22.2 第3课时 三角形相似的判定定理2 课件（共21张PPT） 2025-2026学年数学沪科版（2024）九年级上册
文档属性
| 名称 | 22.2 第3课时 三角形相似的判定定理2 课件（共21张PPT） 2025-2026学年数学沪科版（2024）九年级上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 360.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-17 10:51:27 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
沪科版九年级上册 第二十二章
课程讲授
课程导入
习题解析
课堂总结
22.2 相似三角形的判定
第三课时 三角形相似的判定定理2
前 言
学习目标及重难点
1.掌握三角形相似的判定定理2，并熟练地运用；（重点）
2.会准确地运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似.（难点）
A
B
C
C′
B′
A′
课程导入
问题1 有两边对应成比例的两个三角形相似吗
3
3
5
5
不相似
问题2 类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
3
3
5
5
相似
课程导入
利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使
∠A=∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长，
它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的
两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关
系？
两个三角形相似
改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
课程讲授
新课推进
探索1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
例1
如图，BC与DE 相交于点O.问：
(1) 当∠B满足什么条件时，△ABC∽△ADE？
(2) 当 AC：AE 满足什么条件时，△ABC∽△ADE？
解：
(1) ∵ ∠A=∠A
∴ 当∠B=∠D时，
△ABC∽△ADE.
(2) ∵ ∠A=∠A
∴ 当 AC：AE=AB：AD 时，
△ABC∽△ADE.
课程讲授
新课推进
已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中， ，∠A=∠A'.
求证：△ABC∽△A'B'C'
A
C
A'
B'
C'
E
，
AB
A'B'
=
AC
A'C'
B
D
证明：
在△ABC的边AB上，截取 AD=A'B'，过点D作 DE∥ BC，交AC于点E，则△ADE∽△ABC
∴
AB
AD
=
AC
AE
∵ AD=A'B'
∵
AB
A'B'
=
AC
A'C'
∴
AC
A'C'
=
AC
AE
∴ A'C'=AE
在△ADE与△A'B'C'中
AD=A'B'
∴
AB
A'B'
=
AC
AE
∵
∠A=∠A'
A'C'=AE
∴ △ADE≌△A'B'C'
∴ △ABC∽△A'B'C'
(SAS)
例2
相似三角形的判定 定理 2
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
A
B
C
A'
B'
C'
，
简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
几何语言 :
∵ 在△ABC和△A'B'C'中，
∠A=∠A’
∴△ABC∽△A'B'C'
AB
A'B'
=
AC
A'C'
,
利用该定理判定三角形相似时，必须注意是 两边及夹角，即相等的角必须是成比例的两边 的夹角否则不能判定两个三角形相似.
小结
课程讲授
注意
课程讲授
新课推进
在△ABC中，∠A=48°，AB=1.5cm，AC=2cm；在△DEF中，∠E=48°，DE=2.8cm，EF=2.1cm.问这两个三角形相似吗 为什么
利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似的步骤：
解：
相似.
理由如下：
∵ ∠A=∠E=48°，
AB
EF
=
1.5
2.1
= ，
5
7
AC
DE
=
2
2.8
=
5
7
∴
AB
EF
=
AC
DE
∴ △ABC∽△DEF
① 找出两个三角形中相等的那个角；
② 再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按从小到大的排列找出对应边；
③ 最后看两组对应边是否成比例，若成比例则两个三角形相似，否则不相似.
例3
注意
课程讲授
新课推进
如图，在△ABC中，点D，E分别在边 AB，AC上，∠AED=∠B. 射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 .
AD
AC
=
DF
CG
(1) 求证：△ADF∽△ACG；
AD
AC
=
1
2
(2) 若 ，求 的值.
AF
FG
(1)证明:
∵ ∠AED=∠B，
∠DAE=∠BAC
∴ ∠ADF=∠C
又 ∵
AD
AC
=
DF
CG
∴ △ADF∽△ACG
(2)解：
△ADF∽△ACG
∴
AD
AC
=
AF
AG
又 ∵
AD
AC
=
1
2
∴
AF
AG
=
1
2
∴
AF
FG
=
1
例4
随堂小练习
课程讲授
新课推进
1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm.
求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
F
E
D
证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
∴
2. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：
∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形，
∴ AD =AE，AB = AC，
∴
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
A
B
C
D
E
课程讲授
新课推进
课程讲授
新课推进
解：∵ AE=1.5，AC=2，
3. 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.
A
C
B
E
D
∴
又∵∠EAD=∠CAB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∴
∴
提示：解题时要找准对应边.
