4.6 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 教案（表格式）2025-2026学年八年级上册数学湘教版
文档属性
| 名称 | 4.6 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 教案（表格式）2025-2026学年八年级上册数学湘教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 59.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-15 08:49:16 | ||
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文档简介
课题 第4章 4.6 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1. 证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理. 2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力，丰富对几何图形的认识. 3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.
教学重点、难点 教学重点：运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题. 教学难点：垂直平分线的性质与判定的运用.
教学方法 教材首先设置“观察”栏目，通过一个生活实际问题引入线段的垂直平分线的概念，在这个过程中渗透了观察、抽象、推理的过程.通过上述过程，说明线段是轴对称图形，而线段的垂直平分线是它的对称轴.
教学准备 多媒体课件
教学过程 1.新课导入 1.我们探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而显得异常美丽.那什么样的图形是轴对称图形呢？ 如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴. 2.大家想一想，我们以前学过的哪些几何图形是轴对称图形呢？ 正方形、矩形、圆、菱形、等腰三角形、角、线段. 3.刚才有人提出“线段是轴对称图形”.今天我们就来研究这个简单的轴对称图形. 2.讲授新课 1.观察： 如图，人字形屋顶的框架中，点A与A'关于线段CD所在的直线l对称，问线段CD所在的直线l与线段AA'有什么关系？ （学生交流讨论，老师总结） 我们已经知道，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. 同时还知道，平面内点P与点P'关于一条直线对称，则线段PP'被这条直线垂直平分. 【归纳结论】垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（或中垂线)．图4.6-1中，直线l就是线段PP'的垂直平分线． 图4.6-1 2.探究： 如图4.6-2，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P，连接PA，PB，则线段PA与PB的长度相等吗？为什么？由此你能得出什么结论？ 图4.6-2 设D是线段AB的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点D在直线l上，并且PD⊥AB， 于是∠ADP=∠BDP=90°. 在△PAD和△PBD中， 所以△PAD≌△PBD（边角边）. 因此PA=PB. 【归纳结论】线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 老师提问：“当点P在线段AB上时，结论还成立吗 ” 学生独立写出证明过程，小组内交流改正. 【说明】可以先让学生动手测量，并通过学生间的讨论，归纳出猜想，然后教材运用轴反射（轴对称变换）来论证这个猜想，得到一条重要的性质.这种通过几何变换来说理的方法直观、形象，而且步骤少，更便于学生理解.教师在课堂教学中，也可借助多媒体技术，清晰地展示这一变换过程，以加深学生的认识. 3.说一说： 线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么 （让学生自己思考，让学生回答此问题） 条件是：一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论是：这个点到这条线段两端的距离相等. 它的逆命題是：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 下面来证明上述逆命题是真命题， 如图4.6-3，当点M不在线段AB上时，连接MA， MB，由于MA=MB，则△MAB是等腰三角形. 图4.6-3 取AB的中点D，连接MD，则MD是△MAB的底边AB上的中线，也是AB上的高线. 因此，直线MD是线段AB的垂直平分线，从而点M在线段AB的垂直平分线上. 当点M在线段AB上时，则M就是AB的中点，因而点M在AB的垂直平分线上. 【归纳结论】线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 【教学说明】证明的过程分为两种情况，点P在线段AB上或在线段AB外，教师需引导学生分析两种情况，再逐一进行推理证明. （老师对例题进行讲解） 例1：如图4.6-4，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 图4.6-4 证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上， 所以OA=OB（线段垂直平分线的性质定理). 同理可得OB=OC. 于是OA=OC. 所以点O在AC的垂直平分线上（线段垂直平分线的性质定理的逆定理）. 3.课堂小结 AB是CD的垂直平分线，它包含两个方面的含义：一是AB与CD垂直，二是AB把CD分成相等的两部分．“垂直”是相互的，而“平分”是“单向”的. 证明线段的垂直平分线的方法有两种：①根据线段的垂直平分线的定义证明；②根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理证明. 4.板书设计 1.线段的垂直平分线的定义 2.线段的垂直平分线的性质 3.线段的垂直平分线的判定
教学设计反思 本节课学习了线段的垂直平分线的定义、性质、判定，由线段的垂直平分线的性质可以得出线段相等；要判定线段的垂直平分线有两种方法：（1）根据定义；（2）根据判定定理．在教学中，让学生主动参与，理解线段的垂直平分线的性质与判定的区别与联系．同时由线段的垂直平分线的性质的教学渗透数学的转化思想.
