21.5 第2课时 反比例函数的图象和性质 课件(共26张PPT) 2025-2026学年数学沪科版九年级上册

(共26张PPT)
沪科版九年级上册 第二十一章
第二课时 反比例函数的图象和性质
课程讲授
课程导入
习题解析
课堂总结
21.5 反比例函数
前 言
1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程 ；
2. 了解和掌握反比例函数的图象和性质；(重点)
3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (难点)
y
x
O
学习目标及重难点
课程导入
1. 我们学习一次函数和二次函数时，研究了函数的哪些内容 是如何进行研究的
我们研究了函数的表达式、图象、性质，根据表达式，通过列表、描点、连线画出函数图象，从图象的形状、位置、增减性等多个方面分析归纳函数的性质.
2.画函数图象的一般方法和步骤是怎样的
列表、描点、连线
课程讲授
新课推进
例1 画反比例函数 的图象.
解：列表如下.
－6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 ···
－1 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 ···
…
…
－1.2
－1.5
注意：列表时自变量取值要均匀和对称
O
－2
5
6
x
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－1
－2
－3
－4
－5
－6
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新课推进
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得的 图象．
用光滑曲线连接时要自左向右顺次连结
观察这个函数图象，回答问题：
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内，随着x的增大，y 如何变化？你能由它们的表达式说明理由吗？
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新课推进
课程讲授
新课推进
结论1：一般地，当k>0时，反比例函数 的图象是双曲线，(1)双曲线的两支分别位于第一、第三象限;
(2)在每一个象限内, y随x的增大而减小. (从左向右看是下降的)
O
x
y
x 增大
y
减
小
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回顾以上研究过程，你能用类似的方法研究函数 的图象和性质吗？
结论2：一般地，当k<0时，反比例函数 的图象是双曲线，(1)双曲线的两支分别位于第二、第四象限;
(2)在每一个象限内, y随x的增大而增大. (从左向右看是上升的)
O
x
y
x 增大
y
增大
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注意：
1、曲线特点
2、“在每个象限内”该怎么理解？
如 在每个象限内递减，但是在整个定义域不是递减的（x<0时，y<0,x>0,y>0;开始小于0，后来大于0，显然不是递减）
(1) 双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点；
(2) 双曲线的两个分支关于原点成中心对称．
归纳：
(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质：
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
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小结
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例2 已知反比例函数y =
(1)如果这个函数图象经过点(-3，5),求的值;
(2)如果这个函数图象在它所处的象限内,函数y随x的增大而减小,求的范围.
解：(1)因为函数图象经过点(-3,5),代入函数的表达式,得，解方程得 =-7.
(2)根据题意,有2 -1 >0.解不等式,得
>
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
S1
S2
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
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P (2，2)
Q (4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2
的关系
猜想S1，S2
与k的关系
S1=S2
S1=S2=k
4
4
例3 1、在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下列表格.
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2、若在反比例函数 中也
用同样的方法分别取 P，Q
两点，填写表格：
y
x
O
P
Q
S1
S2
P (2，2)
Q (4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2
的关系
猜想S1，S2
与k的关系
S1=S2
S1=S2= -k
4
4
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由前面的探究过程，可以猜想：
若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k
的关系是S矩形 AOBP=|k|.
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y
x
O
P
S
A
B
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k.
B
P
A
综上，S矩形 AOBP=|k|.
我们就 k < 0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b)
∵点 P (a，b) 在函数 的图象上，
∴ ，即 ab=k.
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随堂小练习
A. SA >SB>SC B. SAC. SA =SB=SC D. SA1. 如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点A，B ， C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则 ( )
y
x
O
A
B
C
C
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新课推进
2. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = .
－12
提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意
k＜0.
y
x
O
P
A
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新课推进
3. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向
x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形
PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是
.
或
Q
A
B
对于反比例函数 ， 点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ= .
|k|
y
x
O
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小结
推理：△QAO与△QBO的
面积和 k 的关系是
S△QAO=S△QBO= .
反比例函数的面积不变性
习题解析
习题1
反比例函数 的图象大致是 ( )
y
A.
x
y
o
B.
x
o
D.
x
y
o
C.
x
y
o
C
1、 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值.
解：由题意得 a2+a－7=－1，且a－1<0．
解得 a=－3.
习题解析
习题2
2、 在反比例函数 　 (k>0) 的图象上有两点 A (x1，y1)，B (x2，y2)， 且 x1>x2>0，则 y1－y2 0.
＜
已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，函数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2的大小关系为 ( )
A. y1 > y2
B. y1 = y2
C. y1 < y2
D. 无法确定
C
提示：由题可知反比例函数的表达式为 ，因为6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限，根据 >5，可知y1，y2的大小关系.
习题解析
习题3
习题 4
习题解析
2、 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
1、 已知反比例函数 的图象在第一、三象
限内，则m的取值范围是________.
m＞2
(1)(3)
习题解析
习题 5
y
D
B
A
C
x
如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图象上
任意一点，AB//x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中
点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =___.
3
2
5
习题解析
如图，P，C是函数 (x>0) 图象上的任意两点，过点 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的
垂线 CD，垂足为 D，连接 OC
交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积
为 S1，则 S1= ；梯形CEAD
的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小
关系是 S1 S2；△POE 的面
积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.
2
S1
S2
＞
＝
S3
习题 6
反比例函数 (k≠0) k k > 0 k < 0
图象
性质
图示
小结
课堂总结
图象位于第一、三象限
图象位于第二、四象限
在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
在每个象限内，y 随x 的增大而增大
x
y
o
x
y
o