2024-2025人教版（2019）高中数学必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式 题型总结（含解析）

第二章 一元二次函数、方程和不等式题型总结
【题型1 不含参的一元二次不等式的解法】
【例1】不等的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【变式1.1】不等式的解集为（ ）
A． B．
C．{或} D．或
【变式1.2】“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1.3】不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 含参的一元二次不等式的解法】
【例2】若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.1】关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.2】当时，关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.3】已知实数，则不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】
【例3】不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.1】不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.2】求下列不等式的解集：
(1)； (2)．
【变式3.3】求下列不等式的解集：
(1) (2) (3)
【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】
【例4】不等式的解集是，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式4.1】若关于的不等式的解集为，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
【变式4.2】若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【变式4.3】已知关于的不等式的解集为，则错误的说法是（ ）
A．
B．
C．的最小值为
D．的解集为或
【题型5 一元二次不等式恒成立问题】
【例5】若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5.1】若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．10 D．9
【变式5.2】已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围.
【变式5.3】已知不等式.
(1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【题型6 一元二次不等式有解问题】
【例6】若，使得成立，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6.1】若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6.2】若存在，使，则的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6.3】若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【题型7 二次函数的图象分析与判断】
【例7】已知函数，若，则的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【变式7.1】不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7.2】关于二次函数，则下列正确的是（ ）
A．函数图象与x轴总有两个不同的交点
B．若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则
C．不论k为何值，若将函数图象向左平移1个单位，则图象经过原点
D．当时，y随x的增大而增大，则
【变式7.3】若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ）
A． B．
C． D．
【题型8 三个“二次”关系的应用】
【例8】已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是
【变式8.1】不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8.2】已知函数.
(1)若函数的图象经过点，求实数的值；
(2)在（1）的条件下，求不等式的解集；
(3)解关于的不等式.
【变式8.3】已知函数，满足
(1)求函数的解析式；
(2)求不等式的解集；
(3)对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.
第二章 一元二次函数、方程和不等式题型总结答案
【题型1 不含参的一元二次不等式的解法】
【例1】不等的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【解题思路】根据一元二次不等式解法确定不等式的解集.
【解答过程】原不等式就转化为.
解得，即不等式的解集为.
故选：D.
【变式1.1】不等式的解集为（ ）
A． B．
C．{或} D．或
【解题思路】由一元二次不等式的解法求解.
【解答过程】由可得，
所以不等式的解集为，
故选：A.
【变式1.2】“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】求出二次不等式的解，利用充分条件、必要条件的定义求解即可
【解答过程】由
若成立，则不一定成立，即充分性不成立；
若成立，则一定成立，即必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
【变式1.3】不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】把原不等式两边同时乘以，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得二次不等式的解集．
【解答过程】由得，即，
解得或
所以不等式的解集为
故选：C.
【题型2 含参的一元二次不等式的解法】
【例2】若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据t的范围可得，从而即可求得不等式的解集.
【解答过程】，，不等式，
即不等式的解集为.
故选：C.
【变式2.1】关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可.
【解答过程】当时，不等式，即，，
故不等式的解集为，故A可能；
当时，，即，
当时，的解集为，故D可能；
当时，不等式无解；
当时，的解集为，故B可能.
故选：C.
【变式2.2】当时，关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】确定二次项的系数符号和两根的大小关系，直接写出解集即可.
【解答过程】因为，又因为，
所以，所以，
又因为，于是等价于，
可得，
所以的解集为.
故选：B.
【变式2.3】已知实数，则不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】分、、三种情况讨论计算，分别求出不等式的解集，即可判断.
【解答过程】由，
当时，不等式即为，解得，
即不等式的解集为；
当时，解方程得，
则当时，，函数开口向上，
故不等式的解集为；
当时，，函数开口向下，
所以不等式的解集为或.
综上可得：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或，
所以不等式的解集不可能是选项D对应的解集.
故选：D.
