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八年级上册数学《第1章 勾股定理》
1.3 勾股定理的应用
勾股定理的应用
利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决.
◆勾股定理应用的类型：
（1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长；
（2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系；
（3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决.
【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.
考点1、 应用勾股定理解决梯子滑落问题
例1．（2024春 滨城区校级月考）如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子底端将向外滑动（ ）
A．7m B．8m C．9m D．15m
【分析】利用勾股定理进行解答．求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离．
【解答】解；梯子顶端距离墙角的距离为，
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为，
15﹣7＝8（m）．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
变式1．（2024春 确山县期末）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5m，这时梯子的底端也恰好外移0.5m，则梯子的长度AB为（ ）m．
A．2.5 B．3 C．1.5 D．3.5
【分析】设BO＝xm，利用勾股定理用x表示出AB和CD的长，进而求出x的值，即可求出AB的长度．
【解答】解：设BO＝xm，依题意，得AC＝0.5，BD＝0.5，AO＝2．
在Rt△AOB中，根据勾股定理得
AB2＝AO2+OB2＝22+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理
CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，
∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，
解得x＝1.5，
∴AB2.5，
答：梯子AB的长为2.5m．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AB＝CD为梯子长等量关系是解题的关键．
变式2．（2024春 香坊区校级期中）如图，一根长10米的木棒AB，斜靠在与地面垂直的墙上，木棒B端距离墙6米，当木棒A端沿墙下滑至点A'时，B端沿地面向右滑行至点B'，若AA'＝2，则BB'的长为（ ）米．
A．1 B． C．3 D．2
【分析】根据勾股定理求出OA、OB'的长，即可解决问题．
【解答】解：根据题意可知，AB＝A'B'＝10米，OB＝6米，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA8（米），
∵CA′＝CA﹣AA′，AA′＝2米，
∴OA′＝OA﹣AA'＝8﹣2＝6（米），
在Rt△A′OB′中，由勾股定理得：OB'8（米），
∴BB′＝OB′﹣OB＝8﹣6＝2（米），
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出OA、OB'的长是解题的关键．
变式3．（2024春 湖北期中）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（ ）
A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米
【分析】根据题意由勾股定理得出AB的长即可得出BC的长，再根据勾股定理求出BD的长即可得出结果．
【解答】解：如图，由题意可知，AE＝2.4米，BE＝0.7米，CD＝1.5米，AB＝BC，
由勾股定理得，AB2.5（米），
∴BC＝2.5米，
∴BD2（米），
∴DE＝BD+DE＝2.7米，
即小巷的宽度为2.7米，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
考点2、 应用勾股定理解决旗杆高度问题
例1．（2024春 同心县校级期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面6米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部8米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由旗杆高度＝AB+BC即可解答．
【解答】解：∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形，
∴BC10（米）．
∴旗杆的高＝AB+BC＝6+10＝16（米）．
答：这根旗杆被吹断裂前至少有16米高．
【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用，解答此题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，再根据勾股定理进行解答．
变式1．（2024春 道里区校级月考）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆AB的底端B处，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到点D处，发现此时点D到旗杆AB水平距离为8m，点D到地面的距离CD为2m，则旗杆AB的高度为（ ）
A．23m B．17m C．15m D．10m
【分析】过点D作DE⊥AB于E，设旗杆AB的高度为x m，在Rt△AED中，由勾股定理可得（x﹣2）2+82＝x2，解方程即可求解．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，DE＝BC＝8m，BE＝CD＝2m，
设旗杆AB的高度为x m，则AE＝（x﹣2）m，AD＝AB＝x m，
在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2，
∴（x﹣2）2+82＝x2，
解得x＝17，
∴旗杆AB的高度为17m，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
变式2．（2024春 济南期末）如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，
然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度
为 米．
【分析】设滑轮到地面的高度为x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设滑轮到地面的高度为x米，
根据勾股定理，得x2+122＝（x+6）2，
解得：x＝9；
答：滑轮到地面的高度为9米．
故答案为：9．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，从题意中勾画出勾股定理这一数学模型是解决问题的关键．
变式3．（2024秋 邓州市期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．
（1）依题知BC＝ 米，用含有x的式子表示AC为 米；
（2）请你求出旗杆的高度．
【分析】（1）根据“测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米”和“测得多出部分绳子的长度是1米”填空；
（2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【解答】解：（1）根据题意知：BC＝5米，AC＝（x+1）米．
