23.1.1 第1课时 正切 课件（共30张PPT） 2025-2026学年数学沪科版（2024）九年级上册

(共30张PPT)
沪科版九年级上册 第二十三章
课程讲授
课程导入
习题解析
课堂总结
23.1 锐角的三角函数
第一课时 正切
前 言
1. 理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；（重点）
2. 能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算； (重点)
3. 了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题.（难点）
学习目标及重难点
课程导入
汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的重要指标之一.
汽车的爬坡能力是指汽车在满载时所能爬越的最大坡度.
怎样描述坡面的坡度（倾斜程度）呢？
课程讲授
新课推进
探索1：正切的定义
在下图中，有两个直角三角形，直角边 AC 与 A1C1 表示水平面，斜边 AB 与 A1B1 分别表示两个不同的坡面，坡面 AB 和 A1B1 哪个更陡？你是怎样判断的
A
B
C
（1）
100
20
A1
B1
C1
（2）
30
100
更陡

问题1：
课程讲授
新课推进
类似地，在下图中，坡面 AB 和 A1B1，哪个更陡？你又是怎样判断的？
A
B
C
（1）
100
20
A1
B1
C1
（2）
80
30
更陡
问题2：
课程讲授
新课推进
你还能判断哪个坡面更陡吗？
A
B
C
（1）
70
20
A1
B1
C1
（2）
80
30
问题3：
更陡
课程讲授
新课推进
如图，在锐角 A 的一边任取一点 B，过点 B 作另一边的垂线 BC，垂足为 C，得到 Rt△ABC；
B
C
再任取一点 B1，过点 B1 作另一边的垂线B1C1，垂足为C1，得到另一个 Rt△AB1C1……
A
B1
C1
B2
C2
课程讲授
新课推进
这些直角三角形都相似. 在这些直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边之比 ， ， ……究竟有怎样的关系？
猜想：
相等
A
B
C
B1
C1
B2
C2
课程讲授
新课推进
∵Rt△ABC ∽ Rt△AB1C1 ∽ Rt△AB2C2……
∴ = = ……
A
B
C
B1
C1
B2
C2
课程讲授
新课推进
在图中的这些直角三角形中，当锐角 A 的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A 的对边与邻边的比值总是一个固定值.
发现：
A
B
C
B1
C1
B2
C2
课程讲授
新课推进
如图，在 Rt△ABC 中，我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA，
A
B
C
∠A 的邻边 b
∠A 的对边 a
斜边 c
tan A = = =
∠A 的对边
∠A 的邻边
BC
AC
a
b
即
tan B =
AC
BC
课程讲授
新课推进
正切经常用来描述坡面的坡度. 坡面的铅直高度 h 和水平长度 l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作 i ， 即i = (坡度通常写成 h∶ l 的形式).
h
l
l
α
h
i= h∶l
课程讲授
新课推进
坡面与水平面的夹角叫做坡角（或称倾斜角），记作 α，于是有i = = tan α.
显然，坡度（i = tan α）越大，坡角 α 越大，坡面就越陡.
h
l
l
α
h
i= h∶l
在检测汽车爬坡能力等实际问题中，坡角不易直接测量，可以用坡道的铅直高度与坡道水平长度的比来刻画坡道的倾斜程度.
小结
课程讲授
课程讲授
新课推进
1. 初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角.
2. tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为 tan∠BAC.∠1的正切表示为 tan∠1.
3. tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序： ）.
4. tanA 不表示“tan”乘以“A ”.
5. tanA 的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
对
邻
定义中的几点说明：
A
B
C
┌
锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.
课程讲授
新课推进

如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，求 tan A 和 tan B.
A
C
B
解： tan A = =
tan B = =
BC
AC
3
4
AC
BC
4
3
课程讲授
新课推进
例1
课程讲授
新课推进
你还能判断哪个坡面更陡吗？
A
B
C
（1）
70
20
A1
B1
C1
（2）
80
30
现在，你能回答这个问题了吗？
tan A = =
20
70
2
7
tan A1 = =
30
80
3
8
更陡
下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡
β
6m
┐
乙
8m
α
5m
┌
甲
13m
解: 甲梯中,
乙梯中,
∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
课程讲授
新课推进
例2
课程讲授
新课推进
如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　)
解析：∵∠ACB＝90°，i＝1∶3，
B
【方法总结】理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键．
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
例3
B
C
A
(1)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,
AC=12,tanA=( ).
(2)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,
AB=13,tanA=( ),tanB=( ).
(3)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=15,tanA= ,
AC=( ).
1.完成下列填空：
课程讲授
新课推进
随堂小练习
课程讲授
新课推进
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求tanA和tanB.
B
C
A
解:
例4
习题解析
习题1
如图,P是 的边 OA 上一点，点 P的坐标为
，则 =__________.
M
O
P(12,5)
A
x
y
习题2
习题解析
如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).
A
B
C
┌
解：
习题解析
习题3
在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.
A
C
B
┌
D
提示:过点A作AD垂直于BC于点D.
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴ 在Rt△ABD中，
易知BD=5，AD=12.
∴ .
习题解析
习题4
在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=15,tanA= ,求AC和BC.
4k
┌
A
C
B
15
3k
解：如图，∵
∴
∴ 25=225.
∴ =3.
∴ =3=33=9,=4=43=12.
如图,正方形ABCD的边长为4,点M、N分别在DC、BC上,M、N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tan∠ADN的值.
A
D
B
N
M
C
解：由正方形的性质可知，
∠ADN=∠DNC，BC=DC=4，
∵ M、N两点关于对角线AC对称, ∴ DM=BN=1.
习题解析
习题5
如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点, 点A(5,0)，O是坐标原点，△PAO 的面积为S.
（1）求S与x的函数关系式；
（2）当S=10时,求tan∠PAO 的值.
M
习题解析
习题6
解：(1)过点P作PM⊥OA于点M，
S=
习题解析
（2）当S=10时,求tan∠PAO 的值.
M
解：
又∵点P在直线y=-x+6上，
∴x=2.
∴AM=OA-OM=5-2=3.
课程总结
小结
与梯子倾斜程度的关系
∠A越大，tanA越大,
梯子越陡
正切
定义
∠A 的对边
∠A 的邻边
tan A =
坡度
=tan α =
铅直距离
水平距离