第五章 一元一次方程复习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册

第五章 一元一次方程
考情分析
高频考点
一元一次方程的应用，涉及不同的实际情境，如风筝骨架总高计算、古代数学问题（《孙子算经》《九章算术》）、杠杆原理、追及问题以及程序计算等。着重考查学生将实际问题转化为数学模型并求解的能力。
命题趋势
注重实际应用：从题目来源看，命题越来越倾向于结合实际生活、古代数学经典著作中的问题来考查一元一次方程的应用。这不仅要求学生掌握方程的解法，更要学会运用数学知识解决实际问题，体现了数学与生活的紧密联系以及对数学文化的传承。
强调数学思维能力：无论是应用问题还是求解参数问题，都需要学生具备分析问题、建立方程模型、运用等式性质求解等数学思维能力。未来命题可能会进一步加大对这种综合思维能力的考查，题目难度可能会适当增加，情境更加复杂。
分值分析
题型涵盖选择题、填空题和解答题。选择题每题 3 分，填空题每题 3 - 4 分，解答题 6 分。一元一次方程在试卷中的分值占比会根据试卷整体结构有所不同，但通常会占有一定的比重，且不同题型都有涉及，全面考查学生对该章节知识的掌握程度。
考生备考建议
夯实基础概念和运算：熟练掌握一元一次方程的概念、等式的性质以及解一元一次方程的步骤，通过大量的基础练习确保解方程的准确性和速度。
加强实际应用能力训练：多接触不同类型的实际应用问题，包括生活场景、古代数学问题等，学会分析问题中的数量关系，找出等量关系并列出方程。可以通过做专项练习题集或者模拟试卷来提高应用能力。
总结解题方法和技巧：对于不同类型的题目，如应用问题中的行程问题、工程问题、利润问题等，总结相应的解题思路和方法。对于求解参数问题，要熟练掌握将方程的解代入原方程的方法。
注重错题分析：建立错题本，分析做错的原因，是对概念理解不清、计算错误还是不会分析实际问题等，针对不同原因进行改进，避免再次犯错。对于合并同类项、去括号等基础运算要进行大量练习，达到熟练掌握的程度，提高运算的准确性和速度。可以通过专项练习题集进行有针对性的训练。
重点知识点
一元一次方程概念
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程。形式一般为。
判断一个式子是否为一元一次方程时，可先看是否为整式方程（分母不含未知数），再数未知数个数和次数。若式子较复杂，可先化简再判断。例如() 化简后是一元一次方程。
容易忽略a≠0这个条件。比如 ax = 3，当未明确 a 的取值时，不能直接认定它是一元一次方程。另外，要注意分母中不能含有未知数，像 就不是一元一次方程。
等式的性质
性质 1，等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
性质 2，等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。
在解方程时，可根据等式性质灵活变形。比如要把含未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边，就利用等式性质 1 进行加减操作。若要消除未知数的系数，就用等式性质 2 乘除。
运用等式性质 2 时，容易忽略除数不能为 0 的条件。另外，在进行等式变形时，要注意对等式两边所有项都进行相同操作，不能漏项。
解一元一次方程的步骤
一般步骤为去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）、去括号（运用乘法分配律）、移项（变号）、合并同类项、系数化为 1（等式两边同除以未知数系数）。
去分母时，若分子是多项式，要给分子加上括号；去括号时，注意括号前的符号，若为负号，括号内各项都要变号。移项时，可记住 “过桥变号” 的口诀，即从等号一边移到另一边要改变符号。
去分母时容易漏乘不含分母的项；去括号时括号前是负号容易忘记变号；移项不变号也是常见错误。
一元一次方程的实际应用
关键是分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，设未知数，列方程求解。常见类型有行程问题（路程 = 速度 × 时间）、工程问题（工作量 = 工作效率 × 工作时间）、利润问题（利润 = 售价 - 进价）等。
对于行程问题，可通过画线段图来直观表示路程、速度和时间的关系；工程问题可把工作总量看作单位 “1”；利润问题要明确各个量之间的关系。例如，在追及问题中，画线段图能清晰看出两者路程差。
找等量关系时容易出错，比如在行程问题中，对同时出发、不同时出发等情况分析不清导致等量关系错误。设未知数时，若设得不合理可能会使列方程和求解过程变得复杂。另外，解完方程后要检验答案是否符合实际情况，比如人数不能为负数或小数等。
金典习题
【吉林2025】《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为________．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
根据人数不变即可，得出关于x的一元一次方程，即可求解．
【详解】解:依题意，得：，
故答案为：．
【四川省德阳市2025】在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（ ）
A. 5 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D
【分析】设买鸡的人数为，根据两种不同出钱方式下鸡的价钱不变这一关系，分别表示出两种情况下鸡的价钱，建立方程求解即可．本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系（鸡的价钱不变 ）建立方程求解是解题的关键．
【详解】根据题意，每人出9文钱时，总钱数为文，多出11文，故鸡的价钱为文；
每人出6文钱时，总钱数为文，不足16文，故鸡的价钱为文．
列方程：
解得：
故买鸡的人数为9人，
故选：D．
【四川省德阳市2025】公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是______．
【分析】本题考查了一元一次方程应用，设动力臂是，根据“阻力阻力臂动力动力臂”列出方程，然后解方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设动力臂是，
由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【四川省成都市2025】任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为________．
【答案】3
【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：3．
【四川省遂宁市2025】已知是方程的解，则______．
【答案】2
【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把代入，解得，即可作答．
【详解】解：∵是方程的解，
∴把代入，得，
∴，
∴，
故答案为：2
【天津2025】《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的等量关系．
设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意，列出方程即可．
【详解】解：设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意得：
．
故选：A
【广东省深圳市2025】若关于的方程的解为，则__________．
【答案】4
【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程是解题关键．把代入关于x的方程，得到关于a的方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵关于的方程的解为，
∴，
解得：，
故答案为：4．
【河北省2025】甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______．
【答案】99
【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ，
设重叠部分的长度为k，则，，
重叠后的总长度为：，即，
代入，得：，
解得：，
∴，，
∴，
故答案为：99．
【河北省2025】一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了．
（1）原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
（2）求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．
【答案】（1）
（2），
（3）
【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键；
（1）根据，代入数据进行计算即可求解；
（2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：，
答：该铜棒的伸长量．
【小问2详解】
解：，
解得：，
设该铁棒温度的增加量为，根据题意得，
，
解得：，
答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加．
【小问3详解】
解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得，
，
解得： ，
答：该铁棒温度的增加量为．
【陕西2025】草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，小康采摘的时长是______小时．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键．利用小康采摘的草莓比小悦多得出等式求出答案．
【详解】解：设两小组采摘了小时，
依题意：，
解得：，
因此，两小组采摘了小时．
故答案为：．