湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高一下·雨花期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据对数函数，分式有意义列不等式组求解即可.
2．（2025高一下·雨花期末）数据，，，，的平均数与众数的差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：因为平均数为，众数为，
所以，数据，，，，的平均数与众数的差为．
故答案为：B.
【分析】先由平均数公式和众数定义，从而求出数据的平均数和众数，再求差得出数据，，，，的平均数与众数的差.
3．（2025高一下·雨花期末）下列四组函数中与是同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，函数定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A不符合；
B、函数定义域为，函数定义域为，定义域不同，不是同一函数，故B不符合；
C、函数，定义域、对应法则均相同，是同一函数，故C符合；
D、函数定义域为，函数定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据同一函数的定义逐项分析判断即可.
4．（2025高一下·雨花期末）设复数z满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：由，可得，则.
故答案为：D.
【分析】由题意可得：，利用复数模的性质求解即可.
5．（2025高一下·雨花期末）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间与储藏温度的关系为（、为常量）.若牛奶在0的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10中的保鲜时间约是（ ）
A．49h B．56h C．64h D．76h
【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意列方程组，求得，再利用指数式的运算性质求解即可.
6．（2025高一下·雨花期末）若函数的值域为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解： 函数的值域为， 令，得，即，
则，对称轴，，
且，则，故函数的值域为.
故答案为：C.
【分析】令，利用换元法将表示为，在根据二次函数的性质求的值域即可.
7．（2025高一下·雨花期末）已知函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：问题转化为对任意 恒成立，
即，，
因为，对称轴为，所以在上单调递减，且，则，即实数的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】问题转化为对任意 恒成立，分离参数，判断函数在上的单调性，求最大值，即可得实数的取值范围.
8．（2025高一下·雨花期末）在中，若，则的形状是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解： 若， 即，则或，即或，
若，则为直角三角形；
若，由正弦定理可得，即，
即，即或，即或，
则为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：D.
【分析】利用余弦的二倍角公式化简原式可得，即或，即或，若，可得为直角三角形；若结合则合格你先定理化简可得或，即为等腰三角形或直角三角形，综上即可判断的形状.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高一下·雨花期末）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)内的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）
A．样本中支出在[50，60)内的频率为0.03
B．样本中支出不少于40元的人数为132
C．n的值为200
D．若该校有2000名学生，则估计有600人支出在[50，60)内
【答案】B,C,D
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：A、由频率分布直方图各矩形面积和为1，可得样本中支出在[50，60)内的频率为，故A错误；
C、样本容量为＝200，故C正确；
B、由图可知：支出在[40，50)内的人数为，
支出不少于40元的人数为，故B正确；
D、若该校有2000名学生，则估计有人支出在[50，60)内，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】根据频率分布直方图各矩形面积之和为1求解即可判断A；根据A的频率以及人数计算即可判断C；再根据频率分布图计算即可判断BD.
10．（2025高一下·雨花期末）已知定义在上的函数满足：是奇函数，是偶函数.则下列选项中说法正确的有（ ）
A． B．周期为2
C．的图象关于直线对称 D．是奇函数
【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：BC、因为函数是奇函数，所以函数关于对称；又因为是偶函数，所以关于直线对称，则函数是以4为周期的周期函数，故B错误，C正确；
A、因为函数关于直线对称，所以，故A正确；
D、因为函数关于和直线对称，所以关于对称，
又因为的周期，所以关于对称，所以是奇函数，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意可得：函数关于点和直线对称，从而求函数的的周期即可派单BC；再根据函数关于直线对称，求得即可判断A；由于关于和直线对称，可得关于对称，再结合周期即可判断D.
