4.2 命题与证明 4.2.2 证明，举反例 教案（表格式）2025-2026学年八年级上册数学湘教版
文档属性
| 名称 | 4.2 命题与证明 4.2.2 证明，举反例 教案（表格式）2025-2026学年八年级上册数学湘教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 26.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-15 08:43:56 | ||
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文档简介
课题 第4章 4.2 命题与证明 4.2.2 证明，举反例
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1.了解证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式. 2.掌握综合法证明的格式. 3.通过实例体会举反例的含义. 4.通过证明步骤中由命题写出已知、求证的过程，继续训练学生的能力. 5.让学生体验从实验几何向推理几何的过渡.
教学重点、难点 教学重点：证明的含义和表述格式. 教学难点：如何构造一个反例去证明一个命题是错误的.
教学方法 本节课重点介绍证明的必要性以及证明的格式，最后介绍举反例的思路.
教学准备 多媒体课件
教学过程 1.新课导入 一般地，判断一件事情正确或不正确的句子叫作命题，命题分为真命题与假命题． 【说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作准备． 2.讲授新课 1.议一议： 如何判断一个命题是假命题呢？ 由“0.1是有理数，但不是整数”可知，命题“若a是有理数，则a是整数”是假命题.又如，由“0的绝对值是0，不是正数”可判断“有理数的绝对值是正数”是假命题.一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 例2：命题“如果ab=0，那么a=0”是真命题还是假命题 解：1×0=0，但是1≠0，因此“如果ab=0，那么a=0”是假命题. 【说明】本例题是综合法证题的示范，在过程中要给学生强调按照步骤进行证明. 2.做一做： 用举反例的方法说明下列命题是假命题. （1） 若a2=b2,则a=b； （2）一个角的余角大于这个角； （3）若a，b是有理数，则|a+b|=|a|+|b|； （4）如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角. 解：（1）a=-2，b=2，a2=b2，但是a≠b，因此“若a2=b2,则a=b”是假命题 （2）设角的度数是50°，则这个角的余角的度数是40°，这个角的余角小于这个角，因此“一个角的余角大于这个角”是假命题. （3）a=-2，b=2，a，b是有理数，但是|a+b|=0，|a|+|b|=2，所以|a+b|≠|a|+|b|，因此“若a，b是有理数，则|a+b|=|a|+|b|”是假命题. （4）两条直线互相垂直（即AB⊥CD）,∠AOC=90° ,∠AOD=90° ,∠AOC=∠AOD=90° ,但 ∠AOC 和 ∠AOD 是邻角，因此“如果∠A=∠B，那么 ∠A与∠B是对顶角”是假命题. 3.思考： 如何判断一个命题是真命题呢？ 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明. 【说明】教材举出了一些学生熟悉的简单命题让其判断真假，并不要求推理，只要学生简单地说明理由即可，其目的是帮助学生加深对真、假命题概念的理解。 以学生同桌为单位进行操练，一人负责说命题，然后另一个人来回答是真命题还是假命题，并要有适当的理由，然后反过来。 【说明】当遇到有不能解决的问题，或产生争论的时候，可以请老师裁决。 老师讲解例题： 例3：证明：如果实数a≠0或实数b≠0， 那么a2+b2≠0. 证明：若a≠0，则a为正数. 又b2为正数或0，从而a2+b2是正数， 因此a2+b2≠0. 同理可得，若b≠0，则a2+b2≠0. 例4：证明：△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60° 分析 “至少有一个”意味着“有一个”“有两个”“有三个”，因而应分三种情况进行证明，我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已知条件或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾的结论，就可否定假设，从而得出所要证明的结论. 证明：假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°，则∠A<60°，∠B<60°∠C<60°， 从而∠A+∠B+∠C<60°+60°+60°=180°. 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，故假设不成立. 因此，△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 【归纳结论】像例4这样，当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从 这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确，这种证明方法叫作反证法. 反证法基本步骤： （1）假设命题不成立； （2）导出矛盾； （3）肯定结论. 【说明】反证法与举反例是有区别的，在教学中应有所体现. 4.做一做： 用反证法证明本节例3. （让学生独立解决问题，老师进行指导讲解） 3.课堂练习 1.判断下列命题的真假. （1）有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形．（真命题） （2）素数不可能是偶数．（假命题） （3）黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人．（假命题） （4）有两个外角（不同顶点）是钝角的三角形是锐角三角形．（假命题） （5）若y(1-y)=0，则y=0．（假命题） 2.求证：△ABC中不能有两个钝角． 证明：假设△ABC中有两个钝角， 不妨设∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°， 则∠A＋∠B＋∠C＞180°. 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾， 故假设不成立. 因此，△ABC 中不能有两个钝角． 4.课堂小结 反证法基本步骤：（1）假设命题不成立；（2）导出矛盾；（3）肯定结论.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定. 5.板书设计 证明
教学设计反思 通过命题的证明学习，让学生感受到数学的严谨，初步养成学生言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力．本节课的易错点是反证法，在假设时，结论的反面找不准确或不全面．同时用反证法证明时，一定要得出矛盾，这种矛盾可以是与已知相矛盾，也可以与基本事实、定义、定理相矛盾．教学中让学生大胆参与练习，从中发现问题并纠正.
