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北师大版2025~2026学年度九年级上册第二次月考检测卷（第1章~第5章）
数学试题
（满分：120分 时间：120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列给出的四条线段，是成比例线段的为（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm
B．1cm，2cm，3cm，6cm
C．，，，
D．1cm，3cm，4cm，7cm
2．（3分）下列几何体中，主视图和左视图相同的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（3分）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）封的传统民间技艺“撂石锁”是一种古老的武术功力项目，产生于唐宋时期，2011年6月入选第三批国家级非物质文化遗产名录．如图，这是一个常见石锁，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，AB＝AC，拉杆EF∥BC，AE，EF＝0.35米，则两梯杆跨度B、C之间距离为（ ）
A．2米 B．2.1米 C．2.5米 D． 米
6．（3分）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50%
7．（3分）某三棱柱的三种视图如图所示，俯视图的面积是左视图面积的倍，左视图中矩形ABCD的边长AB＝3，则主视图的面积为（ ）
A． B．6 C．8 D．12
8．（3分）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，使它与△ABC的相似比为2，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（ ）
A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
9．（3分）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图是从两个不同方向看到的形状图，则搭成这个几何体最多可用到小正方体的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（3分）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD；④△COF的面积是．其中正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①④ C．②③ D．①③④
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，∠1＝∠2，为了使△ADE∽△ACB，需要添加一个条件： ．
12．（4分）关于一元二次方程kx2﹣2x+2＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
13．（4分）如图，为测量一个“泉”字的面积，某同学将该“泉”字贴在一个边长为20cm的正方形内．现将米粒随机撒到贴有“泉”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“泉”字区域的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计这个“泉”字的面积是 cm2．
14．（4分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，这个几何体的体积为 ．（结果保留π）．
15．（4分）如图，AB，CD是两堵高度不同的墙，两墙之间的距离BD为7m．小明将一架木梯放在距B处2m的E处，当他将木梯靠向墙AB时，木梯有部分伸出墙外；当他将木梯绕点E旋转 90°靠向墙CD时，木梯刚好达到墙的顶端．若墙AB高2.5m，则墙CD高 m．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为 ．
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+6x﹣2＝0；
（2）2x2﹣4x＝6．
18．（10分）如图，已知点D在△ABC边BC上，点E在△ABC外，∠BAD＝∠CAE＝∠EDC．
（1）求证：△ABC∽△ADE．
（2）若AD＝4，AB＝5，BC＝8，求DE的长．
19．（10分）在桌面上，用若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体A，每个小正方体的棱长为a cm，如图所示．
（1）请画出这个几何体A的三视图．（用黑色水笔描清楚）；
（2）若将此几何体A的表面喷上红漆（放在桌面上的一面不喷），则几何体A上喷上红漆的面积为 cm2（用含a的代数式表示）；
（3）若现在你的手头还有这样的一些棱长为a cm的小正方体可添放在几何体A上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加 个小正方体．
20．（12分）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）：结合调查信息，回答下列问题：
调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程．
调查方式 随机问卷调查
调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在1﹣3.5h范围内）
调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：h）是 ①1﹣1.5；②1.5﹣2；③2﹣2.5；④2.5﹣3；⑤3﹣3.5． （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A．家政；B．烹饪；C．剪纸；D．园艺；E．陶艺．
调查结果 周家务劳动时间频数分布直方图周家务劳动时间扇形统计图劳动课程条形统计图
（1）参与本次问卷调查的学生人数为 ；扇形统计图中④所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）补全周家务劳动时间的频数分布直方图；
（3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数．
21．（12分）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图，路灯顶部A处发光，光线透过窗子BC照亮地面的长度为DE，小明测得窗户距离地面高度BF＝0.6m，窗高BC＝1.4m，某一时刻，FD＝0.6m，DE＝2.4m，其中O、F、D、E四点在同一条直线上，C、B、F三点在同一条直线上，且OA⊥OE，CF⊥OE，请求出路灯的高度OA．
