第三章 整式及其加减 问题解决策略：归纳 教案 2025-2026学年数学鲁教版（五四学制）六年级上册
文档属性
| 名称 | 第三章 整式及其加减 问题解决策略：归纳 教案 2025-2026学年数学鲁教版（五四学制）六年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 95.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-15 21:43:39 | ||
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文档简介
第三章 整式及其加减 问题解决策略:归纳
能够从具体的问题解决中概括出一般结论,形成数学的方法与策略.
1.了解解决问题的策略:归纳.
2.会运用归纳策略寻找规律,解决相关问题.
重点:掌握归纳的策略解决问题的一般步骤.
难点:运用归纳的策略解决问题.
对于本节课的教学,鼓励与引导学生画图,在动手操作中寻找规律方法,并归纳与表达结论,渗透从特殊到一般的思想方法,体会运用归纳的问题解决策略分析与解决问题的一般步骤.
(一)情境导入
用大小相等的小正方形按一定规律拼成如图所示的图形,则第n个图形中小正方形的个数是多少 你是怎样思考的 与同伴进行交流.
…
解:方法1:把各图形补成一个大正方形,会发现第n个图形中小正方形的个数是(n+1)2-1;
方法2:每个图形中以左下角的点为顶点的最大正方形中含小正方形12,22,32,…,n2个,剩余的为2×1,2×2,2×3,…,2n个,故第n个图形中小正方形的个数是n2+2n;
方法3:第1个图形中小正方形的个数是3=1×3;
第2个图形中小正方形的个数是8=2×4;
第3个图形中小正方形的个数是15=3×5;
….
可得第n个图形中小正方形的个数是n(n+2).
(二)新知初探
探究 用归纳的策略解决问题
问题 “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格.它将整个区域分割为若干三角形,通过把相邻三角形涂上不同颜色,产生立体及光影的效果.随着三角形数量增加,效果更为斑斓绚丽(如图所示).
将长方形区域分割成三角形的过程:在长方形内取一定数量的点,连同长方形的4个顶点,逐步连接这些点,保证所有连线不再相交产生新的点,直到长方形内所有区域都变成三角形.
如图所示,当长方形内有1个点时,可分得4个三角形;当长方形内有2个点时,可分得6个三角形(不计被分割的三角形).
当长方形内有35个点时,可分得多少个三角形
理解问题
(1)先动手画一画,感受分割得到三角形的过程.
解:答案不唯一,如图所示.
(2)已知条件是什么 目标是什么
解:已知条件是在一个长方形内有一定数量的点,以及长方形的顶点,逐步连接这些点(保持所连线不再相交产生新的点)能分得一定数量的三角形.
目标是求当长方形内有35个点时,可分得三角形的个数.
拟定计划
(1)直接研究“长方形内有35个点”的情形,你遇到了什么困难
解:画出“长方形内有35个点”分三角形的情形比较繁琐、复杂,不太可行!(答案不唯一)
(2)哪些情形容易研究 从中你能发现什么规律
解:长方形内有1个点、2个点、3个点、4个点等较简单的情形易研究.发现了长方形内点的个数每增加1,三角形的个数就增加2.
(3)你发现的规律正确吗 你能给出合理的解释吗
解:正确.解释:每增加一个点且保证所有连线不再相交产生新的点,相当于在其中一个三角形内增加一个点,并与该三角形的三个顶点相连,分得3个三角形,此时比上一情形增加了2个三角形.
实施计划
写出你的解决方案,并说明其中的道理.
小明是这样思考的:
(1)先研究长方形内有3个点、4个点的情形(如图所示).
(2)几种简单情形的数据如下表,发现规律:长方形内点的个数增加1,三角形的个数增加2.
长方形内点的个数 1 2 3 4 …
三角形的个数 4 6 8 10 …
(3)猜想是合理的.在长方形内已经有n个点的情况下,新增的一个点要么在某个三角形内部,要么在某条线段上.当新增的这个点在某个三角形内部时,连接该点和三角形的顶点,原来的1个三角形分成3个小三角形,三角形的个数增加2;当新增的这个点在某条线段上时,连接该点和它所在两个三角形的顶点,三角形的个数同样增加2.
