2024-2025学年浙江省杭州市余杭区杭二天元高二下学期期中考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年浙江省杭州市余杭区杭二天元高二下学期期中考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 319.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-14 21:46:21 | ||
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文档简介
2024-2025学年浙江省杭州市余杭区杭二天元高二下学期期中考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有排法（）
A. 144种 B. 108种 C. 120种 D. 360种
4.设是角终边上的一点，则（ ）
A. B. C. D.
5.假定生男孩和女孩是等可能的，已知某家庭有2个孩子且有女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（）
A. B. C. D.
6.已知向量、满足，，且、的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
7.下列函数中为奇函数的是（）
A. B. C. D.
8.已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知事件，满足，，则下列结论正确的是( ).
A. 若，则 B. 若与互斥，则
C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则
10.设函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为 D. 的最大值为1
11.某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量，如下表所示，若与线性相关，且经验回归方程为，则（ ）
月份编号 1 2 3 4 5
下载量万次 5 4.5 4 3.5 2.5
A. 与负相关 B.
C. 第7个月的下载量估计为1.8万次 D. 残差绝对值的最大值为0.2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 .
13.已知，则 ．
14.已知正实数满足，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
为了全面提高学生的体质健康水平，充分发挥体育考试的激励作用，吉安市今年中考体育考试成绩以满分分计入中招成绩总分，其中分钟跳绳是选考项目．某校体育组决定从九年级抽取部分学生进行跳绳测试，并将跳绳的次数按、、、、分组，得到顺率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前四个小组的频率分别是、、、，第三小组的频数是．
（1）求第五小组的频率和参加这次测试的学生人数；
（2）估计这次测试学生跳绳次数的中位数；
（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此，估计参加这次测试学生跳绳的平均次数．
16.(本小题12分)
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积.
17.(本小题12分)
已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
18.(本小题12分)
某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在两点进行投篮，共投两次．第一次投篮点可在两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点．在点投中得分，在点投中得分，未投中均得分，各次投中与否相互独立．
(1)在参赛的同学中，随机调查50名的得分情况，得到如下列联表：
得分分 得分分 合计
先在点投篮 20 5 25
先在点投篮 10 15 25
合计 30 20 50
是否有的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关？
(2)小明在点投中的概率为，在点投中的概率为．
（i）求小明第一次投中的概率；
（ii）记小明投篮总得分为，求的分布列及数学期望．
参考公式：
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19.(本小题12分)
已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12．
(1)求的解析式；
(2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值．
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】ABC
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】6
15.【答案】【详解】（1）第五小组的频率为，
第三小组的频数为，第三小组的频率为，参加这次测试的学生人数为；
（2）设学生跳绳次数的中位数为，前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，
所以，，则，解得；
（3）参加这次测试学生跳绳的平均次数约为.
16.【答案】【详解】（1）由正弦定理得.
因为，所以，，.
因为在中，，所以，.
（2）由，及余弦定理.
得，解得或（舍）
所以，.
17.【答案】【详解】（1）由题意得，
由函数在及处取得极值，得
解得，此时，，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则和分别为的极大值点和极小值点.
故.
（2）由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值．
又有三个不同的实根，所以
解得，所以实数c的取值范围是．
18.【答案】【详解】（1）零假设为：得分与第一投篮点选择独立，即得分无差异
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，因此认为得分与第一投篮点选择有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01
（2）设第次选择在点A投篮记为事件A，在点B投篮记为事件，投中记为事件，
则，,,.
（i）P(E)=，
所以小明第一次投篮命中的概率为0.5.
（ii）小明投篮总得分可取0，2，3，4，6，则
，
，
，
，
.
∴X的分布列为
X 0 2 3 4 6
P
∴.
