22.2 第4课时 三角形相似的判定定理3 课件（共23张PPT） 2025-2026学年数学沪科版（2024）九年级上册

(共23张PPT)
沪科版九年级上册 第二十二章
课程讲授
课程导入
习题解析
课堂总结
22.2 相似三角形的判定
第四课时 三角形相似的判定定理3
前 言
1.掌握三角形相似的判定定理3并熟练地运用；（重点）
2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算.（难点）
学习目标及重难点
A
B
C
C′
B′
A′
课程导入
问题2 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三角形相似的启发吗？
问题1 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有其缺点和局限性？
A
B
C
D
E
问题3 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
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新课推进
探索1：三边成比例的两个三角形相似
画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ，
动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两
个三角形是否相似？
A
B
C
C′
B′
A′
A
B
C
C′
B′
A′
通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，
又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′.
下面我们用前面所学得定理证明该结论.
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新课推进
课程讲授
新课推进
∴
C′
B′
A′
证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′，
△A′B′C′ ∽△ABC.
B
C
A
D
E
又 ，AD=A′B′，
∴ ， .
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新课推进
在△ABC和△A'B'C'中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由.
(1) AB=5，AC=3，∠A=45°，A'B'=10，A'C'=6，∠A'=45°；
(2) ∠A=38°，∠C=97°，∠A'=38°，∠A'=45°；
(3) AB=2，BC= ，AC= ，A'B'= ，B'C'=1，A'C'= .
解：(1)
∵
AB
A'B'
=
10
5
=
2
1
，
AC
A'C'
=
6
3
=
2
1
∴
AB
A'B'
=
AC
A'C'
∵ ∠A=∠A'=45°
∴ △ABC∽△A'B'C'
例1
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解：(2)
∵ ∠B=
180°-(∠A+∠C)
=180°-(38°+97°)
=45°
∴ ∠B=∠B'=45°
又∵ ∠A=∠A'=38°
∴ △ABC∽△A'B'C'
(2) ∠A=38°，∠C=97°，∠A'=38°，∠B'=45°；
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(3) AB=2，BC= ，AC= ，A'B'= ，B'C'=1，A'C'= .
解：(3)
∵
BC
B'C'
=
= ，
AB
A'B'
=
=，
AC
A'C'
=
=
∴
AB
A'B'
=
AC
A'C'
BC
B'C'
=
∴△ABC∽△A'B'C'
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例2
如图，方格网的小方格是边长为1 的正方形，△ABC与△A'B'C'的顶点都在格点上，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，为什么？
5
解：
由于△ABC与△A'B'C'的顶点都在格点上，根据勾股定理，得
AB=
AC=2
B'C'=
∵
AB
A'B'
=
AC
A'C'
=
BC
B'C'
=
∴
AB
A'B'
=
AC
A'C'
=
BC
B'C'
∴ △ABC∽△A'B'C'
BC=
A'B'=
A'C'=,
利用三角形三边对应成比例判定两个三角形相似的步骤：
① 首先按从小到大的排列找出对应边；
② 再分别计算 小，中，大 三组对应边长度的比；
③ 最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似.
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随堂小练习
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1.如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′
= 90°，且 求证：△ A′B′C′∽△ABC.
证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′，
∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－ 4 A′C′ 2 = 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2.
∴ △ A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相似)
∴ BC=2B′C′，
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2. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA
的中点，求证：△ABC∽△EFD．
∴ △ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，
CA的中点，
∴
∴
3.如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，
已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米，
DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你
的理由.
A
C
B
D
28
14
21
42
31.5
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴
∴ △ABD∽△BDC，
∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
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新课推进
小结
课程讲授
相似三角形的判定 定理 3
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.
A
B
C
简记为：三边成比例的两个三角形相似.
几何语言 :
∵ 在△ABC和△A'B'C'中，
∴ △ABC∽△A'B'C'
AB
A'B'
=
AC
A'C'
=
BC
B'C'
利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况，主要运用“小对小、中对中、大对大”的方法找对应边.
注意
A
B
C
小结
课程讲授
习题解析
习题1
如图，在大小为4×4的正方形方格中，是相似三角形的是( )
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④
C
习题2
习题解析
1、一个三角形的三边之比为 3：4：5，另一个三角形的最短边为8，另两边长为 时，这两个三角形相似.
32
3
，
80
3
2、一个三角形的三边长为 4cm，5cm，6cm，另一个与它相似的三角形的一边长为 2 cm，则其另外两边的长分别为 .
5
2
cm，3cm
或
8
5
cm，
12
5
cm
或
4
3
cm，
5
3
cm
3、一个三角形的三边长分别为 1、 、2 ，另一个三角形的两边长分别为 和 2，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为 .
1 或
2
习题解析
习题3
如图，已知O是△ABC内一点，D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点.
求证：△ABC∽△DEF
证明：
∵ D、E、F分别是OA、OB、OC的中点
∴ DE
= AB，
1
2
EF
= AB，
1
2
DF
= AC
1
2
∴
DE
AB
=
EF
AB
=
DF
AC
=
1
2
∴ △ABC∽△DEF
习题解析
习题4
如图，点O是 △ABC 内任意一点，且 AD= AO，BE= BO，CF= CO，则△ABC∽ ，其相似比为 .
1
3
1
3
1
3
解：∵ AD= AO，BE= BO，CF= CO
1
3
1
3
1
3
∴
OD= OA，
2
3
OE= OB，
2
3
OF= OC
2
3
∵ ∠AOB=∠AOB，
∠BOC=∠BOC，
∠AOC=∠AOC
∴ △ODE∽△OAB，
△OEF∽△OBC，
△ODF∽△OAC
∴
OE
OB
=
OF
OC
OD
OA
=
=
2
3
∴
OD
OA
= ,
DE
OA
=
2
3
OE
OB
= ,
EF
BC
=
2
3
OF
AC
=
DF
AB
=
2
3
∴ △ABC∽△DEF，
相似比是
AB
DE
=
2
3
△DEF
2
3
习题解析
习题5
如图已知,试说明∠BAD=∠CAE.
A
D
C
E
B
证明：∵
∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE
习题解析
习题6
∴∠BAC=∠DAE，∠BAC －∠DAC
= ∠DAE －∠DAC，
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
∴ △ABC ∽△ADE (三边成
比例的两个三角形相似).
如图，在 △ABC 和 △ADE 中，
∠BAD=20°，求∠CAE的度数.
A
B
C
D
E
解：∵
课程总结
小结
怎样判定两个三角形相似？
对应角相等，对应边长度的比相等的两个三角形叫做相似三角形.
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线 ）相交，截得的三角形与原三角形相似.
两角分别相等的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三边成比例的两个三角形相似.
1、定义法
2、预备定理
4、相似三角形的判定 定理 2
3、相似三角形的判定 定理 1
5、相似三角形的判定 定理 3