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第3章 二次根式
3.3 二次根式的加法和减法（1）
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解同类二次根式的定义，能准确判断并合并同类二次根式。
2.掌握二次根式加减的运算步骤（化简→合并），能规范书写运算过程。
3.经历“类比整式→迁移根式”的探究，体会“数式通性”。
4.体验“把复杂式子化繁为简”的数学美感，增强运算自信。
学习重点：
同类二次根式的识别与合并。
学习难点：
1.化简与合并的顺序控制（先化简再合并）。
2.含括号、系数为分数或字母的综合运算。
学习过程
一、独立思考
化简：（1）； （2）； （3）； （4）.
观察：这四个二次根式的化简结果有什么共同特征？
二、新知探究
探究一：同类二次根式的概念
教材第75页
【定义】同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
关键条件：1.必须为最简二次根式（即被开方数无平方因数、分母不含根号）；
2.指数至少需要两个二次根式才能构成同类关系；
3.同类二次根式只与被开方数有关，与根号外的因式无关.
小试牛刀 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为（ ）
A．11 B．13 C．3 D．2
合并同类项：合并时系数相加减，字母和指数不变
合并同类二次根式：合并时系数相加减，____________不变
探究二：二次根式的加减
我们可以根据实数加法的交换律和结合律，以及实数乘法的结合律和对加法的分配律，对最简二次根式中被开方数相同的实数(即同类二次根式)进行运算.
【做一做】计算： (1)； (2)2.
【思考】(1)3等于多少？
(2) 3等于多少？
【归纳】你能归纳出二次根式的加减的一般运算步骤吗？
三、例题精讲
例1计算： .
【做一做】先计算，再将你的结果与同学比较.
例2下是一土楼的水平切面图，它由两个同心圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02和150.72，求圆环的宽度d(π取3. 14).
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2.估算－（ ）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在5和6之间 D．在8和9之间
3.下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
选做题
4.当，时，则的值为 .
5.已知，则 ．
6.如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则的长为 ．
【综合拓展类作业】
7.计算：（1） ； （2） ．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么？
六、作业布置
1.下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.若，，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3.若使算式3○的运算结果最小，则○表示的运算符号是（ ）
A．+ B． C．× D．÷
4.若为有理数，且=，求的值。
答案解析
课堂练习：
1.【答案】C
【解析】原式= ．
故答案为：C．
2.【答案】A
【解析】解：
又
故答案为：A
3.【答案】B
【解析】解：A、=2，能与合并，故此选项不符合题意；
B、，不能与合并，故此选项符合题意；
C、=3，能与合并，故此选项不符合题意；
D、=4，能与合并，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
4.【答案】
【解析】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： .
5.【答案】．
【解析】解：
∵，
∴a=3，b=2
∴ab=6
故答案为：6.
6.【答案】．
【解析】解：∵两张正方形纸片面积分别为和，
∴它们的边长分别是：，，
∴．
故答案为：．
7.【答案】（1）解：.
（2）解：.
作业布置：
1.【答案】D
【解析】解： A、 与 不是同类二次根式，不能合并，故A选项不符合题意；
B、4与 不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，不能合并，故C选项不符合题意；
D、 ，故D选项符合题意；
故答案为：D．
2.【答案】C
【解析】解：
， ，
故答案为：C．
3.【答案】B
【解析】解：，
，
，
，
∵12＞＞＞，
∴的值最小.
故答案为：B.
4．【答案】解：=++=，
因为都为有理数，
所以，
所以=1.
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第3章 二次根式
3.3 二次根式的加法和减法（1）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解同类二次根式的定义，能准确判断并合并同类二次根式。
01
掌握二次根式加减的运算步骤（化简→合并），能规范书写运算过程。。
02
经历“类比整式→迁移根式”的探究，体会“数式通性”。
03
02
新知导入
解：（1） = = ×=2.
（2）= = ×=3.
（3）= = ×=4.
（4）= = ×=5.
化简：（1）； （2）； （3）； （4）.
观察：这四个二次根式的化简结果有什么共同特征？
共同特征：化成最简二次根式后，被开方数相同.
03
新知探究
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
关键条件：1.必须为最简二次根式（即被开方数无平方因数、分母不含根号）;
2.指数至少需要两个二次根式才能构成同类关系;
3.同类二次根式只与被开方数有关，与根号外的因式无关.
03
新知探究
试一试
若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为（ ）
A．11 B．13 C．3 D．2
D
合并同类项：合并时系数相加减，字母和指数不变
合并同类二次根式：合并时系数相加减，根式部分不变
03
新知探究
我们可以根据实数加法的交换律和结合律，以及实数乘法的结合律和对加法的分配律，对最简二次根式中被开方数相同的实数(即同类二次根式)进行运算.
