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（华东师大2024版）
八年级上册数学《第10章 数的开方》
10.2 实数
一、无理数的概念
★1、无理数：无限不循环小数又叫做无理数.
★2、常见的无理数的三种形式：
(1)圆周率π以及一些含π的数，2π﹣3，；
(2)开方开不尽的数，如：，等；
(3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…等.
【注意】1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数.
2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数.
★3、无理数与有理数的区别
(1)任何有理数都能化成分数(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能化成分数.
(2)任何一个有理数都可以化成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.
二、实数的概念和分类
★1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
★2、实数的分类：
（1）按定义分类．
（2）按性质分类.
三、实数与数轴的关系
★1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
★2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.
★3、实数的大小比较
①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数；
②两个正实数，绝对值大的数较大；
③两个负实数，绝对值大的数反而小.
四、实数的性质
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
★1、 数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
★2、 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
即设a表示任意一个实数，则 |a|
五、实数的运算
★1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，
而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
★2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、
开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.
★3、实数的运算律.
①加法交换律： a＋b＝b＋a；
②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
③乘法交换律： ab＝ba；
④乘法结合律：(ab)c＝a(bc)
⑤分配律： a(b＋c)＝ab＋ac.
考点1、无理数的识别
【解题思路】（1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数；
（2）π是无理数，，化简后含π的数也是无理数，判断一个数是否为无理数要抓住两点：一是无限小数；二是其形式不循环.
例1．（2024春 廉江市期末）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
【分析】无理数指无限不循环小数，逐项判断即可．
【解答】解：A.2024是整数，属于有理数，此项不符合题意；
B．﹣2024是整数，属于有理数，此项不符合题意；
C.开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，此项符合题意；
D.是分数，属于有理数，此项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查无理数的概念，熟记概念是解题的关．
变式1．（2023秋 莱州市期末）下列各数中，不是无理数的是（ ）
A． B．
C．0.1010010001… D．π﹣3.14
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：，0.1010010001…，π﹣3.14都是无限不循环小数，它们均为无理数；
是分数，它不是无理数；
故选：B．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
变式2．（2024 舞阳县二模）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A． B．0 C． D．1.5
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：，1.5是分数，0是整数，它们都不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数；
故选：C．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
变式3．（2024秋 东营期末）给出下列实数：、、、、、0.、﹣0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】将，化简后，再根据无理数的定义进行判断即可．
【解答】解：由于5，1.2，
所以这组数中无理数有，，﹣0.1010010001……，共3个，
故选：B．
【点评】本题考查无理数，算术平方根、立方根，掌握无理数，算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
考点2、实数的分类
【解题思路】本题采用分类法解答，可先把题目中所列各数分成有理数和无理数两类，再从有理数中找整数及分数.
例2．（2024春 濉溪县校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．实数包括正有理数、负有理数和无理数
B．无限小数是无理数，有限小数是有理数
C．有理数运算法则和运算律适合实数运算
D．有理数和无理数之间不可以大小比较
【分析】根据实数的定义、有理数和无理数的定义逐项判断即可得出答案，
【解答】解：A、实数包括有理数和无理数，故原说法错误，不符合题意；
B、无限不循环小数是无理数，有限小数是有理数，故原说法错误，不符合题意；
C、有理数运算法则和运算律适合实数运算，故原说法正确，符合题意；
D、有理数和无理数之间可以大小比较，故原说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了实数，有理数和无理数的定义，熟练掌握相关定义是解此题的关键．
变式1．（2024春 河北区校级期末）下列说法：①无限小数都是无理数；②无理数都是带根号的数；③负数没有立方根；④的平方根是±8；⑤无理数减去任意一个有理数仍为无理数．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据无理数，立方根，平方根的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：①无限不循环小数都是无理数，故①不正确；
②无理数不一定是带根号的数，例如：是有理数，故②不正确；
③负数有立方根，故③不正确；
④的平方根是±2，故④不正确；
⑤无理数减去任意一个有理数仍为无理数，故⑤正确；
所以，上列说法中正确的有1个，
故选：B．
【点评】本题考查了实数，熟练掌握无理数，立方根，平方根的意义是解题的关键．
变式2．（2024 武功县三模）在实数0，，﹣（﹣1），中，是负数的有 个．
【分析】根据小于0的数是负数进行判断即可得到答案．
【解答】解：0不是负数；
，是负数；
﹣（﹣1）＝1＞0，是正数，不是负数；
，是负数；
所以，实数0，，﹣（﹣1），中，负数有2个．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了实数的分类，明确小于0的数是负数是解答本题的关键．
变式3．（2024秋 玄武区校级月考）下列数：6，﹣3.14，，0，，0.，，1.909009000…（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 ；属于负分数集合的有 ；属于无理数的有 ．
【分析】根据实数的分类及定义即可求得答案．
【解答】解：属于整数集合的有6，0；
属于负分数集合的有﹣3.14，；
属于无理数的有，1.909009000…（每两个9之间依次多一个0）；
故答案为：6，0；﹣3.14，；，1.909009000…（每两个9之间依次多一个0）．
【点评】本题考查实数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
变式4．（2024秋 黑山县期中）把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，0，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）
【分析】根据无理数以及正实数的定义，在给定实数中分别挑出无理数以及正实数，此题得解．
【解答】解：如图所示：
【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
考点3、实数和数轴的关系
【解题思路】根据“实数与数轴上的点一一对应”及“在数轴上右边的点总比左边的点表示的数大”，我们可以把各数在数轴上表示出来，利用数形结合思想计较实数的大小.
