广东省湛江市雷州市四校2025年九年级下学期中考三模数学试卷(含答案)

2025年广东省湛江市雷州市九年级四校三模联考数学试题
一、单选题
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．1 B． C． D．2024
2．珠海长隆海洋王国的鲸鲨馆水体量约为立方米，将用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．2025年春晚的主题是“巳巳如意，生生不息”，如图为春晚主标识，巧妙组合的两个“巳”字象征中国传统的如意纹样，寓意双巳合璧，带来事事如意的吉祥．下列关于该标识的说法正确的是（ ）
A．是轴对称图形不是中心对称图形
B．是中心对称图形不是轴对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是(　　)
A． B．1 C． D．
7．下列说法错误的是（ ）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
8．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，是的内接三角形，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中（），，点，分别是，上的动点，连接，，点和关于对称，点和关于对称，且点，都在所在的直线上．已知，设，．下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．计算： ．
13．甲、乙、丙三名男同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最不稳定的是 ．
14．若，则 ．
15．如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上，交于点G，若G是的中点，下列四个结论中：①；②；③；④，正确的是 （填序号即可）
三、解答题
16．计算：
17．如图，在中，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线分别交于点，交于点．
(1)填空：直线是的___________；
(2)求证：．
18．黄梅戏是“中国五大戏曲剧种”之一，也是安徽省的主要地方戏曲剧种．为激发学生对黄梅戏的热爱，某校举行黄梅戏演唱比赛，将全部参赛选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组：A：，B：，C：，D：，E：，并绘制了如下频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空：频数分布直方图中，________，扇形统计图中，圆心角________；
(2)A，B，C，D，E这五组数据的平均数分别为77，82，87，92，97，计算全部参赛选手成绩的平均分；
(3)在E组的选手中有男生1名，女生3名，学校打算从这4名选手中随机选取2名参加市级比赛，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
19．鲜桃刚上市，某水果店率先用1000元购进了一批鲜桃，前两天以高于进价的价格卖出；第三天水果店又用1000元购进了一批鲜桃，由于进价降低了，这一批鲜桃多购进．
(1)求水果店购进第一批鲜桃的数量；
(2)注意到市场上鲜桃数量逐渐增多，水果店主决定将剩余和新进鲜桃在原销售价的基础上，全部降价元（为整数）销售．实际销售过程中，平均每天销售量相对于前两天平均每天增加了，仅仅销售两天，剩下量不超过．
①求的值；
②若店主将剩余鲜桃以20元的价格全部卖完，求前后一共获利多少元．
20．综合与实践
问题背景：
如图为一汽车停车棚及它的侧面示意图，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．
数据收集：
车棚与支柱的交点到地面的距离为，棚顶的最高点的竖直高度是，距离支柱的水平距离是，棚顶右端点距离支柱的水平距离是，车位的长为．已知棚顶的边缘与车位的边缘平齐．
问题解决：
以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求点到地面的距离．
(2)若一辆货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长为，高为的矩形，为了安全，矩形上侧顶点距离棚顶的铅垂高度应不小于．试判断该货车能否完全停到车棚内，并说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，P是反比例函数图像上的一点，以点P为圆心，长为半径作圆，与x轴交于点A，与y轴交于点B，连接．
(1)求证：P为线段的中点；
(2)若，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将直线向上平移若干个单位长度后与相切，求平移后的直线的表达式．
22．为四边形内一点，，，．
(1)如图1，，求证：．
(2)如图2，为的中点，且．
（i）求的值；
（ii）求证：．
23．在平面直角坐标系中，点O为坐标的原点，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标，点B的坐标．
(1)求、的值；
(2)如图1，点在线段上，过点作轴交抛物线于点、两点（点在点右侧），连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，连接、，，点M为第一象限内点左侧抛物线上一点，连接、，点是线段的中点，连接．，点为第一象限内一点，连接、，，过点作于H，，过点作交x轴于点，求直线的解析式．
参考答案
1．B
解：A、1是有理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、是有理数，不符合题意；
D、2024是有理数，不符合题意；
故选：B．
2．C
解：，
故选：C．
3．B
解：由图可知，春晚主标识是中心对称图形不是轴对称图形，
故选：B．
4．C
解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
5．A
解：去分母，得
移项，得
合并同类项，得，
化系数为1，得，
解集在数轴上表示为：
故选：A．
6．D
【详解】∵∠AED与∠ABC都对，
∴∠AED＝∠ABC，
在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝1，
根据勾股定理得：BC＝ ，
则．
故答案为D.