19.【答案】【详解】（1）设，
因为不等式的解集是，
所以且方程的根为，
则，所以，
所以，其对称轴为，
故在区间上的最大值为，
所以，解得，
所以；
（2）由（1）得，其对称轴为，
当时，，
当，即时，，
当，即时，，
综上所述，，
当时，，当时取等号，
当时，，当时取等号，
当时，，
综上所述，当时，取最小值．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有排法（）
A. 144种 B. 108种 C. 120种 D. 360种
4.设是角终边上的一点，则（ ）
A. B. C. D.
5.假定生男孩和女孩是等可能的，已知某家庭有2个孩子且有女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（）
A. B. C. D.
6.已知向量、满足，，且、的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
7.下列函数中为奇函数的是（）
A. B. C. D.
8.已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知事件，满足，，则下列结论正确的是( ).
A. 若，则 B. 若与互斥，则
C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则
10.设函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为 D. 的最大值为1
11.某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量，如下表所示，若与线性相关，且经验回归方程为，则（ ）
月份编号 1 2 3 4 5
下载量万次 5 4.5 4 3.5 2.5
A. 与负相关 B.
C. 第7个月的下载量估计为1.8万次 D. 残差绝对值的最大值为0.2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 .
13.已知，则 ．
14.已知正实数满足，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
为了全面提高学生的体质健康水平，充分发挥体育考试的激励作用，吉安市今年中考体育考试成绩以满分分计入中招成绩总分，其中分钟跳绳是选考项目．某校体育组决定从九年级抽取部分学生进行跳绳测试，并将跳绳的次数按、、、、分组，得到顺率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前四个小组的频率分别是、、、，第三小组的频数是．
（1）求第五小组的频率和参加这次测试的学生人数；
（2）估计这次测试学生跳绳次数的中位数；
（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此，估计参加这次测试学生跳绳的平均次数．
16.(本小题12分)
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积.
17.(本小题12分)
已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
18.(本小题12分)
某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在两点进行投篮，共投两次．第一次投篮点可在两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点．在点投中得分，在点投中得分，未投中均得分，各次投中与否相互独立．
(1)在参赛的同学中，随机调查50名的得分情况，得到如下列联表：
得分分 得分分 合计
先在点投篮 20 5 25
先在点投篮 10 15 25
合计 30 20 50
是否有的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关？
(2)小明在点投中的概率为，在点投中的概率为．
（i）求小明第一次投中的概率；
（ii）记小明投篮总得分为，求的分布列及数学期望．
参考公式：
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19.(本小题12分)
已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12．
(1)求的解析式；
(2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值．
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】ABC
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】6
15.【答案】【详解】（1）第五小组的频率为，
第三小组的频数为，第三小组的频率为，参加这次测试的学生人数为；
（2）设学生跳绳次数的中位数为，前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，
所以，，则，解得；
（3）参加这次测试学生跳绳的平均次数约为.
16.【答案】【详解】（1）由正弦定理得.
因为，所以，，.
因为在中，，所以，.
（2）由，及余弦定理.
得，解得或（舍）
所以，.
17.【答案】【详解】（1）由题意得，
由函数在及处取得极值，得
解得，此时，，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则和分别为的极大值点和极小值点.
故.
（2）由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值．
又有三个不同的实根，所以
解得，所以实数c的取值范围是．
18.【答案】【详解】（1）零假设为：得分与第一投篮点选择独立，即得分无差异
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，因此认为得分与第一投篮点选择有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01
（2）设第次选择在点A投篮记为事件A，在点B投篮记为事件，投中记为事件，
则，,,.
（i）P(E)=，
所以小明第一次投篮命中的概率为0.5.
（ii）小明投篮总得分可取0，2，3，4，6，则
，
，
，
，
.
∴X的分布列为
X 0 2 3 4 6
P
∴.
19.【答案】【详解】（1）设，
因为不等式的解集是，
所以且方程的根为，
则，所以，
所以，其对称轴为，
故在区间上的最大值为，
所以，解得，
所以；
（2）由（1）得，其对称轴为，
当时，，
当，即时，，
当，即时，，
综上所述，，
当时，，当时取等号，
当时，，当时取等号，
当时，，
综上所述，当时，取最小值．
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