故答案为：5；（x+1）；
（2）在直角△ABC中，由勾股定理得：
BC2+AB2＝AC2，
即52+x2＝（x+1）2．
解得x＝12．
答：旗杆的高度为12米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
考点3、 应用勾股定理解决风吹树折问题
例3．（2024秋 东营区校级期末）如图，一棵大树被台风挂断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高（ ）
A．5m B．7m C．8m D．10m
【分析】在折断的大树与地面构成的直角三角形中，由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出大树折断之前的高度．
【解答】解：如图；．
在Rt△ABC中，AB＝3米，BC＝4米，
由勾股定理，得：AC5米，
∴AC+AB＝3+5＝8米，即大树折断之前有8米高．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是在直角三角形ABC中运用勾股定理求出AC的长．
变式1．（2024春 庐阳区校级期中）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．16米
【分析】根据图形，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长．
【解答】解：∵62+82＝100，
∴10，
∴10+6＝16（米）．
∴树折断之前有16米．
故选：D．
【点评】此题考查了勾股定理的应用．培养同学们利用数学知识解决实际问题的能力，观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
变式2．（2024秋 滨州期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【分析】先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+2）尺，根据勾股定理可得方程x2+82＝（x+2）2，再解即可．
【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
变式3．（2024 朝阳区校级模拟）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 尺．
【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【解答】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：
x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
考点4、应用勾股定理解决水杯子中的筷子问题
例4．（2024春 丹徒区期中）如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是 cm．
【分析】当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度；考虑当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案．
【解答】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得15（cm），
则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：20﹣15＝5（cm）；
故答案为：5．
【点评】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，问题即解决．
变式1．（2024春 汝南县期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度，然后求其差即可．
【解答】解：根据题意可得图形：AB＝8cm，BC＝6cm，
在Rt△ABC中：AC10（cm），
∴18﹣10＝8（cm），18﹣8＝10（cm）．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在8cm～10cm之间．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．
变式2．（2024春 乐陵市校级月考）如图将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（ ）
A．9＜h＜10 B．9≤h≤10 C．5≤h≤13 D．5＜h＜13
【分析】先找到筷子在杯内最短和最长时筷子所处的位置，再利用勾股定理求解，进而得到h的范围．
【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大为：22﹣12＝10（cm）．
当筷子与杯底直径及杯高构成直角三角形时h最小，
此时杯内筷子长度：（cm），
此时h最小为：22﹣13＝9（cm）．
故h的取值范围是：9≤h≤10．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的实际应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
变式3．（2024春 凉州区期中）如图所示，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度h cm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件以及根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【解答】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h最大＝24﹣8＝16（cm），
如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm，
∴AB17（cm），
∴此时h最小＝24﹣17＝7（cm），
∴h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h的值最大值与最小值是解题关键．
考点5、应用勾股定理解决台阶地毯问题
例5．（2024春 安次区期中）如图，在高为6m，坡面长为10m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．12m B．13m C．14m D．15m
【分析】由勾股定理求出BC的长，再求出AC+BC的长即可．
【解答】解：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10m，AC＝6m，
由勾股定理得：BC8（m），
∴AC+BC＝6+8＝14（m），
即地毯的长度至少需要14m，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出BC的长是解题的关键．
变式1．（2024春 武威期中）如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（ ）
A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm
【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长．
【解答】解：如图，由题意得：AC＝10×5＝50（cm），
BC＝20×6＝120（cm），
故AB130（cm），
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
变式2．（2024春 郧阳区期末）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．17m B．18m C．25m D．26m