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1. 证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理. 2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力，丰富对几何图形的认识. 3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.
教学重点、难点 教学重点：运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题. 教学难点：垂直平分线的性质与判定的运用.
教学方法 教材首先设置“观察”栏目，通过一个生活实际问题引入线段的垂直平分线的概念，在这个过程中渗透了观察、抽象、推理的过程.通过上述过程，说明线段是轴对称图形，而线段的垂直平分线是它的对称轴.
教学准备 多媒体课件
教学过程 1.新课导入 1.我们探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而显得异常美丽.那什么样的图形是轴对称图形呢？ 如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴. 2.大家想一想，我们以前学过的哪些几何图形是轴对称图形呢？ 正方形、矩形、圆、菱形、等腰三角形、角、线段. 3.刚才有人提出“线段是轴对称图形”.今天我们就来研究这个简单的轴对称图形. 2.讲授新课 1.观察： 如图，人字形屋顶的框架中，点A与A'关于线段CD所在的直线l对称，问线段CD所在的直线l与线段AA'有什么关系？ （学生交流讨论，老师总结） 我们已经知道，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. 同时还知道，平面内点P与点P'关于一条直线对称，则线段PP'被这条直线垂直平分. 【归纳结论】垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（或中垂线)．图4.6-1中，直线l就是线段PP'的垂直平分线． 图4.6-1 2.探究： 如图4.6-2，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P，连接PA，PB，则线段PA与PB的长度相等吗？为什么？由此你能得出什么结论？ 图4.6-2 设D是线段AB的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点D在直线l上，并且PD⊥AB， 于是∠ADP=∠BDP=90°. 在△PAD和△PBD中， 所以△PAD≌△PBD（边角边）. 因此PA=PB. 【归纳结论】线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 老师提问：“当点P在线段AB上时，结论还成立吗 ” 学生独立写出证明过程，小组内交流改正. 【说明】可以先让学生动手测量，并通过学生间的讨论，归纳出猜想，然后教材运用轴反射（轴对称变换）来论证这个猜想，得到一条重要的性质.这种通过几何变换来说理的方法直观、形象，而且步骤少，更便于学生理解.教师在课堂教学中，也可借助多媒体技术，清晰地展示这一变换过程，以加深学生的认识. 3.说一说： 线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么 （让学生自己思考，让学生回答此问题） 条件是：一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论是：这个点到这条线段两端的距离相等. 它的逆命題是：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 下面来证明上述逆命题是真命题， 如图4.6-3，当点M不在线段AB上时，连接MA， MB，由于MA=MB，则△MAB是等腰三角形. 图4.6-3 取AB的中点D，连接MD，则MD是△MAB的底边AB上的中线，也是AB上的高线. 因此，直线MD是线段AB的垂直平分线，从而点M在线段AB的垂直平分线上. 当点M在线段AB上时，则M就是AB的中点，因而点M在AB的垂直平分线上. 【归纳结论】线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 【教学说明】证明的过程分为两种情况，点P在线段AB上或在线段AB外，教师需引导学生分析两种情况，再逐一进行推理证明. （老师对例题进行讲解） 例1：如图4.6-4，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 图4.6-4 证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上， 所以OA=OB（线段垂直平分线的性质定理). 同理可得OB=OC. 于是OA=OC. 所以点O在AC的垂直平分线上（线段垂直平分线的性质定理的逆定理）. 3.课堂小结 AB是CD的垂直平分线，它包含两个方面的含义：一是AB与CD垂直，二是AB把CD分成相等的两部分．“垂直”是相互的，而“平分”是“单向”的. 证明线段的垂直平分线的方法有两种：①根据线段的垂直平分线的定义证明；②根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理证明. 4.板书设计 1.线段的垂直平分线的定义 2.线段的垂直平分线的性质 3.线段的垂直平分线的判定
教学设计反思 本节课学习了线段的垂直平分线的定义、性质、判定，由线段的垂直平分线的性质可以得出线段相等；要判定线段的垂直平分线有两种方法：（1）根据定义；（2）根据判定定理．在教学中，让学生主动参与，理解线段的垂直平分线的性质与判定的区别与联系．同时由线段的垂直平分线的性质的教学渗透数学的转化思想.
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