

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