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5＝17（米）．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
变式3．（2024秋 丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
【解答】解：由勾股定理得AB12（m），
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．
故答案为：680．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
考点6、应用勾股定理解决小鸟飞行距离问题
例6．（2024春 中山市校级期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6（米），间距为8米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离10（米）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
变式1．（2024春 太和县月考）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高10m的树顶飞到一棵高5m的树顶上，两棵树相距12m，则喜鹊至少要飞（ ）
A．5m B．12m C．13m D．17m
【分析】根据勾股定理，进行计算即可求解．
【解答】解：如图所示，
依题意AC＝12m，BC＝10﹣5＝5（m），∠ACB＝90°，
∴（m），
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确记忆相关公式是解题关键．
变式2．（2024春 潼关县期末）如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝13米，CD＝8米，BD为两树距离12米，
过C作CE⊥AB于E，
则CE＝BD＝12， AE＝AB﹣CD＝13-8=5，
在直角三角形AEC中，
斜边长AC13米，即小鸟至少要飞13米．
故答案为13．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题．
变式3．（2024春 海淀区校级期中）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB．
【分析】在Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2+BC2＝AC2，BC＝a（米），AC＝b（米），AD＝x（米），根据两只猴子经过的路程一样可得10+a＝x+b＝15解方程组可以求x的值，即可计算树高＝10+x．
【解答】解：Rt△ABC中，∠B＝90°，
设BC＝a（米），AC＝b（米），AD＝x（米）
则10+a＝x+b＝15（米）．
∴a＝5（米），b＝15﹣x（米）
又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（10+x）2+a2＝b2，
∴（10+x）2+52＝（15﹣x）2，
解得，x＝2，即AD＝2（米）
∴AB＝AD+DB＝2+10＝12（米）
答：树高AB为12米．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到两只猴子行走路程相等的等量关系，并且正确地运用勾股定理求AD的值是解题的关键．
考点7、应用勾股定理解决是否受台风影响问题
例7．（2024春 恩施市期中）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为 s．
【分析】过点A作AC⊥ON，求出AC的长，当火车到B点时开始对A处有噪音影响，直到火车到D点噪音才消失．
【解答】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝150米，
∵∠QON＝30°，OA＝240米，
∴AC＝120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝150米，
∵AB＝150米，AC＝120米，
∴由勾股定理得：BC＝90米，CD＝90米，即BD＝180米，
∵72千米/小时＝20米/秒，
∴影响时间应是：180÷20＝9（秒）．
故答案为：9．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，难度适中．
变式1．（2024春 富县期末）如图，点A处的居民楼与马路BC相距30米，当居民楼与马路上行驶的汽车的距离在50米内时就会受到噪音污染．如果汽车以每秒20米的速度行驶经过，那么会给这栋居民楼带来多长时间的噪音污染？
【分析】如图，作AH⊥BC于点H，在BC上取一点M，使得AM＝50，连接AM．再利用勾股定理求解HM即可得到答案．
【解答】解：如图，作AH⊥BC于点H，在BC上取一点M，N，使得AM＝50＝AN，连接AM．
在Rt△AHM中，AM＝50＝AN，AH＝30，∠AHM＝90°，
∴HM＝HN，（米），
∴2×40÷20＝4（秒）．
答：会给这栋居民楼带来4秒的噪音污染．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，熟练的建立几何模型是解本题的关键．
变式2．（2024秋 北碚区期末）如图，某海港A的正东方向80海里处有一海岛B，气象站发现在海岛B的正南方向60海里的C处有一台风中心，测得它正以20海里/小时的速度沿CA方向向海港A运动，以台风中心为圆心，周围52海里以内为受影响区域．
（1）通过计算说明海岛B会受台风影响吗？
（2）求出台风中心同时影响海港A和海岛B的时长．
【分析】（1）求出B在AC的距离，再与52比较大小；
（2）先求出台风中心同时影响海港A和海岛B的路程，再求出时间．
【解答】解：（1）过B作BD⊥AC于D，设BE＝BF＝AQ＝52海里，
由勾股定理得：AC＝100海里，
∵AB BC＝AC BD，
∴BD＝48＜52，
所以海岛B会收到台风份影响；
（2）在Rt△BED中，ED＝20（海里），
在Rt△ABD中，AD＝64（海里），
∴AE＝AD﹣ED＝64﹣20＝44（海里），
∴QE＝AQ﹣AE＝52﹣44＝8（海里），
∴8÷20×60＝24（分钟），
答：台风中心同时影响海港A和海岛B的时长为24分钟．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
变式3．（2024秋 渝北区期末）如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为km，A，B两岛的距离为68km．
（1）求出B，C两岛的距离；
（2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为25km（即以台风中心B为圆心，25km为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以20km/h的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？
【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求出AD，CD，再在Rt△BCD中，利用勾股定理即可求出BC，从而解决问题；
（2）由25＞20，可知会受影响．以点C为圆心，25km长为半径画弧与AB交于点E，F，利用勾股定理求出DE，进而得到EF的长，再除以台风移动速度即可求出台风影响岛屿C持续时间．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
由题意知：∠ACD＝45°，
∴∠A＝∠ACD＝45°，
∴CD＝AD，
在Rt△ACD中，
ACkm，
由勾股定理，得AD2+CD2＝AC2，
∴2AD2＝（）2，
解得AD＝20km（负值已舍），
∴CD＝20km，
在Rt△BCD中，
BD＝AB﹣AD＝68﹣20＝48（km），
由勾股定理，得BC52（km），
答：B，C两岛的距离为52km；
（2）会受影响，