计算： (1)； (2)2.
做一做
解： (1)
=
=
=
加法结合律
03
新知探究
计算： (1)； (2)2.
解： (2)2
=2
=
=
=
乘法对加法的分配律
加法交换律和结合律，
乘法对加法的分配律
做一做
03
新知探究
思考
(1)3等于多少？
(2) 3等于多少？
被开方数不同应该怎么计算？
解： (1)
=
=
=
= 2
先将每一个二次根式化简.
03
新知探究
思考
(1)3等于多少？
(2) 3等于多少？
解： (2)
=
=
= 2
最简二次根式的被开方数不同时，不能合并.
03
新知探究
二次根式的加减的一般运算步骤：
1.化：先将每一个二次根式化简.
2.找：找出被开方数相同的二次根式.
3.并：合并同类二次根式，即把系数相加减，根式部分不变.
03
新知探究
计算： .
例1
解：
=2
=
=
03
新知探究
做一做
先计算，再将你的结果与同学比较.
法一：解：原式
法二：解：原式
03
新知探究
例2
下是一土楼的水平切面图，它由两个同心圆构成 . 已知大圆
和小圆的面积分别为763.02和150.72，求圆环的宽度d(π取3. 14).
03
新知探究
解：设大圆和小圆的半径分别为R,r,面积分别为由, 可知，,则
= =
==9=5（m）.
答：圆环的宽度d为5m.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2.估算（ ）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在5和6之间 D．在8和9之间
3.下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
C
A
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.当，时，则的值为 .
5.已知，则 ．
6.如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则的长为 ．
6
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.计算：（1） ； （2） ．
（1）解：.
（2）解：
.
05
课堂小结
二次根式的加减的一般运算步骤：
1.化：先将每一个二次根式化简.
2.找：找出被开方数相同的二次根式.
3.并：合并同类二次根式，即把系数相加减，根式部分不变.
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
06
作业布置
2.若，，化简的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.若使算式3○的运算结果最小，则○表示的运算符号是（ ）
A．+ B． C．× D．÷
C
B
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.若为有理数，且=，求的值。
解：=++=，
因为都为有理数，
所以，
所以=1.
07
板书设计
同类二次根式：
二次根式的加减法的运算步骤：
注意事项：
3.3 二次根式的加法和减法（1）
习题讲解书写部分
Thanks!
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第3章
课标要求 1.了解二次根式、最简二次根式的概念. 2.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第2章《分式》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“数与式”。本章内容在学生学习了有理数的运算、平方根、立方根、实数以及整式运算等知识的基础上，进一步深化对数的认识，并引入代数式运算的新内容。教材通过实际问题引入二次根式的概念，使学生感受到数学与生活的紧密联系，再带领学生探究二次根式的性质与四则运算法则。本章内容不仅为后续学习一元二次方程、二次函数等知识奠定基础，还在培养学生逻辑推理能力、运算能力和数学建模能力方面具有重要作用。
学情分析 知识基础 学生已经掌握了有理数的四则运算、平方根与立方根的概念、实数的分类与运算、整式的加减乘除等基础知识，为学习二次根式提供了必要的认知基础。 能力水平 学生具备了一定的观察、分析、归纳和推理能力，能够通过具体问题抽象出数学模型，并运用所学知识解决实际问题。然而，对于二次根式的运算规则和性质，学生可能初次接触，需要逐步引导和强化训练。 学习特点 学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，对新鲜事物充满好奇，但注意力容易分散。因此，在教学过程中应注重情境创设，激发学生的学习兴趣，同时采用多样化的教学方法和手段，保持学生的注意力集中。 学习困难 学生在理解二次根式的双重非负性、掌握二次根式的运算规则以及进行复杂运算时可能会遇到困难。此外，将二次根式与实际问题相结合，建立数学模型并求解，也是学生需要克服的挑战。