11．（2025高一下·雨花期末）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为棱A1D1上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．CM与PN是异面直线
B．
C．过P，A，C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形
D．平面PAN⊥平面BDD1B1
【答案】B,D
【知识点】空间中的点的坐标；异面直线的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
因为点，平面，所以点在平面，即平面，
又因为点，平面，所以点在平面，即平面，
即不是异面直线，故A错误；
B、以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，，
，，
，，
则，
因为，所以，即，故B正确；
C、取的中点，连接，如图所示：
则，，即四边形是梯形，
因为，所以，
所以四边形是等腰梯形，故C错误；
D、因为底面是正方形，所以，
因为底面，所以，因为，
所以平面，且平面，所以平面平面，
即平面平面，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】连接，因为点，平面可得平面，因为点，平面可得平面即可判断A；以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出，，表示计算即可判断B；
取的中点，可得四边形是梯形，即可判断C；利用线面垂直的判断定理可得底面，再根据面面垂直的判断定理即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高一下·雨花期末）已知，若为纯虚数，则 .
【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：由为纯虚数，
得，解得，
所以，则.
故答案为：.
【分析】根据已知条件结合复数为纯虚数的判断方法，从而得出a的值，进而得出，再利用复数的运算法则和复数的模长的计算公式，从而得出的值.
13．（2025高一下·雨花期末）已知四棱锥的底面为矩形，，则其外接球的表面积为 ．
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：取中点，底面中心为，外接球的球心为，如图所示：
则底面，因为，
所以，，，
即，，，
则，，
，
设球的半径为，，
在直角梯形中，①，
在直角中，②，
联立①②可得，即，故球的表面积为.
故答案为：.
【分析】取中点，底面中心为，外接球的球心为，根据边长关系，利用勾股定理和它的逆定理，结合球的表面积公式求解即可.
14．（2025高一下·雨花期末）已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为 .
【答案】6
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：取的中点，连接，，，如图所示：
因为为中点，所以，
，
又因为，所以最大值为；
则的最大值为.
故答案为：6．
【分析】取的中点，连接，，根据平面向量的线性运算结合数量积求得，再求出，得的最大值，即可得的最大值．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高一下·雨花期末）某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量（单位：），并绘制频率分布直方图如下：
（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能90%地满足顾客的需求（在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求）.请问每天应该进多少千克苹果？
【答案】解：（1）由图可知： 该水果店苹果日销售量的众数为85；
设中位数为x，则，解得；
平均数；
（2）日销量[60，100)的频率为，日销售量[60，110)的频率为，
则所求的量位于， 由，得，
故每天应该进102.5千克苹果.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图分别求 该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数即可；
（2）先确定进货量的范围，结合能90%地满足顾客的需求，即可求解.
16．（2025高一下·雨花期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）若，，求的值；
（2）若，且的面积，求a和b的值．
【答案】（1）解：由，，，可得，
则；
（2）解：，
由半角公式可得，
即，
即，，即，
由正弦定理可得，
因为，所以，解得，即①，
的面积，解得②，
联立①②：可得.
【知识点】简单的三角恒等变换；半角公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，先求，再利用余弦定理求解即可；
（2）利用余弦的半角公式结合正弦定理求得，再根据求出，由三角形面积求出，联立即可得a和b的值.
（1），，，故，
由余弦定理得；
（2），由半角公式得
，
即，
即，，
，
由正弦定理得，
因为，所以，解得，故，
的面积，故，
联立与得.
17．（2025高一下·雨花期末）《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，平面，，四边形中，，，，．
（1）证明：四面体为鳖臑；
（2）求点C到平面的距离．
【答案】（1）证明：四边形中，因为，，，，
所以，且，则，
在中，由余弦定理得，
即，即⊥，为直角三角形；
因为平面，，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，平面，所以⊥平面，
又因为平面，所以⊥，故为直角三角形；
因为平面，平面，所以，，
所以为直角三角形，
综上，四面体为鳖臑；
（2）解：易知，
因为平面，且，所以，
由（1）知⊥，在中，，
则，
设点C到平面的距离为，其中，
则，即点C到平面的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；余弦定理；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用余弦定理和勾股定理及逆定理得到⊥，即为直角三角形，再根据⊥平面，⊥，可得为直角三角形，结合为直角三角形，判断四面体为鳖臑即可；
（2）由（1）的结论，结合等体积法求解，得到点C到平面的距离.
