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（华东师大2024版）
八年级上册数学《第10章 数的开方》
10.1.1平方根
一、平方根的定义和性质
★1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
★2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根.
★3、平方根的表示方法：正数a的平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-.
正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”．
★4、平方根的性质：
①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.
二、算术平方根的定义和性质
★1、算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
a的算术平方根记作：，读作:“根号a”.
即 x2=a (x>0)
x叫做a的算术平方根，记作：x=.
规定：0的算术平方根是0. 记作: =0.
★2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性.
①被开方数一定是非负数，即a≥0.
②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0.
★3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根.
★4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
【注意】实际上省略了中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此也读作：“二次根号a”.
★4、算术平方根与平方根的联系和区别：
（1）平方根与算术平方根的区别
（2）平方根与算术平方根的联系
考点1、求一个数的算术平方根
【解题思路】根据算术平方根的概念求一个数的算术平方根，（1）当遇到求带分数的算术平方根的题目时，应先将带分数化成假分数再进行计算；（2）求一个数的算术平方根是多少，首先要知道哪个非负数的平方等于这个数.
例1．（2024春 泸州期末）的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024春 平坝区月考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024 招远市模拟）的算术平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
变式3．求下列各数的算术平方根：
（1）0.49； （2）； （3）2； （4）32．
变式4．求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
考点2、算术平方根的非负性
【解题思路】1、算术平方根具有双重非负性,即被开方数a≥0且≥0， 中隐含条件a≥0要灵活运用.
2、几个非负数的和为0，其中的每一个非负数都必须等于0.
例2．（2024秋 崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）20，则a+b的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．0
变式1．（2024秋 蓝山县期末）若，则ab的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
变式2．（2024秋 城关区校级期末）已知|m﹣2|0，则代数式2m+n的值是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．﹣1
变式3．（2024春 永川区期末）若|x2﹣25|0，则xy＝ ．
变式4．（2024春 凉州区期中）已知a满足．
（1）求a，b的值；
（2）如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，请化简．
考点3、算术平方根的实际应用
【解题思路】算术平方根在计算几何图形的面积问题中应用比较频繁，利用图形结合有关公式或者数量关系列出算式，求出算术平方根，由所得结果进行说明.
例3．（2024春 景县月考）球从空中落到地面所用的时间t（秒）和球的起始高度h（米）之间有关系式，t，若球的起始高度为120米，则球落地所用时间与下列最接近的是（ ）
A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒
变式1．（2024秋 义乌市期末）已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为27cm2，则这个长方形的周长
为 cm．
变式2．（2024秋 小店区校级月考）已知刹车距离的计算公式，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数，在一次交通事故中．测得d＝16m，f＝2.25，而发生交通事故的路段限速为100km/h，通过计算说明肇事汽车是否违规行驶．
变式3．（2024春 顺义区期末）公园里有一个边长为8米的正方形花坛，如图所示，现在想扩大花坛的面积．要使花坛的面积增加80平方米后仍然是正方形，求边长应该延长多少米？
变式4．（2023春 云梦县期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4．
（1）求该长方形的长宽各为多少？
（2）农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？
考点4、平方根及算术平方根的认识
【解题思路】±（a≥0）表示非负数的a的平方根，（a≥0）表示非负数a的算术平方根.
例4．（2024春 鹿泉区校级期中）下列说法：①25的平方根是±5；②（﹣7）2的算术平方根是7；③若a的平方根是±9，则a＝81．其中正确的说法是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
变式1．（2024春 长寿区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．平方根是本身的数是0和1
B．1的平方根是1
C．﹣1 的平方根是﹣1
D．0.1是0.01的一个平方根
变式2．（2024秋 张店区期末）下列语句不正确的是（ ）
A．0的平方根是0
B．正数的两个平方根互为相反数
C．﹣22的平方根是±2
D．a是a2的一个平方根
变式3．（2024春 铁东区校级月考）下列说法：
①0.2；
②±，
③0.01是0.1的平方根；
④的算术平方根是；
⑤﹣32的平方根是±3．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式4．（2024秋 薛城区校级月考）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（ ）
A．± B．a﹣1 C．a2﹣1 D．±
考点5、求一个数的平方根
【解题思路】本题运用了定义法，求一个数的平方根，先把被开方数化成x2=a的形式，再根据定义即可求出它的平方根.