以点C为圆心，25km长为半径画弧与AB交于点E，F，
则EF＝2DE，
在Rt△CDE中，
由勾股定理，得DE15（km），
∴EF＝30km，
30÷20＝1.5（h），
答：台风影响岛屿C持续时间为1.5h．
【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作CD⊥AB构造直角三角形是解题的关键．
考点8、 应用勾股定理解决是否超速问题
例8．（2024秋 浑南区月考）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由．
【分析】根据勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶76.8千米，进而得出答案．
【解答】解：小汽车已超速，理由如下：
根据题意得：AC＝24米，AB＝40米，∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，根据勾股定理得：BC32（米），
∵小汽车1.5秒行驶32米，
∴小汽车行驶速度为76.8千米/时，
∵76.8＞60，
∴小汽车已超速，超速76.8﹣60＝16.8（千米/时）．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出BC的长是解题的关键．
变式1．根据道路管理条例规定，在某段笔直的公路l上行驶的车辆，限速为60km/h，如图，一观测点M到公路l的距离MN为30m，现测得一辆汽车从点A到点B所用时间为5s，已知观测点M到A，B两点的距离分别为50m，34m，请通过计算判断此车是否超速．
【分析】在Rt△AMN中根据勾股定理求出AN，在Rt△BMN中根据勾股定理求出BN，由AN+NB求出AB的长，根据路程除以时间得到速度，即可做出判断．
【解答】解：在Rt△AMN中，AM＝50米，MN＝30米，
∴AN40（米），
在Rt△MNB中，BM＝34米，MN＝30米，
∴BN16（米），
∴AB＝AN+NB＝40+16＝56（米），
∴汽车从A到B的平均速度为56÷5＝11.2（米/秒），
∵11.2米/秒＝40.32千米/时＜60千米/时，
∴此车没有超速．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确求出AN与BN的长是解本题的关键．
变式2．“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
（1）求小汽车6秒走的路程；
（2）求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
【分析】（1）过点A作AD⊥BC，可得AD＝50米，设汽车经过6秒后到达点E，连接AE，则有AE＝130米，利用勾股定理可求得DE的长，即小汽车6秒所走的路程；
（2）利用速度＝路程÷时间，即可判断．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，设汽车经过6秒后到达点E，连接AE，如图所示：
由题意可得：AD＝50米，AE＝130米，
在Rt△ADE中，
DE
＝120（米），
答：小汽车6秒走的路程为120米；
（2）小汽车6秒中的平均速度为：120÷6＝20（米/秒）＝72（千米/小时），
∵72＞70，
∴小汽车超速了．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形．
变式3．（2024春 济南期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．
（1）现在想修一条从公路l到A中学的新路AD（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路AD长度是多少？
（2）为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一B辆车经过BE区间用时5秒，若公路l限速为60km/h（约16.7m/s），请判断该车是否超速，并说明理由．
【分析】（1）根据垂线段最短解决问题；
（2）求出BE的长以及速度，可得结论．
【解答】解：（1）过点A作 AD⊥l，交l于点D．
∵AB＝AC，AD⊥l，BC＝120°，
∴°，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD 中，∠ADB＝90°，
由勾股定理得 AD2+BD2＝AB2，
∵AB＝100，BD＝60，
∴AD＝80，
∴新路AD长度是80米．
（2）该车超速．
理由：在Rt△ADE 中，∠ADE＝90°，
由勾股定理得 AD2+DE2＝AE2，
∵AE＝170，AD＝80，
∴DE＝150，
∴BE＝DE﹣DB＝90，
∵该车经过BE区间用时5s，
∴该车的速度为 ，
∵18m/s＞16.7m/s．
∴该车超速．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
考点9、 应用勾股定理解决折叠问题
例9．（2023春 南召县期末）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为（ ）
A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm
【分析】根据折叠的性质可得∠BAC＝∠EAC，结合矩形的性质可推出∠EAC＝∠ACD，则AO＝CO＝5cm，根据勾股定理得OD（cm），再由AB＝CD＝CO+OD即可解答．
【解答】解：根据折叠的性质可知∠BAC＝∠EAC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠EAC＝∠ACD，
∴AO＝CO＝5cm，
在直角三角形ADO中，AD＝4cm，
OD（cm），
∴AB＝CD＝CO+OD＝3+5＝8（cm）．
故选：B．
【点评】本题主要考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
变式1．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．无法确定
【分析】设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，再根据折叠的性质得AD＝BD＝8﹣x，然后在△ACD中根据勾股定理得到（8﹣x）2＝62+x2，再解方程即可．
【解答】解：设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，
∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴AD＝BD＝8﹣x，
在△ACD中，∠C＝90°，
∴AD2＝AC2+CD2，
∴（8﹣x）2＝62+x2，解得x，
即CD的长为cm．
故选：C．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
变式2．（2024春 南召县期末）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为（ ）
A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm
【分析】根据折叠的性质可得∠BAC＝∠EAC，结合矩形的性质可推出∠EAC＝∠ACD，则AO＝CO＝5cm，根据勾股定理得OD（cm），再由AB＝CD＝CO+OD即可解答．
【解答】解：根据折叠的性质可知∠BAC＝∠EAC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠EAC＝∠ACD，
∴AO＝CO＝5cm，
在直角三角形ADO中，AD＝4cm，
OD（cm），
∴AB＝CD＝CO+OD＝3+5＝8（cm）．
故选：B．
【点评】本题主要考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
变式3．（2024春 大竹县校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6．点E是边BC上一点，沿AE翻折△ABE，点B恰好落在CD边上点F处，则CE的长是（ ）