（1）四边形中，，，，，
由勾股定理得，且，
故.
在中，由余弦定理得，
故，由勾股定理逆定理得⊥，为直角三角形.
因为平面，，故平面，
因为平面，所以，
又因为，平面，所以⊥平面，
又因为平面，所以⊥，
故为直角三角形.
因为平面，平面，所以，，
所以为直角三角形.
综上，四面体为鳖臑；
（2），
因为平面，且，所以，
由（1）知⊥，在中，由勾股定理得，
所以，
设点C到平面的距离为，其中，
所以，点C到平面的距离为.
18．（2025高一下·雨花期末）已知中，，，，点D在边BC上且满足.
（1）用、表示，并求；
（2）若点E为边AB中点，求与夹角的余弦值.
【答案】（1）解：，
则
；
（2）解： 若点为边中点，则，， 由（1）可得：，
则
=，
则.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算表示，再根据向量的模以及向量数量积求解即可；
（2）利用向量的线性运算表示向量和，再根据向量数量积以及夹角公式求解即可.
（1），
所以，
（2）易知，
所以，
又，
所以，
19．（2025高一下·雨花期末）如图，在五棱锥中，平面平面，，．四边形为矩形，且，，．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值的最小值．
【答案】（1）证明：因为平面平面，交线为，
又因为，平面，
所以⊥平面，
又因为平面，
所以⊥，
又因为，，平面，
所以⊥平面.
（2）解：因为，，，
由勾股定理，得，
则平面，平面，
所以，
因为，，
由勾股定理，得，
过点作⊥于点，
则，
所以，
过点作⊥，交于点，连接，
所以即为二面角的平面角，
由勾股定理，得，
又因为，
由余弦定理，得，所以，
在Rt中，，
则，
解得，
所以，
在Rt中，，
由余弦定理，得
所以，
在中，由余弦定理，
得，
所以，二面角的余弦值为.
（3）解：连接，因为，，所以，
又因为，⊥，
由勾股定理，得，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角大小为，
则，
要想直线与平面所成角的正弦值的最小，则最小即可，
又因为，
由（1）得平面，
所以，
设，则，，
所以，
在中，由余弦定理，
得
，
所以，
则，
因为，
所以，
所以，
当时，取得最小值，最小值为，
则直线与平面所成角的正弦值的最小值为.
【知识点】函数的最大（小）值；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，从而得到线面垂直，利用线面垂直的定义得出⊥，再结合得到线面垂直，即证出平面.
（2）先作出辅助线，找到即为二面角的平面角，再由勾股定理和余弦定理求出各边，最后由余弦定理求出二面角的余弦值.
（3）设点到平面的距离为，直线与平面所成角大小为，则，要想直线与平面所成角的正弦值的最小，则最小即可，设，由等体积法和余弦定理，再利用三角形的面积公式得到，结合二次型函数求最值的方法，从而求出的最小值，进而得到直线与平面所成角的正弦值的最小值.
（1）平面平面，交线为，又，平面，
所以⊥平面，
又平面，所以⊥，
因为，，平面，
故⊥平面；
（2），，，
由勾股定理得，
平面，平面，
所以，
因为，，由勾股定理得，
过点作⊥于点，则，
故，
过点作⊥，交于点，连接，
故即为二面角的平面角，
由勾股定理得，
又，
由余弦定理得，故，
在Rt中，，即，解得，
故，
在Rt中，，
由余弦定理得，
故，
在中，由余弦定理得，
故二面角的余弦值为；
（3）连接，因为，，所以，
又，⊥，由勾股定理得，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角大小为，
则，
要想直线与平面所成角的正弦值的最小，则最小即可，
，
由（1）得平面，故，
设，则，，
故，
在中，由余弦定理得
，
故，
则，
因为，所以，
故，
当时，取得最小值，最小值为，
故直线与平面所成角的正弦值的最小值为.
