湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1．（2025高一下·长沙期末）经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．-2 B．1 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：直线的系斜率为，
则经过两点的直线的斜率，解得.
故答案为：B.
【分析】易知直线的斜率为，再根据两点斜率公式求解即可.
2．（2025高一下·长沙期末）若复数是纯虚数，则
A．3 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】解： 若复数是纯虚数，则，解得，即复数，
则.
故答案为：C.
【分析】根据复数的基本概念求得，即，再根据复数模的性质求解即可.
3．（2025高一下·长沙期末）如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解： 点在线段上，且，点为中点，
则.
故答案为：D.
【分析】利用空间向量基本定理化简即可.
4．（2025高一下·长沙期末）已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：由题意，对于A，由面面平行的判定定理可以证出，故A正确；
对于B，因为或，故B错误；
对于C，由面面垂直的判定定理可以证得，故C正确；
对于D，由线面垂直的性质可以证得，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据面面平行的判定定理、线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、线线平行的判断方法，从而逐项判断找出假命题的选项.
5．（2025高一下·长沙期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，，由正弦定理可得，
因为，所以，
则的面积.
故答案为：D．
【分析】利用正弦定理求得，由，根据同角三角函数的平方关系求得，再根据三角形面积公式求解即可．
6．（2025高一下·长沙期末）已知两个单位向量满足，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：易知，
由，可得，
解得，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据，求得，结合，利用向量的数量积的运算公式求解即可.
7．（2025高一下·长沙期末）一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】A
【知识点】解三角形；正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由图可知：（海里），
，则，
由正弦定理，可得（海里）.
故答案为：A.
【分析】由题作出图形，先确定中各角度数，再利用正弦定理求解即可.
8．（2025高一下·长沙期末）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（ ）
A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2
C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10
【答案】C
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：易知抛掷骰子两次，共有个基本事件数，
事件
，共18个基本事件，
则，
A、设事件为第二次朝上面的数字是奇数，则事件与事件是对立事件，故A错误；
B、设事件为第二次朝上面的数字是2，则，故B错误；
C、设事件为两次朝上面的数字之和是9，则共4个基本事件，
即，且，，
因为，所以事件与事件相互独立，故C正确；
D、设事件两次朝上面的数字之和是10，
则，，
且，则，
因为，所以事件与事件不相互独立，故D错误.
故答案为：C.
【分析】易知抛掷骰子两次，有个基本事件数，再列式各个事件，求相应事件的概率，利用相互独立事件的定义逐项判断即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高一下·长沙期末）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．若，则复平面内对应的点位于第二象限
C．复数，
D．若复数满足，则的最大值为6
【答案】A,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，则在复平面内对应的点为，
位于第三象限，故B错误；
C、，则，故C错误；
D、，即复数对应的点是以原点为圆心，半径为1的单位圆，
表示点到该圆上的点的距离，
则该距离最大值为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用虚数单位的计算即可判断A；利用复数代数形式的乘法运算，结合共轭复数以及复数在复平面内的表示即可判断B；利用复数模的性质求解即可判断C；利用复数的几何意义，结合圆的知识求解即可判断D.
10．（2025高一下·长沙期末）下列说法正确的有（ ）
A．若事件与事件是互斥事件，则
B．若事件与事件是对立事件，则
C．把红 橙 黄3张纸牌随机分给甲 乙 丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
D．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：A、若事件与事件互斥，则事件不可能同时发生，，故A正确；
B、若事件与事件是对立事件，则事件即为事件，，故B正确；
C、“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，则不是互斥事件，故C错误；
D、事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，则为对立事件，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念逐项判断即可.
11．（2025高一下·长沙期末）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ）
A．直线与直线所成角的正切值为
B．当时，截面S的形状为等腰梯形
C．当时，S与交于点R，则
D．当时，直线与平面的夹角正弦值的取值范围是
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；棱柱的结构特征；异面直线所成的角；平面与平面平行的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：A、 正方体 中，，则为直线与直线所成角，，故A正确；
B、连接，如图所示：
因为，所以，
又因为平面平面，连接即为截面S与正方体的一条截线，连接，
易得，则截面S的形状为等腰梯形，故B正确；
C、过点作的平行线交直线于点，连接，交于点，
因，易得，则，于是，，
则，又可得，则，即，
解得，故C错误；
D、取中点，连接，交于点，连接，如图所示：
易得，则，
又因为平面，平面，所以，
又因为平面，所以平面，
则即直线与平面的夹角，设为，不妨设，则，
在中，，
因，则，可得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据正方体的性质可得：为直线与直线所成角，计算即可判断A；利用面面平行的性质定理作出截面，即可判断B；通过作图，利用面面平行的性质定理和三角形相似的性质计算即可判断C；取中点，连接，交于点，连接，可证平面，推得即直线与平面的夹角，设，，得到，利用函数的单调性求其范围即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高一下·长沙期末）某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，85，86，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的第25百分位数为 ．
【答案】86
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：，则这组数据的第25百分位数为86.
