陕西省西安市高新第三中学2025届九年级下学期中考一模数学试卷（含答案）

2025年陕西省西安高新第三中学中考数学一模试卷
一、单选题
1．的倒数是（ ）
A． B． C． D．2025
2．如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，已知，点在线段上（不与点、点重合），，．则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为万辆，2024年7月新能源汽车销量约为万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的弦，是的切线，经过圆心．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
8．若二次函数y＝ax2+2ax+3a的图象过不同的三个点A(n，y1)，B(1﹣n，y2)，C(﹣1，y3)，且y1＞y2＞y3，则n的取值范围是（　　）
A．n＜ B．n＜ C．n＞且n≠2 D．n＞
二、填空题
9．因式分解： ．
10．如图，在正方形中，以为边在正方形内作等边，则 ．
11．如图，已知的面积为6，．现将沿直线向右平移a个单位到的位置．当所扫过的面积为18时，那么a的值为 ．
12．如图，已知点A、B分别在反比例函数，的图象上，且，则 ．
13．如图，点D在等腰直角三角形内，，，，E、F分别在和上满足，则的最小值为 ．
三、解答题
14．计算：．
15．解不等式组：
16．先化简，再求值：，其中．
17．请用尺规作图的方法，作出线段的一个三等分点D．
18．已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF．

19．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？请你解答．
20．从2021年起，江苏省高考采用“”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是________；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2中选化学、生物的概率．
21．小新的数学研学日记
课题：测量旗杆的高度
地点：操场
时间：2025月1月13日
昨天，晴．高老师要带我们去操场测量旗杆的高度，我们小组设计方案：小卓拿着标杆垂直于地面放置，如图1所示，标杆，影长，旗杆的影长，则可求得旗杆的高度为 _____ ．
今天，阴．设计方案：如图2所示，高老师将升旗用绳子拉直，用仪器测得绳子与地面的夹角为，然后又将绳子拉到一个0.3米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台时剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为，利用这些数据能求出旗杆的高度吗？
请你回答小新的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由．
（参考数据：，，，，，）
22．某店计划采购甲、乙两种不同型号的台灯共30台，两种型号的台灯每台进价和销售价格如表所示：
设采购甲型台灯x台，全部售出后获利y元．
型号 甲 乙
每台进价/元 160 250
每台售价/元 200 300
(1)求y与x的函数表达式：
(2)若要求采购甲型台灯数量不小于乙型的2倍，如何采购才能使得获利最大？最大利润为多少？
23．为了了解同学们的安全意识，我区某中学开展了“安全知识竞赛”，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示，）进行整理、描述和分析，并将其共分成四组：（A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，87，88，92，95，97，97，99．
八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：91，93，94．
七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 91 91
中位数 90 b
众数 c 100
根据以上信息，解答下列问题：
(1)______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级安全意识更强？请说明理由；
(3)该校七年级有1200名学生、八年级有1000名学生参加了此次“安全知识竞赛”，请估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数一共是多少？
24．如图，四边形内接于，点O在上，，过C作的垂线，分别交，的延长线于点E，F．
(1)求证：为的切线．
(2)若点G为上一点且位于下方，且，，求的长．
25．巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式．
(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离 0 4 h 5 5.5
竖直高度 10 10 11.25 10 6.25
根据上述数据，求出y与x的函数关系式；
(2)在比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），从她起跳后达最高点B开始计时，设点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离与时间之间近似满足，且她在达到最高点后需要1.5秒的时间才能完成动作．若此次跳水她的竖直高度与水平距离满足．求她在达到最高点后能顺利完成动作的a的取值范围．
26．问题探究
（1）如图1，四边形中，与相交于点O，，，，求四边形的面积．
问题解决
（2）如图2，公园里有一片四边形的花园，其中，米，．这片花园有两条供游客休息的走廊、，其中E是的中点，在花园中铺设一条长为10米的小路，其中M、N分别在和上（P为小路的中点，Q在左上方区域），为增强观赏性，和需设计为两条长度相等的小路．试问这块四边形的花卉区的面积是否存在最大值？若存在；若不存在，说明理由．（走廊、小路的宽度忽略不计）
参考答案
1．A
解：∵，
∴的倒数是．
故选：A．
2．C
解：由图可知，该“堑堵”的俯视图是 ，
