23.1.2 第1课时 30°，45°，60°角的三角函数值 课件（共28张PPT） 2025-2026学年数学沪科版（2024）九年级上册

(共28张PPT)
沪科版九年级上册 第二十三章
课程讲授
课程导入
习题解析
课堂总结
23.1 锐角的三角函数
第三课时 30°，45°，60°角的三角函数值
前 言
1.运用三角函数的概念，自主探索，求出30°、 45°、60°角的三角函数值；（重点）
2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加
以运用.(难点)
学习目标及重难点
课程导入
思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？
课程导入
45°
45°
90°
60°
30°
90°
思考：你能用所写的知识，算出图中表示角度的三角函数值吗？
课程讲授
新课推进
探索1：30°、45°、60°角的三角函数值
30°
60°
45°
根据锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质，很容易得到30°，45°，60°角的三角函数值.
如图（1），在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，∠B = 60°. 设 BC = 1，则 AB = 2，AC = （为什么？）.
A
C
B
30°
60°
1
2
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于是有
sin 30°= ____，cos 30°= ____，tan 30°= ____；
sin 60°= ____，cos 60°= ____，tan 60°= ____；
如图（2），在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A =∠B = 45°. 设 BC = 1，则 AC = 1，AB = （为什么？）.
A
B
C
45°
45°
1
1
课程讲授
新课推进
于是有
sin 45°= ____，cos 45°= ____，tan 45°= ____；
1
30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α
三角函数
三角函数值
α
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新课推进
课程讲授
新课推进
例1
求下列各式的值：
（1）2sin 60°+ 3tan 30°+ tan 45°；
（2）cos2 45°+ tan 60°cos 30°.
表示（cos 45°）2
解（1）2sin 60°+ 3tan 30°+ tan 45°
= 2× + 3× + 1
= + 1
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（2）cos2 45°+ tan 60°cos 30°
= +
=
= 2
求下列各式的值：
提示：cos260°表示(cos60°)2，即
(cos60°)×(cos60°).
解：cos260°+sin260°
(1) cos260°+sin260°；
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例2
(2)
解：
(3)
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解：原式=
=+=1
(4)
解：原式
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随堂小练习
计算：
(1) sin30°+ cos45°；
解：原式 =
(2) sin230°+ cos230°－tan45°.
解：原式 =
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新课推进
1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系）
2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？
锐角三角函数的增减性：
当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 ；
余弦值随着角度的增大（或减小）而 .
增大（或减小）
减小（或增大）
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新课推进
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
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探索2：由特殊三角函数值确定锐角度数
逆向思维
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如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
，求∠A的度数．
A
B
C
例3
解： 在图中，
∴ ∠A= 45°
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新课推进
解： 在图中，
A
B
O
∴ α = 60°.
∵ tanα = ，
如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO =
OB，求 α 的度数.
例4
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一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
探索3：特殊三角函数值的运用
例5
A
C
O
B
D
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
∠AOD OD=2.5m,
解:如图,根据题意可知,
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
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习题解析
习题1
2.在△ABC中，若 ，则∠C=（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
1. tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
D
D
3.已知cosα ﹤ ，锐角α取值范围（ ）
A 60°﹤α ﹤ 90 ° B 0°﹤α ﹤ 60 °
C 30°﹤α﹤ 90 ° D 0°﹤α﹤ 30 °
A
求下列各式的值：
（1）1－2 sin30°cos30°
（2）sin45°+cos30°tan60°－
（3）
解：
（1）1－2 sin30°cos30°
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习题2
（2）sin45°+cos30°tan60°－
=
=
习题解析
(3)
习题3
习题解析
如图，在△ABC中，∠A=30°， 求AB.
A
B
C
D
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∠A=30°，.
∴
∴
∴
∴ AB=AD+BD=3+2=5.
习题解析
习题4
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
求∠A、∠B的度数．
B
A
C
解： 由勾股定理
∴ ∠A=30°
∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°
习题解析
习题5
已知α为锐角，且tanα是方程 x2+2x-3=0的一个根，求2sin2α+cos2α- tan（α+15°）的值．
解：解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3，
∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45°.
∴2sin2α+cos2α- tan（α+15°）
=2sin245°+cos245°- tan60°
=
习题解析
习题6
已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ |＝0，试判断 △ABC 的形状．
解：∵ (1－tanA)2 ＋ | sinB－ |＝0，
∴ tanA＝1，sinB＝
∴ ∠A＝45°，∠B＝60°，
∠C＝180°－45°－60°＝75°，
∴ △ABC 是锐角三角形．
30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α
课程总结
小结
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；
对于cosα，角度越大，函数值越小.
三角函数
三角函数值
α