2024-2025人教版（2019）高中数学必修一2.2 基本不等式 题型总结（含解析）

2.2基本不等式题型总结
【题型1 基本不等式的理解及常见变形】
【例1】下列不等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1.1】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1.2】下列关于实数a b的不等式中，不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1.3】如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．对，都有，当且仅当时等号成立
D．对，都有，当且仅当时等号成立
【题型2 利用基本不等式比较大小】
【例2】已知，，则，， ，中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2.1】已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2.2】一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　）
A．小于 B．等于
C．大于 D．与左右臂的长度有关
【变式2.3】已知，，则，，，中哪一个最大？
【题型3 利用基本不等式证明不等式】
【例3】已知，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3.1】已知，，且，则下列不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3.2】已知，都是正数，求证：.
【变式3.3】已知，，，且，证明：
(1)；
(2).
【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】
【例4】已知，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4.1】已知，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式4.2】回答下面两题
(1)已知，求的最大值．
(2)设，求的最大值．
【变式4.3】求下列函数的最值．
(1)已知，求的最大值；
(2)已知，求的最小值．
【题型5 利用基本不等式求最值（有条件）】
【例5】已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式5.1】已知且，则的最小值为（ ）
A． B．8 C．9 D．10
【变式5.2】已知实数，，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式5.3】若，，且，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．4
【题型6 基本不等式的恒成立问题】
【例6】已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．64 B．25 C．13 D．12
【变式6.1】已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
【变式6.2】 “”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式6.3】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型7 基本不等式的有解问题】
【例7】若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【变式7.1】若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7.2】若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7.3】在R上定义运算 ：，时，不等式有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型8 基本不等式的实际应用】
【例8】已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（ ）
A．20个 B．30个 C．40个 D．50个
【变式8.1】某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度（单位：）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（ ）
A．1h B．2h C．3h D．4h
【变式8.2】如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米.
(1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小；
(2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值.
【变式8.3】某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为，
(1)用、表示文字宣传区域面积和；
(2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？
2.2基本不等式题型总结答案
【题型1 基本不等式的理解及常见变形】
【例1】下列不等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据基本不等式使用的条件判断即可.
【解答过程】对于A：当时，，故A错误；
对于B：取，，故B错误；
对于C：当时，无意义，故C错误；
对于D：，取等条件为，即，故D正确.
故选：D.
【变式1.1】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由可得．
【解答过程】，，，而（重合时取等号），
因此有．
故选：D．
【变式1.2】下列关于实数a b的不等式中，不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据重要不等式和基本不等式可选出答案.
【解答过程】由重要不等式和基本不等式可知A、B、C恒成立
当时不成立，
故选：D.
【变式1.3】如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．对，都有，当且仅当时等号成立
D．对，都有，当且仅当时等号成立
【解题思路】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可.
【解答过程】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径，
且，，
所以，当且仅当时等号成立.
故选：C.
【题型2 利用基本不等式比较大小】
【例2】已知，，则，， ，中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项.
【解答过程】因为，所以，，
，当且仅当时，等号成立，
则.
故选：A.
【变式2.1】已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用重要不等式可得出四个选项中各数的大小.
【解答过程】因为、为互不相等的正实数，
所以由重要不等式可得，则，
所以，，则，
由基本不等式可得，所以，
因此，最大的数为.
故选：C.
【变式2.2】一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　）
A．小于 B．等于
C．大于 D．与左右臂的长度有关
【解题思路】利用杠杆原理求得顾客购得的黄金质量的表达式，依据均值定理即可得到顾客购得的黄金质量的取值范围，进而得到选项.
【解答过程】设天平左、右两边的臂长分别为x，y，
设售货员第一次称得黄金的质量为a克，第二次称得黄金的质量为b克，
则，解之得，
则顾客购得的黄金为（克），
（当且仅当时等号成立），
由题意知，，则克.
故选：C.
【变式2.3】已知，，则，，，中哪一个最大？
【解题思路】先利用基本不等式判断最大数为或，再做差判断正负可得出最大的数.
【解答过程】因为，，所以，，
所以四个数中最大的数应为或；
又因为，，所以
所以，所以最大.
【题型3 利用基本不等式证明不等式】
【例3】已知，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据基本不等式依次判断选项即可.
【解答过程】A. ∵（当且仅当时取等号），
∴，当且仅当且时取等号.
选项A正确.
B. ，当且仅当即时取等号.
选项B正确.
C. ∵（当且仅当时取等号），
∴.
选项C正确.
D. ∵（当且仅当时取等号），
∴.
选项D错误.
故选：D.
【变式3.1】已知，，且，则下列不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C.
【解答过程】因为，，且，
由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确；
由基本不等式知，则，
即（当且仅当时取等号），B正确；
由题得，
由已知，故，所以，
故，C正确；
由基本不等式可得，
即（当且仅当时取等号），D错误.
故选：D.
【变式3.2】已知，都是正数，求证：.
【解题思路】对分别应用基本不等式求解即可.
【解答过程】证明∵，都是正数，
∴，，，，，
∴，（当且仅当时等号成立）.
∴，
即，当且仅当时，等号成立.
