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第3章 二次根式
3.3 二次根式的加法和减法（2）
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解二次根式混合运算顺序，能正确运用乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）和分配律进行化简。
2.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式。
3.通过类比整式运算，培养归纳推理能力。
学习重点：
二次根式混合运算顺序及运算法则。
学习难点：
1.灵活运用乘法公式简化计算；
2.处理含字母变量的运算；
3.避免符号错误。
学习过程
一、独立思考
1.计算：（1）×；（2） .
2.计算： (1)； (2)2.
回顾：
二次根式的乘法法则： =
二次根式的除法法则：
二次根式的加减的一般运算步骤：
1.化：先将每一个二次根式化简.
2.找：找出被开方数相同的二次根式.
3.并：合并同类二次根式，即把系数相加减，根式部分不变.
问题：二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，是什么？
二、新知探究
探究：二次根式的混合运算
教材第77页
【做一做】计算：(1); (2).
二次根式的四则运算是根据实数乘法对加法的分配律、实数加法的交换律和结合律、实数乘法的交换律和结合律进行的.
三、例题精讲
例3计算：(1); (2).
例4计算：.
例5计算：(1)； (2).
【归纳】分母有理化：
1.形如： .
2.形如： .
3.形如： .
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.化简的结果是( ).
A． B． C． D．
2.估计的值应在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
3.点在数轴上的位置如图所示，则可以近似表示运算结果的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
选做题
4.计算：（﹣）÷+2= ．（结果保留根号）
5.已知，则的值是 ．
6.相邻两边长分别是2+与2的平行四边形的周长是 .
【综合拓展类作业】
7.计算:（1） ； （2） .
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么？
六、作业布置
1.计算：（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
2.化简（2）2015 （+2）2016的结果为（ ）
A．-1 B．2 C．+2 D．2
3.对于任意的正数定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）
A．24 B．2 C．2 D．20
4.已知试求的值．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】D
【解析】解：，故选D.
2.【答案】B
【解析】解：，
∵，
∴，
∴，即，
故选：B.
3.【答案】C
【解析】解：
，
故可以近似表示运算结果的点是点C
故选：C．
4.【答案】
【解析】解：原式=﹣+
=﹣+
=．
故答案为．
5.【答案】8
【解析】解：，
，
故答案为： 8 .
6.【答案】
【解析】解：平行四边形的周长为：
（2++2﹣）×2=8．
故答案为：8．
7.【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
作业布置：
1.【答案】B
【解析】解： = = =1.
故答案为：B.
2.【答案】D
【解析】解：原式=[（﹣2） （+2）]2015 （+2）
=（3﹣4）2015 （+2）
=﹣﹣2．
故选D．
3.【答案】B
【解析】解：∵3＞2，
∴3※2=﹣，
∵8＜12，
∴8※12=+=2×（+），
∴（3※2）×（8※12）=（﹣）×2×（+）=2．
故选B．
4．【答案】解：∵，
∴===．
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第3章 二次根式
3.3 二次根式的加法和减法（2）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解二次根式混合运算顺序，能正确运用乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）和分配律进行化简。
01
掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式。
02
通过类比整式运算，培养归纳推理能力。
03
02
新知导入
解：（1）×= =.
（2）.
二次根式的乘法法则： =
二次根式的除法法则：
计算：（1）×；（2） .
02
新知导入
计算： (1)； (2)2.
(2) 2
=2
=
=
=
解： (1)
=
=
02
新知导入
二次根式的加减的一般运算步骤：
1.化：先将每一个二次根式化简.
2.找：找出被开方数相同的二次根式.
3.并：合并同类二次根式，即把系数相加减，根式部分不变.
回顾：二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，是什么？
先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里的.
03
新知探究
做一做
计算：(1); (2).
解：(1)原式==
= ==.
你还有其它方法吗？
03
新知探究
解：(1)原式==
= =
=.
03
新知探究
二次根式的四则运算是根据实数乘法对加法的分配律、实数加法的交换律和结合律、实数乘法的交换律和结合律进行的.
解：(2)原式=
=
=.
03
新知探究
计算：(1); (2).
例3
解： (1)原式.
(2)
可以利用乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算.
03
新知探究
计算：.
例4
解：原式
=
03
新知探究
计算：(1); (2).
例5
解：(1)原式
=
=
怎么将分母有理化？
分子与分母同乘，然后利用平方差公式把分母中的根号去掉.
03
新知探究
计算：(1); (2).
例5
解：(2)原式
+
=
=
03
新知探究
分母有理化：
1.形如： .
2.形如： .
3.形如： .
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.化简的结果是( ).
A． B． C． D．
2.估计的值应在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
D
B
04
课堂练习
3.点在数轴上的位置如图所示，则可以近似表示运算结果的点是（ ）
A．点
B．点
C．点
D．点
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.计算：（﹣）÷+2= ．（结果保留根号）
5.已知，则的值是 ．
6.相邻两边长分别是2+与2的平行四边形的周长是 .
8
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.计算:（1） ；
（2） .
（1）解：原式=
（2）解：原式=
05
课堂小结
分母有理化：
1.形如： .
2.形如： .