A． B． C． D．3
【分析】根据折叠性质可得AF，再根据勾股定理可得DF，由矩形性质可得CF，设CE为x，由折叠性质可得EF＝BE＝6﹣x，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝10，BC＝6，
∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝6，∠D＝90°，
∵沿AE翻折△ABE，
∴AF＝AB＝10，EF＝BE，
在Rt△ADF中，由勾股定理可得：
DF8，
∴CF＝CD﹣DF＝10﹣8＝2，
设CE＝x，则
EF＝BE＝6﹣x，
在Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，
即22+x2＝（6﹣x）2，
解得：x，
∴CE的长为，
故选：B．
【点评】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是由折叠性质得出CF，再利用勾股定理求解．
考点10、 应用勾股定理解决路径问题
例10．（2024春 肇源县月考）如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是 cm．
【分析】根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：∵CD＝9cm，AD＝（3+9）cm，
∴AC15cm，
故答案为：15．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
变式1．（2024春 离石区月考）如图，一个无顶盖的长方体盒子紧贴地面（接触面为ABCD），一只蚂蚁由点A出发，在盒子表面上爬到点G处觅食，若AB＝7，BC＝5，CG＝5，则这只蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．13 B．12 C．7 D．
【分析】将长方体盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
【解答】解：①如图，这只蚂蚁爬行的最短路程为，
②如图所示，
∵一个无盖的长方体盒子，
路径为AF+FG5≈13.4，
或AB+BG＝77+514，
∴这只蚂蚁爬行的最短距离是13．
故选：A．
【点评】此题考查平面展开﹣最短路径问题，解题关键在于掌握路径最短问题．
变式2．（2024春 乐陵市校级月考）如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为6cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是（ ）cm．
A． B． C． D．
【分析】利用勾股定理进行求解即可．将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：底面周长为20cm，半圆弧长为0cm，
画展开图形如下：
由题意得：BC＝10cm，AB＝6cm，
根据勾股定理得：（cm）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度．
变式3．（2024秋 李沧区期末）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘AB＝CD＝16，点E在CD上，CE＝4．一名滑雪爱好者从A点滑到E点时，他滑行的最短路程约为 （π取3）．
【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：如图是其侧面展开图：AD＝3×3＝9，AB＝CD＝16．DE＝CD﹣CE＝16﹣4＝12，
在Rt△ADE中，AE15．
故他滑行的最短距离约为15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为3的半圆的弧长，矩形的长等于AB＝CD＝16本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
1．（2024秋 博山区期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）m．
A． B． C．6 D．
【分析】设绳长为xm，再根据直角三角的勾股定理列方程，解方程即可．
【解答】解：设绳长为x米，
在Rt△ADC中，
AD＝AB﹣BD＝AB﹣（DE﹣BE）＝x﹣（4﹣1）＝（x﹣3）米，
DC＝6m，AC＝x米，
∴AB2+DC2＝AC2，
根据题意列方程：x2＝（x﹣3）2+62，
解得：x，
∴绳索AC的长是．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，掌握勾股定理，运用勾股定理解决问题．
2（2024秋 灞桥区校级月考）松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度CE，测得如下数据：①测得BD的长度为12m；（BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为15m；③松松身高AB为1.6m，若松松同学想使风筝沿CD方向下降4m，则他应该往回收线（ ）米．
A．2 B．5 C．5.4 D．3.6
【分析】由勾股定理求出CD的长，再由勾股定理求出BM的长，即可解决问题．
【解答】解：∵BD⊥CE，
∴∠BDC＝90°，
在Rt△CDB中，由勾股定理得：CD9（m），
设风筝沿CD方向下降9m至点M，连接BM，如图，
则CM＝4m，
∴DM＝CD﹣CM＝9﹣4＝5（m），
∴BM13（m），
∴BC﹣BM＝15﹣13＝2（m），
即松松同学应该往回收线2米，
故选：A．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出CD的长是解题的关键．
3．（2024秋 伊川县期末）如图所示，有一根高为16m的电线杆BC在A处断裂，电线杆顶部C落在地面离电线杆底部B点8m远的地方，则电线杆的断裂处A离地面的距离为 米．
【分析】根据题意，运用勾股定理，列方程求解即可．
【解答】解：设AB＝x，则AC＝16﹣x．
根据勾股定理，得x2+64＝（16﹣x）2
∴x2+64＝x2﹣32x+256，
∴32x＝192，
解之得：x＝6．
【点评】能够用一个未知数表示出未知的两条边，再根据勾股定理列方程求解．
4．（2024秋 青羊区校级期末）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为AB＝13分米，小狗的高CD＝3分米，小狗与小方的距离AC＝24分米（绳子一直是直的）．求牵狗绳BD＝ 分米．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，可得DE＝AC＝24分米，AE＝CD＝3分米，DE＝10分米，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
则AE＝CD＝3分米，DE＝AC＝24分米，
∴BE＝AB﹣AE＝10分米，
∴BD26（分米）．
所以此时牵狗绳BD的长为26分米．
故答案为：26．
【点评】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．
5．（2024 罗江区模拟）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部7cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 cm．
【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，根据两点之间，线段最短可知A′B的长度即为所求；接下来结合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出A′B的长了．
【解答】解：如图：
∵高为18cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部7cm的A处有一饭粒，