单元目标 （一）教学目标 1.理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件。 2.掌握二次根式的性质，包括双重非负性、平方与算术平方根的关系等。 3.熟练进行二次根式的化简和四则运算（加、减、乘、除），包括分母有理化等技巧。 4.能够利用二次根式解决实际问题，建立数学模型并求解。 5.通过观察、分析、归纳和推理等数学活动，发展学生的逻辑思维能力和数学表达能力。 6.经历从特殊到一般、从具体到抽象的数学思考过程，培养学生的归纳概括能力和类比迁移能力。 7.在解决实际问题的过程中，体会数学的应用价值，提高数学建模能力。 8.激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生勇于探索、敢于质疑的科学精神。 9.引导学生感受数学的严谨性和逻辑性，培养认真细致、一丝不苟的学习态度。 （二）教学重点、难点 重点 1.二次根式的概念与最简二次根式的判定。 2.二次根式乘除、加减运算的算理与算法。 3.二次根式在几何情境中的表达与化简。 难点 1.最简二次根式化简的彻底性（尤其含字母参数时）。 2.乘除运算中的“目的性有理化”——为什么有理化、怎样选择有理化因式。 3.复杂混合运算中的符号处理与运算顺序。 4.从实际问题抽象出二次根式模型并解释结果的意义。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1二次根式的概念及性质23.2二次根式的乘法和除法23.3二次根式的加法和减法2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1 二次根式的概念及性质（1）1.了解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式。 2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.掌握二次根式的两条核心性质。1.能够判断一个式子是否为二次根式。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能利用二次根式的两条核心性质进行计算。任务一：情境导入，初步接触二次根式。 任务二：探究新知，理解二次根式的概念。 任务三：例题精讲，探究二次根式有意义的条件。 任务四：独立思考，探究二次根式的性质。 任务五：巩固练习，课堂小结。3.1 二次根式的概念及性质（2）1.理解积的算术平方根的性质，掌握其适用条件。 2.理解最简二次根式的定义，能将二次根式化为最简形式。 能运用性质化简二次根式或判断其正误。任务一：填空，进行猜想。 任务二：探究新知，利用二次根式的性质进行证明。 任务三：例题精讲，化简二次根式。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.2 二次根式的乘法和除法（1）1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结3.2 二次根式的乘法和除法（2）1.掌握商的算术平方根的性质：。 2.理解二次根式除法法则，能准确计算含系数及字母的除法。 3.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式或整式。1.能准确计算含系数及字母的除法。 2.能够将结果化为最简二次根式或整式。任务一：认真思考，探索商的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，探究二次根式除法法则. 任务三：例题精讲，进行通分。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 二次根式的加法和减法（1）1.理解同类二次根式的定义，能准确判断并合并同类二次根式。 2.掌握二次根式加减的运算步骤（化简→合并），能规范书写运算过程。 3.经历“类比整式→迁移根式”的探究，体会“数式通性”。会正确计算二次根式的加法和减法。 任务一：复习巩固，回顾整式的加减法。 任务二：探究新知，类比整式探究二次根式的加法和减法。 任务三：例题精讲，进行加减运算。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 二次根式的加法和减法（2）1.理解二次根式混合运算顺序，能正确运用乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）和分配律进行化简。 2.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式。能熟练进行二次根式的混合运算任务一：复习巩固，回顾整式的混合运算。 任务二：探究新知，类比整式探究二次根式的混合运算。 任务三：例题精讲，进行混合运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。第3章 小结与评价1.能够系统、全面地理解二次根式的概念，深入掌握二次根式有意义的条件。 2.熟练运用二次根式的性质，运用它们进行复杂的化简和计算，理解性质的本质和适用范围。 3.全面掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，能够灵活、准确地进行二次根式的四则混合运算，包括运算顺序的正确把握、符号的准确处理，并将运算结果熟练化为最简二次根式。1.能准确无误地确定各种形式下被开方数中字母的取值范围。 2.能够灵活、准确地进行二次根式的四则混合运算。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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分课时教学设计
第一课时《3.3 二次根式的加法和减法》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《二次根式的加法和减法》是湘教版八年级上册第3章《二次根式》的第三节第一课时的内容。本节内容是二次根式运算体系的延伸内容，承接乘法与除法运算，为后续学习混合运算及几何应用奠定基础。教材通过类比整式加减引入运算规则，强调“先化简为最简二次根式，再合并同类项”的步骤。例题设计兼顾基础与拓展，渗透转化思想（将二次根式加减转化为整式加减）。教材还通过实际问题强化数学应用，体现知识间的内在联系。
学习者分析 学生已掌握二次根式的性质、乘法及除法运算，但存在以下学习障碍： 概念混淆：易将“同类二次根式”与“同类项”混淆，忽略被开方数相同这一本质特征； 化简不彻底：在运算中常遗漏化简步骤； 符号处理错误：在去括号或合并同类项时易忽略符号； 综合应用薄弱：在几何问题中难以将文字语言转化为数学表达式。