例3．（2024秋 新乡期末）如图，若数轴上点P表示的数为无理数，则该无理数可能是（ ）
A．2.3 B． C． D．
【分析】根据点P表示的数为无理数，即可排除选项A，再根据、和的估计值，即可判断出点P的无理数的可能表示数．
【解答】解：∵2.3 是有理数，1.414，1.732，2.236，
由图可知，点P表示的数为无理数，且2＜P＜3，
∴点P表示的无理数可能是，
故选：D．
【点评】本题考查的是数轴与无理数，掌握、和的估计值是解题的关键．
变式1．（2024 海淀区校级模拟）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
【分析】根据数轴可以发现b＜a，且，由此即可判断以上选项正确与否．
【解答】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意；
B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意；
C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意；
D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．
变式2．（2024春 海安市校级月考）7、如图：数轴上表示1、的对应点分别为A、B，且点A为线段BC的中点，则点C表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设C点表示的数为x，再根据中点坐标公式求出x的值即可．
【解答】解：设C点表示的数为x，则
1，
解得x＝2．
故选：D．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
变式3．（2022春 鼓楼区期中）若将三个数，，表示在如图所示的数轴上，则被墨迹覆盖的数是三个数中的 ．
【分析】依据表示三个数，，的点在数轴上的位置，即可得到被墨迹覆盖的数．
【解答】解：∵﹣21，23，34，
∴被墨迹覆盖的数是三个数中的．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．
变式4．（2023秋 西安月考）如图，已知实数，﹣1，，3，其在数轴上所对应的点分别为点A，B，C，D．
（1）求点C与点D之间的距离；
（2）记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a﹣b的值．
【分析】（1）根据数轴上两点间距离的计算方法进行计算即可得出答案；
（2）先根据数轴上两点间距离的计算方法计算出a的值，再求a﹣b即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
点C与点D之间的距离为3；
（2）根据题意可得，
a＝|﹣1|，b＝3，
a﹣b1﹣（3）＝24．
【点评】本题主要考查了实数与数轴及数轴上两点间距离，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及数轴上两点间距离的计算方法进行求解是解决本题的关键．
考点4、求一个实数的相反数
【解题思路】求一个实数的相反数时，结果符号相反、绝对值不变；即数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
例4．（2024 澄海区一模）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：的相反数是．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
变式1．（2024春 和平区期末）的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．
【分析】根据立方根、相反数的定义分别计算即可．
【解答】解：，﹣2的相反数是2，即的相反数是2，
故选：B．
【点评】本题考查了立方根、相反数，熟练掌握定义是解题的关键．
变式2．（2023秋 城关区校级期末）的算术平方根的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】先求得的值，然后再利用算术平方根和相反数的定义求解即可．
【解答】解：4，
4的算术平方根是2．
2的相反数是﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质、相反数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
变式3．（2023秋 莲湖区校级月考）已知与互为相反数，求3﹣6a+9b的平方根．
【分析】根据立方根和相反数的意义先求出﹣2a与3b的关系，再整体代入求出3﹣6a+9b的平方根．
【解答】解：∵与互为相反数，
∴0．
∴．
∴1﹣3b＝﹣（2a+1）．
∴﹣2a+3b＝2．
∴3﹣6a+9b
＝3+3（﹣2a+3b）
＝3+3×2
＝9．
∵9的平方根是±3，
∴3﹣6a+9b的平方根是±3．
【点评】本题考查了平方根的计算，掌握相反数的意义、立方根的性质是解决本题的关键．
变式4．（2024春 濉溪县校级月考）如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，即当a3+b3＝0时，a+b＝0．由此解决下列问题：
（1）若（﹣2.65）3+y3＝0，则y＝ ；
（2）若和互为相反数，且n﹣3的平方根是它本身，则m+n的立方根为 ．
【分析】（1）根据题意可知﹣2.65与y互为相反数，即可得出答案；
（2）根据题意得出7+4m+4﹣3m＝0，解方程即可得出m的值，根据平方根是它本身的数为0，求出n的值，从而得出m+n的值，再根据立方根的定义计算即可．
【解答】解：（1）根据题意可知﹣2.65与y互为相反数，
故y＝2.65，
故答案为：2.65；
（2）根据题意，得7+4m+4﹣3m＝0，
解得m＝﹣11．
∵n﹣3的平方根是它本身，
∴n﹣3＝0，
解得n＝3．
∴m+n＝﹣11+3＝﹣8，
∴m+n的立方根为，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是实数的性质，涉及到相反数的定义、立方根、平方根、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
考点5、求一个实数的绝对值
【解题思路】一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
例5．（2024 胶州市一模）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据绝对值是数轴上的点到原点的距离，可得答案．
【解答】解：的绝对值是，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的性质，绝对值是数轴上的点到原点的距离．
变式1．||的平方是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
【分析】运用平方运算的法则运算即可．
【解答】解：||的平方是2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方运算的法则，熟练掌握法则是解答此题的关键．
变式2．填空：
（1）的相反数是 ，绝对值是 ；
（2）1的相反数是 ，绝对值是 ；
（3）若|x|，则x＝ ．
【分析】根据相反数和绝对值的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）的相反数是，绝对值是；
（2）1的相反数是1，绝对值是1；
（3）∵|x|，
∴x．
故答案为：（1），；
（2）1，1；
（3）．
【点评】本题考查了实数的性质，算术平方根，掌握绝对值等于的数有2个是解题的关键．
变式3．（2024秋 科尔沁区期中）已知实数a，b，c，d，e，且ab互为倒数，c，d互为相反数，e绝对值为2，求的值．
【分析】根据相反数、倒数的定义和绝对值的性质得到ab＝1，c+d＝0，e＝±2，进而代值求解即可．
【解答】解：由题意可知ab＝1，c+d＝0，|e|＝2，
则e＝±2，
当e＝2时，原式，
当e＝﹣2时，原式，
∴原式为或．
【点评】本题考查代数式求值，涉及倒数、相反数、绝对值，理解相反数、倒数的定义和绝对值的性质是解答的关键．