例5．（2024春 平果市期末）16的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±8 D．8
变式1．（2024春 赵县期末）下列说法正确的是（ ）
A．3的平方根是 B．
C． D．的算术平方根是6
变式2．（2024春 甘井子区期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式3．求下列各数的平方根：
（1）121；
（2）2；
（3）（﹣13）2；
（4）．
变式4．求下列各数的平方根．
（1）81；（2）1.96；（3）30；（4）；（5）（﹣1）2；（6）．
考点6、利用平方根或算术平方根的定义求值
【解题思路】运用平方根及算术平方根的定义列方程求解，运用方程的思想求相关待定字母的值是数学中常用的方法.
例6．（2024春 民权县期末）若2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（ ）
A．3 B．﹣3 C．16 D．9
变式1．（2024 游仙区校级二模）若﹣3xmy和5x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根是（ ）
A．8 B．﹣8 C．±4 D．±8
变式2．（2024春 城厢区校级期中）设一个正数的两个平方根是a﹣1和a+5，则这个正数为 ．
变式3．（2024春 仁怀市校级月考）（1）一个非负数的平方根是2a﹣1和a﹣5，这个非负数是多少？
（2）已知a﹣1和5﹣2a都是m的平方根，求a与m的值．
变式4．（2024春 横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．
（1）求a，b的值；
（2）求4a﹣6b的平方根．
考点7、利用平方根解方程
【解题思路】先将方程化为ax2=b的形式，再利用平方根的定义求未知数的值. 例7．（2024春 韩城市校级月考）求下列各式中x的值：
（1）4x2＝1；
（2）x2﹣16＝0．
变式1．（2024春 岳麓区校级月考）求下列各式中x的值．
（1）169x2＝100； （2）（x+1）2＝81．
变式2．（2024春 桃山区期中）求下列各式中x的值：
（1）3（5x+1）2﹣48＝0；
（2）2（x﹣1）3．
变式3．（2024秋 银川月考）求下列各式中的x：
（1）3（x﹣1）2＝363；
（2）3（x+2）2﹣81＝0．
变式4．（2024春 武侯区月考）求下列各式中的x的值：
（1）9x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2+8＝72；
（3）3（x+2）2﹣27＝0； （4）（x﹣5）2＝8．
1．（2024 灞桥区校级模拟）81的算术平方根为（ ）
A．±3 B．3 C．±9 D．9
2．（2024春 黔西南州期末）的平方根是（ ）
A．4 B．2 C．±4 D．±2
3．（2024秋 天元区期末）若m与m﹣2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．（2024春 老河口市月考）设x＝﹣22，y，那么xy等于（ ）
A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6
5．（2024秋 道县期末）若a，b为实数，且，则（ab）2024的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
6．（2024春 崇川区校级期末）已知：0.71，2.24，7.1，22.4，请根据以上规律得到的结果（ ）
A．0.071 B．0.224 C．0.025 D．0.0224
7．（2024春 安顺期末）已知，求x+y的值 ．
8．（2024 淄川区二模）若与5x3yb的和是单项式，则（a+b）2的平方根为 ．
9．（2024秋 新泰市期末）已知4a﹣11的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是1，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求﹣2a+b﹣c的立方根．
10．求下列各式的值：
（1）； （2）±； （3）； （4）±．
11．（2024春 武侯区月考）求下列各式中的x的值：
（1）9x2﹣25＝0；
（2）（x﹣1）2+8＝72；
（3）3（x+2）2﹣27＝0；
（4）（x﹣5）2＝8．
12．（2024春 鄱阳县期末）已知a、b满足，解关于x的方程（a+4）x+b2＝a﹣1．
13．（2024春 襄州区月考）解答题．
（1）一个正数a的平方根是2x﹣4与3﹣x，则a是多少？
（2）已知a、b满足0，求a+2b2的平方根．
14．（2024秋 高新区校级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|0，求a+3b+c的算术平方根．
15．（2024春 东城区校级期中）若（3x+y﹣1）2＝0，求的平方根．
16．（2024春 海淀区校级期中）已知：实数a，b满足|4﹣b|＝0．
（1）求a和b的值；
（2）求2a+10b的平方根．
17．（2024春 西城区校级期中）母亲节要到了，小华给妈妈准备了一张正方形贺卡，面积为100cm2，还配了一个漂亮的长方形信封，长宽比为5：3，面积为150cm2，他能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请通过计算说明理由．
18．（2024秋 广平县校级期中）已知a+3的立方根是2，b﹣1的算术平方根为3，c2＝16．
（1）分别求a，b，c的值；
（2）若c＜0，求3a﹣b+c的平方根．
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八年级上册数学《第10章 数的开方》
10.1.1平方根
一、平方根的定义和性质
★1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
★2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根.