22．（14分）问题背景
如图1，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，求证：AE＝BE．
变式迁移
如图2，在四边形DEBC中，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，DF∥EB，DF分别交CE，BC于点G，F，求证：DG＝FG．
拓展应用
如图3，在四边形DECB中，2∠DBE+∠EBC＝180°，∠EDB＝∠DCB，，且n＞1，直接写出的值．中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版2025~2026学年度九年级上册第二次月考检测卷（第1章~第5章）
数学试题
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B C B C B A D A
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列给出的四条线段，是成比例线段的为（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm
B．1cm，2cm，3cm，6cm
C．，，，
D．1cm，3cm，4cm，7cm
【分析】根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有，可得ad＝bc，再逐项判断即可．
【解答】解：A、2×3≠1×4，故A错误，不符合题意；
B、2×3＝1×6，故B正确，符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、3×4≠1×7，故D错误，不符合题意．
故选：B．
2．（3分）下列几何体中，主视图和左视图相同的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拔】分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图相同的几何体即可．
【解答】解：圆柱的主视图和左视图相同，是两个大小形状相同的矩形；
长方体的主视图是一个矩形，左视图是一个正方形；
圆锥的主视图和左视图相同，是两个大小形状相同的等腰三角形；
六棱柱的主视图是三个相邻的矩形，左视图是两个相邻的矩形；
球的主视图和左视图相同，是两个大小相同的圆．
所以主视图和左视图相同的有3个．
故选：B．
3．（3分）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】画出树状图，求出总的情况数和符合条件的情况数，利用概率公式求解即可．
【解答】
∴一共有12种等可能的情况，其中被抽到的2名同学都是男生的情况有6种情况，
∴被抽到的2名同学都是男生的概率．
故选：B．
4．（3分）封的传统民间技艺“撂石锁”是一种古老的武术功力项目，产生于唐宋时期，2011年6月入选第三批国家级非物质文化遗产名录．如图，这是一个常见石锁，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，整体是一个长方形，中间有3个横着放置的长方形，左右两侧是竖着放置的长方形，且中间的棱都能看见，应为实线，
故选：C．
5．（3分）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，AB＝AC，拉杆EF∥BC，AE，EF＝0.35米，则两梯杆跨度B、C之间距离为（ ）
A．2米 B．2.1米 C．2.5米 D． 米
【思路点拔】证得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求出BC．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴
∵AE，EF＝0.35米，
∴，
∴BC＝2.1，
即两梯杆跨度B、C之间距离为2.1米，
故选：B．
6．（3分）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50%
【思路点拔】设每天“遗忘”的百分比为x，根据两天不练丢一半列方程解答即可．
【解答】解：设每天“遗忘”的百分比为x，
（1﹣x），
解得x1，x（不合题意，舍去），
∵0.293，
∴每天“遗忘”的百分比约为29.3%．
故选：C．
7．（3分）某三棱柱的三种视图如图所示，俯视图的面积是左视图面积的倍，左视图中矩形ABCD的边长AB＝3，则主视图的面积为（ ）
A． B．6 C．8 D．12
【思路点拔】根据俯视图的面积是左视图面积的倍，左视图中矩形ABCD的边长AB＝3，可得俯视图的长是AB的倍，据此可得主视图的底和高，进而得出面积．
【解答】解：∵俯视图的面积是左视图面积的倍，左视图中矩形ABCD的边长AB＝3，
∴俯视图的长为：4，
∴主视图的三角形的底边是4，高是3，
∴主视图的面积为：6．
故选：B．
8．（3分）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，使它与△ABC的相似比为2，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（ ）
A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
【思路点拔】设点B′的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B′C的水平的距离，再根据位似比列式计算即可．
【解答】解：设点B′的横坐标为x，
则B、C间的水平距离为a﹣1，B′、C间的水平距离为﹣x+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（a﹣1）＝﹣x+1，
解得：x＝﹣2a+3，
故选：A．
9．（3分）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图是从两个不同方向看到的形状图，则搭成这个几何体最多可用到小正方体的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拔】在从上面看的图形上标出每个正方形可能含有的小正方体数量即可．
【解答】解：在从上面看的图形上标出每个正方形可能含有的小正方体数量如下：
∴搭成这个几何体最多可用到小正方体的个数是2+2+2+1+1＝8，
故选：D．
10．（3分）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD；④△COF的面积是．其中正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①④ C．②③ D．①③④
【思路点拔】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD；
②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解；