变式4．（2024春 易县校级月考）我们知道，|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，我们可以把|x|看作|x﹣0|，所以，|x﹣3|就表示x在数轴上对应的点到3的距离，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在数轴上对应的点到﹣1的距离．由上面绝对值的几何意义，解答下列问题：
（1）|x﹣3|+|x+1|的最小值为 ．
（2）的最小值为 ．
【分析】（1）|x﹣3|+|x+1|表示x在数轴上对应的点到3的距离和到﹣1的距离的和，由两点之间线段最短，可得当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|的值最小，即可求解；
（2）表示x在数轴上对应的点到2的距离、到﹣4的距离以及到的距离的和，结合（1）可知，当时，有最小值，求解即可．
【解答】解：（1）∵|x﹣3|+|x+1|表示x在数轴上对应的点到3的距离和到﹣1的距离的和，
∴当x在﹣1和3之间包括﹣1、3时有最小值，即3﹣（﹣1）＝4；
故答案为：4；
（2）表示x在数轴上对应的点到2的距离、到﹣4的距离以及到的距离的和，
∵﹣42，0，
∴当时，有最小值，最小值为，
故答案为：6．
【点评】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离，正确理解距离公式是解题关键．
考点6、实数的大小比较
【解题思路】1、①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2、比较实数大小比较的常用方法有：（1）取近似值法（或估算法）；（2）平方法（或立方法）（脱去根号比较）.当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把有理数还原成带根号的形式，比较被开方数，也可采用近似值的方法来比较大小.
例6．（2024 沂源县一模）在3，，0，2这四个数中，最小的一个数是（ ）
A．3 B． C．0 D．2
【分析】根据实数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小即可求解．
【解答】解：在3，，0，2这四个数中，最小的一个数是．
故选：B．
【点评】此题考查了实数大小比较，可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
变式1．三个数﹣π，﹣3，的大小顺序是（ ）
A．﹣3＜﹣π B．﹣π＜﹣3 C．﹣π3 D．﹣3π
【分析】先对无理数进行估算，再比较大小即可．
【解答】解：﹣π≈﹣3.14，1.732，
因为3.14＞3＞1.732．
所以﹣π＜﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了同学们对无理数大小的估算能力及比较两个负数大小的方法，即两个负数相比较，绝对值大的反而小．
变式2．比较2，，的大小，正确的是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
【分析】把2转化为，即可比较大小．
【解答】解：∵2，
∴，
∵2，
∴，
∴，
即，
故选：D．
【点评】本题考查了实数大小的比较，解决本题的关键是把2转化为．
变式3．比较大小： ﹣1.5．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：3，（﹣1.5）2＝2.25，
∵3＞2.25，
∴1.5．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小，两个负数平方大的反而小．
变式4．（2024秋 农安县期中）将数“2，，，0，﹣1.6”按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接起来是： ．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵2，1.57＞﹣1.6，
∴﹣1.602，
故答案为：﹣1.602．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数比较时绝对值大的反而小．
考点7、有关数轴与绝对值的化简
【解题思路】本题给出数轴上一些实数，求一些含绝对值的式子的和,方法是先去掉绝对值符号，再进行合并计算.
例7．（2024春 惠州校级月考）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a﹣π|+|a|的结果为（ ）
A．π B．π C．π D．π﹣2
【分析】由数轴可知，2＜a＜3，则π＞a，a，再运算绝对值即可求解．
【解答】解：由数轴可知，2＜a＜3，
∴|a﹣π|+|a|＝π﹣a+aπ，
故选：B．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，会比较实数的大小，准确地计算绝对值是解题的关键．
变式1．（2024秋 大竹县校级期末）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a﹣b|的结果是（ ）
A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b
【分析】首先由数轴可得a＜b＜0，然后利用算术平方根与绝对值的性质，即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：a＜b＜0，
∴a﹣b＜0，
∴|a﹣b||a﹣b|﹣|a|＝（b﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a+a＝b．
故选：C．
【点评】此题考查了数轴、算术平方根与绝对值的性质．此题难度适中，注意|a|．
变式2．（2024春 城厢区校级期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简：
．
【分析】先根据点在数轴上的位置，判断数和式子的符号，进而化简运算即可．
【解答】解：由图可知：a＜b＜0＜c，且|c|＞|b|，
∴b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴原式＝﹣a+b+b+c﹣b﹣c+a＝b；
故答案为：b．
【点评】本题考查实数与数轴，化简绝对值，开方运算，掌握实数的运算法则是解题的关键．
变式3．（2024春 南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：|a+b||b﹣c|．
【分析】直接利用数轴得出c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，再化简求解．
【解答】解：由数轴可得：c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，
原式＝c﹣a﹣b+（a+b）+（b﹣c）
＝b．
【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．
变式4．（2024春 固始县期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）数轴上有C、D两点分别表示实数c和d，且有|c﹣5|，求2c+3d的平方根．
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案；
（2）由（1）可知m+1＞0、m﹣1＜0，再利用绝对值的性质化简绝对值，继而求得答案；
（3）根据非负数的性质求出c、d的值，再代入2c+3d，进而求其平方根．
【解答】解：（1）∵蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示
∴点B表示
∴．
故答案为：．
（2）∵，
∴，，
∴|m+1|+|m﹣1|
＝m+1﹣（m﹣1）
＝m+1﹣m+1
＝2．
（3）∵，
∴c﹣5＝0，d+2＝0，
∴c＝5，d＝﹣2，
∴2c+3d＝2×5+3×（﹣2）＝4，
∵4的平方根为±2，
∴2c+3d的平方根是±2．
【点评】本题主要考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
考点8、实数非负性的应用
【解题思路】几个非负数的和等于零，则每个非负数的值都等于零，据此得出关于字母的方程，运用方程思想求相关字母的值.