★3、平方根的表示方法：正数a的平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-.
正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”．
★4、平方根的性质：
①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.
二、算术平方根的定义和性质
★1、算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
a的算术平方根记作：，读作:“根号a”.
即 x2=a (x>0)
x叫做a的算术平方根，记作：x=.
规定：0的算术平方根是0. 记作: =0.
★2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性.
①被开方数一定是非负数，即a≥0.
②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0.
★3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根.
★4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
【注意】实际上省略了中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此也读作：“二次根号a”.
★4、算术平方根与平方根的联系和区别：
（1）平方根与算术平方根的区别
（2）平方根与算术平方根的联系
考点1、求一个数的算术平方根
【解题思路】根据算术平方根的概念求一个数的算术平方根，（1）当遇到求带分数的算术平方根的题目时，应先将带分数化成假分数再进行计算；（2）求一个数的算术平方根是多少，首先要知道哪个非负数的平方等于这个数.
例1．（2024春 泸州期末）的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案．
【解答】解：的算术平方根是，
故选：A．
【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
变式1．（2024春 平坝区月考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据算术平方根的定义逐一计算进行判断即可．
【解答】解：A． ，此选项错误，不合题意；
B． ，此选项错误，不合题意；
C． ，此选项正确，符合题意，
D． ，此选项错误，不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握其相关的概念．
变式2．（2024 招远市模拟）的算术平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
【分析】先计算的值，再根据算术平方根的定义求解．
【解答】解：∵4，4的算术平方根2，
∴的算术平方根是2，
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
变式3．求下列各数的算术平方根：
（1）0.49； （2）； （3）2； （4）32．
【分析】如果一个正数的平方等于a，这个数就叫做a的算术平方根，由此即可求解．
【解答】解：（1）∵0.72＝0.49，
∴0.49的算术平方根是0.7；
（2）9
∵32＝9，
∴的算术平方根是3；
（3）2
∵，
∴2的算术平方根是；
（4）∵（3）2＝32，
∴32的算术平方根是3．
【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
变式4．求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【分析】根据算术平方根的定义计算即可．注意：．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【点评】本题主要考查了算术平方根，熟记定义是解答本题的关键．
考点2、算术平方根的非负性
【解题思路】1、算术平方根具有双重非负性,即被开方数a≥0且≥0， 中隐含条件a≥0要灵活运用.
2、几个非负数的和为0，其中的每一个非负数都必须等于0.