因此,如果长方形内有35个点时,分得的三角形的个数是4+2×34=72.
回顾反思
(1)如果长方形内有100个点呢 一般地,如果长方形内有n个点呢
解:如果长方形内有100个点,那么分得的三角形的个数为4+(100-1)×2=202.当长方形内有n个点时,分得的三角形的个数为4+2(n-1),即2n+2.
(2)你还能提出并解决什么问题
解:答案不唯一,例如:
提出问题:
如果长方形内有50个点,那么分得的三角形的个数是多少
解决问题:
分得的三角形的个数为2×50+2=102.
(3)从简单的情形开始思考有什么好处 通过简单情形归纳一般性结论,你有哪些经验
解:易寻找相应规律.
经验:答案不唯一,如先发现规律,然后用符号语言表达出来.
小结:
1.归纳:即从几种 特殊 情形出发,进而找到一般规律的过程.
2.运用归纳策略寻找规律
在运用归纳策略寻找规律时,要先在若干简单情形中寻找相应的规律.初步发现规律后,可以通过更多的情形验证,再考虑 一般 情况.最后,试着给出合理的解释,并用数学语言简洁地表达规律.
任务 意图说明
以生活中“低多边形风格”为背景,将长方形区域分割成三角形的问题,由特殊情形出发,发现规律,归纳结论,让学生体会归纳是发现数学问题结论、解决数学问题的一种重要策略.
(三)当堂达标(要求:限时5分钟,独立完成)
见课件
(四)课堂小结
见课件
(五)板书设计
问题解决策略:归纳
1.归纳的意义 例题与练习
2.利用归纳策略寻找规律
在本章学习过程中,经历过很多次“归纳”的过程,于是本节专门总结了问题解决的策略:归纳,从生活实例设计探究问题,分步进行探索,让学生领会利用归纳解决问题的一般步骤,重视学生对数学思想方法的学习与运用.由于该类问题对于低年级学生来说,相对陌生与抽象,因此应控制好课堂节奏,留给学生充分的思考与交流的时间.
能够从具体的问题解决中概括出一般结论,形成数学的方法与策略.
1.了解解决问题的策略:归纳.
2.会运用归纳策略寻找规律,解决相关问题.
重点:掌握归纳的策略解决问题的一般步骤.
难点:运用归纳的策略解决问题.
对于本节课的教学,鼓励与引导学生画图,在动手操作中寻找规律方法,并归纳与表达结论,渗透从特殊到一般的思想方法,体会运用归纳的问题解决策略分析与解决问题的一般步骤.
(一)情境导入
用大小相等的小正方形按一定规律拼成如图所示的图形,则第n个图形中小正方形的个数是多少 你是怎样思考的 与同伴进行交流.
…
解:方法1:把各图形补成一个大正方形,会发现第n个图形中小正方形的个数是(n+1)2-1;
方法2:每个图形中以左下角的点为顶点的最大正方形中含小正方形12,22,32,…,n2个,剩余的为2×1,2×2,2×3,…,2n个,故第n个图形中小正方形的个数是n2+2n;
方法3:第1个图形中小正方形的个数是3=1×3;
第2个图形中小正方形的个数是8=2×4;
第3个图形中小正方形的个数是15=3×5;
….
可得第n个图形中小正方形的个数是n(n+2).
(二)新知初探
探究 用归纳的策略解决问题
问题 “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格.它将整个区域分割为若干三角形,通过把相邻三角形涂上不同颜色,产生立体及光影的效果.随着三角形数量增加,效果更为斑斓绚丽(如图所示).
将长方形区域分割成三角形的过程:在长方形内取一定数量的点,连同长方形的4个顶点,逐步连接这些点,保证所有连线不再相交产生新的点,直到长方形内所有区域都变成三角形.
如图所示,当长方形内有1个点时,可分得4个三角形;当长方形内有2个点时,可分得6个三角形(不计被分割的三角形).