习题解析
习题1
在Rt△ABC中，两直角边分别为3cm，4cm；在Rt△A'B'C'中，斜边为25cm，一条直角边为15cm.问这两个直角三角形相似吗？为什么.
解：
相似.
理由如下：在Rt△A'B'C'中，由勾股定理，得另一边的直角边为 20 cm.夹直角的两条边对应成比例，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
即
3
15
=
4
20
∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
习题2
习题解析
如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是( )
A.
AC
CD
=
AB
BC
B.
CD
AD
=
BC
AC
C. AC2=AD·AB
D. CD2=AD·BD
C
习题解析
习题3
如图，在△ABC中，AB=16，AC=8，在AC上取一点D，使AD=5，如果在AB上取一点E，使△ADE和△ABC相似，求AE的长.
A
B
C
D
解：
① 如图，当AD和AC是对应边时，△ADE∽△ACB
E
A
B
C
D
E
AE
AB
=
AD
AC
∵ AB=16，AC=8，AD=5
∴
AE
16
=
5
8
解得
AE=10
② 如图，当AD和AB是对应边时，
AE
AC
=
AD
AB
∵ AB=16，AC=8，AD=5
∴
AE
8
=
5
16
解得
AE=
5
2
∴
∴
△ADE∽△ABC
习题解析
习题4
如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，△CPQ与△CBA相似？
解：
① 当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA
CP
CB
=
CQ
CA
∴
16-2t
16
=
t
12
解得
t=4.8
② 当CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB
CP
CA
=
CQ
CB
∴
∴
∴
16-2t
12
=
t
16
解得
t=
64
11
16
12
2t
t
16-2t
综上所述，当t=4.8秒或 秒时，△CPQ与△CBA相似．
64
11
习题解析
习题5
如图，已知：△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且 AB= ，BC=1. 连接BF，分别交AC，DC，DE于点P，Q，R.
(1) 求证：△BFG∽△FEG； (2) 求BF的长.
(1) ∵△ABC、△DCE、△FEG 是三个全等的等腰三角形，AB= ，BC=1.
解：
∴ BG=3BC=3，
FG=AB= ，
GE=BC=1
∵
BG
FG
=
3
= ，
FG
EG
=
1
=
∴
BG
FG
=
FG
EG
(2) 由(1)知：△BFG∽△FEG
∴
BG
FG
=
BF
EF
∵ FE=FG
∴ BF=BG=3
又∵ ∠G=∠G
∴ △BFG∽△FEG
习题解析
习题6
如图，D是△ABC内的一点，E是△ABC外一点，且 ∠1=∠2，∠3=∠4．
求证：(1) △ABD∽△CBE；
(2) △ABC∽△DBE．
证明：
(1) ∵ ∠1=∠2，∠3=∠4
∴ △ABD∽△CBE
(2) ∵ ∠1=∠2
∴ ∠1+∠DBC=∠2+∠DBC
∴ ∠ABC=∠DBE
∵ △ABD∽△CBE
AB
CB
=
BD
BE
∴
AB
DB
=
BC
BE
∴
∴△ABC∽△DBE
习题解析
习题7
如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH均是正方形，且B，C，F，G在一直线上，连接AC，AF，AG.
(1) 求证：△ACF∽△GCA；(2) 求∠AFB+∠AGB 的度数.
解:
(1) ∵ 设正方形ABCD，DCFE，EFGH 的边长为 a.
∴ CF=a，AC= a ，CG=2a
∴
AC
GC
=
2
，
CF
CA
=
1
=
2
∴
AC
GC
=
CF
CA
又∵ ∠ACF=∠GCA
∴ △ACF∽△GCA
(2) 由(1)得：△ACF∽△GCA
∴ ∠FAC=∠AGB
∴ ∠AFB+∠AGB
= ∠AFB+∠FAC
= ∠ACB
= 45°
习题解析
习题8
如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.
求证：△ADQ∽△QCP
证明：
∵ BP=3PC
∴ CP=
BC
= CD
1
4
1
4
∵ Q是CD的中点
∴ CQ =
DQ
= CD
1
2
= AD
1
2
∴
AD
CQ
=
DQ
CP
AD
AD
1
2
=2，
=
CD
1
4
=2
CD
1
2
∴
AD
CQ
=
DQ
CP
又∵ ∠C=∠D=90°
∴ △ADQ∽△QCP
课程总结
小结
怎样判定两个三角形相似？
对应角相等，对应边长度的比相等的两个三角形叫做相似三角形.