1 / 1湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高一下·雨花期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高一下·雨花期末）数据，，，，的平均数与众数的差为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·雨花期末）下列四组函数中与是同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025高一下·雨花期末）设复数z满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（2025高一下·雨花期末）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间与储藏温度的关系为（、为常量）.若牛奶在0的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10中的保鲜时间约是（ ）
A．49h B．56h C．64h D．76h
6．（2025高一下·雨花期末）若函数的值域为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·雨花期末）已知函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·雨花期末）在中，若，则的形状是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高一下·雨花期末）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)内的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）
A．样本中支出在[50，60)内的频率为0.03
B．样本中支出不少于40元的人数为132
C．n的值为200
D．若该校有2000名学生，则估计有600人支出在[50，60)内
10．（2025高一下·雨花期末）已知定义在上的函数满足：是奇函数，是偶函数.则下列选项中说法正确的有（ ）
A． B．周期为2
C．的图象关于直线对称 D．是奇函数
11．（2025高一下·雨花期末）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为棱A1D1上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．CM与PN是异面直线
B．
C．过P，A，C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形
D．平面PAN⊥平面BDD1B1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高一下·雨花期末）已知，若为纯虚数，则 .
13．（2025高一下·雨花期末）已知四棱锥的底面为矩形，，则其外接球的表面积为 ．
14．（2025高一下·雨花期末）已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高一下·雨花期末）某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量（单位：），并绘制频率分布直方图如下：
（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能90%地满足顾客的需求（在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求）.请问每天应该进多少千克苹果？
16．（2025高一下·雨花期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）若，，求的值；
（2）若，且的面积，求a和b的值．
17．（2025高一下·雨花期末）《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，平面，，四边形中，，，，．
（1）证明：四面体为鳖臑；
（2）求点C到平面的距离．
18．（2025高一下·雨花期末）已知中，，，，点D在边BC上且满足.
（1）用、表示，并求；
（2）若点E为边AB中点，求与夹角的余弦值.
19．（2025高一下·雨花期末）如图，在五棱锥中，平面平面，，．四边形为矩形，且，，．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据对数函数，分式有意义列不等式组求解即可.
2．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：因为平均数为，众数为，
所以，数据，，，，的平均数与众数的差为．
故答案为：B.
【分析】先由平均数公式和众数定义，从而求出数据的平均数和众数，再求差得出数据，，，，的平均数与众数的差.
3．【答案】C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，函数定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A不符合；
B、函数定义域为，函数定义域为，定义域不同，不是同一函数，故B不符合；
C、函数，定义域、对应法则均相同，是同一函数，故C符合；
D、函数定义域为，函数定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据同一函数的定义逐项分析判断即可.
4．【答案】D
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：由，可得，则.
故答案为：D.
【分析】由题意可得：，利用复数模的性质求解即可.
5．【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意列方程组，求得，再利用指数式的运算性质求解即可.
6．【答案】C
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解： 函数的值域为， 令，得，即，
则，对称轴，，
且，则，故函数的值域为.
故答案为：C.
【分析】令，利用换元法将表示为，在根据二次函数的性质求的值域即可.
7．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：问题转化为对任意 恒成立，
即，，
因为，对称轴为，所以在上单调递减，且，则，即实数的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】问题转化为对任意 恒成立，分离参数，判断函数在上的单调性，求最大值，即可得实数的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解： 若， 即，则或，即或，
若，则为直角三角形；
若，由正弦定理可得，即，
即，即或，即或，
则为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：D.
【分析】利用余弦的二倍角公式化简原式可得，即或，即或，若，可得为直角三角形；若结合则合格你先定理化简可得或，即为等腰三角形或直角三角形，综上即可判断的形状.
9．【答案】B,C,D
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：A、由频率分布直方图各矩形面积和为1，可得样本中支出在[50，60)内的频率为，故A错误；
C、样本容量为＝200，故C正确；
B、由图可知：支出在[40，50)内的人数为，
支出不少于40元的人数为，故B正确；
D、若该校有2000名学生，则估计有人支出在[50，60)内，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】根据频率分布直方图各矩形面积之和为1求解即可判断A；根据A的频率以及人数计算即可判断C；再根据频率分布图计算即可判断BD.