例8．（2024秋 安岳县期中）若实数x、y满足（y﹣3）2＝0，则等于（ ）
A．0 B．5 C．4 D．±4
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵（y﹣3）2＝0，
∴x﹣2＝0，y﹣3＝0，
解得x＝2，y＝3，
∴4，
故选：C．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
变式1．（2024 成都）若m，n为实数，且（m+4）20，则（m+n）2的值为 ．
【分析】利用非负数的性质列出方程，求出方程的解得到m与n的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵m，n为实数，且（m+4）20，
∴m+4＝0，n﹣5＝0，
解得m＝﹣4，n＝5，
∴（m+n）2＝（﹣4+5）2＝12＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
变式2．（2024春 滨城区校级月考）若m，n为实数，且|m+1|与互为相反数，则（mn）2023的值为 ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵|m+1|和互为相反数，
∴|m+1|0，
∴m+1＝0，n﹣1＝0，
∴m＝﹣1，n＝1，
∴（mn）2023＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了有理数的乘方计算，非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
变式3．（2024秋 抚州期末）已知|a|+a＝0，且|a2﹣1|+（b﹣2）20，求a﹣b+4c的平方根．
【分析】根据非负数的性质求出a、b、c的值，代入a﹣b+4c计算求出的值，最后根据平方根的定义得出答案．
【解答】解：∵|a2﹣1|+（b﹣2）20，
∴a2﹣1＝0，b﹣2＝0，3﹣c＝0，
解得a＝±1，b＝2，c＝3，
∴2A﹣B
又∵|a|+a＝0，
∴a＝﹣1，
∴a﹣b+4c＝﹣1﹣2+4×3＝9，
∴a﹣b+4c的平方根是±3．
【点评】此题主要考查了非负数的性质和平方根的的定义，解答此题的关键是能够根据非负数的性质正确求出a、b、c的值．
变式4．（2024春 孟村县期中）已知|2a+b|与互为相反数．
（1）求2a﹣3b的平方根；
（2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0．
【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得2a﹣3b的值，最后依据平方根的定义求解即可；
（2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可．
【解答】解：由题意，得2a+b＝0，3b+12＝0，解得 b＝﹣4，a＝2．
（1）∵2a﹣3b＝2×2﹣3×（﹣4）＝16，
∴2a﹣3b的平方根为±4．
（2）把b＝﹣4，a＝2代入方程，得2x2+4×（﹣4）﹣2＝0，即x2＝9，
解得x＝±3．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握平方根的定义、非负数的性质是解题的关键．
考点9、程序图与实数的运算
【解题思路】根据新程序设计图的运算顺序，先列出算式，然后再进行比较后，再进行下一步的运算即可解答.
例9．（2024春 江州区期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x等于1时，输出的y值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据数值转换器规定的运算计算即可．
【解答】解：当输入x＝1时，
第一次：，不是有理数；
第二次：，不是有理数；
第三次：4，是有理数，
∴y＝4；
故选：B．
【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是读懂题意，熟练掌握实数相关运算法则．
变式1．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为﹣512时，输出的y的值是（ ）
A．﹣2 B． C． D．
【分析】把﹣512按给出的程序逐步计算即可．
【解答】解：由题中所给的程序可知：把﹣512取立方根，结果为﹣8，
因为﹣8是有理数，所以再取立方根为﹣2，
因为﹣2是有理数，所以再取立方根为，
因为是无理数，所以输出．
故选：D．
【点评】本题考查了立方根，此类题目比较简单，解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序．
变式2．（2023秋 海曙区校级期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x＝81时，输出的y等于（ ）
A．3 B．9 C． D．
【分析】将81 代入得9，9是有理数，再将9代入得3，3是有理数，再将3代入得，是无理数，故y．
【解答】解：∵，9是有理数，
∴，3是有理数，
∴，，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根，关键是根据题意求出值，再判断其是否为无理数．
变式3．有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的x为256时，输出的y是 ．
【分析】本题要先取x的平方根，再求绝对值，再求绝对值的算术平方根，判断算术平方根是无理数还是有理数，如果是无理数，直接输出即可，如果是有理数，继续求算，据此可完成解答．
【解答】解：∵±±16，|±16|＝16，4，4为有理数，
∴把4输入，4的平方根是±±2，|±2|＝2，2的算术平方根为，是无理数，
∴输出的y是．
故答案为：．
【点评】本题考查有理数的混合运算，数值转换器，解题关键是正确理解数值转换器的原理．
变式4．（2024秋 新化县期末）有一个数值转换器，原理如图．当输入的x＝16时，输出的y等于 ．
【分析】根据数值转换器，输入x＝16，进行计算即可．
【解答】解：第1次计算得，4，而4是有理数，
因此第2次计算得，2，而2是有理数，
因此第3次计算得，，是无理数，
故答案为：．
【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键．
考点10、新定义与实数的运算
【解题思路】根据新定义运算的法则，先列出算式，然后再进行实数的计算即可解答.