例2．（2024秋 崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）20，则a+b的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．0
【分析】先根据平方和算术平方根的非负性求出a，b的值，再将a，b的值代入a+b中即可求解．
【解答】解：∵（a﹣1）20，
（a﹣1）2≥0，0，
∴a﹣1＝0，b+2＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
则a+b＝1+（﹣2）＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法，掌握平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法法则是解题的关键．
变式1．（2024秋 蓝山县期末）若，则ab的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】先运用非负数的性质求得a，b的值，再代入求解．
【解答】解：由题意得，
2a﹣4＝0，b+1＝0，
解得a＝2，b＝﹣1，
∴ab＝2×（﹣1）＝﹣2，
故选：A．
【点评】此题考查了非负数性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行运算．
变式2．（2024秋 城关区校级期末）已知|m﹣2|0，则代数式2m+n的值是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．﹣1
【分析】根据绝对值和算术平方根不可能为负数，得到m﹣2＝0，n﹣1＝0，解得m、n的值，然后代入2m+n即可求解．
【解答】解：∵
∴m﹣2＝0，n﹣1＝0，
解得：m＝2，n＝1．
将m＝2，n＝1代入2m+n，得：2m+n＝2×2+1＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，代数式求值，解答此题的关键是根据绝对值和算术平方根不可能为负数，解得m、n的值．
变式3．（2024春 永川区期末）若|x2﹣25|0，则xy＝ ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：x＝5或﹣5，
y＝3，
则当x＝5，y＝3时，xy＝125，
当x＝﹣5，y＝3时，xy＝﹣125．
故答案为：125或﹣125．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
变式4．（2024春 凉州区期中）已知a满足．
（1）求a，b的值；
（2）如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，请化简．
【分析】（1）根据完全平方式和绝对值的非负性质求出a、b的值即可；
（2）利用三角形的三边关系化简即可．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴b＝5，a＝1；
（2）∵a、b、c为三角形的三边长，
∴4＜c＜6，
∴5﹣2c＜0，c﹣7＜0，
＝2c﹣5﹣|c﹣7|
＝2c﹣5+c﹣7
＝3c﹣12．
【点评】本题考查了非负数的性质及三角形的三边关系，熟知任意一个数的绝对值或偶次方都是非负数以及三角形三边关系是解答此题的关键．
考点3、算术平方根的实际应用
【解题思路】算术平方根在计算几何图形的面积问题中应用比较频繁，利用图形结合有关公式或者数量关系列出算式，求出算术平方根，由所得结果进行说明.
例3．（2024春 景县月考）球从空中落到地面所用的时间t（秒）和球的起始高度h（米）之间有关系式，t，若球的起始高度为120米，则球落地所用时间与下列最接近的是（ ）
A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒
【分析】将h＝120代入计算得到t的值，再利用无理数的估算即可得出结论．
【解答】解：∵h＝120米，
∴t．
∵与5最接近，
∴球落地所用时间t与5秒最接近，
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，正确利用无理数的估算解答是解题的关键．
变式1．（2024秋 义乌市期末）已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为27cm2，则这个长方形的周长
为 cm．
【分析】设长方形的宽是x cm，则长为3x cm，根据长方形面积列方程即可求出x，进而求出长方形的周长．
【解答】解：设长方形的宽是x cm，则长为3x cm，
∵长方形的面积为27cm2，
∴3x2＝27，
∴x＝3或﹣3（舍），
∴长方形的宽为3cm，长为9cm，
∴其周长为（9+3）×2＝24（cm）．
故答案为：24．
【点评】本题考查平方根的实际应用，解题关键是熟练掌握长方形的周长和面积公式．
变式2．（2024秋 小店区校级月考）已知刹车距离的计算公式，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数，在一次交通事故中．测得d＝16m，f＝2.25，而发生交通事故的路段限速为100km/h，通过计算说明肇事汽车是否违规行驶．
【分析】根据题意将d与f代入求出v，再与限速进行比较看是否违规行驶即可．
【解答】解：由题可知，得d＝16m，f＝2.25，
代入，
得v＝161616×6＝96（km/h ），
又知96km/h＜100km/h，
故肇事汽车不存在违规行驶．
