陕西省西北工业大学咸阳启迪中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷(含答案)

陕西省咸阳市启迪中学2024-2025学年下学期第一次月考八年级数学试题
一、单选题
1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
2．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（ ）
A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点
C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点
3．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ）
A． B． C．与相交 D．与相交
4．若，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知一个等腰三角形两边长分别为，，则它的周长为（ ）
A． B． C．或 D．9 或
6．的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
8．如图，在中，，分别是线段，的垂直平分线.若．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点P在的平分线上，于点C，，点D在边上，且，则的长度为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在中，，，点从点开始以的速度向点移动，当为等腰三角形时，那么满足条件的点的位置有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 ．
12．如图，点在上，．请添加一个条件 ，使．
13．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ．
14．不等式的正整数解的和为 ．
15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ．
16．在中，，点是的中点，则的长 ．
三、解答题
17．解下列不等式并把解集表示在数轴上：
(1)
(2)
18．尺规作图：在中，．在上找一点，使得（保留作图痕迹）．
19．如图，已知，与交于O，．求证：△OAB是等腰三角形．

20．为提升学生的身体素质，培养体育运动能力，某中学计划利用每日的“阳光大课间”开展跳绳活动，并准备采购一批跳绳供学生使用．已知A款可计数跳绳每根28元，B款普通跳绳每根15元，学校准备采购这两款跳绳共100根，且购买的总费用不超过2000元，最多可以购买A款可计数跳绳多少根？
21．如图，在中，垂直平分，点在的延长线上，点为的中点，且满足．
(1)求证：垂直平分线段．
(2)若，，求长．
22．已知：如图一次函数与的图象相交于点．
(1)求点的坐标；
(2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积．
(3)结合图象，直接写出时，的取值范围．
23．问题提出
（1）如图1，在中，，，的平分线交于点D．过点分别作，．垂足分别为，，则线段和的数量关系是___________．
问题探究
（2）如图2，，平分，点在上且，点，F分别在上移动且始终保持，
①试判断的形状并说明理由？
②直接写出的最小面积是___________
问题解决
（3）如图3，某市根据地形设计的某公园“市民活动广场”的示意图．在形如等腰的规划用地上，米．市政建设要求：点是的中点，是边边上的点，且，若区域内改造为音乐喷泉区域，其他区域开发为“市民活动广场”，请直接写出市民活动区域的最大面积是多少平方米？
参考答案
1．D
解：①，是不等式；
②，是不等式；
③，不是不等式；
④，不是不等式；
⑤，是不等式；
⑥，是不等式．
故选：D
2．B
【详解】要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在△ABC内角平分线的交点，
故选B．
3．D
解：反证法证明命题“在同一平面内，若，，则”时，
首先应假设与不平行，即与相交．
故选：D．
4．B
由，
根据不等式的基本性质1，两边都减去2，得，所以A不正确；
由，
根据不等式的基本性质3，两边都乘以，得，
再根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得，所以B正确；
由，
根据不等式的基本性质2，两边都乘以，得，所以C不正确；
由，
根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得，所以D不正确．
故选：B．
5．B
解：是腰长时，三边分别为、、时，不能组成三角形；
是底边时，三边分别为、、，能组成三角形，周长，
故选B．
6．A
解：A、，
，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，，
，，，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，，
，
，即是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
7．D
解：解不等式得，
又由数轴知，不等式的解集为，
∴，解得，
故选：D．
8．B
解：∵，
∴，
∵，分别是线段，的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
9．B
解：如图，作于，
∵点P在的平分线上，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长度为2，
故选：B．
10．C
解：当点P与点C重合时，，满足为等腰三角形；
过点A作于点D，

∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当时，满足为等腰三角形；
当时，满足为等腰三角形；

此时，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的点的位置有3个．
故选：C
11．“面积相等的两个三角形是全等三角形”
解：命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，
故答案为：“面积相等的两个三角形是全等三角形”．
12．（答案不唯一）
解：∵，
再添加，
根据“角角边”就能证明．
故答案为：（答案不唯一）．
13．m=2
解：根据题意|m-3|=1，m-4≠0，
所以m-3=±1，m≠4，
解得m=2．
故答案为：m=2．
14．6
解：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
则不等式的正整数解为1、2、3，
故不等式的正整数解的和为，
故答案为：6．
15．或/度或度
解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵,,
∴，
即顶角的度数为；
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵，，
∴，
，
即顶角的度数为；
综上，顶角的度数为或．
故答案为：或．
16．
解：过点A作于点E，过点D作于点F，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．(1)
(2)
（1）解：，
去括号，得
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
数轴表示如下：
．
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得
移项，得
合并同类项，得，
数轴表示为：
．
18．见解析
解：∵
∴，
如图，作平分线交于点E，点E即为所求，
根据作图可知，，
故，
则点E即为所求．
19．见解析
解：证明：∵，
∴在和中，
，
，
，
，
即是等腰三角形．
20．最多可以购买A款可计数跳绳38根
解：设购买A款可计数跳绳x根，
根据题意，得，
解得，
∴最大整数x为38，
答：最多可以购买A款可计数跳绳38根．
21．(1)见解析
(2)
（1）解：证明：∵垂直平分，
∴，，
又∵，
∴．
又∵，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上．
（2）由（1）得，即，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
即，
解得：．
22．(1)
(2)9
(3)
（1）解：根据题意，得，
解得，
故．
（2）解：根据一次函数与的图象与轴分别相交于点、，
当时，,,
∴，，
故，
根据题意，得到．
（3）解：根据题意，得当时，．
23．（1）．（2）①是等边三角形②（3）
（1）解：根据平分，且，．
故．
故答案为：．
（2）①解：是等边三角形，理由如下
∵，平分，
∴，
过点D作，垂足分别为N，M，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
②解：过点E作于点Q，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴的面积为，
故当取得最小值时，三角形的面积最小，
根据垂线段最短原理，当点E与点N重合时，取得最小值，
∴面积最小为，
∵，
∴，
∴面积最小为，
故答案为：．
（3）解：连接，
∵米，点是的中点，
∴米，，
过点D作，垂足分别为H，Q，
∴，四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∴，
∴（米），
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
∴的面积为，
故当取得最小值时，三角形的面积最小，
根据垂线段最短原理，当点E与点H重合时，取得最小值，
∴面积最小为，
故市民活动区域的最大面积是．