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：BC、因为函数是奇函数，所以函数关于对称；又因为是偶函数，所以关于直线对称，则函数是以4为周期的周期函数，故B错误，C正确；
A、因为函数关于直线对称，所以，故A正确；
D、因为函数关于和直线对称，所以关于对称，
又因为的周期，所以关于对称，所以是奇函数，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意可得：函数关于点和直线对称，从而求函数的的周期即可派单BC；再根据函数关于直线对称，求得即可判断A；由于关于和直线对称，可得关于对称，再结合周期即可判断D.
11．【答案】B,D
【知识点】空间中的点的坐标；异面直线的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
因为点，平面，所以点在平面，即平面，
又因为点，平面，所以点在平面，即平面，
即不是异面直线，故A错误；
B、以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，，
，，
，，
则，
因为，所以，即，故B正确；
C、取的中点，连接，如图所示：
则，，即四边形是梯形，
因为，所以，
所以四边形是等腰梯形，故C错误；
D、因为底面是正方形，所以，
因为底面，所以，因为，
所以平面，且平面，所以平面平面，
即平面平面，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】连接，因为点，平面可得平面，因为点，平面可得平面即可判断A；以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出，，表示计算即可判断B；
取的中点，可得四边形是梯形，即可判断C；利用线面垂直的判断定理可得底面，再根据面面垂直的判断定理即可判断D.
12．【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：由为纯虚数，
得，解得，
所以，则.
故答案为：.
【分析】根据已知条件结合复数为纯虚数的判断方法，从而得出a的值，进而得出，再利用复数的运算法则和复数的模长的计算公式，从而得出的值.
13．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：取中点，底面中心为，外接球的球心为，如图所示：
则底面，因为，
所以，，，
即，，，
则，，
，
设球的半径为，，
在直角梯形中，①，
在直角中，②，
联立①②可得，即，故球的表面积为.
故答案为：.
【分析】取中点，底面中心为，外接球的球心为，根据边长关系，利用勾股定理和它的逆定理，结合球的表面积公式求解即可.
14．【答案】6
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：取的中点，连接，，，如图所示：
因为为中点，所以，
，
又因为，所以最大值为；
则的最大值为.
故答案为：6．
【分析】取的中点，连接，，根据平面向量的线性运算结合数量积求得，再求出，得的最大值，即可得的最大值．
15．【答案】解：（1）由图可知： 该水果店苹果日销售量的众数为85；
设中位数为x，则，解得；
平均数；
（2）日销量[60，100)的频率为，日销售量[60，110)的频率为，
则所求的量位于， 由，得，
故每天应该进102.5千克苹果.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图分别求 该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数即可；
（2）先确定进货量的范围，结合能90%地满足顾客的需求，即可求解.
16．【答案】（1）解：由，，，可得，
则；
（2）解：，
由半角公式可得，
即，
即，，即，
由正弦定理可得，
因为，所以，解得，即①，
的面积，解得②，
联立①②：可得.
【知识点】简单的三角恒等变换；半角公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，先求，再利用余弦定理求解即可；
（2）利用余弦的半角公式结合正弦定理求得，再根据求出，由三角形面积求出，联立即可得a和b的值.
（1），，，故，
由余弦定理得；
（2），由半角公式得
，
即，
即，，
，
由正弦定理得，
因为，所以，解得，故，
的面积，故，
联立与得.
