22.1 第4课时 平行线分线段成比例定理及推论 课件(共25张PPT) 2025-2026学年数学沪科版（2024）九年级上册

(共25张PPT)
沪科版九年级上册 第二十二章
课程讲授
课程导入
习题解析
课堂总结
22.1 比例线段
第四课时 平行线分线段成比例定理及推论
前 言
1. 平行线分线段成比例定理和推论及其应用;（重点）
2. 会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题．（难点）
学习目标及重难点
课程导入
下图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道：AA1,BB1,CC1互相平行，且若AB=BC,则A1B1=B1C1,由此可以猜测：若两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等，这个猜测是真的吗？
A1
C1
B1
已知，直线 l1、l2、l3 互相平行，直线AC和直线A1C1分别交直线 l1、l2、l3 于点 A、B、C 和点 A1、B1、C1，且 AB=BC .求证：A1B1=B1C1.
l1
l2
l3
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
证明：
过点B1作EF∥ AC，
分别交直线 l1、l3 于点 E、F.
∴ 四边形ABB1E和四边形BCFB1都是平行四边形
∵ AB=BC
∴ EB1=B1F
∵ l1∥ l3
∴∠A1EB1=∠C1FB1
∴ AB=EB1，
BC=B1F
在△A1B1E和△C1B1F中
∵
∠A1B1E=∠C1B1F
EB1=FB1
∠A1EB1=∠B1FC1
∴ △A1B1E≌△C1B1F
∴ A1B1=B1C1
(ASA)
课程导入
课程导入
由此得到如下结论：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
平行线等分线段定理
l1
l2
l3
A
B
C
A1
B1
C1
几何语言 :
∵ l1∥ l2∥ l3 ,
∴ A1B1=B1C1
且 AB=BC
注意：平行线等分线段定理的条件
相邻的两条平行线间的距离相等
一组平行线中相邻两条平行线间距离不相等，结论又如何呢？
课程导入
如图，有一组平行线：l1∥ l2∥ l3 ··· lk∥ ··· ln-1∥ ln，另外，直线 A1An与直线 B1Bn 被这一组平行直线分别截于点 A1，A2，A3，···，Ak，···，An-1，An 和点 B1，B2，B3，···，Bk，···，Bn-1，Bn .根据已学定理，可以得到：如果 A1A2=A2A3=···=An-1An，那么 B1B2=B2B3=···=Bn-1Bn .
A1
A2
A3
Ak
An-1
An
B1
B2
B3
Bk
Bn-1
Bn
l1
l2
l3
lk
ln
ln-1
思考：
A1Ak
AkAn
与 相等吗？
B1Bk
BkBn
这时，如设
A1A2=A2A3=···=An-1An=a，
B1B2=B2B3=···=Bn-1Bn=b，
容易推得：
A1Ak
AkAn
=
(k-1)a
(n-k)a
=
k-1
n-k
B1Bk
BkBn
=
(k-1)b
(n-k)b
=
k-1
n-k
∴
A1Ak
AkAn
B1Bk
BkBn
=
,
A1Ak
A1An
B1Bk
B1Bn
AkAn
A1An
BkBn
B1Bn
,
,
A1Ak
A1An
B1Bk
B1Bn
=
AkAn
A1An
BkBn
B1Bn
=
是指同一条直线上的两条线段的比，
3、对应线段的比相等
两条直线被
探索1：平行线分线段成比例（基本事实）
注意：
1、一组平行线的数量为3条以上；
4、常见的线段对应关系有：
2、对应线段是指
A1
Ak
An
B1
Bk
Bn
l1
lk
ln
A1Ak
AkAn
B1Bk
BkBn
=
A1Ak
A1An
B1Bk
B1Bn
AkAn
A1An
BkBn
B1Bn
,
,
=
=
可简记为：
上
下
=
上
全
下
全
,
,
=
=
上
下
上
全
下
全
所得的对应线段
一组平行线所截，
成比例.
被平行线所截的线段；
等于另一条直线上与它们对应的两条线段的比；
课程讲授
新课推进
课程讲授
新课推进
平行线分线段成比例定理
A
B
C
D
E
F
l1
l2
l3
几何语言 :
∵ l1∥ l2∥ l3
AB
AC
DE
DF
BC
AC
EF
DF
∴
AB
BC
DE
EF
=
,
,
=
=
可简记为：
上
下
=
上
全
下
全
,
,
=
=
上
下
上
全
下
全
两条直线被
所得的对应线段
一组平行线所截，
成比例.
课程讲授
新课推进
思考：平行线分线段成比例与平行线等分线段的联系：
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
AB
BC
当 =1
AB
BC
当 ≠1
如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段.
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
m
n
a
把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
课程讲授
新课推进
探索2：平行线分线段成比例定理的推论
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
( )
课程讲授
新课推进
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
( )
课程讲授
新课推进
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
归纳：
课程讲授
新课推进
运用平行线分线段成比例定理的三种基本图形：
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
(1) 两条截线无交点
(2) 两条截线的交点在三条平行线的外面
(3)两条截线的交点在三条平行线的内部
课程讲授
新课推进
C
B
如图，直线DE平行于△ABC的一边BC，并分别交另两边AB，AC与点D，E. 则
A
E
D
M
N
AD
DB
=
AE
EC
,
AD
AB
=
AE
AC
和
BD
AB
=
EC
AC
成立吗？
为什么？
过点A作直线MN∥ DE
∵ DE∥ BC
又∵ AB，AC被一组平行线MN，DE，BC所截
∴ MN∥ DE∥ BC
解：
AD
DB
=
AE
EC
,
AD
AB
=
AE
AC
和
DB
AB
=
EC
AC
∴
( 平行线分线段成比例定理 )
由此得到以下结论：
平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.