例10．（2024春 沙坪坝区校级期末）定义新运算：我们规定a＄b＝a2ab2（b≥0）．则2＄4＝（ ）
A．32 B．36 C．68 D．64
【分析】根据定义的新运算进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：2＄4＝22×2×42＝2×2+2×2×16＝4+64＝68，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的运算，理解定义的新运算是解题的关键．
变式1．（2024春 东港区校级月考）用“※”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a※b＝2a2+b．例如3※4＝2×32+4＝22，那么※2＝ ．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解答】解：根据题中的新定义得：※2＝2×3+2＝6+2＝8．
故答案为：8
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式2．（2024秋 新都区期末）用“&”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a&b＝b2﹣ab，例如4&1＝12 4×1＝﹣3，那么5&[3&（﹣2）]＝ ．
【分析】根据新运算列式计算即可．
【解答】解：原式＝5&[（﹣2）2﹣3×（﹣2）]
＝5&（4+6）
＝5&10
＝102﹣5×10
＝100﹣50
＝50，
故答案为：50．
【点评】本题考查实数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
变式3．（2024春 永善县期中）定义运算“★”的运算法则为：a★b，则（2★1）★7＝ ．
【分析】根据定义运用算术平方根进行代入、计算．
【解答】解：由题意得，
2★12，
∴（2★1）★7
＝2★7
＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了算术平方根求解方面新定义问题的求解能力，关键是能准确理解并运用该定义和相关知识进行求解．
变式4．（2024春 禹州市月考）对于任意的正数x、y定义运算 为：，计算（3 2）+（12 18）的结果为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据定义新运算的公式分别计算3 2，12 18，然后再代入计算即可．
【解答】解：∵3＞2，12＜18，
∴，，
∴（3 2）+（12 18）
故选：A．
【点评】本题考查的是定义新运算，根据定义新运算公式进行计算是解决此题的关键．
考点11、实数的混合运算
【解题思路】实数的混合运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.有理数的运算律实数同样适用，在运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算.
例11．（2024秋 宿迁期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先计算算术平方根、立方根和平方，再计算加减；
（2）先计算算术平方根、立方根和绝对值，再计算加减．
【解答】解：（1）
＝2+2+3
＝7；
（2）
＝4+23
．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
变式1．（2024秋 江都区月考）计算：
（1）；
（2）|1|+（﹣2）2．
【分析】（1）利用算术平方根的定义，立方根的定义计算；
（2）利用绝对值的定义，乘方运算计算．
【解答】解：（1）
＝1+（﹣2）
＝1﹣2
；
（2）|1|+（﹣2）2
1+4
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的定义，乘方运算．
变式2．（2024 渝中区校级开学）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）首先计算乘方，然后计算除法、乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）首先计算乘方和开平方，然后计算除法，最后计算加法，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）
＝﹣16+8（﹣1）
＝﹣16+4+1
＝﹣11．
（2）
（）
（）
．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
变式3．（2024春 海淀区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简绝对值，并化简立方根，加减计算出结果；
（2）先化简绝对值，化简立方根和算术平方根，和乘方，再计算乘法，最后再加减计算出结果．
【解答】解：（1）原式
＝1﹣3
＝﹣2；
（2）原式
．
【点评】本题考查绝对值化简，开方运算，乘方运算，乘法运算，能够掌握运算顺序是解决本题的关键．
变式4．（2024 渝中区校级开学）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）首先计算乘方，然后计算除法、乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）首先计算乘方和开平方，然后计算除法，最后计算加法，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）
＝﹣16+8（﹣1）
＝﹣16+4+1
＝﹣11．
（2）
（）
（）
．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
1．（2024秋 婺城区期末）实数﹣2.3，，0，，，﹣π中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a﹣b的值是（ ）
A．1 B．3 C．2 D．5
【分析】有理数是整数与分数的统称，找出其中的有理数，即可确定a的值；无理数是无限不循环小数，π及含有π的数，开方开不尽的数都是无理数，对于带根号的数，首先要看是否是最简形式，再判断，据此确定出无理数的个数，即可得到b的值；接下来将a、b的值代入待求式进行计算，即可使问题解答．
【解答】解：是有理数，有4个，即a＝4，
是无理数，有2个，即b＝2，
则a﹣b＝4﹣2＝2．
故选：C．
【点评】本题考查的是有理数与无理数的概念，重点在对所给的数进行区别，防止因为根号而影响判断．
2．（2024 南充三模）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．3与 B．（﹣1）2与1 C．与 D．﹣（﹣2）与|﹣2|
【分析】根据相反数的概念及性质即可解答．
【解答】解：A、30，不符合相反数的定义，故选项错误；
B、（﹣1）2＝1与1不互为相反数，故选项错误；
C、与互为相反数，故选项正确；
D、|﹣2|＝2，2与|﹣2|不互为相反数，故选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相反数的定义，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是关键．
3．（2024 蓬莱区一模）下列说法中，不正确的是（ ）
A．3与﹣3互为相反数 B．﹣3与为倒数
C．﹣1的立方根是﹣1 D．﹣1的绝对值是1
【分析】根据相反数，倒数，立方根，绝对值的定义逐项进行判断即可，要注意选择的是“不正确项”．
【解答】解：A、3与﹣3互为相反数，正确，不符合题意；
B、﹣3与为倒数，原说法错误，符合题意；
C、﹣1的立方根是﹣1，正确，不符合题意；
D、﹣1的绝对值是1，正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，倒数，立方根，绝对值的定义．
4．设a为实数且0＜a＜1，则在a2，a，，这四个数中（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正数比较大小的法则进行解答即可．
【解答】解：∵0＜a＜1，
∴0＜a2＜a1，1，