④根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故①正确；
②∵EF，
∴OE＝2，
∵AO＝AB＝3，
∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故②正确；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG＝1，
CF，
BH＝3﹣1＝2，
DH＝3+1＝4，
BD2，故③错误；
④△COF的面积S△COF3×1，故④正确；
∴其中正确的结论为①②④，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，∠1＝∠2，为了使△ADE∽△ACB，需要添加一个条件： ∠D＝∠C或∠E＝∠B或 ．
【思路点拔】由∠1＝∠2可得∠DAE＝∠BA．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得△ADE∽△ACB．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC．
当∠D＝∠C或∠E＝∠B或时，△ADE∽△ACB．
故答案为：∠D＝∠C或∠E＝∠B或．
12．（4分）关于一元二次方程kx2﹣2x+2＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
【思路点拔】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根，据此可得，解之即可．
【解答】解：由题意可知：，
∴，
故答案为：．
13．（4分）如图，为测量一个“泉”字的面积，某同学将该“泉”字贴在一个边长为20cm的正方形内．现将米粒随机撒到贴有“泉”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“泉”字区域的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计这个“泉”字的面积是 160 cm2．
【思路点拔】已知米粒落在“泉”字区域的频率稳定在常数0.4附近，根据频率估计概率的知识可得：米粒落在“泉”字区域的概率约为0.4；联系概率的计算方法可知：“泉”字的面积＝正方形的面积×米粒落在“泉”字区域的概率；接下来由正方形的边长为20cm，结合正方形的面积公式即可得到“泉”字的面积．
【解答】解：由频率估计概率的知识可得：米粒落在“泉”字区域的概率约为0.4，
所以“泉”字的面积约为20×20×0.4＝160（cm2）．
故答案为：160．
14．（4分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，这个几何体的体积为 18π ．（结果保留π）．
【思路点拔】根据三视图可以得到它是一个空心的圆柱体，圆柱体底面外圆的直径为4，内圆直径为2，高为6，用外圆柱的体积减去内圆柱的体积即可求解．
【解答】解：由几何体的三视图可知，这个几何体是一个空心的圆柱，圆柱体底面外圆的直径为4，内圆直径为2，高为6，
∴几何体的体积为．
故答案为：18π
15．（4分）如图，AB，CD是两堵高度不同的墙，两墙之间的距离BD为7m．小明将一架木梯放在距B处2m的E处，当他将木梯靠向墙AB时，木梯有部分伸出墙外；当他将木梯绕点E旋转 90°靠向墙CD时，木梯刚好达到墙的顶端．若墙AB高2.5m，则墙CD高 4 m．
【思路点拔】证∠BAE＝∠CED，再证△ABE∽△EDC，得，即可得出结论．
【解答】解：由题意可知，BE＝2m，DE＝BD﹣BE＝7﹣2＝5（m），
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CED，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△EDC，
∴，
即，
解得：CD＝4，
即墙CD高4m，
故答案为：4．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为 或 ．
【思路点拔】根据直角三角形的性质可得AB＝5，当△APD与△ABC相似时，设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x，分两种情况：①△APD∽△ABC，②△APD∽△ACB，分别列方程求解即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴，
当△APD与△ABC相似时，
∵点D始终在边AC上，
根据折叠PB＝PD，
设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x，
∴分两种情况：
①△APD∽△ABC，
此时∠ADP＝∠ACB＝90°，
∴，即，
解得，
∴，
②△APD∽△ACB，
此时∠APD＝∠ACB＝90°，
∴，即，
解得，
∴，
综上，AP的长为或，
故答案为：或．
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+6x﹣2＝0；
（2）2x2﹣4x＝6．
【思路点拔】（1）利用公式法，求出△的符号，进而利用求根公式得出即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）x2+6x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝6，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝36+8＝44＞0，
∴，
∴；
（2）2x2﹣4x＝6，
x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
x+1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3．
18．（10分）如图，已知点D在△ABC边BC上，点E在△ABC外，∠BAD＝∠CAE＝∠EDC．
（1）求证：△ABC∽△ADE．
（2）若AD＝4，AB＝5，BC＝8，求DE的长．
【思路点拔】（1）根据∠BAD＝∠CAE得出∠BAC＝∠DAE，根据三角形的外角定理得出∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，则∠ADE＝∠B，即可求证△ABC∽△ADE；
（2）根据相似三角形对应边成比例，得出，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE++∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，
∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，∠BAD＝∠EDC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
