5.2 勾股定理及其逆定理 第3课时 勾股定理的逆定理 教案（表格式）2025-2026学年八年级上册数学湘教版

课题 第5章 5.2 勾股定理及其逆定理 第3课时 勾股定理的逆定理
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1．探索并掌握直角三角形判别的方法——勾股定理逆定理. 2．会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形. 3．通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想. 4.通过“创设情境——实验验证——理论释意——应用”的探索过程，让学生感受知识的乐趣. 5．通过合作交流学习的发展体验获取数学知识的感受. 6．通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神.
教学重点、 难点 教学重点：能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形. 教学难点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.
教学准备 多媒体课件、三角尺
教学过程 1．情境导入 1．创设情景：（老师展示幻灯片介绍，学生观看并思考）据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.问：你想知道这是什么道理吗 2．回忆：直角三角形有哪些性质？ 直角三角形的性质：（1）直角三角形有一个角是直角；（2）直角三角形两个锐角的和为90°(互余)；（3）直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°；（5）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 3．想一想：一个三角形满足什么条件才能是直角三角形 （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角的和为90°的三角形是直角三角形. 2.讲授新课 1．说一说： 我们已经知道勾股定理：“如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么.”它的逆命题是怎样的 （学生自己讨论说一说，老师总结） 老师总结：逆命题为：如果三角形的三条边a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 2．探究： 如图5.2-10，在△ABC中，已知AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗 图5.2-10 到目前为止，我们只知道可以利用一个角是直角或两个角互余来判断一个三角形是直角三角形.于是，要证明一个三角形为直角三角形，只需证明其有一个角为直角，联想到证明角相等的方法，如果能构造一个直角三角形，然后证明△ABC与所构造的直角三角形全等，即可得△ABC中有一个角为直角，则可判断 △ABC是直角三角形.下面我们按此思路来探索. 如图5-2-11，作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b. 图5-2-11 在Rt△A'B'C'中，根据勾股定理得，A'B'2=a2+b2. 因为 a2+b2=c2，所以A'B'2=c2，即A'B'=c. 在△ABC和△A'B'C'中， 所以△ABC≌△A'B'C'（边边边）.因此∠C=∠C'=90°. 所以△ABC是直角三角形. 于是，我们可以发现，勾股定理的逆命题是真命题. 由此得到勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 方法总结：先构造满足某些条件的图形，然后根据需求证的图形与所构造的图形之间的关系完成证明，这也是解决问题的常用策略之一. 议一议：（1）三条线段a，b，c满足a2+b2=c2，则这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？ （2）如果一个三角形中较短两条边的平方和不等于最长边的平方，则这个三角形可能是直角三角形吗？ 例4：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形． （1）a=6，b=8，c=10；（2）a=12，b=15，c=20. 分析 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方. 解：（1）因为 62+82=100，102=100，所以62+82=102. 因此，这个三角形是直角三角形. （2）因为122+152=369，202=400，所以122+152≠202. 因此，这个三角形不是直角三角形. 例5：如图5.2-12，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求DC的长. 图5.2-12 解：在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8， 因为62+82=100，即BD2+AD2=AB2， 所以△ADB为直角三角形，且∠ADB=90°. 所以∠ADC=180°-∠ADB=90°. 在Rt△ADC中，DC2=AC2-AD2， 所以DC==15. 3.课堂练习 1．判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形. （1）a=12，b=16，c=20. （2）a=10，b=9，c=5. （3）a=8，b=12，c=15. 解：（1）最大边为20. 因为a2+b2=122+162=144+256=400，c2=202=400， 所以a2+b2=c2， 所以由线段12，16，20组成的三角形是直角三角形. （2）最大边为10. 因为b2+c2=92+52=81+25=106，a2=102=100， 所以b2+c2≠a2， 所以由线段10，9，5组成的三角形不是直角三角形. （3）最大边为15. 因为a2+b2=82+122=64+144=208，c2=152 =225， 所以a2+b2≠c2， 所以由线段8，12，15组成的三角形不是直角三角形. 2．若△ABC的两边长为3和5，则能使△ABC是直角三角形的第三边的平方是(　D　) A．16 B．34 C．4 D．16或34 3．在如图的方格中，△ABC的顶点A、B、C都是方格线的交点，则三角形ABC的外角∠ACD的度数等于(　　) A．130° B．135° C．140° D．145° 解析：因为AB2=12+22=5，BC2=12+22=5，AC2=12+32 =10，所以AC2=AB2+BC2， 所以△ABC是等腰直角三角形. 因为∠ACD是△ABC的外角， 所以∠ACD=∠A+∠B=45°+90°=135°.故选B. 方法总结：在网格图中求三角形的角度时可以运用勾股定理和一些特殊角的边角关系来解答，比如在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，45°的直角三角形中两直角边相等． 4．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=8，BC=6，CD=24，AD=26，求四边形ABCD的面积． 　　　 解：连接AC，因为∠B=90°，所以△ABC为直角三角形，所以AC2=AB2+BC2=82+62=102，所以AC=10，在△ACD中，因为AC2+CD2=100+576=676，AD2=262= 676，所以AC2+CD2=AD2，所以△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°. 所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×6×8＋×10×24=144. 方法总结：将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等． 5．古埃及人没有先进的测量工具，据说当时他们采用“三四五放线法”做直角.他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处. 他们能得到直角三角形吗？ 解：如图，设每两个结的距离为x(x>0)， 则AC=3x，BC=4x，AB=5x， 因为AC2 +BC2 =(3x)2+(4x)2=25x2，AB2=(5x)2=25x2， 所以AC2+BC2=AB2，所以△ABC是直角三角形. 6．如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海． 解：设MN与AC相交于E，则∠BEC=90°. 因为AB2+BC2=52+122=132=AC2，所以△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°.由于MN⊥CE，所以走私艇C进入我国领海的最短距离是CE，由S△ABC=AB·BC= AC·BE，得BE= 海里.由CE2+BE2=BC2，即CE2+ ()2=122，得CE=海里，所以÷13=≈0.85（h）=51（min），9时50分+51分=10时41分． 答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海． 方法总结：本题考查了对题意的准确把握和使用勾股定理解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出几何图形． 4.课堂小结 1．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 2．满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数. 常用勾股数：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）7，24，25；（5）8，15，17；（6）9，12，15. 注意：一组勾股数中各数同时扩大相同的正整数倍也是勾股数. 3．利用勾股定理逆定理求角和线段的长. 4．利用勾股定理逆定理解决实际问题. 5.板书设计 1．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 2．利用勾股定理逆定理求角和线段的长 3．利用勾股定理逆定理解决实际问题
教学设计 反思 学生在练习的过程中很容易受到固定思维模式的限制，往往不找最长边而总是按照先后顺序来解题，这样很容易发生错误，再就是利用勾股定理的逆定理进行有关的证明不是很得法，需在以后的学习中逐步训练提高.