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线） 相交，截得的三角形与原三角形相似.
两角分别相等的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
1、定义法
2、预备定理
4、相似三角形的判定 定理 2
3、相似三角形的判定 定理 1
沪科版九年级上册 第二十二章
课程讲授
课程导入
习题解析
课堂总结
22.2 相似三角形的判定
第三课时 三角形相似的判定定理2
前 言
学习目标及重难点
1.掌握三角形相似的判定定理2，并熟练地运用；（重点）
2.会准确地运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似.（难点）
A
B
C
C′
B′
A′
课程导入
问题1 有两边对应成比例的两个三角形相似吗
3
3
5
5
不相似
问题2 类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
3
3
5
5
相似
课程导入
利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使
∠A=∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长，
它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的
两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关
系？
两个三角形相似
改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
课程讲授
新课推进
探索1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
例1
如图，BC与DE 相交于点O.问：
(1) 当∠B满足什么条件时，△ABC∽△ADE？
(2) 当 AC：AE 满足什么条件时，△ABC∽△ADE？
解：
(1) ∵ ∠A=∠A
∴ 当∠B=∠D时，
△ABC∽△ADE.
(2) ∵ ∠A=∠A
∴ 当 AC：AE=AB：AD 时，
△ABC∽△ADE.
课程讲授
新课推进
已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中， ，∠A=∠A'.
求证：△ABC∽△A'B'C'
A
C
A'
B'
C'
E
，
AB
A'B'
=
AC
A'C'
B
D
证明：
在△ABC的边AB上，截取 AD=A'B'，过点D作 DE∥ BC，交AC于点E，则△ADE∽△ABC
∴
AB
AD
=
AC
AE
∵ AD=A'B'
∵
AB
A'B'
=
AC
A'C'
∴
AC
A'C'
=
AC
AE
∴ A'C'=AE
在△ADE与△A'B'C'中
AD=A'B'
∴
AB
A'B'
=
AC
AE
∵
∠A=∠A'
A'C'=AE
∴ △ADE≌△A'B'C'
∴ △ABC∽△A'B'C'
(SAS)
例2
相似三角形的判定 定理 2
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
A
B
C
A'
B'
C'
，
简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
几何语言 :
∵ 在△ABC和△A'B'C'中，
∠A=∠A’
∴△ABC∽△A'B'C'
AB
A'B'
=
AC
A'C'
,
利用该定理判定三角形相似时，必须注意是 两边及夹角，即相等的角必须是成比例的两边 的夹角否则不能判定两个三角形相似.
小结
课程讲授
注意
课程讲授
新课推进
在△ABC中，∠A=48°，AB=1.5cm，AC=2cm；在△DEF中，∠E=48°，DE=2.8cm，EF=2.1cm.问这两个三角形相似吗 为什么
利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似的步骤：
解：
相似.
理由如下：
∵ ∠A=∠E=48°，
AB
EF
=
1.5
2.1
= ，
5
7
AC
DE
=
2
2.8
=
5
7
∴
AB
EF
=
AC
DE
∴ △ABC∽△DEF
① 找出两个三角形中相等的那个角；
② 再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按从小到大的排列找出对应边；
③ 最后看两组对应边是否成比例，若成比例则两个三角形相似，否则不相似.
例3
注意
课程讲授
新课推进
如图，在△ABC中，点D，E分别在边 AB，AC上，∠AED=∠B. 射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 .
AD
AC
=
DF
CG
(1) 求证：△ADF∽△ACG；
AD
AC
=
1
2
(2) 若 ，求 的值.
AF
FG
(1)证明:
∵ ∠AED=∠B，
∠DAE=∠BAC
∴ ∠ADF=∠C
又 ∵
AD
AC
=
DF
CG
∴ △ADF∽△ACG
(2)解：
△ADF∽△ACG
∴
AD
AC
=
AF
AG
又 ∵
AD
AC
=
1
2
∴
AF
AG
=
1
2
∴
AF
FG
=
1
例4
随堂小练习
课程讲授
新课推进
1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm.
求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
F
E
D
证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
∴
2. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：
∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形，
∴ AD =AE，AB = AC，
∴
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
A
B
C
D
E
课程讲授
新课推进
课程讲授
新课推进
解：∵ AE=1.5，AC=2，
3. 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.
A
C
B
E
D
∴
又∵∠EAD=∠CAB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∴
∴
提示：解题时要找准对应边.
习题解析
习题1
在Rt△ABC中，两直角边分别为3cm，4cm；在Rt△A'B'C'中，斜边为25cm，一条直角边为15cm.问这两个直角三角形相似吗？为什么.