教学目标 1.理解同类二次根式的定义，能准确判断并合并同类二次根式。 2.掌握二次根式加减的运算步骤（化简→合并），能规范书写运算过程。 3.经历“类比整式→迁移根式”的探究，体会“数式通性”。 4.体验“把复杂式子化繁为简”的数学美感，增强运算自信。
教学重点 同类二次根式的识别与合并。
教学难点 1.化简与合并的顺序控制（先化简再合并）。 2.含括号、系数为分数或字母的综合运算。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：问题导入教师活动1： 化简：（1）； （2）； （3）； （4）. 解：（1） = = ×=2. （2）= = ×=3. （3）= = ×=4. （4）= = ×=5. 观察：这四个二次根式的化简结果有什么共同特征？ 共同特征：化成最简二次根式后，被开方数相同.学生活动1： 认真思考，举手回答问题 认真听讲 认真观察，寻找共同特征活动意图说明：通过问题导入，唤起学生求知的欲望，调动学生思维的积极性，激发学生学习新知识的兴趣，有利于活跃课堂教学氛围。环节二：探究新知教师活动2： 探究一：同类二次根式的概念 【定义】同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 关键条件：1.必须为最简二次根式（即被开方数无平方因数、分母不含根号）； 2.指数至少需要两个二次根式才能构成同类关系； 3.同类二次根式只与被开方数有关，与根号外的因式无关. 小试牛刀 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为（ ） A．11 B．13 C．3 D．2 合并同类项：合并时系数相加减，字母和指数不变 合并同类二次根式：合并时系数相加减，根式部分不变 探究二：二次根式的加减 我们可以根据实数加法的交换律和结合律，以及实数乘法的结合律和对加法的分配律，对最简二次根式中被开方数相同的实数(即同类二次根式)进行运算. 【做一做】计算： (1)； (2)2. 解： (1)=== (2)2=2 = = = 【思考】(1)3等于多少？ (2) 3等于多少？ 教师提问：被开方数不同应该怎么计算？ 解： (1) = = = = 2 (2) = = = 2 注意: 最简二次根式的被开方数不同时，不能合并. 【归纳】你能归纳出二次根式的加减的一般运算步骤吗？ 二次根式的加减的一般运算步骤： 1.化：先将每一个二次根式化简. 2.找：找出被开方数相同的二次根式. 3.并：合并同类二次根式，即把系数相加减，根式部分不变.学生活动2： 认真听讲，了解同类二次根式 独立完成，举手回答问题 认真听讲 认真思考，运用已学知识完成习题 认真听讲 认真思考，运用已学知识完成习题 认真听讲 认真听讲 认真听讲，了解二次根式的加减的一般运算步骤活动意图说明：引导学生发现二次根式的加减与实数的加减的相似之处，将新知识与已有知识联系起来，形成知识网络。将抽象的数学知识与学生熟悉的事物联系起来，使数学学习变得更加生动有趣。环节三：例题精讲教师活动3： 例1计算： . 解： =2 = = 【做一做】先计算，再将你的结果与同学比较. 法一： 解：原式 法二：解：原式 例2下是一土楼的水平切面图，它由两个同心圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02和150.72，求圆环的宽度d(π取3. 14). 解：设大圆和小圆的半径分别为R,r,面积分别为由, 可知，,则 = ===9=5（m）. 答：圆环的宽度d为5m.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 二次根式的加减的一般运算步骤： 1.化：先将每一个二次根式化简. 2.找：找出被开方数相同的二次根式. 3.并：合并同类二次根式，即把系数相加减，根式部分不变.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.计算 的结果是（ ） A． B． C． D． 2.估算－（ ） A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在5和6之间 D．在8和9之间 3.下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A． B． C． D． 选做题： 4.当，时，则的值为 . 5.已知，则 ． 6.如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则的长为 ． 【综合拓展类作业】 7.计算：（1） ； （2） ．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2.若，，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 3.若使算式3○的运算结果最小，则○表示的运算符号是（ ） A．+ B． C．× D．÷ 【综合拓展类作业】 4.若为有理数，且=，求的值。
教学反思 本节课通过类比整式加减引入新知，学生能快速理解同类二次根式的概念，但在运算中仍暴露以下问题： 化简意识薄弱：约60%的学生在计算时未先化简，导致合并错误； 符号错误频发：在去括号或合并同类项时，约30%的学生出现符号错误； 综合应用能力不足：在解决几何问题时，部分学生无法正确建立数学模型。 改进措施： 增加“化简专项训练”，强化最简二次根式的书写习惯； 通过“符号纠错大赛”等游戏活动，提升符号处理能力； 设计分层练习（基础题：化简合并；提高题：几何应用），满足差异化需求。
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