5.3　一元一次方程的解法 教案 2025-2026学年数学青岛版（2024）七年级上册

5.3　一元一次方程的解法
第1课时　利用等式的基本性质解方程
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
掌握等式的基本性质,能解一元一次方程.
1.能根据等式的基本性质解一元一次方程,体会等式变形的转化过程.
2.通过对实例的分析,体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用.
重点:根据等式的基本性质解简单的一元一次方程.能分析实际问题,列方程并解方程.
难点:分析实际问题中的已知量和未知量,找出相等关系,列出方程.
先让学生回顾合并同类项,等式的基本性质相关知识,为研究一元一次方程的一般解法做好铺垫.再通过自主探索、合作交流的学习方式,让学生从熟悉的生活实例出发,探索获得一元一次方程的解法,体验知识的形成过程,体会观察、分析、归纳等解决问题的技能与方法.在教学中采用引导发现的方法,课堂训练中鼓励自己动手,体现学生在课堂上的主体地位;整个教学过程中充分调动学生学习积极性,培养学生合作学习,主动探究的习惯.
(一)问题导入
程大位,明代商人,珠算发明家,历经二十年,于明万历壬辰年(1592年)写就巨著《算法统宗》.《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意是:有人要去某关口,路程378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地.求此人第三天走的路程.
解:若设第3天走的路程为x里,则第2天走的路程为2x里,第1天走的路程为4x里,
依次往后推,第5天走的路程为x里,第6天走的路程为x里,
根据题意列方程,得4x+2x+x+x+x+x=378.
如何解这个方程呢
(二)新知初探
探究一　利用等式的基本性质解方程
1.根据上节课学习的等式的基本性质,如何解方程6x=-24
答:运用等式的基本性质2,在方程的两边都除以6,得=,
即x= -4.
2.如何解导入中列出的方程4x+2x+x+x+x+x=378
答:先合并同类项,得(4+2+1+1/2+1/4+1/8)x=378,即63/8x=378,
再根据等式的基本性质2,方程的两边都除以63/8,得x=48.
上面解方程的过程中,方程变形为怎样的形式,就能求出方程的解 变形的依据是什么
小结:解一个以x为未知数的方程,就是把方程转化为x=c(c为常数)的形式.
任务一　意图说明
利用前面学过的知识,合并同类项,等式的基本性质,让学生通过自主探索、合作交流的学习方式探索一元一次方程的一般解法,充分调动了学生的主观能动性和概括归纳的能力.解决问题的同时,又能清晰的认识到解方程的过程就是利用合并同类项,等式的基本性质将方程转化为x=c(c为常数)的形式.
探究二　例题讲解
例.解下列方程:
(1)-x=6;
(2)8x-3x=-5+7.5.
解:(1)系数化为1,得
x=6×-
即x=-10.
(2)合并同类项,得
5x=2.5,
系数化为1,得
x=.
任务二　意图说明
1.展示解方程的过程,使解法中各步骤的先后顺序清晰,渗透算法程序化的思想.
2.通过学生的思考和老师的讲解,理解合并同类项的依据是分配律,系数化为1的依据是等式的基本性质2,让学生意识到解方程的过程是有依据的,知识之间是有联系的.
(三)当堂达标(要求:限时5分钟,独立完成)
1.对于方程2y+3y-4y=1,合并同类项正确的是(A)
A.y=1 B.-y=1
C.9y=1 D.-9y=1
2.方程-a-3a=-1的解为(B)
A.a=-2 B.a=-
C.a=3 D.a=
3.对于任意四个有理数a,b,c,d,定义新运算:=ad-bc.已知=18,则x的值为(C)
A.-1 B.2 C.3 D.4
4.当x=　3　时,多项式6x+1与-2x-13的值互为相反数.
5.解下列方程:
(1)0.75x-0.25x=5;
(2)4x-3x=1.2+;
(3)-+=-;
(4)-x+x-x=-5×3-5×6.
解:(1)合并同类项,得0.5x=5.
系数化为1,得x=10.
(2)合并同类项,得x=.
(3)合并同类项,得-y=-.
系数化为1,得y=3.
(4)合并同类项,得-x=-45.
系数化为1,得x=90.
(四)课堂小结
解方程的步骤:
(1)合并同类项(分配律);
(2)系数化为1(等式的基本性质2).