故答案为：86.
【分析】根据百分位数定义求解即可.
13．（2025高一下·长沙期末）在对某中学高一年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高一年级学生体重的方差为 ．
（参考公式：已知总体分为两层，各层的样本量，平均数，方差分别为m，，；n，，，记总的样本平均数和样本方差为，，其中．
【答案】
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可得：总体的平均数为，
则高一年级学生体重的方差为
.
故答案为：.
【分析】由题意，先求总体的平均数，再根据分层抽样中方差的计算公式求解即可.
14．（2025高一下·长沙期末）某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 ．
【答案】
【知识点】简单组合体的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解： 圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6 ，则圆锥的母线长与底面圆的直径均为，
小球的半径为1，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环，
扇环的半径为，，扇环所在扇形的圆心角为，
扇环其面积为；
在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为其面积为．
综上，圆锥内壁上小球能接触到的区域面积为．
故答案为：.
【分析】由题意可得圆锥的母线长与底面圆的直径均为，再分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高一下·长沙期末）如图，正三棱柱中，是的中点，．
（1）求证：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求．
【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示：
因为四边形为矩形，所以为的中点，
又因为是的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：因为为等边三角形，是的中点，所以⊥，
又因为，所以，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
设，则，，
，
则，解得，
故.
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，由中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）由题意，证明⊥平面，求出，设，则，利用等体积法列方程，求的，即可得的值.
（1）连接，交于点，连接，
因为四边形为矩形，所以为的中点，
又是的中点，故，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为为等边三角形，是的中点，
所以⊥，又，故，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
设，则，，
，
所以，解得，
故.
16．（2025高一下·长沙期末）某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
请完成以下问题：
（1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；
（2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.
【答案】（1）解：由频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，解得，
则样本平均值为：，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计93分；
（2）解：由图可知：分数段的人数为（人），分数段的人数为（人），
由分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在分数段内抽2人，分别记为，
需在分数段内抽3人，分别记为，
设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段内”为事件 A，
则样本空间共包含10个样本点而 A 的对立事件包含3个样本点，
则，
即抽取的这2名学生至少有1人在内的概率为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1列式求得，再根据频率分布直方图平均值的求法求解即可；
（2）利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽2人，分别记为，需在内抽3人，分别记为，写出样本空间和对立事件概率求得答案．
（1）由，
得.
数学成绩在：
频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
样本平均值为：
可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计93分．
（2）由题意可知，分数段的人数为（人），
分数段的人数为（人）.
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在分数段内抽2人，分别记为，
需在分数段内抽3人，分别记为.
设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段内”为事件 A，
则样本空间共包含10个样本点而 A 的对立事件包含3个样本点，
所以．
即抽取的这2名学生至少有1人在内的概率为
17．（2025高一下·长沙期末）某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲 乙 丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲 乙 丙每次答题是相互独立的，且甲 乙 丙的答题结果也是相互独立的.
（1）求甲第二次答题通过初赛的概率；
（2）求乙通过初赛的概率；
（3）求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率.
【答案】（1）解：记甲第二次答题通过初赛为事件，即第一次回答错误，第二次回答正确，
则；
（2）解：记乙通过初赛为事件，反面为乙没有通过初赛，即三次都回答错误，
则；
（3）解：由题意可知：甲、乙、丙每人通过初赛的概率均为，
记甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛为事件，
则.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）记甲第二次答题通过初赛为事件，即第一次回答错误，第二次回答正确，根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可；
（2）记乙通过初赛为事件，反面为乙没有通过初赛，即三次都回答错误，根据相互独立事件，结合对立事件的概率公式计算即可；
（3）由题意可知：甲、乙、丙每人通过初赛的概率均为，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算即可.
（1）记甲第二次答题通过初赛为事件，则；
（2）记乙通过初赛为事件，则；
（3）依题意甲、乙、丙每人通过初赛的概率均为，
记甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛为事件，
则.
