4.2 命题与证明 4.2.3 定理，推论 教案（表格式）2025-2026学年八年级上册数学湘教版
文档属性
| 名称 | 4.2 命题与证明 4.2.3 定理，推论 教案（表格式）2025-2026学年八年级上册数学湘教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 48.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-15 08:44:21 | ||
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文档简介
课题 第4章 4.2 命题与证明 4.2.3 定理，推论
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1.了解定理、推论与互逆命题的含义；理解证明的必要性，能经过推论证明命题. 2.通过推论证明命题，培养学生科学严谨的学习方法. 3.初步感受推论对数学发展和人类文明的价值.
教学重点、难点 教学重点：了解定理、推论与互逆命题的含义. 教学难点：理解证明的必要性、能经过推论证明命题.
教学方法 本节课为概念教学，教材呈现的均是证明推理所必需的概念.本课时通过两个栏目重点解决两件事情：一是判断一个命题为真必须要有推理；二是推理必须要有依据.
教学准备 多媒体课件
教学过程 1.新课导入 将“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题． 【说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作准备． 2.讲授新课 1.说一说：判断下列命题为真命题的依据是什么？ （1）如果a是整数，那么a是有理数． （2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是等腰三角形． （学生自己说一说，老师进行归纳总结） 【归纳结论】经过证明为真的命题叫作定理. 例如，“三角形的内角和等于180°”称为“三角形的内角和定理”． 利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. 例如，利用“三角形的内角和定理”可直接推出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，于是可将这一结论称为“三角形的内角和定理的推论”，通常将该推论简称为“三角形外角定理”. 2.探究： 如图4.2-1，在△ABC中，已知∠BAC=80°， ∠ABC=60°，∠BCA=40°，∠ACE，∠CBD， ∠BAF是△ABC的三个外角，问：这三个外角 的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？ 图4.2-1 因为∠ACE=180°-40°=140°，∠CBD=180°-60°=120°，∠BAF=180°-80°=100°， 所以∠ACE+∠CBD+∠BAF=140°+120°+100°=360°. 这启发我们猜测：三角形的三个外角之和等于360°，下面来证明. 如图4.2-2，△ABC的三个外角分别为∠BAF， ∠CBD，∠ACE. 因为∠BAF=180°-∠BAC，∠CBD=180°-∠ABC， ∠ACE=180°-∠ACB， 所以∠BAF+∠CBD+∠ACE=（180°-∠BAC)+(180°- ∠ABC)+(180°-∠ACB）=540°-（∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB）=540°-180°= 360°. 由此可得： 三角形的外角和等于360°. 【说明】引导学生写出证明过程，在实验几何中，常让学生通过观察、实验和归纳得出结论，增加学生的感官感受，使学生感受到凭实验、观察和归纳得出的结论不一定正确，使学生感受到直观是重要的，但有时也会欺骗人，这时就需要通过逻辑推理来判断，从而让学生理解证明的必要性. 3.说明： “如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题吗？它的逆命题是什么？其逆命题是真命题 （老师引出逆定理和互逆定理的概念） 如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理. 例如，平行线的性质定理1（两直线平行，同位角相等）与平行线的判定定理1（同位角相等，两直线平行）是互逆定理. （老师讲解例题） 例5：证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边. 分析 对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明. 已知：如图4.2-3，在△ABC中，∠B=∠C，AE是外角∠CAD的平分线.求证：AE//BC. 图4.2-3 证明：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，∠CAD=∠B+ ∠C. 又∠B=∠C，于是∠CAD=2∠B. 由于AE是∠CAD的平分线，因此∠CAD=2∠DAE. 从而2∠B=2∠DAE，即∠B=∠DAE. 所以AE//BC（同位角相等，两直线平行）. 【归纳结论】证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件； 第二步，根据命题的结论写出求证； 第三步，严从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及定理进行逻辑推 理计算，得出需要求证的结论；或者运用反证法证明， 4.你能举出一对互逆定理吗？ 【说明】学生小组合作交流、回答. 3.课堂练习 1.试着判断下列定理没有逆定理. （1）对顶角相等； （2）两直线平行，同旁内角互补. 解：（1）逆命题：相等的角是对顶角. 这个逆命题不正确，原定理没有逆定理． （2）逆命题：同旁内角互补，两直线平行. 这个逆命题正确，原定理有逆定理． 4.课堂小结 证明与图形有关的命题时，正确分清命题的条件和结论，是证明的关键．应先结合题意画出图形，再根据图形写出已知求证，然后进行证明. 5.板书设计 命题
教学设计反思 本节课学习了通过具体事例让学生感受到要说明一个定理成立，应当证明．涉及的概念较多，应当让学生在理解的基础上进行识记．常出的错误是：由于“任何一个命题都有逆命题”是正确的，于是错误地认为“任何一个定理都有逆定理”也是正确的.
