第二章 有理数的运算 讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册

第二章 有理数的运算
考情分析
高频考点
有理数运算
加法 / 减法：同号 / 异号相加的符号与绝对值法则，减法转加法（a-b=a+(-b)，运算律简化计算。
乘法 / 除法：同号得正、异号得负，绝对值相乘 / 除；除法转乘法（除以数等于乘其倒数），分配律的应用。
乘方：底数与指数的区分，负数奇次幂为负、偶次幂为正。
科学记数法与近似数
科学记数法：a×10 （1≤a<10，n 为整数位数 - 1）。
近似数：四舍五入取近似值，明确精确度（如精确到百分位）。
核心特征
侧重符号规则与运算准确性，占试卷 30%-40% 分值，科学记数法为中考必考题。
命题趋势
运算综合化
90%的运算题涉及2种以上运算类型，如"乘方+加减"、"乘除+绝对值"，单纯的单一运算题仅占10%。
情境应用性
命题越来越倾向于将有理数知识与生活、社会实际以及科技发展相结合。通过创设丰富多样的真实情境，如经济数据、测量问题、行程问题等，让学生在具体情境中运用有理数知识解决问题，感受数学的实用性，提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
跨章节融合
与"整式加减"结合：如用代数式表示乘方运算结果；与"方程"结合：如已知乘方结果求未知数；与"几何图形"结合：如正方体展开图中的指数运算整式加减运算（合并同类项、去括号等）的复杂度增加，常与绝对值、平方等知识结合，侧重考查运算准确性与多规则综合应用能力。
分值范围
单题分值：选择题和填空题每题通常 3 - 4 分；解答题中，单纯的有理数混合运算题分值约 6 - 8 分，结合实际情境的应用题分值约 6 - 10 分。
总分占比：在七年级上册数学试卷中，有理数运算及相关内容的总分占比约 30% - 40%，是权重较高的章节内容。
考生备考
夯实基础：熟练掌握各运算的法则和性质，尤其是符号规则，这是避免运算错误的关键。
强化练习：多进行不同类型的运算练习，包括基础计算、简便运算和混合运算，提高运算速度和准确性。
注重应用：结合实际情境理解运算的意义，如温度变化、路程计算等，培养用数学解决实际问题的能力。
规范书写：在解答题中，严格按照运算顺序书写步骤，确保过程清晰，便于检查和避免遗漏。关注跨章节综合题。
重点知识点
有理数的加法
法则：同号相加取相同符号，绝对值相加；异号相加取绝对值较大的符号，绝对值相减；互为相反数的和为 0；一个数加 0 仍得这个数。
运算律：交换律a+b=b+a；结合律(a+b)+c=a+(b+c)。
有理数的减法
法则：减去一个数等于加这个数的相反数a-b=a+(-b)。
有理数的乘法
法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘 0 得 0。
运算律：交换律ab=ba；结合律(ab)c=a(bc)；分配律a(b+c)=ab+ac。
有理数的除法
法则：除以一个不为 0 的数等于乘它的倒数（a÷b=a·,b≠0）；同号得正，异号得负，绝对值相除。
乘方
定义：n个相同因数a的积记作（a为底数，n为指数）。
性质：负数的奇次幂为负，偶次幂为正；正数的任何次幂为正；0 的正整数次幂为 0。
科学记数法与近似数
科学记数法：把大于 10 的数表示为a×（1≤a<10，n为正整数）。
近似数：按四舍五入取近似值，需明确精确度（如3.14精确到百分位）。
金典真题
【河北省2025】从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解。
【详解】解：故选：B。
【陕西2025】计算：（ ）
A. 1 B. C. 9 D.
【答案】B
【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则进行计算，即可作答。
【详解】解：，故选：B。
【甘肃2025】（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【分析】本题考查有理数的加法，绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此计算即可熟练掌握其运算法则是解题的关键。
【详解】解：，故选：D。
【安徽省2025】年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数。
【详解】解：将数据521.7亿用科学记数法表示为；
故选C。
【黑龙江东地区2025】电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录．将数据157亿用科学记数法表示为_______
【答案】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案。
【详解】解：157亿，
故答案为：。
【河南2025】通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定。
【详解】解：，故选：C。
【甘肃2025】根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据451420000000用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值。
【详解】解：。
故选：C。
【北京2025】2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可。
【详解】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即：
。故选：C。
【上海2025】据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写______次（科学记数法表示）。
【答案】
【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可。
【详解】解：，
∴该器件一秒可以擦写次，
故答案为：。
【浙江2025】 国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数2629300000000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法，将大数用科学记数法表示时，需将其写成的形式，其中，为整数，据此进行作答即可。
【详解】解：，故选 ：B。