此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1cm的点B处，
∴底部7厘米，所以AE＝11cm，BD＝11+1＝12厘米，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B6（cm）．
故答案为：6．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
6．（2024秋 南海区期末）如图，A，B两村庄相距3千米，C为供气站，AC＝2.4千米，BC＝1.8千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道．
方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村；
方案二：过点C作AB的垂线，垂足为点H，先从C铺设管道到点H处，再从点H处分别向A、B两村铺设．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AB，即可得出结果．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵AC2+BC2＝2.42+1.82＝9，AB2＝32＝9，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵△ABC的面积，
∴（米）；
∵AC+BC＝2.4+1.8＝4.2（米），
CH+AB＝1.44+3＝4.44（米），
4.2米＜4.44米，
∴方案一所修的管道较短．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算，熟记以上知识是解题的关键．
7．（2024秋 太平区期末）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米．
（1）求B处与地面的距离．
（2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？
【分析】（1）在Rt△OAB中，根据勾股定理求出OB的长，进而可得出结论；
（2）在Rt△OCD中，由勾股定理求出OA的长，利用OC＝OA﹣OC即可得出结论．
【解答】解：（1）在Rt△OAB中，
∵AB＝25米，OA＝15米，OE＝4米，
∴（米），
∴BE＝OB+OE＝20+4＝24（米），
答：B处与地面的距离是24米；
（2）由题意得BD＝4米，
∵CD＝25米，OD＝OB+BD＝20+4＝24（米），
∴（米），
∴AC＝OA﹣OC＝15﹣7＝8（米）．
答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为8米．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
8．（2024秋 榆树市期末）如图，一架2.5m长的梯子AB，斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为0.7m．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）马小虎说“如果梯子的底部B在水平方向滑动了0.8m至D，那么梯子的顶端A也沿墙垂直下滑了0.8m”，你同意吗？请说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长即可；
（2）根据勾股定理求出CE的长即可推出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：AB＝2.5m，BC＝0.7m，
∴，
答：这个梯子的顶端距地面有2.4m；
（2）不同意，理由如下：
∵BC＝0.7m，BD＝0.8m，
∴CD＝1.5m，
∴，
∴AE＝AC﹣CE＝2.4﹣2＝0.4（m），
∴梯子的顶端A沿墙垂直下滑了0.4m，
∴马小虎说法错误．我不同意．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
9．（2024春 武昌区期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．
（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为20km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？
【分析】（1）过A作AH⊥BC于H，由勾股定理得BC500（km），由三角形面积公式得到500AH＝300×400，求出AH＝240（km），由AH＜250km，判断农场A会受到台风的影响；
（2）台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM，得到AM＝AN＝250km，由勾股定理求出MH＝NH＝70（km），得到MN＝140（km），即可求出台风影响该农场持续时间．
【解答】解：（1）农场A会受到台风的影响，理由如下：
过A作AH⊥BC于H，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴BC500（km），
∵△ABC的面积BC AHAB AC，
∴500AH＝300×400，
∴AH＝240（km），
∵AH＜250km，
∴农场A会受到台风的影响；
（2）如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM，
∴AM＝AN＝250km，
∵AM＝AN，AH⊥BC，
∴MH＝NH，
由勾股定理得：MH＝NH70（km），
∴MN＝2×70＝140（km），
∵台风中心的移动速度为20km/h，
∴台风影响该农场持续时间是140÷20＝7（小时）．
【点评】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由以上知识点求出AH的长，求出台风从开始影响农场，到结束影响农场，所移动的距离．
10．（2024秋 沙坪坝区校级期末）古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆AB，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且AB＝BC．某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为1.5m．
（1）若AB＝7.5m，AE＝15.5m，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长（结果保留根号）；
（2）若BE的长为12m，CD比BC长6.5m，求桥面的宽AB．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC，CD，即可得从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长；
（2）根据勾股定理列出方程即可求桥面的宽AB．
【解答】解：（1）由题意知：∠ABC＝90°，BC＝AB＝7.5m，
∴ACAB＝7.5（m），
∵AE＝15.5m，
∴BE＝AE﹣AB＝8m，
由题意可知：四边形BEDF是矩形，
∴DF＝BE＝8m，
由题意知：DE＝BF＝1.5m，
∴CF＝BC﹣BF＝6m，
∴CD10（m），
∴AC+CD＝（7.510）m，
∴从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长为（7.510）m；
（2）由（1）知DF＝BE＝12m，DE＝BF＝1.5m，
∴CF＝BC﹣BF＝（AB﹣1.5）m，
∵CD比BC长6.5m，
∴CD＝BC+6.5＝（AB+6.5）m，
∵CF2+DF2＝CD2，
∴（AB﹣1.5）2+122＝（AB+6.5）2，
∴AB＝6.5m，
∴桥面的宽AB长为6.5m．
【点评】本题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理．
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八年级上册数学《第1章 勾股定理》