18．（2025高一下·长沙期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）如图，的角平分线交于点D，且，，
（i）求的长度；
（ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值．
【答案】（1）解：在中，，由正弦定理可得，
即，由余弦定理得，因为，所以；
（2）解：（i）已知的角平分线交于点D，则，
在中，，
即，
即，解得；
（ii）因为为的中线，
所以，
两边平方可得，
则，因为，为的角平分线，
在中，因为，得到①，
在中，因为，得到②，
又，由①②得到，
所以，
因为
，
所以，
即的余弦值为.
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理，结合余弦定理化简求角即可；
（2）（i）利用角平分线性质，结合，求解BD的长度即可；
（ii）易知为向量的夹角，利用中线向量运算得，结合角平分线定理利用向量线性运算得，再利用平面向量的夹角公式求解余弦值即可.
（1）在中，由及正弦定理，得，
即，
由余弦定理得，而，所以.
（2）（i）已知的角平分线交于点D，则，
又在中，，即，
即，解得.
（ii）因为为的中线，
所以，
又，则，
因为，为的角平分线，
在中，因为，得到①，
在中，因为，得到②，
又，由①②得到，
所以，
因为
，
所以，
即的余弦值为.
19．（2025高一下·长沙期末）图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2．
（1）求证：平面平面ABED；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
（3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由．
【答案】证明：（1）连结AE，因为，，，所以，
又因为且，所以四边形为菱形，连结交于点，如图所示：
易知，又因为在中，，所以，
，满足，则，
由题意知，且，则平面ABED，
又因为平面，所以平面平面ABED；
解：（2）以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，，
所以，即，令，解得，，
即，，
记直线与平面所成角为，则；
（3）假设存在，设，则，
，
平面，易得平面的一个法向量，
设平面PBE的一个法向量，
则，即，可取，
则，解得，
故．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连结AE，根据已知条件求得，推出四边形为菱形，连接交于点，利用线面垂直的判定定理可得平面ABED，再根据面面垂直的判定定理证明即可；
（2）以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（3）假设存在，设，求得点P的坐标，利用空间向量法结合向量的夹角公式列方程求解即可.
1 / 1湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1．（2025高一下·长沙期末）经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．-2 B．1 C．3 D．4
2．（2025高一下·长沙期末）若复数是纯虚数，则
A．3 B．5 C． D．
3．（2025高一下·长沙期末）如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高一下·长沙期末）已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高一下·长沙期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2025高一下·长沙期末）已知两个单位向量满足，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
7．（2025高一下·长沙期末）一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
8．（2025高一下·长沙期末）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（ ）
A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2
C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高一下·长沙期末）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．若，则复平面内对应的点位于第二象限
C．复数，
D．若复数满足，则的最大值为6
10．（2025高一下·长沙期末）下列说法正确的有（ ）
A．若事件与事件是互斥事件，则
B．若事件与事件是对立事件，则
C．把红 橙 黄3张纸牌随机分给甲 乙 丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
D．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
11．（2025高一下·长沙期末）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ）
A．直线与直线所成角的正切值为
B．当时，截面S的形状为等腰梯形
C．当时，S与交于点R，则
D．当时，直线与平面的夹角正弦值的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高一下·长沙期末）某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，85，86，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的第25百分位数为 ．
13．（2025高一下·长沙期末）在对某中学高一年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高一年级学生体重的方差为 ．
（参考公式：已知总体分为两层，各层的样本量，平均数，方差分别为m，，；n，，，记总的样本平均数和样本方差为，，其中．
14．（2025高一下·长沙期末）某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高一下·长沙期末）如图，正三棱柱中，是的中点，．
（1）求证：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求．
16．（2025高一下·长沙期末）某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
请完成以下问题：
（1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；
（2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.
17．（2025高一下·长沙期末）某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲 乙 丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲 乙 丙每次答题是相互独立的，且甲 乙 丙的答题结果也是相互独立的.
（1）求甲第二次答题通过初赛的概率；
（2）求乙通过初赛的概率；
（3）求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率.
18．（2025高一下·长沙期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）如图，的角平分线交于点D，且，，
（i）求的长度；
（ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值．
19．（2025高一下·长沙期末）图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2．
（1）求证：平面平面ABED；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
（3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：直线的系斜率为，
则经过两点的直线的斜率，解得.
故答案为：B.
【分析】易知直线的斜率为，再根据两点斜率公式求解即可.
