3.3 探索与表达规律 教案 2025-2026学年数学鲁教版（五四学制）六年级上册

3　探索与表达规律
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.能运用代数式表示具体问题中简单的数量关系,体验用数学符号表达数量关系的过程,会选择适当的方法求代数式的值.
2.初步学会通过具体的实例,运用归纳和类比发现数学关系与规律,提出数学命题与猜想,并加以验证.
1.经历由特殊到一般和由一般到特殊的过程,体会代数推理的特点和作用.
2.能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性.
3.能用代数式表示并借助代数式运算解释具体问题中蕴涵的一般规律或现象.
重点:探索数量关系,运用代数式表示规律.
难点:代数式表示规律的应用.
在本节课的教学中,要鼓励学生先在独立思考的基础上探索出规律,然后再进行合作交流,从不同角度思考,寻求不同的规律,感受规律的多样性,提升思维能力,而对于给定规律或现象,让学生用字母表示并借助运算解释规律或现象的问题,则可遵循“发现规律——表示规律——揭示规律”的方式展开教学.
(一)情境导入
如图所示是按照一定的规律摆放的桌子和椅子:
(1)1张桌子的周围摆放6把椅子,2张桌子的周围摆放　　　　把椅子;
(2)按照图中的规律继续摆放桌子和椅子,完成下表:
桌子/张 3 4 5 6 … n
椅子/把 …
解:(1)10
(2)14　18　22　26　4n+2
(二)新知初探
探究一　图形规律探索
尝试·交流
如图所示也是按照一定的规律摆放的桌子和椅子.
(1)2张桌子拼在一起,周围可摆放多少把椅子 3张桌子呢 n张桌子呢
解:8,10,2n+4.
(2)一个大厅里有40张这样的长方形桌子,按照图中的规律每8张拼成1张大桌子,则40张桌子可拼成5张大桌子,桌子的周围共可摆放多少把椅子 如果有8n张桌子,仍按上面规律每8张拼成1张,此时桌子的周围共可摆放多少把椅子
解:5×(2×8+4)=100,(2×8+4)n=20n.
(3)一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐(即桌子要摆在一起),但餐厅只有25张这样的桌子,若你是这个餐厅的经理,你打算选择哪种方式(含情境导入中的方式)来摆放餐桌 为什么
解:打算用第一种摆放方式来摆放餐桌.
因为当n=25时,4n+2=4×25+2=102>98,
2n+4=2×25+4=54<98,
所以选用第一种摆放方式.
尝试·思考
(1)小明也用上面的8张桌子拼成1张大桌子,但8n张桌子的周围只能摆放16n把椅子,你能说出他的桌子是怎么摆放的吗
(2)若仍用上面的桌子,每8张桌子拼成1张大桌子,你还有其他摆放桌子的方法吗 按照你的摆放方法,8n张桌子的周围共可摆放多少把椅子
(3)在食堂就餐的高峰时段,需要同时能坐下300人,选择上面哪种方式需要的餐桌数较少
解:(1)如图①所示;(2)如图②所示,20n;
(3)第(2)种方式.
图①　　图②
[方法归纳]
1.探索规律是从具体的、特殊的、简单的问题出发,观察各个数量的特点以及相互之间的变化规律.
2.探索规律一般要经历以下的一些过程:
(1)观察它前后几项的和、差、积、商和乘方等特点,注意数的大小、结构的变化、图形位置的变换,进行多角度的观察与调整;
(2)从已知的有限个数据或图形中去寻找数量关系和图形之间的关系,并进行归纳;
(3)从归纳出的数量关系或图形关系进行大胆的猜测,得出他们共同的规律;
(4)列举符合条件的数据和图形,验证猜想的规律的正确性,得出结论.
任务一　意图说明
问题设置于生活背景中,让学生在此背景下寻找不同的规律(可把图形规律转化为数字规律探索),感受规律的多样性,进而用字母表示并借助运算验证一般规律.
探究二　日历中的规律与数字规律探索
观察·交流
观察如图所示的日历图,回答下列问题:
(1)日历图中的数有什么规律
解:答案不唯一,如都是连续的正整数,上下两个数相差7(因为一周有7天)等.
