河南省南阳市淅川县部分学校2025届九年级下学期中考二模数学试卷（含答案）

2025年河南省南阳市淅川县部分学校中考数学二模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.负数的概念最早出现在《九章算术》中，把向东走2km记做“+2km”，向西走1km应记做（　　）
A. -2km B. -1km C. 1km D. +2km
2.DeepSeek,全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2025年2月9日，Deep-Seek的累计下载量已超过1.1亿次，周活跃用户规模高达9700万.其中9700万用科学记数法表示为（　　）
A. 9700×104 B. 97×106 C. 9.7×107 D. 0.97×108
3.下列计算正确的是（　　）
A. （a3）n+1=a3n+1 B. （-a2）3 a6=a12
C. a8m a8m=2a16m D. （-m）（-m）4=-m5
4.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
5.已知二元一次方程组，则x-y的值为（　　）
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，则∠CAB′的度数为（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
7.从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个.在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据.柑橘直径用x（单位：cm）表示，整理所收集样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：
下列结论一定正确的是（　　）
①两园样本数据的中位数均在第3组；
②两园样本数据的众数均在第3组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等.
A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③
8.四边形不具有稳定性.四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC'D'，如果∠DAD'=30°，那么菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比是（　　）
A.
B.
C.
D. 1
9.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=x+b的图象一定不经过（　　）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
10.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的中心位于原点O处，AB=4，BC⊥x轴于点E，F为CE的中点.射线l的端点为O，将射线l从与OF重合的位置开始绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2025次旋转结束时，射线l与正方形ABCD的边的交点坐标为（　　）
A. （-1，2）
B. （1，2）
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算的结果为______.
12.中华文明源远流长，旅游资源非常丰富，“五一”期间，小娄和小金两人准备从开封、洛阳、南京、杭州四个历史古城中各选择一个景点旅游，他们通过抽签的方式确定景点，那么他们两人恰好能抽到同一景点的概率是______.
13.若关于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是______．
14.如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间.已知绳子ACDB分别与空竹⊙O相切于点C，D，且AC=BD，连接左右两个绳柄A，B，AB经过圆心O，分别交⊙O于点M，N，经测量OM=AM=4，则图中阴影部分的周长为______.
15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点E在直线AD上运动，取AC的中点Q，连接QE，CE，当△QCE的周长最小，且最小值为时，△QCE的面积为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
（1）计算：+（2025-π）0-4-1；
（2）化简求值：，其中x=3.
17.(本小题9分)
随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，AI聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答.预计2025年，我国对话机器人行业市场规模将达到98.5亿元.有关人员开展了对A，B两款AI聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，满分100分，分为四个等级：甲：不满意x＜70；乙：比较满意70≤x＜80；丙：满意80≤x＜90；丁：非常满意90≤x≤100）.下面给出了部分信息.
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中丙、丁两组的数据是：
82，85，87，87，87，87，87，87，89，93，93，97.
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据中丙、丁两组的数据一样多，丙组的数据是：
81，83，83，85，87，88，88，88.
数据显示A款AI聊天机器人的评分数据中甲组数据占15%，乙组数据为a个.B款AI聊天机器人的评分数据中甲组数据占5%.
AI聊天机器人 平均数 中位数 众数
A 86 86 c
B 86 b 90
根据以上信息，解答下列问题.
（1）a=______，b=______，c=______.
（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）.
（3）在此次调查中，有400人对甲款AI聊天机器人进行评分，300人对B款AI聊天机器人进行评分.请通过计算，估计此次调查中对AI聊天机器人不满意的共有多少人.
18.(本小题9分)
研学实践：如图1所示的建筑物是一座具有现代风格的文化地标，某数学小组利用航模搭载的3D扫描仪采集建筑物的相关数据.如图2，点A是建筑物顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离.航模从建筑物前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面22米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=11.3°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=45°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米.已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上.请根据上述数据，计算建筑物顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米.参考数据：sin11.3°≈0.196，cos11.3°≈0.981，tan11.3°≈0.200）.
19.(本小题9分)
如图，在 ABCD中，已知A（-2，0）、B（2，0）、D（0，3），一个反比例函数的图象经过点C.
（1）求点C的坐标和该反比例函数的表达式；
（2）将 ABCD向上平移m个单位长度，再向右也平移m位长度，得到□A′B′C′D′.若此时点D′恰好落在反比例函数的图象上，求m满足的表达式；
（3）若将 ABCD沿直线CD翻折180°，得到口A″B″CD，则点B″是否在反比例函数的图象上？为什么？
20.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D，交AB于点E（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB=16，AD=8，求⊙O的半径.