2．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】解： 若复数是纯虚数，则，解得，即复数，
则.
故答案为：C.
【分析】根据复数的基本概念求得，即，再根据复数模的性质求解即可.
3．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解： 点在线段上，且，点为中点，
则.
故答案为：D.
【分析】利用空间向量基本定理化简即可.
4．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：由题意，对于A，由面面平行的判定定理可以证出，故A正确；
对于B，因为或，故B错误；
对于C，由面面垂直的判定定理可以证得，故C正确；
对于D，由线面垂直的性质可以证得，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据面面平行的判定定理、线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、线线平行的判断方法，从而逐项判断找出假命题的选项.
5．【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，，由正弦定理可得，
因为，所以，
则的面积.
故答案为：D．
【分析】利用正弦定理求得，由，根据同角三角函数的平方关系求得，再根据三角形面积公式求解即可．
6．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：易知，
由，可得，
解得，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据，求得，结合，利用向量的数量积的运算公式求解即可.
7．【答案】A
【知识点】解三角形；正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由图可知：（海里），
，则，
由正弦定理，可得（海里）.
故答案为：A.
【分析】由题作出图形，先确定中各角度数，再利用正弦定理求解即可.
8．【答案】C
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：易知抛掷骰子两次，共有个基本事件数，
事件
，共18个基本事件，
则，
A、设事件为第二次朝上面的数字是奇数，则事件与事件是对立事件，故A错误；
B、设事件为第二次朝上面的数字是2，则，故B错误；
C、设事件为两次朝上面的数字之和是9，则共4个基本事件，
即，且，，
因为，所以事件与事件相互独立，故C正确；
D、设事件两次朝上面的数字之和是10，
则，，
且，则，
因为，所以事件与事件不相互独立，故D错误.
故答案为：C.
【分析】易知抛掷骰子两次，有个基本事件数，再列式各个事件，求相应事件的概率，利用相互独立事件的定义逐项判断即可.
9．【答案】A,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，则在复平面内对应的点为，
位于第三象限，故B错误；
C、，则，故C错误；
D、，即复数对应的点是以原点为圆心，半径为1的单位圆，
表示点到该圆上的点的距离，
则该距离最大值为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用虚数单位的计算即可判断A；利用复数代数形式的乘法运算，结合共轭复数以及复数在复平面内的表示即可判断B；利用复数模的性质求解即可判断C；利用复数的几何意义，结合圆的知识求解即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：A、若事件与事件互斥，则事件不可能同时发生，，故A正确；
B、若事件与事件是对立事件，则事件即为事件，，故B正确；
C、“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，则不是互斥事件，故C错误；
D、事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，则为对立事件，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念逐项判断即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；棱柱的结构特征；异面直线所成的角；平面与平面平行的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：A、 正方体 中，，则为直线与直线所成角，，故A正确；
B、连接，如图所示：
因为，所以，
又因为平面平面，连接即为截面S与正方体的一条截线，连接，
易得，则截面S的形状为等腰梯形，故B正确；
C、过点作的平行线交直线于点，连接，交于点，
因，易得，则，于是，，
则，又可得，则，即，
解得，故C错误；
D、取中点，连接，交于点，连接，如图所示：
易得，则，
又因为平面，平面，所以，
又因为平面，所以平面，
则即直线与平面的夹角，设为，不妨设，则，
在中，，
因，则，可得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据正方体的性质可得：为直线与直线所成角，计算即可判断A；利用面面平行的性质定理作出截面，即可判断B；通过作图，利用面面平行的性质定理和三角形相似的性质计算即可判断C；取中点，连接，交于点，连接，可证平面，推得即直线与平面的夹角，设，，得到，利用函数的单调性求其范围即可判断D.
12．【答案】86
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：，则这组数据的第25百分位数为86.
故答案为：86.
【分析】根据百分位数定义求解即可.
13．【答案】
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可得：总体的平均数为，
则高一年级学生体重的方差为
.
故答案为：.
【分析】由题意，先求总体的平均数，再根据分层抽样中方差的计算公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】简单组合体的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解： 圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6 ，则圆锥的母线长与底面圆的直径均为，
小球的半径为1，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环，
扇环的半径为，，扇环所在扇形的圆心角为，
扇环其面积为；
在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为其面积为．
综上，圆锥内壁上小球能接触到的区域面积为．
故答案为：.