(五)板书设计
本节从复习入手,帮助学生回顾合并同类项的相关知识,为学习用合并同类项解方程做好铺垫.教学中采用引导发现的方法,课堂训练中鼓励自己动手,体现学生在课堂上的主体地位;整个教学过程中充分调动学生学习积极性,培养学生合作学习,主动探究的习惯.
第2课时　利用移项解一元一次方程
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
能利用移项解一元一次方程.
1.理解移项的意义,掌握移项的方法.
2.学会运用移项解形如“ax+b=cx+d”的一元一次方程.
3.通过分析实际问题中的数量关系,建立方程解决问题,进一步认识方程模型的重要性.
重点:用移项解形如ax+b=cx+d的一元一次方程.
难点:能够抓住实际问题中的相等关系列一元一次方程解决实际问题
先通过用等式的基本性质解一元一次方程的学习作为铺垫,引导学生得到移项的定义和法则.让学生体会新知识的学习与事物的发展变化总是由易到难的,而解决新问题的方法往往是化“新”为“旧”.对于移项过程中出现的常见错误应给学生进行针对性训练.引导学生正确地解方程.
(一)情境导入
问题:把一些图书分给某班学生阅读,若每人分3本,则余20本;若每人分4本,则还缺25本.这个班有多少学生
解:设这个班有x名学生,那么每人分3本时,图书总数是3x+20;每人分4本时,图书总数是　4x-25.则可列方程3x+20=4x-25.
你能解这个方程吗 显然解这个方程的第一步不是合并同类项,因为两种同类项分别分布在等号的两边,不能直接合并,那么怎么才能进行合并同类项呢
(二)新知初探
探究一　用移项法解一元一次方程
1.请运用等式的性质解下列方程:
(1)4x-15=9①; 两边同时　加15　,得 　4x=9+15　.② 合并同类项,得 　4x=24　. 系数化为1,得 　x=6　. (2)2x=5x-21③. 两边同时　减5x　,得 　2x-5x=-21　.④ 合并同类项,得 　-3x=-21　. 系数化为1,得 　x=7　.
比一比:从方程①到方程②,从方程③到方程④,有哪些项发生了变化,它们是如何变化的
小结:
(1)移项的定义:把方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项;
(2)移项的依据:移项实际上是利用等式的性质1.
注意:移项一定要变号.
思考　以上解方程中“移项”起了什么作用
通过移项,含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边.
任务一　意图说明
通过学生思考、观察和教师的讲解,认识移项变形,得出移项的方法,便于学生理解移项的原理.调动学生进一步学习新知识的积极性,渗透化归思想.
探究二　例题讲解
例题.解下列方程:
(1)3-4x=2x+15;(2) 2y-3=y+7 .
解:(1)移项,得-4x-2x=15-3.
合并同类项,得-6x=12.
系数化为1,得x=-2.
(2)移项,得2y-y=7+3.
合并同类项,得y=10.
系数化为1,得y=6.
做一做
1.解下列方程:
(1)5x-7=2x-10;
(2)-0.3x+3=9+1.2x.
解:(1)移项,得5x-2x=-10+7.
合并同类项,得3x=-3.
系数化为1,得x=-1.
(2)移项,得-0.3x-1.2x=9-3.
合并同类项,得-1.5x=6.
系数化为1,得x=-4.
2.一个两位数,个位数比十位数字大4,而且这个两位数比它的数字之和的3倍大2,求这个两位数.
解:设十位数为x,个位数字为x+4,
根据题意,得10x+x+4=3(x+x+4)+2,
整理,得11x+4=6x+14,
移项,得11x-6x=14-4,
合并同类项得5x=10,
系数化为1,得x=2,
则这个两位数是26.
[方法归纳] 解一元一次方程ax+b=cx+d (a,b,c,d均为常数,且a≠c)的一般步骤:
①移项;②合并同类项;③系数化为1.
任务二　意图说明
通过例题的解决进一步巩固利用移项、合并同类项解方程的方法.通过练习,及时巩固新知识,加深对化归思想的理解.加强解方程步骤书写的规范性.通过解决实际问题,进一步体验用方程来解题的优势.