（3）在（1）的条件下，求证：∠BOD=2∠BDC.
21.(本小题9分)
据灯塔专业版数据，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录.该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅.为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店购进了A、B两种哪吒玩偶.已知A种哪吒玩偶每个的进价为40元，售价为56元；B种哪吒玩偶每个的进价为30元，售价为45元.
（1）第一次店家用1100元钱购进了A，B两款哪吒玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个.
（2）第二次进货时，规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，店家计划购进两款哪吒玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
22.(本小题10分)
为了增加趣味性，万岁山旅游城把传统的抛绣球项目进行改良，他们定制了一种器械，类似中国古代一种投石器，为了解发射平台高度对绣球飞行轨迹的影响，我们可以设定不同的发射平台高度，并分别记录绣球在不同水平距离上的飞行高度.分析不同发射平台高度下绣球的飞行轨迹.通过比较不同高度下绣球的飞行高度和飞行距离，我们可以得出发射平台高度对绣球飞行轨迹的具体影响.从而有目的地调整发射高度，通过实验发现绣球运动轨迹是抛物线的一部分，并且在离发射点水平距离18米处达到距地面最大高度18米；在离发射点水平距离6米处，距地面高度10米.
问题解决：
任务1：确定函数表达式.设绣球离发射点水平距离为x,距地面高度为y.求出y关于x的函数表达式；
任务2：探究飞行距离，当绣球从地面发出到落地（高度为0m）时，飞行的水平距离是多少；
任务3：如图，工作人员在水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台PQ，当弹射口高度变化时，绣球被弹出后的飞行轨迹形状不变，可视为抛物线上下平移得到，点P，A，B在一条直线上，已知AP=37m,AB=1m,游客小李站在线段AB（包括点A，B）上，为了确保他能抢到绣球，请直接写出发射台PQ的变化范围：______.
23.(本小题10分)
（1）在数学活动课上，老师出示了这样一个问题；如图1，已知正方形ABCD，正方形CEFG.将正方形CEFG绕点C旋转，连接BE，DG，则BE与DG的数量关系为______；
（2）创新小组受到启发，将背景图形由正方形改为矩形继续进行探究，如图2，在矩形ABCD和矩形DEFG中，AD=2DE，AB=2DG，AD=DG，将矩形DEFG绕点D旋转，直线AE，CG交于点P，AE与CG有怎样的数量关系？请你给出证明.
（3）善思小组受此启发，举一反三，提出新问题：如图3，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接BG，DG，BE，则的最小值是______.
1.
解：∵向东走2km记做“+2km”，
∴向西走1km应记做：-1km.
故选：B．
2.
解：9700万=97000000=9.7×107．
故选：C．
3.
解：A．∵（a3）n+1=a3n+3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵（-a2）3 a6=（-a6） a6=-a12，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵a8m a8m=a16m，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵（-m） （-m）4=（-m）5=-m5，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
4.
解：根据题意可知，立体图形的主视图为：第一层是三个小正方形，第二层右边是一个小正方形．
故选：D．
5.
解：两方程相减得x-y=-2，
故选：B．
6.
解：∵∠BAC=90°，∠B=50°，
∴∠C=40°.
∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，
∴∠AB'B=∠B=50°，
∴∠CAB'=∠AB'B-∠C=50°-40°=10°.
故选：A．
7.
解：由统计图可知，两园样本数据的中位数均在第3组，故①正确；
甲园的众数在第2组，乙园的众数在第3组，故②结论错误；
两园样本数据的最大数与最小数的差不一定相等，故③结论错误；
故选：A．
8.
解：过D'作D'M⊥AB于M，如图所示：
则∠D'MA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积=AB2，AB=AD，∠BAD=90°，
∵∠DAD′=30°，
∴∠D'AM=90°-30°=60°，
∴∠AD'M=30°，
∴AM=AD'，D'M=AM=AD'，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AB=AD'=AD，菱形ABCD的面积=AB×D'M=AB2，
∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比==，
故选：A．
9.
解：由图象开口向下可知a＜0，b＞0，
∴一次函数y=x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
10.