∴a＞a2．
故选：D．
【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．
5．（2024秋 太原月考）若，则x的值是（ ）
A．26.569 B．2.6569 C．0.26569 D．0.026569
【分析】此题考查了算术平方根．根据算术平方根小数点移动的规律进行求解即可．
【解答】解：∵，
∴100＝16.3÷100＝0.163，
∴0.163，
∴x＝0.026569，
故选：D．
【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
6．（2024春 兴宁区校级期末）如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可得AE＝AB，然后根据数轴与实数的关系即可求得答案．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积是5，
∴AE＝AB，
∵点A表示的数为﹣1，
∴点E表示的数为1，
故选：B．
【点评】本题考查实数与数轴的关系，由题意求得AE＝AB是解题的关键．
7．（2024 沂源县一模）在3，，0，2这四个数中，最小的一个数是（ ）
A．3 B． C．0 D．2
【分析】根据实数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小即可求解．
【解答】解：在3，，0，2这四个数中，最小的一个数是．
故选：B．
【点评】此题考查了实数大小比较，可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
8．（2024秋 凌海市期中）估计3的值应在（ ）
A．﹣1和0之间 B．0和l之间 C．1和2之间 D．2和3之间
【分析】根据9＜13＜16得出，从而得出，即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故值应在0和1之间，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的估算，熟记一些常用的平方数是关键．
9．（2024秋 义乌市校级月考）比较大小（用“＞，＜，＝”表示）：
﹣|﹣2| ﹣（﹣2）；π 3.14； ．
【分析】对所给数进行化简或通分，再比较大小即可．
【解答】解：因为﹣|﹣2|＝﹣2，﹣（﹣2）＝2，且﹣2＜2，
所以﹣|﹣2|＜﹣（﹣2）．
因为π≈3.1415926…，
所以π＞3.14．
因为，，且，
所以．
故答案为：＜，＞，＞．
【点评】本题考查实数的大小比较，准确的对所给实数进行化简或通分是解题的关键．
10．（2024秋 武侯区校级月考）已知实数x、y满足，则xy的平方根是 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，求出x，再求出y，最后根据平方根的定义求出答案即可．
【解答】解：由题可知，2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，
解得，
把x代入，
解得y＝8，
∴，
∴xy的平方根是．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和平方根，能根据二次根式有意义的条件求出x是解此题的关键．
11．（2024春 昆明期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有a*ba．例如4*94＝7，那么15*64＝ ．
【分析】根据题意列式计算即可．
【解答】解：原式15＝8+15＝23，
故答案为：23．
【点评】本题考查实数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
12．（2024春 香河县期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先计算乘方和算术平方根，再将除法转化为乘法，最后计算加减法即可；
（2）先化简绝对值，算术平方根和立方根，再进行加减计算即可．
【解答】解：（1）
＝27﹣1﹣4×4
＝27﹣1﹣16
＝10；
（2）
．
【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
13．（2024 渝中区校级开学）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可；
（2）利用算术平方根及立方根的定义，乘法分配律计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣16（﹣2）
＝﹣5﹣（﹣4）
＝﹣5+4
＝﹣1；
（2）原式＝9﹣3﹣（242424）
＝6﹣12+4﹣3
＝﹣5．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
14．（2024秋 保定月考）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求（m+2）2+|m+1|的值 ．
【分析】（1）根据实数与数轴上的点是一一对应关系进行计算即可得出答案；
（2）把（1）中m的值代入进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
m；
故答案为：；
（2）m+1，
∵1，
∴0，
（m+2）2+|m+1|
＝（）2+||
＝（）2
＝3
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了实数与数轴及绝对值，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及绝对值的性质进行求解是解决本题的关键．
15．（2024春 涧西区期中）已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|0．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【分析】（1）直接利用非负数的性质结合偶次方的性质、绝对值的性质、算术平方根的性质得出a，b，c的值；
（2）直接利用平方根定义得出答案．
【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+|2b+6|0，
∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，
解得：a＝2，b＝﹣3，c＝5；
（2）由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，
则
＝4，
故的平方根为：±2．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握相关性质得出a，b，c的值是解题关键．
16．（2024春 蓬江区校级期中）已知a、b、c均为实数，且．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）求a+bc的平方根．
【分析】（1）根据非负数的性质求出a，b，c的值即可；
（2）把a，b，c的值代入，然后根据平方根的定义求值．
【解答】解：（1）由题可知，
a﹣1＝0，b+1＝0，c+2＝0，
解得a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2．
故答案为：1，﹣1，﹣2；
（2）∵a+bc＝1+2＝3，
∴a+bc的平方根是．
【点评】本题考查非负数的性质、算术平方根、绝对值、平方根、偶次方，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
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（华东师大2024版）
八年级上册数学《第10章 数的开方》
10.2 实数
一、无理数的概念
★1、无理数：无限不循环小数又叫做无理数.
★2、常见的无理数的三种形式：
(1)圆周率π以及一些含π的数，2π﹣3，；
(2)开方开不尽的数，如：，等；
(3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…等.