当长方形内有35个点时,可分得多少个三角形
理解问题
(1)先动手画一画,感受分割得到三角形的过程.
解:答案不唯一,如图所示.
(2)已知条件是什么 目标是什么
解:已知条件是在一个长方形内有一定数量的点,以及长方形的顶点,逐步连接这些点(保持所连线不再相交产生新的点)能分得一定数量的三角形.
目标是求当长方形内有35个点时,可分得三角形的个数.
拟定计划
(1)直接研究“长方形内有35个点”的情形,你遇到了什么困难
解:画出“长方形内有35个点”分三角形的情形比较繁琐、复杂,不太可行!(答案不唯一)
(2)哪些情形容易研究 从中你能发现什么规律
解:长方形内有1个点、2个点、3个点、4个点等较简单的情形易研究.发现了长方形内点的个数每增加1,三角形的个数就增加2.
(3)你发现的规律正确吗 你能给出合理的解释吗
解:正确.解释:每增加一个点且保证所有连线不再相交产生新的点,相当于在其中一个三角形内增加一个点,并与该三角形的三个顶点相连,分得3个三角形,此时比上一情形增加了2个三角形.
实施计划
写出你的解决方案,并说明其中的道理.
小明是这样思考的:
(1)先研究长方形内有3个点、4个点的情形(如图所示).
(2)几种简单情形的数据如下表,发现规律:长方形内点的个数增加1,三角形的个数增加2.
长方形内点的个数 1 2 3 4 …
三角形的个数 4 6 8 10 …
(3)猜想是合理的.在长方形内已经有n个点的情况下,新增的一个点要么在某个三角形内部,要么在某条线段上.当新增的这个点在某个三角形内部时,连接该点和三角形的顶点,原来的1个三角形分成3个小三角形,三角形的个数增加2;当新增的这个点在某条线段上时,连接该点和它所在两个三角形的顶点,三角形的个数同样增加2.
因此,如果长方形内有35个点时,分得的三角形的个数是4+2×34=72.
回顾反思
(1)如果长方形内有100个点呢 一般地,如果长方形内有n个点呢
解:如果长方形内有100个点,那么分得的三角形的个数为4+(100-1)×2=202.当长方形内有n个点时,分得的三角形的个数为4+2(n-1),即2n+2.
(2)你还能提出并解决什么问题
解:答案不唯一,例如:
提出问题:
如果长方形内有50个点,那么分得的三角形的个数是多少
解决问题:
分得的三角形的个数为2×50+2=102.
(3)从简单的情形开始思考有什么好处 通过简单情形归纳一般性结论,你有哪些经验
解:易寻找相应规律.
经验:答案不唯一,如先发现规律,然后用符号语言表达出来.
小结:
1.归纳:即从几种 特殊 情形出发,进而找到一般规律的过程.
2.运用归纳策略寻找规律
在运用归纳策略寻找规律时,要先在若干简单情形中寻找相应的规律.初步发现规律后,可以通过更多的情形验证,再考虑 一般 情况.最后,试着给出合理的解释,并用数学语言简洁地表达规律.
任务 意图说明
以生活中“低多边形风格”为背景,将长方形区域分割成三角形的问题,由特殊情形出发,发现规律,归纳结论,让学生体会归纳是发现数学问题结论、解决数学问题的一种重要策略.
(三)当堂达标(要求:限时5分钟,独立完成)
见课件
(四)课堂小结
见课件
(五)板书设计
问题解决策略:归纳
1.归纳的意义 例题与练习
2.利用归纳策略寻找规律
在本章学习过程中,经历过很多次“归纳”的过程,于是本节专门总结了问题解决的策略:归纳,从生活实例设计探究问题,分步进行探索,让学生领会利用归纳解决问题的一般步骤,重视学生对数学思想方法的学习与运用.由于该类问题对于低年级学生来说,相对陌生与抽象,因此应控制好课堂节奏,留给学生充分的思考与交流的时间.
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