（2）解：由（1）得：△ABC∽△ADE，
∴，
∵AD＝4，AB＝5，BC＝8，
∴，
∴．
19．（10分）在桌面上，用若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体A，每个小正方体的棱长为a cm，如图所示．
（1）请画出这个几何体A的三视图．（用黑色水笔描清楚）；
（2）若将此几何体A的表面喷上红漆（放在桌面上的一面不喷），则几何体A上喷上红漆的面积为 30a2 cm2（用含a的代数式表示）；
（3）若现在你的手头还有这样的一些棱长为a cm的小正方体可添放在几何体A上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加 4 个小正方体．
【思路点拔】（1）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1．据此可画出图形；
（2）利用几何体的形状进而求出几何体A上喷上红漆的面积；
（3）保持保持主视图和左视图不变，可往第二列中间的几何体上放一个小正方体，前面的几何体上放1个小正方体，第3列中间放一个小正方体，前面放1个小正方体，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）几何体A上喷上红漆的面积为：6×5×a2＝30a2（cm2）；
（3）最多可以添加4个小正方体．
故答案为：30a2；4．
20．（12分）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）：结合调查信息，回答下列问题：
调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程．
调查方式 随机问卷调查
调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在1﹣3.5h范围内）
调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：h）是 ①1﹣1.5；②1.5﹣2；③2﹣2.5；④2.5﹣3；⑤3﹣3.5． （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A．家政；B．烹饪；C．剪纸；D．园艺；E．陶艺．
调查结果 周家务劳动时间频数分布直方图周家务劳动时间扇形统计图劳动课程条形统计图
（1）参与本次问卷调查的学生人数为 100人 ；扇形统计图中④所对应扇形的圆心角的度数为 126° ；
（2）补全周家务劳动时间的频数分布直方图；
（3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数．
【思路点拔】（1）用周家务劳动时间在1.5﹣2h的人数除以其百分比可求出参与本次问卷调查的学生人数，进而可求出扇形统计图中④所对应扇形的圆心角的度数；
（2）求出周家务劳动时间在2﹣2.5h的学生人数，再补全频数分布直方图即可；
（3）求出被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数，再用800乘以喜欢“烹饪”课程的学生人数占比即可求解．
【解答】解：（1）∵20÷20%＝100，
∴参与本次问卷调查的学生人数为100人，
∴扇形统计图中④所对应扇形的圆心角的度数为，
故答案为：100人，126°；
（2）∴周家务劳动时间在2﹣2.5h的学生人数为100﹣10﹣20﹣35﹣10＝25，
（3）喜欢“烹饪”课程的学生人数为100﹣18﹣20﹣24﹣16＝22，
，
答：喜欢“烹饪”课程的学生人数为176人．
21．（12分）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图，路灯顶部A处发光，光线透过窗子BC照亮地面的长度为DE，小明测得窗户距离地面高度BF＝0.6m，窗高BC＝1.4m，某一时刻，FD＝0.6m，DE＝2.4m，其中O、F、D、E四点在同一条直线上，C、B、F三点在同一条直线上，且OA⊥OE，CF⊥OE，请求出路灯的高度OA．
【思路点拔】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵OA⊥OE，BF⊥OE，
∴BF∥OA，
∴△DFB∽△DOA，△ECF∽△EAO，
∴，，
∴，，
∴OA＝OD＝4.8（m），
答：路灯的高度OA为4.8m．
22．（14分）问题背景
如图1，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，求证：AE＝BE．
变式迁移
如图2，在四边形DEBC中，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，DF∥EB，DF分别交CE，BC于点G，F，求证：DG＝FG．
拓展应用
如图3，在四边形DECB中，2∠DBE+∠EBC＝180°，∠EDB＝∠DCB，，且n＞1，直接写出的值．
【思路点拔】问题背景：由2∠EDB+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，得出∠ADE＝∠EDB，由∠DEB＝90°，得出∠DEA＝∠DEB＝90°，即可得出△DEA≌△DEB，进而证明AE＝BE；
变式迁移：延长CD，BE交于点M，则ME＝BE，由DF∥BE，得出△CDG∽△CME，△CFG∽△CBE，进而得出，即可证明DG＝FG；
拓展应用：在CB的延长线上截取BP＝BE，连接DP，由“问题背景”可知：∠DBP＝∠DBE，进而得出△DBE≌△DBP，得出∠EDB＝∠PDB，由∠EDB＝∠DCB，得出∠PDB＝∠DCB，继而证明△DPB∽△CPD，得出，设BP＝1，则PD＝n，得出PC＝n2，求出BC＝n2﹣1，继而得出n2﹣1．
【解答】问题背景：证明：如图1，
∵2∠EDB+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，
∴∠ADB＝2∠EDB，
∴∠ADE+∠EDB＝2∠EDB，
∴∠ADE＝∠EDB，
∵∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝∠DEB＝90°，
在△DEA和△DEB中，
，
∴△DEA≌△DEB（ASA），
∴AE＝BE；
变式迁移：证明：如图2，延长CD，BE交于点M，则ME＝BE，
∵DF∥BE，
∴∠CDG＝∠M，∠CGD＝∠CEM，∠CGF＝∠CEB，∠CFG＝∠CBE，
∴△CDG∽△CME，△CFG∽△CBE，
∴，，
∴，
∵ME＝BE，
∴DG＝FG；
拓展应用：解：如图3，在CB的延长线上截取BP＝BE，连接DP，
由“问题背景”可知：∠DBP＝∠DBE，
在△DBE和△DBP中，
，
∴△DBE≌△DBP（SAS），
∴∠EDB＝∠PDB，
∵∠EDB＝∠DCB，
∴∠PDB＝∠DCB，
∵∠P＝∠P，
∴△DPB∽△CPD，
∴，
∵，
∴，
设BP＝1，则PD＝n，
∴，
∴PC＝n2，
∴BC＝PC﹣BP＝n2﹣1，
∴n2﹣1．