3.形如： .
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.计算：（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
2.化简(2)2015 (+2)2016的结果为（ ）
A．1 B．2 C．+2 D．2
B
D
06
作业布置
3.对于任意的正数定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）
A．24
B．2
C．2
D．20
B
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.已知试求的值．
解： ∵，
∴===．
07
板书设计
二次根式的混合运算顺序：
注意事项：
3.3 二次根式的加法和减法（2）
习题讲解书写部分
Thanks!
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分课时教学设计
第二课时《3.3 二次根式的加法和减法》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《二次根式的混合运算》是湘教版八年级上册第3章《二次根式》的第三节第二课时的内容。本节内容是二次根式运算体系的深化与拓展，承接乘法、除法及加减法运算，为后续学习函数、方程及几何计算奠定基础。教材以“运算顺序”为核心，通过类比整式混合运算（如先乘方、再乘除、最后加减），引导学生归纳二次根式运算规则。
学习者分析 八年级学生已掌握二次根式的性质及简单运算，但存在以下学习障碍： 运算顺序混淆：易忽略括号优先级或乘方运算； 符号处理错误：在去括号或合并同类项时漏掉负号； 综合应用薄弱：面对含字母变量的运算时，难以提取公因式或化简彻底； 分母有理化障碍：对有理化因式的选择缺乏灵活性。
教学目标 1.理解二次根式混合运算顺序，能正确运用乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）和分配律进行化简。 2.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式。 3.通过类比整式运算，培养归纳推理能力。 4.感受数学知识间的系统性，增强学习兴趣。
教学重点 二次根式混合运算顺序及运算法则。
教学难点 1.灵活运用乘法公式简化计算； 2.处理含字母变量的运算； 3.避免符号错误。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 1.计算：（1）×；（2） . 2.计算： (1)； (2)2. 回顾： 二次根式的乘法法则： = 二次根式的除法法则： 二次根式的加减的一般运算步骤： 1.化：先将每一个二次根式化简. 2.找：找出被开方数相同的二次根式. 3.并：合并同类二次根式，即把系数相加减，根式部分不变. 问题：二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，是什么？ 教师讲授：先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里的.学生活动1： 认真计算，举手回答问题 回顾二次根式的乘法法则和除法法则 回顾二次根式的加减的一般运算步骤 回顾运算顺序活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2： 探究：二次根式的混合运算 【做一做】计算：(1)； (2). 解：(1)原式= ====. 教师提问：你还有其它方法吗？ 解：(1)原式=====. (2)原式= = =. 教师讲授：二次根式的四则运算是根据实数乘法对加法的分配律、实数加法的交换律和结合律、实数乘法的交换律和结合律进行的.学生活动2： 认真思考，完成计算 举手回答问题，一题多解 认真听讲 认真听讲 活动意图说明：将新知识与已有知识联系起来，形成知识网络。将抽象的数学知识与学生熟悉的事物联系起来，使数学学习变得更加生动有趣。环节三：例题精讲教师活动3： 例3计算：(1)； (2). 解：(1)原式. (2) 教师讲授：可以利用乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算. 例4计算：. 解：原式= 例5计算：(1)； (2). 教师提问：怎么将分母有理化？ 教师讲授：分子与分母同乘，然后利用平方差公式把分母中的根号去掉. 解：(1)原式== 解：(2)原式 + = =学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 分母有理化： 1.形如： . 2.形如： . 3.形如： .学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.化简的结果是( ). A． B． C． D． 2.估计的值应在（ ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 3.点在数轴上的位置如图所示，则可以近似表示运算结果的点是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 选做题： 4.计算：（﹣）÷+2= ．（结果保留根号） 5.已知，则的值是 ． 6.相邻两边长分别是2+与2的平行四边形的周长是 . 【综合拓展类作业】 7.计算：（1） ； （2） .