(三)当堂达标(要求:限时5分钟,独立完成)
1.通过移项将下列方程变形,正确的是(C)
A.由5x-7=2,得5x=2-7
B.由6x-3=x+4,得3-6x=4+x
C.由8-x=x-5,得-x-x=-5-8
D.由x+9=3x-1,得3x-x=-1+9
2.已知关于x的方程7-kx=x+2k的解是x=2,则k的值为(A)
A. B. C.1 D.-3
3.新定义一种运算“☆”,规定a☆b=ab+a-b.若2☆x=x☆2,则x的值为　2　.
4.解下列方程:
(1)0.4a-=8-a;(2)-2x-3=-2x-1-7x;(3)x-=-+1+x.
解:(1)移项,得0.4a+a=8+.
合并同类项,得a=.
系数化为1,得a=.
(2)移项,得-2x+2x+7x=-1+3.
合并同类项,得7x=2.
系数化为1,得x=.
(3)移项,得x+-x=1+.
合并同类项,得-x=.
系数化为1,得x=-.
5.一箩筐内有梨、苹果若干个,它们的数量之比为4∶3,拿出12个苹果后,苹果的个数正好是梨的一半,则这个箩筐内原有梨和苹果各多少个
解:设这个箩筐内原有梨4x个,苹果3x个.
由题意,得3x-12=×4x.解得x=12.故苹果有12×3=36(个),梨有12×4=48(个).
答:这个箩筐内原有梨48个,苹果36个.
(四)课堂小结
1.移项
(1)定义:把方程中某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边.
(2)依据:等式的基本性质1.
2.移项解一元二次方程的一般步骤
(1)移项;
(2)合并同类项;
(3)系数化为1.
3.列一元一次方程解决实际问题.
(五)板书设计
本节课先利用等式的性质来解方程,从而引出了移项的概念,然后让学生利用移项的方法来解方程.学生在移项过程中,大致会遇到以下几种比较常见的情况:①含未知数的项不知道如何处理;②移项没有变号;③没移动的项也改变了符号.第一种情况在授课过程中强调不够,后面的两种情况出现最多,因此在教学设计当中应给学生进行针对性训练.引导学生正确地解方程.
第3课时　利用去括号解一元一次方程
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
会去括号解一元一次方程.
1.了解“去括号”是解方程的重要步骤,会解含有括号的一元一次方程.总结解一元一次方程的一般步骤.
2.会用一元一次方程解决实际问题.
3.通过列方程解决实际问题,进一步体会方程模型的作用.
重点:能正确运用去括号法则解一元一次方程;归纳总结解一元一次方程的一般步骤.
难点:从解方程的过程中,归纳解一元一次方程的一般步骤.
1.首先利用学生感兴趣的神话故事提出问题,让学生列方程,解决问题,激起学生的学习欲望,通过把未知转化为已知的解题思想,探究去括号解方程的思想方法和步骤,并在解答中发现问题,解决问题,巩固知识,达到加深理解的效果.
2.注重学生主体能力的发挥及老师的引导作用,强调做题的基本技能和基本技巧,简单的教学内容让学生自学完成任务,教师个别指导,较难的内容首先让学生自主探究发现问题,教师再进行指导.
(一)问题导入
神话故事“哪吒闹海”众所周知,另有描写“哪吒斗夜叉”的场面:哪吒和夜叉各显神通,分身有术,只杀得走石飞沙昏天暗地,只见“八臂一头是夜叉,三头六臂是哪吒,三十六头难分辨,手臂缠绕百零八,试向看官问一句,几个夜叉几哪吒 ”
解:设有x个哪吒,则有(36-3x)个夜叉,
由题意,得6x+8(36-3x)=108.你会解这个方程吗
(二)新知初探
探究一　利用去括号法则解一元一次方程
如何解方程5x-10=3(x+2)
将方程的右边的括号去掉,转化为会解的方程,流程如下:
5x-10=3(x+2)
　　　↓去括号
5x-10=3x+6
　　　↓移项
5x-3x=6+10
　　　↓合并同类项
2x=16
　↓系数化为1
x=8
追问　去括号法则的依据是什么
答:乘法分配律.
小结:
去括号解一元一次方程的步骤:
(1)去括号;(2)移项;(3)合并同类项;(4)系数化为1.
任务一　意图说明
通过实际操作让学生进一步体会“去括号”是解方程的重要步骤,同时认识到学习求解含有括号方程的必要性.引导学生通过去括号解这个方程,归纳出去括号解一元一次方程的步骤.