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1.了解证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式. 2.掌握综合法证明的格式. 3.通过实例体会举反例的含义. 4.通过证明步骤中由命题写出已知、求证的过程，继续训练学生的能力. 5.让学生体验从实验几何向推理几何的过渡.
教学重点、难点 教学重点：证明的含义和表述格式. 教学难点：如何构造一个反例去证明一个命题是错误的.
教学方法 本节课重点介绍证明的必要性以及证明的格式，最后介绍举反例的思路.
教学准备 多媒体课件
教学过程 1.新课导入 一般地，判断一件事情正确或不正确的句子叫作命题，命题分为真命题与假命题． 【说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作准备． 2.讲授新课 1.议一议： 如何判断一个命题是假命题呢？ 由“0.1是有理数，但不是整数”可知，命题“若a是有理数，则a是整数”是假命题.又如，由“0的绝对值是0，不是正数”可判断“有理数的绝对值是正数”是假命题.一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 例2：命题“如果ab=0，那么a=0”是真命题还是假命题 解：1×0=0，但是1≠0，因此“如果ab=0，那么a=0”是假命题. 【说明】本例题是综合法证题的示范，在过程中要给学生强调按照步骤进行证明. 2.做一做： 用举反例的方法说明下列命题是假命题. （1） 若a2=b2,则a=b； （2）一个角的余角大于这个角； （3）若a，b是有理数，则|a+b|=|a|+|b|； （4）如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角. 解：（1）a=-2，b=2，a2=b2，但是a≠b，因此“若a2=b2,则a=b”是假命题 （2）设角的度数是50°，则这个角的余角的度数是40°，这个角的余角小于这个角，因此“一个角的余角大于这个角”是假命题. （3）a=-2，b=2，a，b是有理数，但是|a+b|=0，|a|+|b|=2，所以|a+b|≠|a|+|b|，因此“若a，b是有理数，则|a+b|=|a|+|b|”是假命题. （4）两条直线互相垂直（即AB⊥CD）,∠AOC=90° ,∠AOD=90° ,∠AOC=∠AOD=90° ,但 ∠AOC 和 ∠AOD 是邻角，因此“如果∠A=∠B，那么 ∠A与∠B是对顶角”是假命题. 3.思考： 如何判断一个命题是真命题呢？ 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明. 【说明】教材举出了一些学生熟悉的简单命题让其判断真假，并不要求推理，只要学生简单地说明理由即可，其目的是帮助学生加深对真、假命题概念的理解。 以学生同桌为单位进行操练，一人负责说命题，然后另一个人来回答是真命题还是假命题，并要有适当的理由，然后反过来。 【说明】当遇到有不能解决的问题，或产生争论的时候，可以请老师裁决。 老师讲解例题： 例3：证明：如果实数a≠0或实数b≠0， 那么a2+b2≠0. 证明：若a≠0，则a为正数. 又b2为正数或0，从而a2+b2是正数， 因此a2+b2≠0. 同理可得，若b≠0，则a2+b2≠0. 例4：证明：△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60° 分析 “至少有一个”意味着“有一个”“有两个”“有三个”，因而应分三种情况进行证明，我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已知条件或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾的结论，就可否定假设，从而得出所要证明的结论. 证明：假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°，则∠A<60°，∠B<60°∠C<60°， 从而∠A+∠B+∠C<60°+60°+60°=180°. 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，故假设不成立. 因此，△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 【归纳结论】像例4这样，当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从 这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确，这种证明方法叫作反证法. 反证法基本步骤： （1）假设命题不成立； （2）导出矛盾； （3）肯定结论. 【说明】反证法与举反例是有区别的，在教学中应有所体现. 4.做一做： 用反证法证明本节例3. （让学生独立解决问题，老师进行指导讲解） 3.课堂练习 1.判断下列命题的真假. （1）有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形．（真命题） （2）素数不可能是偶数．（假命题） （3）黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人．（假命题） （4）有两个外角（不同顶点）是钝角的三角形是锐角三角形．（假命题） （5）若y(1-y)=0，则y=0．（假命题） 2.求证：△ABC中不能有两个钝角． 证明：假设△ABC中有两个钝角， 不妨设∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°， 则∠A＋∠B＋∠C＞180°. 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾， 故假设不成立. 因此，△ABC 中不能有两个钝角． 4.课堂小结 反证法基本步骤：（1）假设命题不成立；（2）导出矛盾；（3）肯定结论.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定. 5.板书设计 证明
教学设计反思 通过命题的证明学习，让学生感受到数学的严谨，初步养成学生言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力．本节课的易错点是反证法，在假设时，结论的反面找不准确或不全面．同时用反证法证明时，一定要得出矛盾，这种矛盾可以是与已知相矛盾，也可以与基本事实、定义、定理相矛盾．教学中让学生大胆参与练习，从中发现问题并纠正.
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