解：把OF绕F顺时针旋转90°得到线段FH，连接OH交CD于P，过H作HG⊥BC交BC延长线与G，
由条件可知C（2，2），D（-2，2），F（2，1），∠OEF=90°，
∴OE=2，EF=1，
∵把OF绕F顺时针旋转90°得到线段FH，HG⊥BC，
∴OF=FH，∠OEF=∠OFH=∠G=90°，
∴∠OFE=∠FHG=90°-∠HFG，
∴△OEF≌△FGH（AAS），
∴OE=FG=2，EF=GH=1，
∴EG=EF+FG=3，
∴H（1，3），
∴正比例函数OH解析式为y=3x,
当y=3x=2时，，
∴，
由条件可知：第一次旋转结束时射线l与正方形ABCD的边的交点，
∵360°÷45°=8，
∴每8次一个循环，
∵2025÷8=253 1，
∴第2025次旋转结束时，射线l与正方形ABCD的边的交点与第一次旋转结束时射线l与正方形ABCD的边的交点是同一个点，即，
故选：D．
11.
解：
=11-1-1
=9，
故答案为：9．
12.
解：将开封、洛阳、南京、杭州分别记为A，B，C，D，
列表如下：
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能的结果，其中他们两人恰好能抽到同一景点的结果有4种，
∴他们两人恰好能抽到同一景点的概率为．
故答案为：．
13.
解：∵关于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有两个不相等的实数根，
∴△=16-4×2k＞0．
解得k＜2．
故答案为：k＜2．
14.
解：连接OC、OD，
∵绳子ACDB分别与空竹⊙O相切于点C，D，
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∴∠OCA=∠ODB=90°，
∵OM=AM=4，
∴OC=OM=4，
∴cos∠AOC===，
∴∠AOC=60°，
∴AC=OC=4，
∵BD=AC=4，
∴tan∠BOD===，
∴∠BOD=60°，
∴OB=2OD=8，
∴∠COD=60°，
∴弧CD的长度==π，
∴图中阴影部分的周长=AC+的长+BD+AB=4+3π+4+8+8=8+16+3π．
故答案为：8+16+3π．
15.
解：如图，连接BQ交AD于E，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴CE+QE=BE+QE≤BE，
∵Q是AC的中点，
∴CQ是定值，当B、Q、E共线时，CE+QE=BQ最小，即△QOE 的周长最小，
作QH⊥BC于H，设CQ=x,
∵AD⊥BC，
∴QH∥AD，
∵Q是AC的中点，∠ACB=45°，x,DH=x,
∴，
∴，
在Rt△BQH中，，
∵△QCE的周长最小值为CE+QE+CQ=BQ+CQ=2，
∴，
解得x=2，
∴，
∵QH∥AD，
∴△BED∽△BQH，
∴，
∴，
∴×．
故答案为：．
16.
（1）原式=
=
=．
（2）
=
=
=-1-x.
当x=3时，
原式=-4．
17.
由题意得：A款AI聊天机器人的评分数据中甲组数据为20×15%=3（个），
∴a=20-3-12=5；
∵抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据中丙、丁两组的数据一样多，丙组的数据有8个，
∴丁组的数据有8个，
∴把B款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、88，
∴b==88，
在A款的评分数据中，87出现的次数最多，
∴c=87；
故答案为：5，88，87；
（2）B款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
∵两款AI聊天机器人的评分数据的平均数相同，但B款评分数据的中位数比A款的中位数高，
∴．B款AI聊天机器人更受用户喜爱（合理即可）；
（3）400×15%+300×5%=75（人）．
答：此次调查中对AI聊天机器人不满意的人数约为75人．
18.
解：延长CD交AB于点H，
由题意得：CH⊥BE，CM=BH=22米，
设AH=x米，
∵AE=9米，
∴EH=AE+AH=（x+9）米，
在Rt△CEH中，∠NCD=45°，
∴CH==（x+9）米，
在Rt△ACH中，∠ACD=11.3°，
∴tan11.3°==≈0.2，
解得：x=2.25，
∴AH=2.25米，
∴AB=BH+AH=22+2.25≈24（米），
答：AB的高约为24米．
19.
（1）在 ABCD中，
∵A（-2，0）、B（2，0）、D（0，3），
∴点C的坐标为（4，3），
∵反比例函数的图象经过点C．
∴k=4×3=12，
∴反比例函数的表达式为：y=；
（2）∵将 ABCD向上平移m个单位长度，再向右也平移m位长度，得到□A′B′C′D′，D（0，3），
∴点D′的坐标为（m,3+m），
∵点D′恰好落在反比例函数的图象上，
∴m（3+m）=12，
∴m满足的表达式为：m2+3m=12；
（3）点B″在反比例函数的图象上．
理由：∵将 ABCD沿直线CD翻折180°，得到 A″B″CD，A（-2，0）、B（2，0）、D（0，3），
∴点B″的坐标为（2，6），
∵2×6=12，
∴点B″在反比例函数的图象上．
20.