【注意】1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数.
2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数.
★3、无理数与有理数的区别
(1)任何有理数都能化成分数(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能化成分数.
(2)任何一个有理数都可以化成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.
二、实数的概念和分类
★1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
★2、实数的分类：
（1）按定义分类．
（2）按性质分类.
三、实数与数轴的关系
★1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
★2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.
★3、实数的大小比较
①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数；
②两个正实数，绝对值大的数较大；
③两个负实数，绝对值大的数反而小.
四、实数的性质
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
★1、 数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
★2、 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
即设a表示任意一个实数，则 |a|
五、实数的运算
★1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，
而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
★2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、
开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.
★3、实数的运算律.
①加法交换律： a＋b＝b＋a；
②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
③乘法交换律： ab＝ba；
④乘法结合律：(ab)c＝a(bc)
⑤分配律： a(b＋c)＝ab＋ac.
考点1、无理数的识别
【解题思路】（1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数；
（2）π是无理数，，化简后含π的数也是无理数，判断一个数是否为无理数要抓住两点：一是无限小数；二是其形式不循环.
例1．（2024春 廉江市期末）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
变式1．（2023秋 莱州市期末）下列各数中，不是无理数的是（ ）
A． B．
C．0.1010010001… D．π﹣3.14
变式2．（2024 舞阳县二模）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A． B．0 C． D．1.5
变式3．（2024秋 东营期末）给出下列实数：、、、、、0.、﹣0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点2、实数的分类
【解题思路】本题采用分类法解答，可先把题目中所列各数分成有理数和无理数两类，再从有理数中找整数及分数.
例2．（2024春 濉溪县校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．实数包括正有理数、负有理数和无理数
B．无限小数是无理数，有限小数是有理数
C．有理数运算法则和运算律适合实数运算
D．有理数和无理数之间不可以大小比较
变式1．（2024春 河北区校级期末）下列说法：①无限小数都是无理数；②无理数都是带根号的数；③负数没有立方根；④的平方根是±8；⑤无理数减去任意一个有理数仍为无理数．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
变式2．（2024 武功县三模）在实数0，，﹣（﹣1），中，是负数的有 个．
变式3．（2024秋 玄武区校级月考）下列数：6，﹣3.14，，0，，0.，，1.909009000…（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 ；属于负分数集合的有 ；属于无理数的有 ．
变式4．（2024秋 黑山县期中）把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，0，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）
考点3、实数和数轴的关系
【解题思路】根据“实数与数轴上的点一一对应”及“在数轴上右边的点总比左边的点表示的数大”，我们可以把各数在数轴上表示出来，利用数形结合思想计较实数的大小.
例3．（2024秋 新乡期末）如图，若数轴上点P表示的数为无理数，则该无理数可能是（ ）
A．2.3 B． C． D．
变式1．（2024 海淀区校级模拟）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
变式2．（2024春 海安市校级月考）7、如图：数轴上表示1、的对应点分别为A、B，且点A为线段BC的中点，则点C表示的数是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022春 鼓楼区期中）若将三个数，，表示在如图所示的数轴上，则被墨迹覆盖的数是三个数中的 ．
变式4．（2023秋 西安月考）如图，已知实数，﹣1，，3，其在数轴上所对应的点分别为点A，B，C，D．
（1）求点C与点D之间的距离；
（2）记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a﹣b的值．
考点4、求一个实数的相反数
【解题思路】求一个实数的相反数时，结果符号相反、绝对值不变；即数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
例4．（2024 澄海区一模）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024春 和平区期末）的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．
变式2．（2023秋 城关区校级期末）的算术平方根的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
变式3．（2023秋 莲湖区校级月考）已知与互为相反数，求3﹣6a+9b的平方根．
变式4．（2024春 濉溪县校级月考）如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，即当a3+b3＝0时，a+b＝0．由此解决下列问题：
（1）若（﹣2.65）3+y3＝0，则y＝ ；
（2）若和互为相反数，且n﹣3的平方根是它本身，则m+n的立方根为 ．
考点5、求一个实数的绝对值
【解题思路】一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
例5．（2024 胶州市一模）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
变式1．||的平方是（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
变式2．填空：
（1）的相反数是 ，绝对值是 ；
（2）1的相反数是 ，绝对值是 ；
（3）若|x|，则x＝ ．
变式3．（2024秋 科尔沁区期中）已知实数a，b，c，d，e，且ab互为倒数，c，d互为相反数，e绝对值为2，求的值．
变式4．（2024春 易县校级月考）我们知道，|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，我们可以把|x|看作|x﹣0|，所以，|x﹣3|就表示x在数轴上对应的点到3的距离，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在数轴上对应的点到﹣1的距离．由上面绝对值的几何意义，解答下列问题：
（1）|x﹣3|+|x+1|的最小值为 ．
（2）的最小值为 ．
考点6、实数的大小比较
【解题思路】1、①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2、比较实数大小比较的常用方法有：（1）取近似值法（或估算法）；（2）平方法（或立方法）（脱去根号比较）.当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把有理数还原成带根号的形式，比较被开方数，也可采用近似值的方法来比较大小.
例6．（2024 沂源县一模）在3，，0，2这四个数中，最小的一个数是（ ）
A．3 B． C．0 D．2
变式1．三个数﹣π，﹣3，的大小顺序是（ ）
A．﹣3＜﹣π B．﹣π＜﹣3 C．﹣π3 D．﹣3π
变式2．比较2，，的大小，正确的是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
变式3．比较大小： ﹣1.5．
变式4．（2024秋 农安县期中）将数“2，，，0，﹣1.6”按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接起来是： ．
考点7、有关数轴与绝对值的化简
【解题思路】本题给出数轴上一些实数，求一些含绝对值的式子的和,方法是先去掉绝对值符号，再进行合并计算.