1.3 勾股定理的应用
勾股定理的应用
利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决.
◆勾股定理应用的类型：
（1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长；
（2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系；
（3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决.
【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.
考点1、 应用勾股定理解决梯子滑落问题
例1．（2024春 滨城区校级月考）如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子底端将向外滑动（ ）
A．7m B．8m C．9m D．15m
变式1．（2024春 确山县期末）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5m，这时梯子的底端也恰好外移0.5m，则梯子的长度AB为（ ）m．
A．2.5 B．3 C．1.5 D．3.5
变式2．（2024春 香坊区校级期中）如图，一根长10米的木棒AB，斜靠在与地面垂直的墙上，木棒B端距离墙6米，当木棒A端沿墙下滑至点A'时，B端沿地面向右滑行至点B'，若AA'＝2，则BB'的长为（ ）米．
A．1 B． C．3 D．2
变式3．（2024春 湖北期中）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（ ）
A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米
考点2、 应用勾股定理解决旗杆高度问题
例1．（2024春 同心县校级期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面6米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部8米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？
变式1．（2024春 道里区校级月考）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆AB的底端B处，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到点D处，发现此时点D到旗杆AB水平距离为8m，点D到地面的距离CD为2m，则旗杆AB的高度为（ ）
A．23m B．17m C．15m D．10m
变式2．（2024春 济南期末）如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，
然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度
为 米．
变式3．（2024秋 邓州市期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．
（1）依题知BC＝ 米，用含有x的式子表示AC为 米；
（2）请你求出旗杆的高度．
考点3、 应用勾股定理解决风吹树折问题
例3．（2024秋 东营区校级期末）如图，一棵大树被台风挂断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高（ ）
A．5m B．7m C．8m D．10m
变式1．（2024春 庐阳区校级期中）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．16米
变式2．（2024秋 滨州期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
变式3．（2024 朝阳区校级模拟）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 尺．
考点4、应用勾股定理解决水杯子中的筷子问题
例4．（2024春 丹徒区期中）如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是 cm．
变式1．（2024春 汝南县期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
变式2．（2024春 乐陵市校级月考）如图将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（ ）
A．9＜h＜10 B．9≤h≤10 C．5≤h≤13 D．5＜h＜13
变式3．（2024春 凉州区期中）如图所示，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度h cm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
考点5、应用勾股定理解决台阶地毯问题
例5．（2024春 安次区期中）如图，在高为6m，坡面长为10m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．12m B．13m C．14m D．15m
变式1．（2024春 武威期中）如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（ ）
A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm
变式2．（2024春 郧阳区期末）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．17m B．18m C．25m D．26m
变式3．（2024秋 丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
考点6、应用勾股定理解决小鸟飞行距离问题
例6．（2024春 中山市校级期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．7 B．8 C．9 D．10
变式1．（2024春 太和县月考）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高10m的树顶飞到一棵高5m的树顶上，两棵树相距12m，则喜鹊至少要飞（ ）
A．5m B．12m C．13m D．17m
变式2．（2024春 潼关县期末）如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．
变式3．（2024春 海淀区校级期中）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB．
考点7、应用勾股定理解决是否受台风影响问题
例7．（2024春 恩施市期中）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为 s．
变式1．（2024春 富县期末）如图，点A处的居民楼与马路BC相距30米，当居民楼与马路上行驶的汽车的距离在50米内时就会受到噪音污染．如果汽车以每秒20米的速度行驶经过，那么会给这栋居民楼带来多长时间的噪音污染？
变式2．（2024秋 北碚区期末）如图，某海港A的正东方向80海里处有一海岛B，气象站发现在海岛B的正南方向60海里的C处有一台风中心，测得它正以20海里/小时的速度沿CA方向向海港A运动，以台风中心为圆心，周围52海里以内为受影响区域．
（1）通过计算说明海岛B会受台风影响吗？
（2）求出台风中心同时影响海港A和海岛B的时长．
变式3．（2024秋 渝北区期末）如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为km，A，B两岛的距离为68km．
（1）求出B，C两岛的距离；