（1）解：1．作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，
2．过点D作DO⊥AC于点D，交AB于点O，
3．以点O为圆心，OD为半径画圆，交AB于点E，如图，
则⊙O即为所求作．
（2）解：连接OD，如图，
∵AC与⊙O相切，
∴OD⊥AC，
∴∠ODA=90°，
设OD=OB=x,
∴AO=16-x.
在Rt△ADO中，
∵AO2=AD2+OD2，
∴82+x2=（16-x）2，
∴x=6．
∴⊙O的半径为6．
（3）证明：连接BD，如图，
设∠ODB=m°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD=m°．
∴∠BOD=180°-2m°=2（90°-m°），
∵AC为⊙O的切线，
∴OD⊥AC．
∴∠BDC=∠ODC-∠ODB=90°-m°，
∴∠BOD=2∠BDC．
21.
（1）由题意，设A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进（30- x）个，
∴40x+30（30-x）=1100，
∴x=20．
∴30-20=10（个）．
答：A款哪吒玩偶购进20个，B款哪吒玩偶购进10个．
（2）由题意，设A款哪吒玩偶购进a个，则B款哪吒玩偶购进（30- a）个，获利 y元，
∴y=（56-40）a+（45-30）（30-a）=a+450．
∵A款哪吒玩偶进货数量不得超过B款哪吒玩偶进货数量的一半，
∴，
∴a≤10．
∵y=a+450，
∴k=1＞0，
∴y随a的增大而增大．
∴a=10时y晶大=460．
∴B款哪吒玩偶购进30-10=20（个）．
答：按照A款玩偶购进10个，B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元．
22.
解：任务1：依题意，得抛物线的顶点坐标为（18，18），
设抛物线解析式为y=a（x-18）2+18，
把（6，10）代入解析式得：10=a（6-18）2+18．
解得，
∴抛物线解析式为；
任务2：令y=0，
则，
解得x1=36，x=0（舍），
答：水平距离为36m；
任务3：设抛物线向上平移m个单位，则平移后的抛物线解析式为y=-（x-18）2+18+m,
∵OA=37m,AB=1m,
∴当抛物线经过（37，0）时，0=-（37-18）2+18+m,
解得m=；
当抛物线经过（38，0）时，0=-（38-18）2+18+m,
解得m=，
∴出发射台PQ的变化范围为：≤PQ≤，
故答案为：≤PQ≤．
23.
（1）∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，CD=CB，
∵四边形ECGF是正方形，
∴∠ECG=90°，CG=CE，
∴∠ECG=∠BCD=90°，
∴∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
，
∴△DCG≌△BCE（SAS），
∴DG=BE，
故答案为：BE=DG；
（2）CG=2AE，理由如下：
在矩形ABCD和矩形DEFG中，
∠GDE=∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠ADG=∠GDE+∠ADG，
∴∠GDC=∠ADE．
又∵AD=2DE，AB=2DG，AD=DG，
∴，
∴△CDG∽△ADE，
∴．
∴CG=2AE；
（3）∵四边形ECGF、四边形ABCD都是矩形，
∴CD=AB=2，AD=BC=4，∠ECG=∠BCD=90°，
∴∠DCG=∠BCE，
∵CD：CB=2：4=1：2，CG：CE=1：2，
∴CD：CB=CG：CE，
∵∠DCG=∠BCE，
∴△DCG∽△BCE，
∴∠BEC=∠DGC，==，
∴DG=BE，
作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M，如图3，
∵∠FNC=∠CMG=∠ECG=90°，
∴∠FCN+∠GCM=∠FCN+∠CEN=90°，
∴∠GCM=∠CEN，
∴△ECN∽△CGM，
∴==2，
∵EN=AB=2，
∴CM=1，
∴点G的运动轨迹是直线MG，
作点D关于直线MG的对称点G′，连接BG′交MG于G，此时BG+GD的值最小，最小值为BG′，
∵DG=BE，
∴BG+BE=BG+DG，
∴BG+BE的最小值就是（BG+DG）的最小值，
∵BG′==2，
∴BG+BE的最小值为2．
故答案为：2．