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.计算：（ ） A．0 B．1 C．2 D． 2.化简（2）2015 （+2）2016的结果为（ ） A．-1 B．2 C．+2 D．2 3.对于任意的正数定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ） A．24 B．2 C．2 D．20 【综合拓展类作业】 4.已知试求的值．
教学反思 本节课通过类比教学与分层练习，学生能较快掌握运算顺序和分母有理化方法，但在综合应用中仍暴露以下问题： 运算顺序执行不严：约40%的学生在计算时，未遵循从左到右的顺序，导致结果错误； 符号错误频发：在去括号或合并同类项时，约30%的学生出现符号遗漏； 化简不彻底：在处理含字母的运算时，部分学生未将结果化为最简形式。 改进措施： 增加“运算顺序专项训练”，通过错题辨析强化规则意识； 设计“符号纠错大赛”等游戏活动，提升符号处理能力； 结合几何问题（如计算长方形周长）设计分层练习，满足差异化需求。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第3章
课标要求 1.了解二次根式、最简二次根式的概念. 2.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第2章《分式》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“数与式”。本章内容在学生学习了有理数的运算、平方根、立方根、实数以及整式运算等知识的基础上，进一步深化对数的认识，并引入代数式运算的新内容。教材通过实际问题引入二次根式的概念，使学生感受到数学与生活的紧密联系，再带领学生探究二次根式的性质与四则运算法则。本章内容不仅为后续学习一元二次方程、二次函数等知识奠定基础，还在培养学生逻辑推理能力、运算能力和数学建模能力方面具有重要作用。
学情分析 知识基础 学生已经掌握了有理数的四则运算、平方根与立方根的概念、实数的分类与运算、整式的加减乘除等基础知识，为学习二次根式提供了必要的认知基础。 能力水平 学生具备了一定的观察、分析、归纳和推理能力，能够通过具体问题抽象出数学模型，并运用所学知识解决实际问题。然而，对于二次根式的运算规则和性质，学生可能初次接触，需要逐步引导和强化训练。 学习特点 学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，对新鲜事物充满好奇，但注意力容易分散。因此，在教学过程中应注重情境创设，激发学生的学习兴趣，同时采用多样化的教学方法和手段，保持学生的注意力集中。 学习困难 学生在理解二次根式的双重非负性、掌握二次根式的运算规则以及进行复杂运算时可能会遇到困难。此外，将二次根式与实际问题相结合，建立数学模型并求解，也是学生需要克服的挑战。
单元目标 （一）教学目标 1.理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件。 2.掌握二次根式的性质，包括双重非负性、平方与算术平方根的关系等。 3.熟练进行二次根式的化简和四则运算（加、减、乘、除），包括分母有理化等技巧。 4.能够利用二次根式解决实际问题，建立数学模型并求解。 5.通过观察、分析、归纳和推理等数学活动，发展学生的逻辑思维能力和数学表达能力。 6.经历从特殊到一般、从具体到抽象的数学思考过程，培养学生的归纳概括能力和类比迁移能力。 7.在解决实际问题的过程中，体会数学的应用价值，提高数学建模能力。 8.激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生勇于探索、敢于质疑的科学精神。 9.引导学生感受数学的严谨性和逻辑性，培养认真细致、一丝不苟的学习态度。 （二）教学重点、难点 重点 1.二次根式的概念与最简二次根式的判定。 2.二次根式乘除、加减运算的算理与算法。 3.二次根式在几何情境中的表达与化简。 难点 1.最简二次根式化简的彻底性（尤其含字母参数时）。 2.乘除运算中的“目的性有理化”——为什么有理化、怎样选择有理化因式。 3.复杂混合运算中的符号处理与运算顺序。 4.从实际问题抽象出二次根式模型并解释结果的意义。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1二次根式的概念及性质23.2二次根式的乘法和除法23.3二次根式的加法和减法2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1 二次根式的概念及性质（1）1.了解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式。 2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.掌握二次根式的两条核心性质。1.能够判断一个式子是否为二次根式。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能利用二次根式的两条核心性质进行计算。任务一：情境导入，初步接触二次根式。 任务二：探究新知，理解二次根式的概念。 任务三：例题精讲，探究二次根式有意义的条件。 任务四：独立思考，探究二次根式的性质。 任务五：巩固练习，课堂小结。3.1 二次根式的概念及性质（2）1.理解积的算术平方根的性质，掌握其适用条件。 2.理解最简二次根式的定义，能将二次根式化为最简形式。 能运用性质化简二次根式或判断其正误。任务一：填空，进行猜想。 任务二：探究新知，利用二次根式的性质进行证明。 任务三：例题精讲，化简二次根式。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.2 二次根式的乘法和除法（1）1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结3.2 二次根式的乘法和除法（2）1.掌握商的算术平方根的性质：。 2.理解二次根式除法法则，能准确计算含系数及字母的除法。 3.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式或整式。1.能准确计算含系数及字母的除法。 2.能够将结果化为最简二次根式或整式。任务一：认真思考，探索商的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，探究二次根式除法法则. 任务三：例题精讲，进行通分。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 二次根式的加法和减法（1）1.理解同类二次根式的定义，能准确判断并合并同类二次根式。 2.掌握二次根式加减的运算步骤（化简→合并），能规范书写运算过程。 3.经历“类比整式→迁移根式”的探究，体会“数式通性”。会正确计算二次根式的加法和减法。 任务一：复习巩固，回顾整式的加减法。 任务二：探究新知，类比整式探究二次根式的加法和减法。 任务三：例题精讲，进行加减运算。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 二次根式的加法和减法（2）1.理解二次根式混合运算顺序，能正确运用乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）和分配律进行化简。 2.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式。能熟练进行二次根式的混合运算任务一：复习巩固，回顾整式的混合运算。 任务二：探究新知，类比整式探究二次根式的混合运算。 任务三：例题精讲，进行混合运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。第3章 小结与评价1.能够系统、全面地理解二次根式的概念，深入掌握二次根式有意义的条件。 2.熟练运用二次根式的性质，运用它们进行复杂的化简和计算，理解性质的本质和适用范围。 3.全面掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，能够灵活、准确地进行二次根式的四则混合运算，包括运算顺序的正确把握、符号的准确处理，并将运算结果熟练化为最简二次根式。1.能准确无误地确定各种形式下被开方数中字母的取值范围。 2.能够灵活、准确地进行二次根式的四则混合运算。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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