陕西省西安高新第三中学2024-2025学年八年级下学期开学考试数学试卷(含答案)

陕西省西安市西安高新第三中学2024-2025学年八年级下学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．的立方根是（ ）
A．8 B．2 C． D．4
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于x轴的对称点的坐标为（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）
3．如图，已知直线，则、、之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．若点M（a+3，2a﹣4）到x轴距离是到y轴距离的2倍，则点M的坐标为（　　）
A．（，） B．（，﹣）
C．（，﹣5） D．（，5）
5．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC于点E，若ED=3，则AC的长为（ ）．
A． B．3 C．6 D．9
6．如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
7．方程组的解x、y互为相反数，则k的值为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
8．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点在轴上，以为边作正方形，点的坐标在一次函数上，一次函数与轴交于点，与轴交于点，将正方形沿轴向右平移个单位长度后，点刚好落在直线上，则a的值为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．把命题“锐角小于90°”改写成“如果……那么……”的形式： ．
10．小明用s2＝[（x1﹣2）2＋（x2﹣2）2＋…＋（x10﹣2）2]计算一组数据的方差，那么x1＋x2＋x3＋…＋x10＝ ．
11．如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ．
12．若一次函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是 ．
13．如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP 的长为 ．
三、解答题
14．计算：．
15．解方程组：
16．解不等式：，并把解集表示在数轴上．
17．如图，已知，，点P在边上，请用直尺和圆规在边上求作一点E，使要求：保留作图痕迹，不写作法
18．如图，在中，平分于点E，点F在上，．求证：．
19．每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．红星中学在“世界读书日”开展“弘扬传统文化，阅读经典名著”主题活动，计划购置一批书籍．已知每本《诗经》25元，每本《论语》18元，该学校决定购买《诗经》和《论语》共100本，总费用不超过2000元，那么该学校最多可以购买《诗经》多少本？
20．某学校七年级、八年级各有500名学生，为了解两个年级的学生对垃圾分类知识的掌握情况，学校从七年级、八年级各随机抽取20名学生进行垃圾分类知识测试，满分100分，成绩整理分析过程如下，请补充完整
收集数据：七年级20名学生测试成绩统计如下：
67，58，64，56，69，70，95，84，74，77，78，78，71，86，91，86，86，92，86，70
整理数据：七年级20名学生测试成绩频数分布直方图每组数据包括左端值不包括右端值，如最左边第一组的成绩范围为：
八年级20名学生测试成绩频数分布表：
成绩
人数 0 4 5 7 4
分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数方差如表所示：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 a b
八年级 81 74
(1)补全七年级20名学生测试成绩频数分布直方图．
(2)请直接写出a，b的值．
(3)请根据抽样调查数据，估计全校七年级垃圾分类知识测试成绩在80分及以上的大约有多少人．
21．小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速骑行，小李骑摩托车比小张晚出发一段时间，以800米/分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程(米)与小张出发后的时间 (分)之间的函数图象如图所示.
(1)求小张骑自行车的速度；
(2)求小张停留后再出发时与之间的函数表达式:.
(3)求小张与小李相遇时的值.
22．如图，在和中，，点在上，垂直平分，分别交，于点，．
(1)连接，求证：；
(2)若，，求的长．
23．如图，直线分别与轴、轴交于点、，与直线交于点，且在第三象限．
(1)若的面积为，求的值；
(2)在（1）的条件下，在直线上是否存在点，使的面积等于6？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
●特例感知
①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若，试求线段CD的长度．
●深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
●推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若，试求线段DE的长度．
参考答案
1．B
解：，
的立方根是2，
的立方根是2，
故选：B．
2．D
【详解】根据两个点关于x轴的对称点的坐标特征.横坐标不变，纵坐标互为相反数.故选D.