（2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为25km（即以台风中心B为圆心，25km为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以20km/h的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？
考点8、 应用勾股定理解决是否超速问题
例8．（2024秋 浑南区月考）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由．
变式1．根据道路管理条例规定，在某段笔直的公路l上行驶的车辆，限速为60km/h，如图，一观测点M到公路l的距离MN为30m，现测得一辆汽车从点A到点B所用时间为5s，已知观测点M到A，B两点的距离分别为50m，34m，请通过计算判断此车是否超速．
变式2．“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
（1）求小汽车6秒走的路程；
（2）求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
变式3．（2024春 济南期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．
（1）现在想修一条从公路l到A中学的新路AD（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路AD长度是多少？
（2）为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一B辆车经过BE区间用时5秒，若公路l限速为60km/h（约16.7m/s），请判断该车是否超速，并说明理由．
考点9、 应用勾股定理解决折叠问题
例9．（2023春 南召县期末）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为（ ）
A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm
变式1．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．无法确定
变式2．（2024春 南召县期末）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为（ ）
A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm
变式3．（2024春 大竹县校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6．点E是边BC上一点，沿AE翻折△ABE，点B恰好落在CD边上点F处，则CE的长是（ ）
A． B． C． D．3
考点10、 应用勾股定理解决路径问题
例10．（2024春 肇源县月考）如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是 cm．
变式1．（2024春 离石区月考）如图，一个无顶盖的长方体盒子紧贴地面（接触面为ABCD），一只蚂蚁由点A出发，在盒子表面上爬到点G处觅食，若AB＝7，BC＝5，CG＝5，则这只蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．13 B．12 C．7 D．
变式2．（2024春 乐陵市校级月考）如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为6cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是（ ）cm．
A． B． C． D．
变式3．（2024秋 李沧区期末）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘AB＝CD＝16，点E在CD上，CE＝4．一名滑雪爱好者从A点滑到E点时，他滑行的最短路程约为 （π取3）．
1．（2024秋 博山区期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）m．
A． B． C．6 D．
2（2024秋 灞桥区校级月考）松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度CE，测得如下数据：①测得BD的长度为12m；（BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为15m；③松松身高AB为1.6m，若松松同学想使风筝沿CD方向下降4m，则他应该往回收线（ ）米．
A．2 B．5 C．5.4 D．3.6
3．（2024秋 伊川县期末）如图所示，有一根高为16m的电线杆BC在A处断裂，电线杆顶部C落在地面离电线杆底部B点8m远的地方，则电线杆的断裂处A离地面的距离为 米．
4．（2024秋 青羊区校级期末）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为AB＝13分米，小狗的高CD＝3分米，小狗与小方的距离AC＝24分米（绳子一直是直的）．求牵狗绳BD＝ 分米．
5．（2024 罗江区模拟）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部7cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 cm．
6．（2024秋 南海区期末）如图，A，B两村庄相距3千米，C为供气站，AC＝2.4千米，BC＝1.8千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道．
方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村；
方案二：过点C作AB的垂线，垂足为点H，先从C铺设管道到点H处，再从点H处分别向A、B两村铺设．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明．
7．（2024秋 太平区期末）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米．
（1）求B处与地面的距离．
（2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？
8．（2024秋 榆树市期末）如图，一架2.5m长的梯子AB，斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为0.7m．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）马小虎说“如果梯子的底部B在水平方向滑动了0.8m至D，那么梯子的顶端A也沿墙垂直下滑了0.8m”，你同意吗？请说明理由．
9．（2024春 武昌区期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．
（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为20km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？
10．（2024秋 沙坪坝区校级期末）古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆AB，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且AB＝BC．某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为1.5m．
（1）若AB＝7.5m，AE＝15.5m，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长（结果保留根号）；
（2）若BE的长为12m，CD比BC长6.5m，求桥面的宽AB．
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