【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】
【例3】不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据分式不等式的性质，转化为即可求解.
【解答过程】由可得，
解得或，即不等式解集为，
故选：C.
【变式3.1】不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用分类讨论法计算可得.
【解答过程】不等式，等价于或，
解得或，
即不等式的解集为.
故选：A.
【变式3.2】求下列不等式的解集：
(1)；
(2)．
【解题思路】（1）根据绝对值不等式的解法求解即可；
（2）根据分式不等式的解法求解即可.
【解答过程】（1）由，得或，
所以或，
所以不等式的解集为或；
（2）由，得，
解得，
所以不等式的解集为.
【变式3.3】（24-25高一上·湖南怀化·期中）求下列不等式的解集：
(1)
(2)
(3)
【解题思路】（1）利用二次不等式的解法即可得解；
（2）利用绝对不等式的解法即可得解；
（3）利用分式不等式的解法即可得解.
【解答过程】（1）因为，所以，
解得，故不等式的解集为.
（2）因为，所以，解得，
所以的解集为.
（3）因为，所以，
等价于，解得或，
所以不等式的解集为.
【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】
【例4】不等式的解集是，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据一元二次不等式与其对应的方程之间的联系可得，结合一元二次不等式的解法计算即可求解.
【解答过程】设是方程的两个根，
由题意知，，解得，
所以不等式可变为，
即，解得.
所以不等式的解集为.
故选：A.
【变式4.1】若关于的不等式的解集为，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
【解题思路】根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理，即可求解.
【解答过程】由题不等式的解集为，
所以是方程的两不等实数根，
所以，得，，
所以.
故选：C.
【变式4.2】若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【解题思路】将原不等式化为，按照与2的大小分类讨论解不等式，再结合解集中的整数个数建立不等式求解可得,
【解答过程】．
当时，不等式的解集为空集，不符合题意．
当时，不等式的解集为，
要使关于的不等式的解集中恰有3个整数，
只需满足解得．
当时，不等式的解集为，
要使关于的不等式的解集中恰有3个整数，
只需满足解得．
综上，实数的取值范围为.故选：B.
【变式4.3】已知关于的不等式的解集为，则错误的说法是（ ）
A．
B．
C．的最小值为
D．的解集为或
【解题思路】根据分式不等式解集得，，且，再应用基本不等式和含参一元二次不等式的解法判断各项正误.
【解答过程】由题知，其解集为，
所以，，且，即，故A错误，B正确；
由，当且仅当时等号成立，故C正确；
由或，解集为或，故D正确.
故选：A.
【题型5 一元二次不等式恒成立问题】
【例5】若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】讨论、，结合一元二次不等式恒成立求参数范围.
【解答过程】当时，恒成立，满足；
当时，，可得，
综上，.
故选：A.
【变式5.1】若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．10 D．9
【解题思路】将不等式的未知数移到同一侧，得到小于等于关于的函数的最小值，利用基本不等式求解即可.
【解答过程】由，得对任意的恒成立.
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即的最大值为10.
故选：C.
【变式5.2】已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围.
【解题思路】（1）把代入，解不等式即可；
（2）把恒成立的问题转化为分离参数求值的问题，再利用基本不等式求的最小值即可.
【解答过程】（1）当时，，
则不等式，即，
解得，或，
因此当时，不等式的解集为.
（2）当时，关于的不等式恒成立，
即当时，关于的不等式恒成立，
在时，恒成立，
令，
令，则，
故，
又，
当且仅当，即时等号成立，
故当，即时，，
因此可得，
即当时，关于的不等式恒成立，的取值范围为.
【变式5.3】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知不等式.
(1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分与两类进行讨论求解即可；
（2）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分、和三类进行讨论求解即可；
【解答过程】（1）①若，则原不等式可化为，显然恒成立，
②若，则不等式恒成立，
等价于 ，解得，
综上，实数m的取值范围是.