3．D
解：过向左作射线，
则，
∴，
，
，
，
．
故选：D．
4．C
解：由点M（a+3，2a﹣4）到x轴距离是到y轴的距离2倍，
∴|2a﹣4|＝2|a+3|，
∴2a﹣4＝2（a+3）或2a﹣4＝﹣2（a+3），
方程2a﹣4＝2（a+3）无解；
解方程2a﹣4＝﹣2（a+3），得a＝﹣ ，
，
∴点M的坐标为．
故选：C．
5．D
解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC=DB，DE⊥BC，则∠CED=90°，
在中，∠C=30°，，
∴BD=DC=2DE=6，
∴∠DBC=∠C=30°，
在中，∠A=90°，∠C=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=60° 30°=30°，
∴，
∴AC=DC+AD=9，
故选：D．
6．D
解：把上面展开到左侧面上，连接，如图1，
；
把上面展开到正面上，连接，如图2，
；
把侧面展开到正面上，连接，如图3，
．
∵．
所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为．
故选：D．
7．D
【详解】由与互为相反数，得到，即，
代入方程组得：，
解得：，．
故选：D．
8．D
将代入中
直线得函数解析式为
过作轴于，过作轴于

如图所示：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
点A的坐标为，点B的坐标为，
同理可证
，，
，
平移后
将代入中
故选：D
9．如果一个角是锐角，那么这个角小于90°
【详解】题设是“一个角是锐角”，结论是“这个角小于90°”，
写成“如果…那么…”的形式是：如果一个角是锐角，那么这个角小于90°．
故答案为：如果一个角是锐角，那么这个角小于90°．
10．20
解：由方差计算公式s2＝[（x1﹣2）2＋（x2﹣2）2＋…＋（x10﹣2）2]可知，这组数据的平均数是2，一共有10个数据，
x1＋x2＋x3＋…＋x10＝2×10=20．
故答案为：20．
11．
解：将点P坐标代入得，，
解得：，
所以点P的坐标为，
由函数图象可知，
当时，一次函数的图象在一次函数图象的上方，即，
所以关于x的不等式的解集为：．
故答案为：．
12．/
解：由题意知，一次函数的图象不经过第二象限，
故，
解之得：．
故答案为：．
13．或或1
【详解】当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴OP=2OB=2，
∴BP=，
在直角三角形ABP中，
AP=；
当∠APB=90°时，分两种情况，
情况一，（如图1），
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∴BP=OB=1，
∵AB=BC=2，
∴AP=；
情况二，如图3，
∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=AO=1，
故答案为：或或1．
．
14．
解：
．
15．
【详解】由①得，
将代入②，得，解得，
将代入，得，
原方程组的解为．
16．；见解析
解：，
去分母得：，
移项得：，
系数化为1得：，
在数轴上表示为：
17．见解析
解：如图，点E即为所求．
18．见解析
【详解】证明：∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19．28本
解：设该学校购买《诗经》x本，
由题意得，25x＋18(100－x)≤2000，
解得，x≤．
∵x为正整数，且＝，
∴x最大为28，
∴该学校最多可以购买《诗经》28本．
20．(1)见解析
(2)，
(3)全校七年级垃圾分类知识测试成绩在80分及以上的大约有200人
（1）解：(人)，
补全频数分布直方图如下：
（2）解：七年级20名学生的测试成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是，即，
七年级20名学生的测试成绩出现次数最多的是86分，共出现4次，因此众数是86，即，
答：，；
（3）解：(人)，
答：全校七年级垃圾分类知识测试成绩在80分及以上的大约有200人．
21．(1) 小张骑自行车的速度是300米/分；(2) ；(3) 小张与小李相遇时的值是分
解: (1) 由题意得:(米/分)，
答:小张骑自行车的速度是300米/分；
(2)由小张的速度可知:，
设直线的解析式为:，
把和代入得:，
解得：，
∴小张停留后再出发时与之间的函数表达式：；
(3)小李骑摩托车所用的时间:，
∵， ，
同理得: 的解析式为:，
则，
，
答：小张与小李相遇时的值是分.
22．(1)证明见解析；
(2)的长为．
（1）解：如图，根据题意画出图形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图所示，
设，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
在中，，，，
由勾股定理得：，
∴
解得：，
∴，
即的长为．
23．(1)
(2)存在满足条件的点Q，其坐标为或
（1）解：把代入得：，
解得：，
∴，
∴，
∵的面积为，在第三象限，
∴，
解得：，
把代入得：
，
解得：，
∴，
把代入得：，
解得：；
（2）解：设点Q的坐标是，
在中，令可得，
∴，
∴，，
∴Q点有两个位置：Q在线段上和延长线上，
当Q点在线段上时，则，
解得：，
∴，
∴Q点的坐标为；
当Q点在线段延长线上时，
则，
解得，
∴，
∴Q点的坐标为；
综上所述，存在满足条件的点Q，其坐标为或．
解：●特例感知①等腰直角三角形是勾股高三角形，
故答案为：是；
②设
根据勾股定理可得：，
于是，
∴；
●深入探究：由可得：，而，
∴，即；
●推广应用
过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且，
∴只能是，由上问可知．
又ED∥BC，∴．
而，
∴△AGD≌△CDB（AAS），
∴．
∵△ADE与△ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知．
又
∴，
∴．