故选：C．
3．A
解：A、，正确，符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
C、，原写法错误，不符合题意；
D、，原写法错误，不符合题意；
故选：A．
4．A
解：，，
，
，
．
故选：A ．
5．C
解：设新能源汽车销量的月平均增长率为，根据题意，得，
故选：C．
6．B
解：∵点，，
∴点与点关于轴对称，
∴图像有两点关于轴对称，故选项A，C不符合题意；
∵，
∴当时，随的增大而增大，
故选项B符合题意，选项D不符合题意．
故选：B．
7．C
解：连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8．C
解：二次函数y=ax2+2ax+3a的对称轴为直线x=-=-1，
∵点A（n，y1），B（1-n，y2），C（-1，y3）在二次函数y=ax2+2ax+3a的图象上，且y1＞y2＞y3，
∴a＞0，1-n≠-1，
∴二次函数图象在x＜-1上单调递减，在x≥-1上单调递增．
∵点A（n，y1），B（1-n，y2）都在二次函数y=ax2+2ax+3a（a＞0）的图象上，且y1＞y2，
∴|-1-n|＞|-1-1+n|，
解得：n＞且n≠2．
故选：C．
9．
解：．
故答案为：．
10．/75度
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．4
解：由题意得，所扫过的面积为梯形的面积，
设边上的高为h，
∵的面积为6，，
∴，
解得．
根据题意，得，
解得，
故答案为：4．
12．/0.5
解：过作轴，过作轴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点分别在反比例函数，的图象上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
解：如图，过点C作，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，由勾股定理得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，而
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点D，F，H在同一条直线时，取得最小值，最小值为，
在中，，，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
14．
解：
．
15．原不等式组的解集
【详解】
由不等式①得
，
由不等式②得
，
∴原不等式组的解集，
16．x，4
解：
，
∴当时，原式．
17．见解析
解：如图，点D即为所作，
18．证明见解析．
【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥DC，再得出∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，即可推出△COF≌△AOE，从而得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥DC，
∴∠F=∠E，∠DCA=∠CAB，
∵AB=CD，FD=BE，
∴CF=AE，
在△COF和△AOE中，
∵∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，
∴△COF≌△AOE，
∴OE=OF．
19．共有39人，15辆车．
解：设共有x人，y辆车，
依题意得：，
解得：．
答：共有39人，15辆车．
20．（1）；（2）图表见解析，
【详解】（1）；
（2）列出树状图如图所示：
由图可知，共有12种可能结果，其中选化学、生物的有2种，
所以，（选化学、生物）．
答：小明同学选化学、生物的概率是．
21．，11.1米．
解：∵，
∴，
即
解得：
过点作于， 于，
则米，
∴米，
由题意可知：，
在中， ，
则，
∴，
∴，
在中， ，
则
∴，
∴，
则，解得：，
∴旗杆的高度约为米.
故答案为：．
22．(1)
(2)采购甲型台灯20台，乙型台灯10台时商店获得最大利润，最大利润是1300元
（1）解：由题意得：，
∴y与x的函数表达式为：；
（2）解：由题意得：，
解得：，
，
∵，且，
随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值，最大值，
,
∴采购甲型台灯20台，乙型台灯10台时商店获得最大利润，最大利润是1300元．
23．(1)40，93.5，97
(2)八年级安全意识更强，理由见解析
(3)1300人
（1）解：八年级D组的人数为：(人)，
∴，
∴，
∵八年级抽取的学生的比赛成绩中，排在第五、六名的成绩为93、94，
∴，
∵七年级抽取的学生的比赛成绩中，97出现的次数最多，
:∴，
故答案为：40，93.5，97；
（2）解：八年级安全意识更强，理由如下：
从平均数看，两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均大于七年级，所以八年级学生安全意识更强；
（3）解： (人)，
答：估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数一共是1300人．
24．(1)见解析
(2)
（1）解：连接，，
为的切线；
（2），都是所对的圆周角，
∴，设半径为，
，
连接，如图，
∴．
25．(1)
(2)
（1）解：由题意，根据表格数据，抛物线顶点为，抛物线过，，
抛物线的对称轴是直线．
抛物线为．
抛物线过，
．
．
抛物线为；
（2）解：，
即，
则，
当时，，
解得：．
26．（1）；（2）存在，平方米．
解：（1）如图1，作于E，作
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图2，连接，
∵，点P是的中点，
∴，
∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上运动，此时长最大，
当时，四边形面积最大，
连接，
∵点E是的中点，
∴米，
∵米，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴是菱形，
∴，，
∴，
∴，，
∴米，
∵，
∴是等边三角形，
∴米，
∴米，
∴米，
∴平方米．