探究二　例题讲解
例题.解下列方程:7x-(2+x)=4(x-3);
解:去括号,得7x-2-x=4x-12.
移项,得7x-x-4x=-12+2.
合并同类项,得2x=-10.
系数化为1,得x=-5.
注意:(1)去用括号时不要漏乘,不要出现符号错误;
(2)移项时要变号.
做一做
1.解下列方程:
(1)x-2(x-2)=3x+5(x-1);
(2)7+8x-1=3x-6-x.
解:(1)去括号,得x-2x+4=3x+5x-5.
移项,得x-2x-5x-3x=-5-4.
合并同类项,得-9x=-9.
系数化为1,得x=1.
(2)去括号,得7+6x-8=3x-3+4x.
移项,得6x-3x-4x=-3-7+8.
合并同类项,得-x=-2.
系数化为1,得x=2.
2.甲乙两地相距480公里,一列慢车从甲地开出,每小时行60公里,一列快车从乙地开出,每小时行140公里,慢车先开1小时,快车再开.两车相向而行.问快车开出多少小时后两车相遇
解:设快车开出x小时后两车相遇,则慢车行驶了(x+1)小时,
可列方程:60(x+1)+140x=480,
去括号,得60x+60+140x=480,
合并同类项,得200x=420
系数化为1,得x=2.1.
答:当快车开出2.1小时后两车相遇.
任务二　意图说明
通过例题的解决进一步巩固利用去括号法则解一元一次方程的方法.通过练习,及时巩固新知识,发现解题过程中的错误,加强解一元一次方程步骤书写的规范性,加深对转化思想的理解.
(三)当堂达标 (要求:限时5分钟,独立完成)
1.解方程1-(2x+3)=6,去括号的结果是(B)
A.1+2x+3=6 B.1-2x-3=6
C.1-2x+3=6 D.2x+1-3=6
2.解方程4(x-1)-x=2x+步骤如下:①去括号,得4x-4-x=2x+1;②移项,得4x+x-2x=1+4;③合并同类项,得3x=5;④系数化为1,得x=.其中开始出现错误的一步是(B)
A.① B.② C.③ D.④
3.爷爷现在的年龄是孙子的5倍,12年后,爷爷的年龄是孙子的3倍,现在孙子的年龄是　12　岁.
4.解下列方程:
(1)2(6-0.5y)=-3(2y-1);
(2)x-18x+=14+9(x-2).
解:(1)去括号,得12-y=-6y+3.
移项,得-y+6y=3-12.
合并同类项,得5y=-9.
系数化为1,得y=-.
(2)去括号,得x-12x-1=14+9x-18.
移项,得x-12x-9x=14-18+1.
合并同类项,得-20x=-3.
系数化为1,得x=.
(四)课堂小结
去括号解一元一次方程的一般步骤:
(1)去括号;(2)移项;(3)合并同类项;(4)系数化为1.
(五)板书设计
本节课的教学先让学生回顾上一节所学的知识,复习巩固方程的解法,让学生进一步明白解方程的步骤是逐渐发展的,后面的步骤是在前面步骤的基础上发展而成.然后通过一个实际问题,列出一个有括号的方程,大胆放手让学生去探索、猜想各种方法,去尝试各种解题的途径,启发学生探索新的解题方法.
第4课时　利用去分母解一元一次方程
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
能利用去分母解一元一次方程.
1.掌握含分母的一元一次方程的解法.
2.能列出一元一次方程解决实际问题.
3.通过去分母解方程,让学生了解数学中的“化归”思想;通过列方程解决实际问题,让学生逐步建立方程思想.
重点:利用去分母解一元一次方程.
难点:探究通过“去分母”的方法解一元一次方程,归纳解一元一次方程的步骤.
1.通过实际问题引出带有分母的一元一次方程,进而探究其解法,并归纳去分母的方法及解方程的步骤,整个教学过程流畅自然,学生易于接受.
2.让学生多说、多思考,对于学生提出的问题和解决问题的方法,教师都要给予鼓励和引导,并随时观察解决,评价时应充分考虑到每个学生的差异.