17．【答案】（1）证明：四边形中，因为，，，，
所以，且，则，
在中，由余弦定理得，
即，即⊥，为直角三角形；
因为平面，，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，平面，所以⊥平面，
又因为平面，所以⊥，故为直角三角形；
因为平面，平面，所以，，
所以为直角三角形，
综上，四面体为鳖臑；
（2）解：易知，
因为平面，且，所以，
由（1）知⊥，在中，，
则，
设点C到平面的距离为，其中，
则，即点C到平面的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；余弦定理；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用余弦定理和勾股定理及逆定理得到⊥，即为直角三角形，再根据⊥平面，⊥，可得为直角三角形，结合为直角三角形，判断四面体为鳖臑即可；
（2）由（1）的结论，结合等体积法求解，得到点C到平面的距离.
（1）四边形中，，，，，
由勾股定理得，且，
故.
在中，由余弦定理得，
故，由勾股定理逆定理得⊥，为直角三角形.
因为平面，，故平面，
因为平面，所以，
又因为，平面，所以⊥平面，
又因为平面，所以⊥，
故为直角三角形.
因为平面，平面，所以，，
所以为直角三角形.
综上，四面体为鳖臑；
（2），
因为平面，且，所以，
由（1）知⊥，在中，由勾股定理得，
所以，
设点C到平面的距离为，其中，
所以，点C到平面的距离为.
18．【答案】（1）解：，
则
；
（2）解： 若点为边中点，则，， 由（1）可得：，
则
=，
则.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算表示，再根据向量的模以及向量数量积求解即可；
（2）利用向量的线性运算表示向量和，再根据向量数量积以及夹角公式求解即可.
（1），
所以，
（2）易知，
所以，
又，
所以，
19．【答案】（1）证明：因为平面平面，交线为，
又因为，平面，
所以⊥平面，
又因为平面，
所以⊥，
又因为，，平面，
所以⊥平面.
（2）解：因为，，，
由勾股定理，得，
则平面，平面，
所以，
因为，，
由勾股定理，得，
过点作⊥于点，
则，
所以，
过点作⊥，交于点，连接，
所以即为二面角的平面角，
由勾股定理，得，
又因为，
由余弦定理，得，所以，
在Rt中，，
则，
解得，
所以，
在Rt中，，
由余弦定理，得
所以，
在中，由余弦定理，
得，
所以，二面角的余弦值为.
（3）解：连接，因为，，所以，
又因为，⊥，
由勾股定理，得，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角大小为，
则，
要想直线与平面所成角的正弦值的最小，则最小即可，
又因为，
由（1）得平面，
所以，
设，则，，
所以，
在中，由余弦定理，
得
，
所以，
则，
因为，
所以，
所以，
当时，取得最小值，最小值为，
则直线与平面所成角的正弦值的最小值为.
【知识点】函数的最大（小）值；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，从而得到线面垂直，利用线面垂直的定义得出⊥，再结合得到线面垂直，即证出平面.
（2）先作出辅助线，找到即为二面角的平面角，再由勾股定理和余弦定理求出各边，最后由余弦定理求出二面角的余弦值.
（3）设点到平面的距离为，直线与平面所成角大小为，则，要想直线与平面所成角的正弦值的最小，则最小即可，设，由等体积法和余弦定理，再利用三角形的面积公式得到，结合二次型函数求最值的方法，从而求出的最小值，进而得到直线与平面所成角的正弦值的最小值.
（1）平面平面，交线为，又，平面，
所以⊥平面，
又平面，所以⊥，
因为，，平面，
故⊥平面；
（2），，，
由勾股定理得，
平面，平面，
所以，
因为，，由勾股定理得，
过点作⊥于点，则，
故，
过点作⊥，交于点，连接，
故即为二面角的平面角，
由勾股定理得，
又，
由余弦定理得，故，
在Rt中，，即，解得，
故，
在Rt中，，
由余弦定理得，
故，
在中，由余弦定理得，
故二面角的余弦值为；
（3）连接，因为，，所以，
又，⊥，由勾股定理得，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角大小为，
则，
要想直线与平面所成角的正弦值的最小，则最小即可，
，
由（1）得平面，故，
设，则，，
故，
在中，由余弦定理得
，
故，
则，
因为，所以，
故，
当时，取得最小值，最小值为，
故直线与平面所成角的正弦值的最小值为.
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