22.4 第2课时 平面直角坐标系中的位似变换 课件（共26张PPT） 2025-2026学年数学沪科版（2024）九年级上册

(共26张PPT)
沪科版九年级上册 第二十二章
课程讲授
课程导入
习题解析
课堂总结
22.4 图形的位似变换
第二课时 平面直角坐标系中的位似变换
前 言
学习目标及重难点
1.用图形的坐标变化来表示图形的位似变换；（重点）
2.把一个图形按一定比例放大或缩小后，掌握点的坐标变化的规律.（难点）
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
O
课程导入
1. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相
交于一点，我们就把这样的两个图形叫做 ，
这个交点叫做 ．位似图形上任意一对对应
点到位似中心的距离之比等于 ，
对应线段 .
2. 如何判断两个图形是不是位似图形
位似图形
位似中心
相似比 (或位似比)
平行或者在一条直线上
画位似图形的步骤：
（1）确定位似中心点；
（2）将图形各顶点与位似中心连接（或延长）；
（3）按位似比进行取点；
（4）顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形.
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基本模型：
如何把三角形ABC 放大为原来的 2 倍
A
B
C
O
B1
A1
C1
OA1 = 2OA
OB1 = 2OB
OC1 = 2OC
课程导入
如果把位似图形放到直角坐标系中，又如何去探究位似变换与坐标之间的关系呢？

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新课推进
探索1：平面直角坐标系中的位似变换
如图, 在平面直角坐标系中, △ABC 的顶点坐标分别为 A(1,1), B(3,2), C(4,1).以原点 O 为位似中心, 相似比为3, 作△ABC 的位似图形. 观察对应顶点坐标的变化, 你有什么发现？
O
x
y
A
B
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
例1
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新课推进
O
x
y
A
B
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
A′
B′
C′
连接OA, OB, OC, 分别延长 OA, OB, OC 至点 A′, B′, C′, 使
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新课推进
连接 A′B′, B′C′, C′A′, 那么△A′B′C′ 就是所求的△ABC 的位似图形.
O
x
y
A
B
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
A′
B′
C′
可以看到, 位似变换后点 A, B, C 的对应点分别为点A′(3,3),B′(9,6),
C′(12,3).
O
x
y
A
B
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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1
2
3
4
5
6
7
A′
B′
C′
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新课推进
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新课推进
在平面直角坐标系中, 如果位似变换是以原点 O 为位似中心, 相似比为 k(k>0), 原图形上点的坐标为(x,y), 那么同向位似图形对应点的坐标为(kx, ky)(k>0).
利用这个性质作同向位似图形就相当简单, 只要把图形上各点的坐标都乘以一个固定的数 k(k>0), 就可以得到相似比为k(k>0)的同向位似图形.
归纳：
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O
x
y
A
B
C
B′
A′
C′
取 k =3, 对图中的△ABC 进行变换, 看看结果如何？
这样得到的图形叫做反向位似图形.
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O
x
y
A
B
C
B′
A′
C′
想一想:它与 k = 3 时的变换结果有什么不同？
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思考1: 将图中的△ABC, 按(x, y)→ 的方式变换, 求变换后所得图形中对应点的坐标.画出变换后图形, 它与原图形有何关系？
O
x
y
A
B
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
A′
B′
C′
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新课推进
思考2: 将图中的△ABC, 按(x, y)→(3x, y)的方式变换, 求变换后所得图形中对应点的坐标.画出变换后图形, 它与原图形有何关系？
O
x
y
A
B
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
A′
B′
C′
伸缩变换
在平面直角坐标系中, 在作(x, y)→(ax, by)变换时, 当 a = b ≠ 0 时为相似变换.
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1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)，B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 1/2 后得到线段 CD，则端点 D 的坐标为 ( )
A. (2，2) B. (2，1)
C. (3，2) D. (3，1)
D
x
y
A
B
C
D
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随堂小练习
2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 三个顶点分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )，则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 .
1 : 3
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小结
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1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个
图形的位似图形可以作两个．
2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的
比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶的
坐标的比为－k．
3. 当 k＞1 时，图形扩大为原来的k 倍；当 0＜k＜1
时，图形缩小为原来的 k 倍．
归纳：
至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在右图所示的图案中，你能找到这些变换吗
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习题解析
习题1
将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( )
A. 将各点的纵坐标乘以 2，横坐标不变
B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变
C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以 2
D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2
C
习题2
习题解析
如图，小朋在坐标系中以 A 为位似中心画了两个位似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则 E 点坐标为 ( )
A．(4，－3) B．(4，－2)
C．(4，－4) D．(4，－6)
A
习题解析
习题3
如图所示，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大鱼上的点 .
(－2a，－2b)
习题解析
习题4
原点 O 是 △ABC 和 △A′B′C′ 的位似中心，点 A
(1，0) 与点 A′ (－2，0) 是对应点，△ABC 的面积
是 ，则 △A′B′C′ 的面积是 .
6
习题解析
习题5
△ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，－2)，B (4，－5)，C (5，－2)，以原点 O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的 2 倍．
C
2
4
6
－4
x
y
A
B
2
－2
答案：
A' (4，－4)，
B' (8， －10)，
C' (10，－4)；
B'
A'
C'
A"
B"
C"
A″ (－4，4)，
B″ (－8，10)，
C″ (－10，4).
O
习题解析
在 13×13 的网格图中，已知 △ABC 和点 M (1，2).
x
y
A
B
C
(1) 以点 M 为位似中心，位似比为 2，画出 △ABC的位似图形 △A′B′C′；
M
A′
B′
C′
解：如图所示.
(2) 写出 △A′B′C′ 的各顶点坐标.
答：△A′B′C′ 的各顶点坐标分别为 A′ (3，6)，B′ (5，2)，C′ (11，4).
习题6
课程总结
小结
一般地, 在平面直角坐标系中, 如果以原点为位似中心, 新图形与原图形的相似比为 k, 那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为__________________.
(kx, ky)或(-kx, -ky)
在平面直角坐标系中在作 (x, y) (x, ay)或(ax, y)变换时, 叫伸缩变换.