课程讲授
新课推进
如图，直线DE平行于△ABC的一边BC，并分别交另两边AB，AC的延长线于点D，E. 对应线段还成比例吗？
由此可以得到以下结论：
C
B
A
D
E
M
N
C
B
A
N
M
E
D
(1) DE在三角形的顺向延长线上；
(2) DE在三角形的反向延长线上；
平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得的对应线段成比例.
思考：
AB
BD
=
AC
CE
,
AB
AD
=
AC
AE
和
BD
AD
=
CE
AE
AD
AB
=
AE
AC
,
AD
BD
=
AE
EC
和
AB
BD
=
AC
EC
课程讲授
新课推进
C
B
A
D
E
C
B
A
E
D
① 截线在三角形的内部；
② 截线在三角形的顺向延长线上；
③ 截线在三角形的反向延长线上.
C
B
A
E
D
几何语言 :
AD
AB
=
AE
AC
和
DB
AB
=
EC
AC
AD
DB
=
AE
EC
,
∴
②
∵ DE∥ BC
①
∵ DE∥ BC
∴
AB
BD
=
AC
CE
,
AB
AD
=
AC
AE
和
BD
AD
=
CE
AE
③
∵ DE∥ BC
∴
AD
AB
=
AE
AC
,
AD
BD
=
AE
EC
和
AB
BD
=
AC
EC
A 字形图
X 字形图
小结
课程讲授
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例.
习题1
如图，已知AB∥ CD∥ EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是(　　)
A.
B.
C.
D.
在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面获取信息：
一是位置角之间的关系( 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 )；
二是线段之间的关系，即平行线分线段成比例.
习题解析
C
习题解析
习题2
如图，直线 l1∥ l2∥ l3，直线AC分别交这三条直线于点A，B，C，直线DF分别交这三条直线于点D，E，F，若 AB=3，DE= ，EF=4，求BC的长.
7
2
A
B
C
D
E
l1
l2
l3
F
3
7
2
4
？
规律总结：
∵ 直线 l1∥ l2∥ l3，
解：
AB
BC
=
DE
EF
∴
又∵ AB=3，DE= ,EF=4
7
2
3
BC
=
4
∴
7
2
解得
BC=
24
7
利用平行线分线段成比例的定理及推论求线段长时，先确定图中的平行线，由此联想到平行线截得的线段间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，构造方程，解方程求出待求线段长.
习题解析
习题3
如图，已知直线 a∥ b∥ c，直线 m，n 与直线 a，b，c 分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，求BF的长.
A
B
C
a
b
4
D
F
c
m
n
6
3
E
又∵ AC=4，CE=6，BD=3
∵ a∥ b∥ c
解：
AC
CE
=
BD
DF
∴
∴
4
6
=
3
DF
解得
DF=
9
2
∴ BF=
BD+DF
=3+
9
2
=
15
2
习题4
习题解析
已知：EG∥ BC，GF∥ CD
求证：
D
F
A
B
C
E
G
AE
AB
=
AF
AD
∵ EG∥ BC
解：
∴
AE
AB
=
AG
AC
∵ GF∥ CD
∴
AG
AC
=
AF
AD
∴
AE
AB
=
AF
AD
注意：
若不能直接证明两组比相等，则可以证明这两组比分别与另一组比相等，从而通过等量代换证明这两组比相等.
习题5
习题解析
【中考·临沂】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥ BC，EF∥ AB．若AB=8，BD=3，BF=4，求 FC 的长.
利用平行线分线段成比例的定理及推论求线段长时，先根据已知的平行线写出比例式，利用中间比进行等量代换，建立起已知线段和未知线段的桥梁.
∵ DE∥ BC
解：
∴
AD
BD
=
AE
EC
∵ EF∥ AB
∴
AE
EC
=
BF
FC
∴
AD
BD
=
BF
FC
∵ AB=8，BD=3，BF=4
∴
5
3
=
4
FC
解得
FC=
12
5
∴ AD=AB-BD=5
规律总结：
习题6
习题解析
如图，E 为 ABCD的边CD的延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F. 求证：BO2=OF·OE.
∵ 四边形ABCD是平行四边形
解：
∴ AD∥ BC，AB∥ CD
∴ ，
OF
BO
=
OA
OC
OA
OC
BO
OE
=
∴
OF
BO
=
BO
OE
∴ BO2=OF·OE
课程总结
小结
平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
A
B
C
D
E
F
l1
l2
l3
注意：
1、一组平行线的数量为3条以上；
2、对应线段是指被平行线所截的线段；
3、对应线段的比相等是指同一条直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的两条线段的比；
几何语言 :
∵ l1∥ l2∥ l3
BC
AC
EF
DF
=
可简记为：
上
下
=
上
全
下
全
,
,
=
=
上
下
上
全
下
全
AB
AC
DE
DF
,
=
∴
AB
BC
DE
EF
=
,
课程总结
小结
基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例
平行线分线段成比例