(2)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系
解:9个数之和为90,90=9×10.
(3)这个关系对其他这样的方框成立吗 你能用代数式表示这个关系吗
解:成立,如果用a表示中间的数,这9个数的和等于9a.
(4)这个关系对任何一个月的日历都成立吗 为什么
解:都成立.因为这9个数可以表示为:
a-8 a-7 a-6
a-1 a a+1
a+6 a+7 a+8
所以这9个数之和为9a.
(5)你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗 请用代数式表示.
解:答案不唯一,如中间的竖列与横行、斜对角线每三个数的和都为3a等.
尝试·思考
(1)上面的日历图中,能否使框中9个数的和为144 180呢
解:144÷9=16,所以上面日历图中能使框中9个数的和为144,中间的数为16;
180÷9=20,但上面日历图中20在最左边,所以不能使框中9个数的和为180.
(2)在某个月的日历中,恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80,这个月的第一个星期日是几号
解:设中间一个星期日为a号,
则a-14+a-7+a+a+7+a+14=5a=80,
所以a=16,16-14=2,
即这个月的第一个星期日是2号.
思考·交流
如图所示,如果将方框改为十字形框,你能发现哪些规律 如果改为“H”形框呢 它们有什么共同规律 你还能设计出其他形状的包含数字规律的数框吗 与同伴交流.
解:规律略.可设计成“M”“W”形等(答案不唯一).
[方法归纳]
在日历图中,每一行上相邻两个数字间相差1,每一列上相邻两个数字间相差7,解答该类问题一般设中间的数字是a,然后列代数式表示其他数字,解决问题时,注意所求中间的数字不能在上下左右四条边上.
合作·交流
小亮和小丽在玩一个数字游戏.
你知道小亮是怎样算出来的吗
方式:教学中教师可扮演小亮,让学生报结果,教师猜数,激发学生的探究欲望,让学生在解决问题的过程中感受数学的价值.
解:设小丽想好的两位数的个位数字和十位数字分别是a和b,按照运算步骤,最后结果为10b+15+a,因此只要把计算结果减去15,得到的数就是小丽想好的两位数.
尝试·交流
设计类似上面的数字游戏,解释其中的道理,并与同伴进行交流.
尝试·思考
(1)一个三位数能否被3整除,只要看这个数的各数位上的数字之和能否被3整除.试说明其中的道理.
解:设这个三位数为100a+10b+c,则100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c),因为99a和9b都能被3整除,若a+b+c也能被3整除,则100a+10b+c就是3的倍数,即该三位数可以被3整除,所以一个三位数能否被3整除,只要看这个数的各数位上的数字之和能否被3整除即可.
(2)一个四位数能否被3整除是否也有这样的规律 请说明理由.
解:设这个四位数为1 000a+100b+10c+d,则1 000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+(a+b+c+d),因为999a,99b和9c都能被3整除,若a+b+c+d也能被3整除,则1 000a+100b+10c+d就是3的倍数,即该四位数可以被3整除,所以一个四位数能否被3整除,只要看这个数的各数位上的数字之和能否被3整除即可.
任务二　意图说明
给定规律或现象,让学生用字母表示并借助运算解释规律或现象,从数学的角度分析规律.其中猜数游戏遵循了“发现规律——表示规律——揭示规律”的过程.
(三)当堂达标(要求:限时5分钟,独立完成)
见课件
(四)课堂小结
见课件
(五)板书设计
探索与表达规律
1.图形规律探索　　　　　　例题与练习
2.日历中数字规律探索
学生通过独立思考、小组讨论、共同探究,揭示日历中数与数之间的变化规律,并将知识应用于实践.学生能比较轻松、自如地在有趣的、富有挑战性的活动中将问题一步一步地分解,这样既能提高学生发现问题、解决问题的能力,又能激发学生探索创新的精神.有的学生放不开、教师对每个学生关注度不够、给学生留的独立思考的时间太少,易造成有个别学生随大流的现象.