(一)问题导入
如图,翠湖在青山、绿水两地之间,距青山50 km,距绿水70 km.某天,一辆汽车匀速行驶,途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表所示.王家庄距翠湖的路程有多远
地名 王家庄 青山 绿水
时间 10:00 13:00 15:00
解:设王家庄距翠湖的路程为x km,则王家庄距青山的路程为(x-50)km,
王家庄距绿水的路程为(x+70)km.
由表知,汽车从王家庄到青山的行驶时间为3h,从王家庄到绿水的行驶时间为5h.
根据汽车在各段的行驶速度相等,列得方程=.
这个方程与上节学过的一元一次方程有什么不同之处 你会解这个方程吗
(二)新知初探
探究一　解含分母的一元一次方程
1. 将方程去分母,转化为会解的方程,按照下面的流程:
+2=
　　↓去分母
5(x-8)+20=2x
　　　　↓去括号
5x-40+20=2x
　　　↓移项
5x-2x=40-20
　↓合并同类项
3x=20
　↓系数化为1
x=
想一想　(1)若使方程不含有分母,方程两边应该同乘什么数
(2)去分母时要注意什么问题
2. 解方程=.
这个方程中未知数的系数不是整数,如果能化去分母,把未知数的系数化成整数,就可以使解方程中的计算更简便.
方程两边都乘以15,得　5(x-50)=3(x+70)　.
去括号,得　5x-250=3x+210　.
移项,得　5x-3x=210+250　.
合并同类项,得　2x=460　.
系数化为1,得　x=230　.
小结:
解一元一次方程的一般步骤:
(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.
任务一　意图说明
让学生在自己摸索、探究、合作的基础上得出解一元一次方程的步骤.为学生提供充分参与数学活动的机会,激发学生的学习积极性,使学生主动参与学习的全过程,使每个学生都明确解一元一次方程的一般步骤.
探究二　例题讲解
例题.解下列方程:
-=1.
解:去分母,
得3(x-2)-4(2x-5)=12.
去括号,得3x-6-8x+20=12.
移项,得3x-8x=12+6-20.
合并同类项,得-5x=-2.
系数化为1,得x=.
[方法归纳] (1)去分母时,应在方程的左右两边乘分母的最小公倍数;
(2)去分母的依据是等式的性质2,去分母时不能漏乘没有分母的项;
(3)去分母与去括号这两步分开写,不要跳步,防止忘记变号.
任务二　意图说明
通过解题过程的体验,把含有分母的一元一次方程化成不含分母的方程,然后求解,使学生对解方程的认识更加完整,渗透了化归的思想.
(三)当堂达标(要求:限时5分钟,独立完成)
1.方程-=1,去分母得到了4x-4-6x+3=1.这个变形(B)
A.找错了分母的最小公倍数
B.漏乘了不含分母的项
C.去分母时因没有添括号出现符号错误
D.正确
2.把方程-=1去分母,正确的是(D)
A.3x-(x-1)=1 B.3x-x-1=1
C.3x-x-1=6 D.3x-(x-1)=6
3.若式子与式子3-2x的和为4,则x=　-1　.
4.解下列方程:
(1)1-=-x+1;
(2)(m-1)-=1-.
解:(1)去分母,(方程两边同乘6)
得2×5×1-=-21x+6.
去括号,得10-5x-15=-21x+6.
移项,得-5x+21x=6-10+15.
合并同类项,得16x=11.
系数化为1,得x=.
(2)去分母,(方程两边同乘12)
得12(m-1)-6(4-3m)=12-(1-2m).
去括号,得12m-12-24+18m=12-1+2m.
移项,得12m+18m-2m=12-1+12+24.
合并同类项,得28m=47.
系数化为1,得m=.
(四)课堂小结
1.方程中含有分母,可以根据等式的基本性质2,两边都乘分母的最小公倍数,转化为没有分母的方程.
2.解一元一次方程的一般步骤:
(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.
(五)板书设计
本节课采用的教学方法是讲练结合,通过一个简单的实例让学生明白去分母是解一元一次方程的重要步骤,通过去分母可以把系数是分数的方程转化为系数是整数的方程,进而使方程的计算更加简便.
在解方程中去分母时,发现学生还存在以下问题:①部分学生不会找各分母的最小公倍数,这点要适当指导;②用各分母的最小公倍数乘方程两边的项时,漏乘不含分母的项;③当减式中分子是多项式且分母恰好为各分母的最小公倍数时,去分母后,分子没有作为一个整体加上括号,容易弄错符号.