6.3　线段的比较与运算 教案 2025-2026学年数学青岛版（2024）七年级上册

6.3　线段的比较与运算
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
会比较线段的长短,理解线段的和、差,以及线段中点的意义.
1.掌握用测量法与叠合法来比较线段的长短.
2.理解线段等分点的意义,能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.
重点:掌握比较线段长短的正确方法,线段中点的概念及表示方法.
难点:利用线段的和、差、倍、分求线段的长度.
从学生熟知的生活情景中提出问题,让学生有目的的探索问题,自然地就把实际问题转化为数学问题——线段的大小比较;在比较方法的探索上让学生大胆设想,教师适当引导就可以得出比较方法,让学生反复动手操作,熟练掌握方法,恰当引出“线段中点”的定义,让学生在动手中摸索并熟悉工具的运用,通过例题与练习让学生加深理解,并在思维上进行升华拓展.
(一)情境导入
比较两名同学的身高,可以有几种比较方法 向大家说说你的想法.
(二)新知初探
探究一　线段长短的比较
问题1　你们平时是如何比较两名同学的身高的 你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗
比较两名同学高矮的方法:
(1)用卷尺分别度量出两名同学的身高,将所得的数值进行比较(度量法);
(2)让两名同学站在同一平地上,脚底平齐,观看两人的头顶,直接比出高矮(叠合法).
问题2　比较线段AB,CD的长短的方法
(1)度量法:分别测量线段AB,CD的长度,再进行比较;
(2)叠合法:将点A与点C重合,再进行比较.
如果点A与点C重合,点B落在C,D之间,那么AB如果点A与点C重合,点B与点D重合,那么AB=CD.
如果点A与点C重合,点B落在CD的延长线上,那么AB>CD.
问题3　做手工时,在没有刻度尺的条件下,如何从较长的木棒上截下一段,使截下的木棒等于另一根短木棒的长
将两根木棒叠放在一起,一端对齐,从较短的那根对应的地方截取.
思考:画在黑板上的线段是无法移动的,在只有圆规和无刻度的直尺的情况下,请大家想想办法,如何再画一条与它相等的线段
问题4　作一条线段等于已知线段.
已知:线段a,作一条线段AB,使AB=a.
作法:第一步:用直尺画射线AF;
第二步:用圆规在射线AF上截取AB=a.
所以线段AB为所求.如图所示.
小结:
比较两条线段长短的方法有:度量法,叠合法,截取法.
任务一　意图说明
1.学生通过亲身实践,感受知识的形成过程,培养学生的动手、动脑、动口能力.学生归纳两条线段的长短关系,进而向学生渗透分类的数学思想.
2.学生第一次应用直尺、圆规进行的基本作图,必须予以充分重视.首先要教学生正确地使用圆规,然后要求学生明确对作图工具的规定,作完图要标注字母,写出结果.
探究二　线段的和、差、倍、分
画一画
在直线上画出线段AB=a,再在AB的延长线上画线段BC=b,线段AC就是　a　与　b　的和,记作AC=　a+b　.如果在AB上画线段BD=b,那么线段AD就是　a　与　b　的差,记作AD=　a-b　.
做一做
1.如图所示,点B,C在线段AD上,则AB+BC=　AC　;AD-CD=　AC　;BC=　AC　-　AB　=　BD　-　CD　.
2.如图所示,已知线段a,b,画一条线段AB,使AB=2a-b.
解:如图所示.
观察与思考:
在一张纸上画一条线段,折叠纸片,使线段的端点重合,折痕与线段的交点位于线段的什么位置
解:位于线段的中点.
追问　类比线段的中点,你会画线段的三等分点,四等分点吗
线段的三等分:
则AM=MN=NB=AB.
线段的四等分:
则AM=MN=NP=PB=AB
小结:线段的和:如图①所示,线段AC是a与b的和,记作AC=a+b;
线段的差:如图②所示,线段AC是a与b的差,记作AC=a-b;
线段的中点:如图③所示,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM,那么点M叫做线段AB的中点.则AM=MB=AB (或AB=2AM=2MB).
图①
图②
图③
例3.如图所示,点C是线段AB上靠近点A的三等分点,点D是线段AB的中点,若AB=9,求线段CD的长度.
解:∵AB=9,点C是线段AB上靠近点A的三等分点,
∴AC=AB=×9=3.
∵点D是线段AB的中点,
∴AD=AB=×9=4.5.
∴CD=AD-AC=4.5-3=1.5.
∴线段CD的长度为1.5.
任务二　意图说明
1.学生动手操作,观察猜想,寻找归纳线段之间的数量关系.
2.通过折叠纸片让学生发现线段的中点把线段分成相等的两部分,从而归纳出线段中点的概念,并让学生能根据语言描述画出相应的图形,再进行推理计算.
(三)当堂达标(要求:限时5分钟,独立完成)
1.已知点C为线段AB上一点,若AB=4 cm,BC=3 cm,则线段AC等于(C)
A.1 cm或7 cm B.7 cm
C.1 cm D.7 cm或12 cm
2.用圆规比较两条线段A'B'和AB的长短(如图所示),下列结论正确的是(B)
A.A'B'=AB B.A'B'>AB
C.A'B'3.已知点M是线段AB的三等分点,点E是AM的中点,AB=12 cm,则线段AE的长为　2 cm或4 cm　.
4.如图所示,已知线段AB和AB外一点C.
(1)画线段AC,直线BC.
(2)用尺规在线段AB上作出点D,使BD=AB-AC.(保留作图痕迹)
解:(1)如图所示,线段AC,直线BC即为所求.
(2)如图所示,线段BD即为所求作的线段.
5.如图,点B,D在线段AC上.
(1)填空:①图中有　　　　条线段,以A为端点的线段有　　　　条;
②AB=AD+　　　　=AC-　　　　;
(2)若D是线段AC的中点,BC=3BD,AC=8 cm,求线段AB的长.
解:(1)①6　3　②DB　BC
(2)∵BC=3BD,∴CD=4BD.
∵D是线段AC的中点,
∴AD=CD=AC=4BD,
∴AC=8BD=8 cm,∴BD=1 cm,
∴AD=4BD=4 cm,
∴AB=AD+BD=5 cm.
(四)课堂小结
1.线段的比较:度量法、叠合法、截取法(尺规作图).
2.线段长度的计算
(1)中点:把线段AB分成两条相等线段的点;
(2)线段的和差倍分.实际做题时,要明确点的位置,是在线段上还是在线段的延长线上.当点的位置不明确时,往往题目渗透了分类讨论.
(五)板书设计
　　本节课通过比较两个人的高矮这一生活中的实例让学生进行思考,从而引出课题,极大地激发了学生的学习兴趣;并通过动手操作,亲身体验用叠合法比较线段的长短.利用线段的和差倍分解决实际问题.教师要尝试让学生自主学习,优化课堂教学中的反馈与评价.通过评价,激发学生的求知欲,坚定学生学习的自信心.