【变式3.3】已知，，，且，证明：
(1)；
(2).
【解题思路】（1）利用基本不等式可证不等式成立；
（2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立.
【解答过程】（1）因为，
当且仅当时等号成立，
故，当且仅当时等号成立，
故成立.
（2）,
由基本不等式有，
，
，
故，
当且仅当时等号成立.
【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】
【例4】已知，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】将原式化为，然后利用基本不等式求解即可.
【解答过程】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
【变式4.1】已知，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【解题思路】由，然后利用基本不等式求最大值．
【解答过程】因为，所以，
所以，当且仅当即时取等号，
所以的最大值为1.
故选：C.
【变式4.2】回答下面两题
(1)已知，求的最大值．
(2)设，求的最大值．
【解题思路】（1）将所求式子转化为，再利用基本不等式求最值；
（2）利用基本不等式求最值.
【解答过程】（1），，，
，
当且仅当，即时，等号成立．
当时，取得最大值1．
（2），，
，
当且仅当，即时，等号成立．
当时，取得最大值．
【变式4.3】求下列函数的最值．
(1)已知，求的最大值；
(2)已知，求的最小值．
【解题思路】（1）利用基本不等式可求得的最大值；
（2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值.
【解答过程】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，
即时，等号成立，故的最大值为．
（2）因为，所以．
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，函数取得最小值.
【题型5 利用基本不等式求最值（有条件）】
【例5】已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】根据基本不等式可求最小值.
【解答过程】为正实数，则为正数，由得，
因为，所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
【变式5.1】已知且，则的最小值为（ ）
A． B．8 C．9 D．10
【解题思路】根据基本不等式即可求解.
【解答过程】因为，所以，
当且仅当，即，时等号成立.
故选：C.
【变式5.2】已知实数，，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【解题思路】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【解答过程】实数，，满足，故，
即，
故
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为1.
故选：C.
【变式5.3】若，，且，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．4
【解题思路】由变形可得，利用基本不等式求解.
【解答过程】因为，所以，
因为，，所以，同理，
又，
因为，，，
由基本不等式就可得，
所以，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
【题型6 基本不等式的恒成立问题】
【例6】已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．64 B．25 C．13 D．12
【解题思路】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案．
【解答过程】，，则，
不等式 恒成立，即恒成立，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即实数m的最大值为.
故选：B.
【变式6.1】已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
【解题思路】根据基本不等式“1”的妙用先求得的最小值，进而转化问题为，解不等式即可求解.
【解答过程】由，，
则，
当且仅当，即时等号成立，
要使恒成立，则，
解得，即实数的取值范围为.
故选：A.
【变式6.2】 “”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【解答过程】不等式对于任意正实数x，y恒成立，则，
则，
当且仅当，即时，取等号，则，即，
解得或（舍去），所以，
当时，成立，反之时，不一定成立，
所以“”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式6.3】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用基本不等式求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围.
【解答过程】已知，则，
因为4，
当且仅当时等号成立，由，解得.
故的最小值为4.
因为恒成立，所以，解得，即.
故选：B.
【题型7 基本不等式的有解问题】
【例7】若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【解题思路】根据题意，利用基本不等式求得的最小值，把不等式有解，转化为不等式，即可求解.
【解答过程】由两个正实数满足，得，
则，
当且仅当，即时取等号，
又由不等式有解，可得，解得或，
所以实数的取值范围为或.
故选：B.
【变式7.1】若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据基本不等式"1"的替换进行求解即可.
【解答过程】因为正实数x，y满足，
所以，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，
因此要想有解，
只需，
故选：B.
【变式7.2】若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用基本不等式进行代换，从而求出答案.
【解答过程】由，可得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立.
所以，解得或，
故选：C.
【变式7.3】在R上定义运算 ：，时，不等式有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】转化条件得在上有解，利用基本不等式求得在的最大值即可得解.
【解答过程】依题意，在上有解，
则，即在上有解，
又，当且仅当时取等号，所以实数的取值范围是.
故选：B.
【题型8 基本不等式的实际应用】
【例8】已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（ ）
A．20个 B．30个 C．40个 D．50个
【解题思路】根据题设有每个面包的总成本，应用基本不等式求结果.
【解答过程】由题设，总成本为，则每个面包的总成本，
当且仅当时取等号，故每个面包的总成本最小，每天应制作40个.
故选：C.
【变式8.1】某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度（单位：）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（ ）
A．1h B．2h C．3h D．4h
【解题思路】利用基本不等式求解最值可得．
【解答过程】依题意，，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h．
故选：C.
【变式8.2】如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米.
(1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小；
(2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值.
【解题思路】（1）利用基本不等式求解和的最小值.
（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【解答过程】（1）依题意，，所用篱笆总长为，而，
当且仅当，即，时取等号，
所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小.
（2）依题意，，
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值.
【变式8.3】某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为，
(1)用、表示文字宣传区域面积和；
(2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？
【解题思路】（1）利用矩形的面积公式列式即得.
（2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最大值.
【解答过程】（1）依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为的矩形，所以.
（2）依题意，，由（1）知，
当且仅当时取等号，由，解得，
所以纸张的长和宽分别为时，面积取得最大值.