例7．（2024春 惠州校级月考）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a﹣π|+|a|的结果为（ ）
A．π B．π C．π D．π﹣2
变式1．（2024秋 大竹县校级期末）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a﹣b|的结果是（ ）
A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b
变式2．（2024春 城厢区校级期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简：
．
变式3．（2024春 南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：|a+b||b﹣c|．
变式4．（2024春 固始县期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）数轴上有C、D两点分别表示实数c和d，且有|c﹣5|，求2c+3d的平方根．
考点8、实数非负性的应用
【解题思路】几个非负数的和等于零，则每个非负数的值都等于零，据此得出关于字母的方程，运用方程思想求相关字母的值.
例8．（2024秋 安岳县期中）若实数x、y满足（y﹣3）2＝0，则等于（ ）
A．0 B．5 C．4 D．±4
变式1．（2024 成都）若m，n为实数，且（m+4）20，则（m+n）2的值为 ．
变式2．（2024春 滨城区校级月考）若m，n为实数，且|m+1|与互为相反数，则（mn）2023的值为 ．
变式3．（2024秋 抚州期末）已知|a|+a＝0，且|a2﹣1|+（b﹣2）20，求a﹣b+4c的平方根．
变式4．（2024春 孟村县期中）已知|2a+b|与互为相反数．
（1）求2a﹣3b的平方根；
（2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0．
考点9、程序图与实数的运算
【解题思路】根据新程序设计图的运算顺序，先列出算式，然后再进行比较后，再进行下一步的运算即可解答.
例9．（2024春 江州区期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x等于1时，输出的y值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
变式1．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为﹣512时，输出的y的值是（ ）
A．﹣2 B． C． D．
变式2．（2023秋 海曙区校级期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x＝81时，输出的y等于（ ）
A．3 B．9 C． D．
变式3．有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的x为256时，输出的y是 ．
变式4．（2024秋 新化县期末）有一个数值转换器，原理如图．当输入的x＝16时，输出的y等于 ．
考点10、新定义与实数的运算
【解题思路】根据新定义运算的法则，先列出算式，然后再进行实数的计算即可解答.
例10．（2024春 沙坪坝区校级期末）定义新运算：我们规定a＄b＝a2ab2（b≥0）．则2＄4＝（ ）
A．32 B．36 C．68 D．64
变式1．（2024春 东港区校级月考）用“※”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a※b＝2a2+b．例如3※4＝2×32+4＝22，那么※2＝ ．
变式2．（2024秋 新都区期末）用“&”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a&b＝b2﹣ab，例如4&1＝12 4×1＝﹣3，那么5&[3&（﹣2）]＝ ．
变式3．（2024春 永善县期中）定义运算“★”的运算法则为：a★b，则（2★1）★7＝ ．
变式4．（2024春 禹州市月考）对于任意的正数x、y定义运算 为：，计算（3 2）+（12 18）的结果为（ ）
A． B． C． D．
考点11、实数的混合运算
【解题思路】实数的混合运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.有理数的运算律实数同样适用，在运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算.
例11．（2024秋 宿迁期末）计算：
（1）；
（2）．
变式1．（2024秋 江都区月考）计算：
（1）；
（2）|1|+（﹣2）2．
变式2．（2024 渝中区校级开学）计算：
（1）；
（2）．
变式3．（2024春 海淀区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
变式4．（2024 渝中区校级开学）计算：
（1）；
（2）．
1．（2024秋 婺城区期末）实数﹣2.3，，0，，，﹣π中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a﹣b的值是（ ）
A．1 B．3 C．2 D．5
2．（2024 南充三模）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．3与 B．（﹣1）2与1 C．与 D．﹣（﹣2）与|﹣2|
3．（2024 蓬莱区一模）下列说法中，不正确的是（ ）
A．3与﹣3互为相反数 B．﹣3与为倒数
C．﹣1的立方根是﹣1 D．﹣1的绝对值是1
4．设a为实数且0＜a＜1，则在a2，a，，这四个数中（ ）
A． B． C． D．
5．（2024秋 太原月考）若，则x的值是（ ）
A．26.569 B．2.6569 C．0.26569 D．0.026569
6．（2024春 兴宁区校级期末）如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024 沂源县一模）在3，，0，2这四个数中，最小的一个数是（ ）
A．3 B． C．0 D．2
8．（2024秋 凌海市期中）估计3的值应在（ ）
A．﹣1和0之间 B．0和l之间 C．1和2之间 D．2和3之间
9．（2024秋 义乌市校级月考）比较大小（用“＞，＜，＝”表示）：
﹣|﹣2| ﹣（﹣2）；π 3.14； ．
10．（2024秋 武侯区校级月考）已知实数x、y满足，则xy的平方根是 ．
11．（2024春 昆明期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有a*ba．例如4*94＝7，那么15*64＝ ．
12．（2024春 香河县期中）计算：
（1）；
（2）．
13．（2024 渝中区校级开学）计算：
（1）；
（2）．
14．（2024秋 保定月考）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求（m+2）2+|m+1|的值 ．
15．（2024春 涧西区期中）已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|0．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）求的平方根．
16．（2024春 蓬江区校级期中）已知a、b、c均为实数，且．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）求a+bc的平方根．
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