7．C
解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，所以A选项说法正确，故B选项不符合题意；
C．对角线相等的四边形是不一定是矩形，所以C选项说法不正确，故C选项符合题意；
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意．
故选：C．
8．A
解：∵，
∴图象经过第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∴，
故选：A．
9．A
解：，
，
，
,
，
故选：A．
10．C
解：由轴对称的性质可得，
∴分别平分，
∴点E到和到的距离相等，
设点E到的距离为h，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C．
11．
根据分式有意义的条件，分母不为0列出不等式求解．
【详解】在函数中，因为分式的分母不能为0，
所以，
解得，
即自变量的取值范围是．
故答案为：．
12．
解：原式，
故答案为：．
13．甲
解：∵甲、乙、丙三名同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，
∴甲的方差最大，
∴这三名同学跳远成绩最不稳定的是甲，
故答案为：甲．
14．11
解：，
，
，
故答案为：11．
15．①②③④
连接
∵矩形
∴
∵，
∴，故①正确；
∵G是的中点，
∴，故②正确；
∴，
∴
∵
∴
∴，故③正确；
作交于点H，则，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵G是的中点，
∴，
∴，
∴，
即
∵
∴
∴
∴，故④正确；
故答案为：①②③④.
16．
解：原式
．
17．(1)垂直平分线
(2)见解析
（1）解：由作图方法可得直线是的垂直平分线；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．(1)；
(2)分
(3)
（1）解：人，
∴参与比赛的人数为40人，
∴，；
（2）解：分；
答：全部参赛选手成绩的平均分为分；
（3）解；画树状图如下：
由树状图可知任选两人共有12种等可能结果，其中是一名男生和一名女生的情况共有6种，
∴恰好是一名男生和一名女生的概率为
19．(1)第一批鲜桃的数量为；
(2)①；②前后一共获利元．
（1）解：设第一批鲜桃的进价为元，由第二批鲜桃的进价为元，
∴第一批鲜桃的数量为，第二批鲜桃的数量为，
根据题意得，解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴第一批鲜桃的数量为；
（2）解：①前两天每天销售，剩余，
∵第二批鲜桃的数量为，
∴总剩余数量为，
降价后，每天销售，两天共销售，
根据题意得，解得；
∵为整数，且保证销售量不超过总剩余量，
∴取；
②总成本为元，
总收入为
，
∴前后一共获利：元．
20．(1)点到地面的距离为
(2)该货车能完全停到车棚内，见解析
（1）解：棚顶的最高点的竖直高度是，距离支柱的水平距离是，
点的坐标为．
可设横截面所在抛物线的表达式为．
车棚与支柱的交点到地面的距离为，
点的坐标为．
把，得．
解得．
横截面所在抛物线的表达式为．
棚顶右端点距离支柱的水平距离是，
点的横坐标为6，
把，
得．
点到地面的距离为．
（2）解：该货车能完全停到车棚内．
理由：．
把，
得．
∴．
，
该货车能完全停到车棚内．
21．(1)见解析
(2)点的坐标为
(3)
（1）解：点A，O，B在上，且，
为的直径，
又；
为线段的中点．
（2）过点作，
设点的坐标为，则，．
∵，
∴
，
，
解得：（舍去）或，
点的坐标为．
（3）如图，过点作的垂线交于点（点在上方），过点作的平行线交轴于点，则，即为的切线．
由（2）可得：，，
，，，
∴，
设直线的表达式为，
将，代入，得，
解得
直线的表达式为，
如图，过点作于点，则，．
，
，
，
，
，
．
直线是由直线向上平移个单位长度得到的．
直线的函数表达式为．
22．(1)证明见解析
(2)（i），（ii）证明见解析
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（2）（i）解：∵，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，，
∴．
（ii）证明：延长至点，使，
∵为的中点，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，，，
∴，即，
∴．
23．(1)
(2)
(3)
（1）解：∵点A的坐标，点B的坐标
∴；
（2）解：∵点的横坐标为，，，
∴，，，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点作于，过点作轴于，轴于，轴于，连接，
∵，点D为抛物线的顶点，
∴，，
设，
∵，
∴，
解得：，即，
∴，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
解得：，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得：，，
当时，，则，
∴不符合题意，舍去，
∴时，，，符合题意，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
设，直线的解析式为，
∴，
解得：，
∵，
∴当时，，
解得：，
∴，，
∵点是线段ME的中点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∵，
∴，即，
解得：，
∴，
∵，
∴设直线解析式为，
∴，
解得：，
∴直线解析式为．