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1.了解定理、推论与互逆命题的含义；理解证明的必要性，能经过推论证明命题. 2.通过推论证明命题，培养学生科学严谨的学习方法. 3.初步感受推论对数学发展和人类文明的价值.
教学重点、难点 教学重点：了解定理、推论与互逆命题的含义. 教学难点：理解证明的必要性、能经过推论证明命题.
教学方法 本节课为概念教学，教材呈现的均是证明推理所必需的概念.本课时通过两个栏目重点解决两件事情：一是判断一个命题为真必须要有推理；二是推理必须要有依据.
教学准备 多媒体课件
教学过程 1.新课导入 将“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题． 【说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作准备． 2.讲授新课 1.说一说：判断下列命题为真命题的依据是什么？ （1）如果a是整数，那么a是有理数． （2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是等腰三角形． （学生自己说一说，老师进行归纳总结） 【归纳结论】经过证明为真的命题叫作定理. 例如，“三角形的内角和等于180°”称为“三角形的内角和定理”． 利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. 例如，利用“三角形的内角和定理”可直接推出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，于是可将这一结论称为“三角形的内角和定理的推论”，通常将该推论简称为“三角形外角定理”. 2.探究： 如图4.2-1，在△ABC中，已知∠BAC=80°， ∠ABC=60°，∠BCA=40°，∠ACE，∠CBD， ∠BAF是△ABC的三个外角，问：这三个外角 的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？ 图4.2-1 因为∠ACE=180°-40°=140°，∠CBD=180°-60°=120°，∠BAF=180°-80°=100°， 所以∠ACE+∠CBD+∠BAF=140°+120°+100°=360°. 这启发我们猜测：三角形的三个外角之和等于360°，下面来证明. 如图4.2-2，△ABC的三个外角分别为∠BAF， ∠CBD，∠ACE. 因为∠BAF=180°-∠BAC，∠CBD=180°-∠ABC， ∠ACE=180°-∠ACB， 所以∠BAF+∠CBD+∠ACE=（180°-∠BAC)+(180°- ∠ABC)+(180°-∠ACB）=540°-（∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB）=540°-180°= 360°. 由此可得： 三角形的外角和等于360°. 【说明】引导学生写出证明过程，在实验几何中，常让学生通过观察、实验和归纳得出结论，增加学生的感官感受，使学生感受到凭实验、观察和归纳得出的结论不一定正确，使学生感受到直观是重要的，但有时也会欺骗人，这时就需要通过逻辑推理来判断，从而让学生理解证明的必要性. 3.说明： “如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题吗？它的逆命题是什么？其逆命题是真命题 （老师引出逆定理和互逆定理的概念） 如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理. 例如，平行线的性质定理1（两直线平行，同位角相等）与平行线的判定定理1（同位角相等，两直线平行）是互逆定理. （老师讲解例题） 例5：证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边. 分析 对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明. 已知：如图4.2-3，在△ABC中，∠B=∠C，AE是外角∠CAD的平分线.求证：AE//BC. 图4.2-3 证明：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，∠CAD=∠B+ ∠C. 又∠B=∠C，于是∠CAD=2∠B. 由于AE是∠CAD的平分线，因此∠CAD=2∠DAE. 从而2∠B=2∠DAE，即∠B=∠DAE. 所以AE//BC（同位角相等，两直线平行）. 【归纳结论】证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件； 第二步，根据命题的结论写出求证； 第三步，严从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及定理进行逻辑推 理计算，得出需要求证的结论；或者运用反证法证明， 4.你能举出一对互逆定理吗？ 【说明】学生小组合作交流、回答. 3.课堂练习 1.试着判断下列定理没有逆定理. （1）对顶角相等； （2）两直线平行，同旁内角互补. 解：（1）逆命题：相等的角是对顶角. 这个逆命题不正确，原定理没有逆定理． （2）逆命题：同旁内角互补，两直线平行. 这个逆命题正确，原定理有逆定理． 4.课堂小结 证明与图形有关的命题时，正确分清命题的条件和结论，是证明的关键．应先结合题意画出图形，再根据图形写出已知求证，然后进行证明. 5.板书设计 命题
教学设计反思 本节课学习了通过具体事例让学生感受到要说明一个定理成立，应当证明．涉及的概念较多，应当让学生在理解的基础上进行识记．常出的错误是：由于“任何一个命题都有逆命题”是正确的，于是错误地认为“任何一个定理都有逆定理”也是正确的.
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