解：
相似.
理由如下：在Rt△A'B'C'中，由勾股定理，得另一边的直角边为 20 cm.夹直角的两条边对应成比例，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
即
3
15
=
4
20
∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
习题2
习题解析
如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是( )
A.
AC
CD
=
AB
BC
B.
CD
AD
=
BC
AC
C. AC2=AD·AB
D. CD2=AD·BD
C
习题解析
习题3
如图，在△ABC中，AB=16，AC=8，在AC上取一点D，使AD=5，如果在AB上取一点E，使△ADE和△ABC相似，求AE的长.
A
B
C
D
解：
① 如图，当AD和AC是对应边时，△ADE∽△ACB
E
A
B
C
D
E
AE
AB
=
AD
AC
∵ AB=16，AC=8，AD=5
∴
AE
16
=
5
8
解得
AE=10
② 如图，当AD和AB是对应边时，
AE
AC
=
AD
AB
∵ AB=16，AC=8，AD=5
∴
AE
8
=
5
16
解得
AE=
5
2
∴
∴
△ADE∽△ABC
习题解析
习题4
如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，△CPQ与△CBA相似？
解：
① 当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA
CP
CB
=
CQ
CA
∴
16-2t
16
=
t
12
解得
t=4.8
② 当CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB
CP
CA
=
CQ
CB
∴
∴
∴
16-2t
12
=
t
16
解得
t=
64
11
16
12
2t
t
16-2t
综上所述，当t=4.8秒或 秒时，△CPQ与△CBA相似．
64
11
习题解析
习题5
如图，已知：△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且 AB= ，BC=1. 连接BF，分别交AC，DC，DE于点P，Q，R.
(1) 求证：△BFG∽△FEG； (2) 求BF的长.
(1) ∵△ABC、△DCE、△FEG 是三个全等的等腰三角形，AB= ，BC=1.
解：
∴ BG=3BC=3，
FG=AB= ，
GE=BC=1
∵
BG
FG
=
3
= ，
FG
EG
=
1
=
∴
BG
FG
=
FG
EG
(2) 由(1)知：△BFG∽△FEG
∴
BG
FG
=
BF
EF
∵ FE=FG
∴ BF=BG=3
又∵ ∠G=∠G
∴ △BFG∽△FEG
习题解析
习题6
如图，D是△ABC内的一点，E是△ABC外一点，且 ∠1=∠2，∠3=∠4．
求证：(1) △ABD∽△CBE；
(2) △ABC∽△DBE．
证明：
(1) ∵ ∠1=∠2，∠3=∠4
∴ △ABD∽△CBE
(2) ∵ ∠1=∠2
∴ ∠1+∠DBC=∠2+∠DBC
∴ ∠ABC=∠DBE
∵ △ABD∽△CBE
AB
CB
=
BD
BE
∴
AB
DB
=
BC
BE
∴
∴△ABC∽△DBE
习题解析
习题7
如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH均是正方形，且B，C，F，G在一直线上，连接AC，AF，AG.
(1) 求证：△ACF∽△GCA；(2) 求∠AFB+∠AGB 的度数.
解:
(1) ∵ 设正方形ABCD，DCFE，EFGH 的边长为 a.
∴ CF=a，AC= a ，CG=2a
∴
AC
GC
=
2
，
CF
CA
=
1
=
2
∴
AC
GC
=
CF
CA
又∵ ∠ACF=∠GCA
∴ △ACF∽△GCA
(2) 由(1)得：△ACF∽△GCA
∴ ∠FAC=∠AGB
∴ ∠AFB+∠AGB
= ∠AFB+∠FAC
= ∠ACB
= 45°
习题解析
习题8
如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.
求证：△ADQ∽△QCP
证明：
∵ BP=3PC
∴ CP=
BC
= CD
1
4
1
4
∵ Q是CD的中点
∴ CQ =
DQ
= CD
1
2
= AD
1
2
∴
AD
CQ
=
DQ
CP
AD
AD
1
2
=2，
=
CD
1
4
=2
CD
1
2
∴
AD
CQ
=
DQ
CP
又∵ ∠C=∠D=90°
∴ △ADQ∽△QCP
课程总结
小结
怎样判定两个三角形相似？
对应角相等，对应边长度的比相等的两个三角形叫做相似三角形.
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线） 相交，截得的三角形与原三角形相似.
两角分别相等的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
1、定义法
2、预备定理
4、相似三角形的判定 定理 2
3、相似三角形的判定 定理 1