【分析】由题意可得圆锥的母线长与底面圆的直径均为，再分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解．
15．【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示：
因为四边形为矩形，所以为的中点，
又因为是的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：因为为等边三角形，是的中点，所以⊥，
又因为，所以，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
设，则，，
，
则，解得，
故.
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，由中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）由题意，证明⊥平面，求出，设，则，利用等体积法列方程，求的，即可得的值.
（1）连接，交于点，连接，
因为四边形为矩形，所以为的中点，
又是的中点，故，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为为等边三角形，是的中点，
所以⊥，又，故，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
设，则，，
，
所以，解得，
故.
16．【答案】（1）解：由频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，解得，
则样本平均值为：，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计93分；
（2）解：由图可知：分数段的人数为（人），分数段的人数为（人），
由分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在分数段内抽2人，分别记为，
需在分数段内抽3人，分别记为，
设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段内”为事件 A，
则样本空间共包含10个样本点而 A 的对立事件包含3个样本点，
则，
即抽取的这2名学生至少有1人在内的概率为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1列式求得，再根据频率分布直方图平均值的求法求解即可；
（2）利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽2人，分别记为，需在内抽3人，分别记为，写出样本空间和对立事件概率求得答案．
（1）由，
得.
数学成绩在：
频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
频率，
样本平均值为：
可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计93分．
（2）由题意可知，分数段的人数为（人），
分数段的人数为（人）.
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在分数段内抽2人，分别记为，
需在分数段内抽3人，分别记为.
设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段内”为事件 A，
则样本空间共包含10个样本点而 A 的对立事件包含3个样本点，
所以．
即抽取的这2名学生至少有1人在内的概率为
17．【答案】（1）解：记甲第二次答题通过初赛为事件，即第一次回答错误，第二次回答正确，
则；
（2）解：记乙通过初赛为事件，反面为乙没有通过初赛，即三次都回答错误，
则；
（3）解：由题意可知：甲、乙、丙每人通过初赛的概率均为，
记甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛为事件，
则.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）记甲第二次答题通过初赛为事件，即第一次回答错误，第二次回答正确，根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可；
（2）记乙通过初赛为事件，反面为乙没有通过初赛，即三次都回答错误，根据相互独立事件，结合对立事件的概率公式计算即可；
（3）由题意可知：甲、乙、丙每人通过初赛的概率均为，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算即可.
（1）记甲第二次答题通过初赛为事件，则；
（2）记乙通过初赛为事件，则；
（3）依题意甲、乙、丙每人通过初赛的概率均为，
记甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛为事件，
则.
18．【答案】（1）解：在中，，由正弦定理可得，
即，由余弦定理得，因为，所以；
（2）解：（i）已知的角平分线交于点D，则，
在中，，
即，
即，解得；
（ii）因为为的中线，
所以，
两边平方可得，
则，因为，为的角平分线，
在中，因为，得到①，
在中，因为，得到②，
又，由①②得到，
所以，
因为
，
所以，
即的余弦值为.
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理，结合余弦定理化简求角即可；
（2）（i）利用角平分线性质，结合，求解BD的长度即可；
（ii）易知为向量的夹角，利用中线向量运算得，结合角平分线定理利用向量线性运算得，再利用平面向量的夹角公式求解余弦值即可.
（1）在中，由及正弦定理，得，
即，
由余弦定理得，而，所以.
（2）（i）已知的角平分线交于点D，则，
又在中，，即，
即，解得.
（ii）因为为的中线，
所以，
又，则，
因为，为的角平分线，
在中，因为，得到①，
在中，因为，得到②，
又，由①②得到，
所以，
因为
，
所以，
即的余弦值为.
19．【答案】证明：（1）连结AE，因为，，，所以，
又因为且，所以四边形为菱形，连结交于点，如图所示：
易知，又因为在中，，所以，
，满足，则，
由题意知，且，则平面ABED，
又因为平面，所以平面平面ABED；
解：（2）以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，，
所以，即，令，解得，，
即，，
记直线与平面所成角为，则；
（3）假设存在，设，则，
，
平面，易得平面的一个法向量，
设平面PBE的一个法向量，
则，即，可取，
则，解得，
故．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连结AE，根据已知条件求得，推出四边形为菱形，连接交于点，利用线面垂直的判定定理可得平面ABED，再根据面面垂直的判定定理证明即可；
（2）以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（3）假设存在，设，求得点P的坐标，利用空间向量法结合向量的夹角公式列方程求解即可.
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