（2）①当时，则原不等式可化为，显然恒成立，
②当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线，
若时不等式恒成立，
则，解得，
③当时，函数的图象开口向下，
若时不等式恒成立，
则，解得，
综上，实数m的取值范围是.
【题型6 一元二次不等式有解问题】
【例6】若，使得成立，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解.
【解答过程】因为，即，
又因为，则，可得，
原题意等价于，使得成立，
令，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
可得，所以实数的范围是.
故选：B.
【变式6.1】若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围.
【解答过程】，所以当或时，
取得最大值为，
由于关于的不等式在区间内有解，
所以，解得.
故选：A.
【变式6.2】若存在，使，则的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求出命题的否定为真时，的范围，再求其补集即可.
【解答过程】命题存在，使的否定为，使，
若，使为真，
则，所以，
故若存在，使则，
所以的取值集合是.
故选：A.
【变式6.3】若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围.
【解答过程】当时，由，可得，则，
因为，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，当时，的最大值为，故.
故选：A.
【题型7 二次函数的图象分析与判断】
【例7】已知函数，若，则的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】判断出的符号后可得正确的选项.
【解答过程】因为，故即，
而，故，
BC中图象开口向下，不符合，而A中图象过原点，与矛盾，
故选：D.
【变式7.1】不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案.
【解答过程】由题意得，为的两个根，
故，即，
开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为
故选：B.
【变式7.2】关于二次函数，则下列正确的是（ ）
A．函数图象与x轴总有两个不同的交点
B．若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则
C．不论k为何值，若将函数图象向左平移1个单位，则图象经过原点
D．当时，y随x的增大而增大，则
【解题思路】根据二次函数对应二次方程的判别式判断A，由根与系数的关系判断B，由图象的平移判断C，根据对称轴判断D.
【解答过程】，函数图象与x轴总有两个不同的交点或相同的交点，故A错误；
若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则由根与系数的关系知，解得且，故B错误；
若将函数图象向左平移1个单位，可得到，令，则，即图象经过原点，故C错误；
当时，y随x的增大而增大，即函数图象的对称轴，解得，故D错误.
故选：C.
【变式7.3】若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出.
【解答过程】由题可得和是方程的两个根，且，
，解得，
则，
则函数图象开口向下，与轴交于.
故选：C.
【题型8 三个“二次”关系的应用】
【例8】已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是
【解题思路】根据一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标，结合二次函数与一元二次不等式的关系，即可求解.
【解答过程】由题图知抛物线开口向上，所以，
抛物线与轴交点纵坐标为正，所以，
因为，所以，
由韦达定理，
即，，对称轴，
则.所以A错误，B,C正确.
不等式 可化为，
即，解得 或.
所以不等式的解集是.D正确.
故选：A.
【变式8.1】不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．
【解答过程】因为的解集为，
所以方程的两根分别为和1，且，
则变形可得
故函数的图象开口向下，
且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合.
故选：A.
【变式8.2】已知函数.
(1)若函数的图象经过点，求实数的值；
(2)在（1）的条件下，求不等式的解集；
(3)解关于的不等式.
【解题思路】（1）将点代入解析式即可得解；
（2）利用二次不等式的解法即可得解；
（3）利用因式分解，结合含参二次不等式的解法即可得解.
【解答过程】（1）因为的图象经过点，
所以，则；
（2）由（1）得，解得，
所以不等式的解集为；
（3），
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【变式8.3】已知函数，满足
(1)求函数的解析式；
(2)求不等式的解集；
(3)对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）将已知条件代入求出即可求解；
（2）由（1）可知，则解不等式即可求解；
（3）将不等式转化为恒成立，因为开口向上，根据即可求解.
【解答过程】（1）由函数，满足，
，解得，
故函数的解析式为：.
（2）由（1）知，即不等式转化为，
则，
所以不等式的解集或.
（3）不等式转化为恒成立，
因为开口向上，
可得，解之可得，
所以实数的取值范围是.