22.1 第3课时 比例的性质与黄金分割 课件（共34张PPT） 2025-2026学年数学沪科版（2024）九年级上册

(共34张PPT)
沪科版九年级上册 第二十二章
课程讲授
课程导入
习题解析
课堂总结
22.1 比例线段
第三课时 比例的性质与黄金分割
前 言
1.理解比例的基本性质并会求比值，能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形；(重点)
2.掌握黄金分割的概念，并能解决相关的实际问题.（难点）
学习目标及重难点
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等式基本性质1
等式基本性质2
如果a=b,那么a±c=b±c
等式基本性质3（对称性）
如果a=b，那么b=a
等式基本性质4（传递性）
如果a=b,b=c,那么a=c
复习回顾： 等式基本性质
如果a=b,那么ac=bc或 ，
（c≠0）
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探索1：比例的基本性质
问题1 如果四个数a , b, c, d成比例，即 .那么
ad = bc成立吗？
由此可得到比例的基本性质：
在等式两边同时乘以bd,得ad=bc
如果 ，那么 ad=bc.
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由此可得到比例的基本性质：
如果ad=bc,那么等式 还成立吗？
在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而在分式中，分母不能为0.
思考：
如果ad=bc（b,d ≠0），那么 .
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例1
根据下列条件，求 a : b 的值.
（1） 4a=5b ；
（2）
解： （1）∵ 4a=5b，∴
（2）∵ , ∴ 8a=7b，∴
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由此可得到比例的合比性质：
在等式两边同时加上1,得
,还有什么其他性质吗？
思考：
如果 ，那么 .
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已知，如图在△ABC中， .
求证：(1) ; (2)
例2
证明：
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问题2 已知a , b, c, d, e, f 六个数，如果
（b+d+f≠0）,那么 成立吗？为什么？
探索2：等比性质
设 ,则
a = kb, c = kd , e= kf .
所以
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等比性质：
如果 ，且≠0，
那么
代入待证明的等式左边，提取公因式并约分即得等比性质.
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例3
2
6
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在地图或工程图纸上，都标有比例尺，比例尺就是图上长度与实际长度的比，现在一长比例尺为1∶5000的图纸上，量得一个△ABC的三边：AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，问这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长是多少？
例4
解：根据题意，得
即
答：实际△A'B'C'的周长是600m
∴(cm)=600（m）
习题1
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在△ABC与△DEF中，已知 ，且△ABC的周长为18cm,求△DEF的周长.
解：∵
∴
∴ 4(AB + BC + CA)=3(DE + EF + FD).
即 AB+BC+CA = (DE+EF+FD) ，
又 △ABC的周长为18cm， 即AB+BC+CA=18cm.
∴ △DEF的周长为24cm.
若a，b，c都是不等于零的数，且 ，
求k的值.
习题2
习题解析
得 ，
则k＝2；
当a＋b＋c＝0时，则有a＋b＝－c.
此时
综上所述，k的值是2或－1.
解：当a＋b＋c≠0时，由 ，
探索3：黄金分割的概念
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这两幅照片，哪一幅更好看，看起来更舒服

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（1）以下3张图片，哪张构图最美？
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（2）脸型相同，五官基本相同的3张脸，哪个更美？
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如图，已知线段AB的长度为a，点P是AB上一点，且使 AB:AP=AP:PB，求线段AB的长和 的值.
A
P
B
解: 设AP=x，那么PB=a-x.根据题意，得
a:x=x:(a-x),
即 x2+ax-a2=0.
解方程，得
例5
A
P
B
因为线段长不能是负值，所以取
即
于是
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问：一条线段有几个黄金分割点？
2个
由定义可知：一条线段如果有黄金分割点，必有一条长线段和一条短线段。
把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值 叫做黄金数.
如图所示,已知线段AB按照如下方法作图:
1.经过点B作BD⊥AB,使BD= AB
2.连接AD,在AD上截取DE=DB.
3.在AB上截取AC=AE.
思考：点C是线段AB的黄金分割点吗
A
B
D
E
C
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例6
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∵ =
∴ = ,
∴ 点是线段的黄金分割点.
解：
巴台农神庙
（Parthenom Temple）
F
C
A
E
B
D
想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现 ， 点E是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？为什么
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宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
A
B
C
D
E
F
点E是AB的黄金分割点
（即 ）是黄金比
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比
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习题解析
习题3
在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为( )
(A)12.36 cm (B)13.6 cm
(C)32.36 cm (D)7.64 cm
【解析】选A. 0.618×20=12.36(cm).
A
习题解析
习题4
如图所示，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC=___ _ _cm，DC=______ _cm.
A
C
B
D
【解析】由黄金分割定义可知，
AC=BD= ×AB=(40 -40)cm,
AD=AB-BD=(120-40 ) cm,所以DC=AC-AD=(80 -160) cm.
(40 -40)
(80 -160)
习题5
习题解析
在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得
，解得x = 0.96.
设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美，则
解得 y≈0.075，而0.075m=7.5cm.
故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美.
如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH.点H就是AB的黄金分割点.
A
B
C
D
E
F
G
H
习题6
习题解析
解: 设AB=1,那么在 Rt△BAE 中,
因此,点就是的黄金分割点.
图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618.
趣味小知识
黄金分割在生活中的应用
上海东方明珠电视塔高468m,上球体是塔身的黄金分割点,它到塔底部的距离大约是多少米(精确到0.1m)
468

468×0.618≈289.2m
趣味小知识
B
A
C
B
A
C
趣味小知识
人与黄金分割
人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了一些疾病。人体最感舒适的温度是23℃(体温)，也是正常人体温(37℃)的黄金点(23=37×0.618).这说明医学与0.618有千丝万缕联系,尚待开拓研究.人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节.上肢与下肢长度之比均近似0.618.
世界艺术珍品——维纳斯女神，她是西元前一百多年希腊雕塑鼎盛时期的代表作，她的上半身和下半身的比值接近0.618.
趣味小知识
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618.
趣味小知识
课程总结
小结
（2）合比性质
（3）等比性质
如果 ，且≠0，
那么
如果 ，那么 （b,d ≠0）.
（1）比例的基本性质
ad=bc（b,d ≠0）