3.1 二次根式的概念及性质 第2课时 积的算术平方根与最简二次根式 教案（表格式）2025-2026学年八年级上册数学湘教版

课题 第3章 3.1 二次根式的概念及性质 第2课时 积的算术平方根与最简二次根式
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1.了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断. 2.能熟练地把二次根式化为最简二次根式. 3.了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用. 4.进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力. 5.通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点.
教学重点、难点 教学重点：会把二次根式化简为最简二次根式. 教学难点：准确运用化二次根式为最简二次根式的方法.
教学方法 由特殊到一般地获得猜想，然后以演绎推理的形式给出证明，得到性质，整个过程渗透“观察抽象—归纳猜想—演绎推理—得到法则”的思路.
教学准备 多媒体课件
教学过程 1.新课导入 1.什么叫二次根式？使二次根式有意义的条件是什么？ 2.当a≥0时，叫什么？当a＜0时，有意义吗？ 【说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作铺垫． 2.讲授新课 1.思考： （1）填空： ① ② （2）当a≥0，b≥0时，猜想和·的关系，并说明理由. 一般地，当a≥0，b≥0时，由于（·）2= （）2·（）2=a·b，因此=·. 【归纳结论】=· （a≥0，b≥0）. 上述等式就是积的算术平方根的性质，利用这一性质，可以化简二次根式. 【注意】积的算术平方根，等于积中各因式的算术 平方根的积. 【说明】对于积的算术平方根的性质，教学中要注意让学生在理解的基础上加以记忆，并灵活运用. 2.例4：化简下列二次根式： （1）； （2）； （3）. 解：（1）==×=3. （2）==×=2. （3）===6. 【注意】化简二次根式时，最后结果要求被开方数 不含开得尽方的因数. 【说明】化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外．（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数） 3.例5：化简下列二次根式： （1）； （2）. 解：（1）====. （2）====. 从例4和例5看到，二次根式经过化简后的结果，具有以下特点：被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数（或因式）.这样的二次根式叫作最简二次根式.在二次根式的运算中，要把最后结果化成最简二次根式. 【说明】通过例4和例5的教学，要引导学生概括“最简二次根式”的概念，还应引导学生总结二次根式化简的方法. 3.课堂小结 利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方开出来，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化. 利用积的算术平方根的性质确定字母的取值范围时，根据积的算术平方根的性质得出的每一个因式（包括被开方数）都是非负数，再列不等式（组）求解. 比较两个二次根式的大小，可以逆用积的算术平方根的性质，把根号外的因式移到根号内，直接比较两个被开方数的大小，对于两个正数，被开方数大的数较大. 最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是. 把二次根式化成最简二次根式时，如果被开方数不含分母，则把被开方数尽量写成一个数的平方的形式，再利用积的算术平方根的性质化简；如果被开方数含有分母，可把分子、分母同乘以一个数，把分母化为一个数或式的平方的形式，再把分母开方后移到根号外，与此同时，分子中能开方的也要移到根号外. 4.板书设计 1.积的算术平方根的性质 2.最简二次根式
教学设计反思 通过积的算术平方根与算术平方根的积的运算引入积的算术平方根的性质，让学生归纳总结出结论，并运用于化简．对于被开方数含有分母的二次根式化为最简二次根式是本节课的难点，引导学生根据分式的基本性质把分母化为一个数或式的平方，并让学生加强训练.