陕西省咸阳市西北工业大学咸阳启迪中学2024-2025学年八年级下学期第三次月考数学试卷（含答案）

陕西省咸阳市启迪中学2024-2025学年下学期第三次月考八年级数学试题
一、单选题
1．“数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中：，，，，分式的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B．，
C．， D．，
5．分式的值为0，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，边，的垂直平分线交于点．若，则是（ ）
A． B． C． D．
7．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式，例如图①可以得到用完全平方公式进行因式分解的等式a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，如图②是由4个长方形拼成的一个大的长方形，用不同的方式表示此长方形的面积，由此不能得到的因式分解的等式是（ ）
A．a（m＋n）＋b（m＋n）＝（a＋b）（m＋n）
B．m（a＋b）＋n（a＋b）＝（a＋b）（m＋n）
C．am＋bm＋an＋bn＝（a＋b）（m＋n）
D．ab＋mn＋am＋bn＝（a＋b）（m＋n）
8．掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时．则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的平分线，若AD=5，DE=6，则平行四边形的面积为（ ）
A．96 B．48 C．60 D．30
10．若关于x的方程=3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＜且m≠
C．m＞﹣ D．m＞﹣且m≠﹣
二、填空题
11．因式分解： ．
12．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
13．已知，则 ．
14．若关于的方程有增根，则的值是 ．
15．如图，在中，，，将绕O点逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标是 ．
16．如图，在中，为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，，，则的最小值为 ．
三、解答题
17．解不等式组，并求出正整数解．
18．解分式方程．
(1)
(2)
19．如图，中，，请用尺规作图法在边上求作一点Q，使得点Q到边的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法）
20．（1）化简：
（2）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
21．如图，已知在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E、F是对角线BD上两点，且BE=DF．
求证：．
22．在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
(1)求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
(2)若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
23．问题提出：
（1）如图1，中，，，，点D在上，若平分的面积，请你画出线段，并计算线段的长度，
问题探究：
（2）如图2，在中，，，点M在上，点N在上，若平分平行四边形的面积，且线段的长度最短，请你画出符合要求的线段，并求出此时的长度．
问题解决：
（3）如图3，在平面直角坐标系中，有一个六边形，F点坐标，E点坐标，D点坐标，C点坐标，B点坐标，A点坐标．若六边形是一片菜地，要在菜地内建一条笔直的水渠，用来灌溉两边面积相等的菜地，求水渠所在直线的表达式，并求出水渠的长度．
参考答案
1．D
解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
2．D
解：和是分式，共2个，
故选：D．
3．C
【详解】A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误；
B． ，故原选项错误；
C．分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变，故原选项正确；
D．，故原选项错误；
故选C
4．C
解：A、若，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、若，，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、若，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项符合题意；
D、若，，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C
5．A
解：∵分式的值为0，
∴，
解得．
故选A．
6．A
解：连接，
，
，
，
，的垂直平分线交于点，
，，
，，
，
故选：A．
7．D
解：如图②，S长方形ABCD＝（a+b）（m+n），
A．S长方形ABCD＝S长方形ABFH+S长方形HFCD＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n），不符合题意；
B．S长方形ABCD＝S长方形AEGD+S长方形BCGE＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n），不符合题意；
C．S长方形ABCD＝S长方形AEQH+S长方形HQGD+S长方形EBFQ+S长方形QFCG＝am+bm+an+bn＝（a+b）（m+n），不符合题意；
D．不能得到ab+mn+am+bn＝（a+b）（m+n），故D符合题意；
故选：D．
8．B
解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，
依题意得，
故选：B．
9．B
【详解】试题解析：过点D作DF⊥AB于点F，
∵DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的平分线，
∴∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠BCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD=BC=5，
∠CDE=∠DEA，∠DCE=∠CEB，
∴∠ADE=∠AED，∠CBE=∠BEC，
∴DA=AE=5，BC=BE=5，
∴AB=10，
则DF2=DE2-EF2=AD2-AF2，
故62-FE2=52-（5-EF）2，
解得：EF=3.6，
则DE==4.8，
故平行四边形ABCD的面积是：4.8×10=48．
故选B．
10．B
解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，
整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=，
已知关于x的方程=3的解为正数，
所以﹣2m+9＞0，解得m＜，
当x=3时，x==3，解得：m=，
所以m的取值范围是：m＜且m≠．
故选：B．
11．
【详解】
．
故答案为：．
12．
解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
13．3
解：∵，
∴，
故答案为：．
14．
解：方程两边都乘x-2，得
∵方程有增根，
∴最简公分母x-2=0，即增根是x=2，
把x=2代入整式方程，得．
故答案为：．
15．
解：作轴于E，轴，
，
，
，，
在中，，
，
由旋转的性质可知，，，，
，
，
，
，，
，
点的坐标是．
故答案为：．
16．
解：如图，过点D作，且，分别连接；
则，
∴；
在中，，，
；
，
,
；
，
，
，
，
当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长；
在中，由勾股定理得：，
即的最小值为．
故答案为：．
17．不等式组的解集是，正整数解是，，，
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集是，
∴不等式组的正整数解是1，2，3，4．
18．(1)原方程无解
(2)
（1）解：，
，
，
，
解得：，
经检验：是增根，
∴原方程无解；
（2）解：
，
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为：．
19．见解析
解∶如图，点Q即为所求，
20．（1）；（2），当时，原式=2
（1）解：
；
（2）解：原式
，
∵，
当时
原式．
21．见解析
【详解】证明：∵AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴ABCD．
∴∠ABE=∠CDF．
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴AE=CF．
22．(1)购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元
(2)购买吊兰的数量最多为17盆
（1）解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，由题意得：
，
解得：，
经检验：当时，则，
∴是原方程的解，
∴，
答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元；
（2）解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m是整数，
∴m取最大值为17；
答：购买吊兰的数量最多为17盆．
23．（1）见解析，；（2）见解析，；（3）水渠的长度为
（1）如图所示，
∵平分的面积；
∴是的中线
∴
∵
∵
∴；
（2）如图所示，连接，交于点O，过点O作，此时最短
∵中，，
∴是菱形
∴，
∴
∵
∴
∴
同理可得，，
∴，
∴平分平行四边形的面积；
当时，过点A作于E
在中，
∴
∵，，
∴四边形是矩形
∴；
（3）如图所示，连接，交于点S，延长交x轴于点P，连接，交于点T，连接交于点H，交于点O，
∵F点坐标，E点坐标，D点坐标，C点坐标，B点坐标，A点坐标
∴
∴四边形是菱形
∵
∴四边形是正方形
∴
同理可得，四边形是正方形
由（2）可得，直线将六边形的面积平分；
∴S是的中点，T是的中点
∴，
设直线的表达式为
将，代入得，
解得
∴直线的表达式为
∴当时，
∴
∴当时，
∴
∴．
∴水渠的长度为．