【点评】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解题意是解题的关键．
变式3．（2024春 顺义区期末）公园里有一个边长为8米的正方形花坛，如图所示，现在想扩大花坛的面积．要使花坛的面积增加80平方米后仍然是正方形，求边长应该延长多少米？
【分析】设边长应该延长x米，根据题意得到改造后花坛的边长长为（x+8）米，则其面积为（64+80）平方米，然后根据正方形的面积为（x+8）2＝（64+80）平方米可得到答案．
【解答】解：设边长应该延长x米，根据题意，得
（x+8）2＝64+80，
（x+8）2＝144，
∴x+812（负值舍去），
∴x＝4，
答：边长应该延长4米．
【点评】本题考查了算术平方根的应用．能够正确得出关系式（x+8）2＝（64+80）是解题的关键．
变式4．（2023春 云梦县期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4．
（1）求该长方形的长宽各为多少？
（2）农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？
【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为7：4设长为7x米，宽为4x米，以面积为700平方米作等量关系列方程．用求算术平方根方法解得x的值．
（2）设大正方形的边长为4y米，则小正方形的边长为3y米，根据面积之和为600m2，列出方程求出y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解．
【解答】解：（1）设该长方形花坛长为7x米，宽为4x米，
依题意得：7x×4x＝700，
x2＝25，
∴x＝5（﹣5不合题意舍去）
∴7x＝35，4x＝20，
答：该长方形的长35米，宽20米；
（2）设大正方形的边长为4y米，则小正方形的边长为3y米，依题意有
（4y）2+（3y）2＝600，
25y2＝600，
y2＝24，
y，
4y，
，
∵35，，
∴能改造出这样的两块不相连的正方形试验田；
，（35+20）×2＝110，
∵，
∴原来的铁栅栏围墙不够用．
【点评】本题考查了算术平方根，长方形，正方形的性质的应用，用了转化思想，即把实际问题转化成数学问题．
考点4、平方根及算术平方根的认识
【解题思路】±（a≥0）表示非负数的a的平方根，（a≥0）表示非负数a的算术平方根.
例4．（2024春 鹿泉区校级期中）下列说法：①25的平方根是±5；②（﹣7）2的算术平方根是7；③若a的平方根是±9，则a＝81．其中正确的说法是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】根据平方根和立方根的定义作出判断即可．
【解答】解：①、25的平方根是±5，即，故说法①正确；
②、（﹣7）2＝49，49的算术平方根是7，故说法②正确；
③、由于a的平方根是±9，故a＝（±9）2＝81，故说法③正确．
故正确的有：①②③．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解答本题的关键．
变式1．（2024春 长寿区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．平方根是本身的数是0和1
B．1的平方根是1
C．﹣1 的平方根是﹣1
D．0.1是0.01的一个平方根
【分析】根据平方根的定义及性质逐项判断即可．
【解答】解：平方根是本身的数是0，则A不符合题意；
1的平方根是±1，则B不符合题意；
﹣1没有平方根，则C不符合题意；
0.1是0.01的一个平方根，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
变式2．（2024秋 张店区期末）下列语句不正确的是（ ）
A．0的平方根是0
B．正数的两个平方根互为相反数
C．﹣22的平方根是±2
D．a是a2的一个平方根
【分析】根据平方根及相反数的定义对各选项进行逐一解答即可．
【解答】解：A、0的平方根是0，故本选项正确，不符合题意；
B、一个正数有两个平方根，这两个数互为相反数，故本选项正确，不符合题意；
C、﹣22＝﹣4，没有平方根，故本选项错误，符合题意；
D、a是a2的一个平方根，故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是平方根及相反数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．
变式3．（2024春 铁东区校级月考）下列说法：
①0.2；
②±，
③0.01是0.1的平方根；
④的算术平方根是；
⑤﹣32的平方根是±3．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：①.0.2，因此①不正确；
②，因此②不正确；
③0.1是0.01的一个平方根，因此③不正确；
④5，而5的算术平方根是，因此④正确；
⑤﹣32＝﹣9，由于负数没有平方根，因此⑤不正确；
综上所述，正确的结论有④，共1个，
故选：A．
【点评】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．
变式4．（2024秋 薛城区校级月考）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（ ）
A．± B．a﹣1 C．a2﹣1 D．±
【分析】由一个自然数的一个平方根是a，可得出这个自然数是a2，进而得到与这个自然数相邻的上一个自然数是a2﹣1，再根据平方根的定义得出答案即可．
【解答】解：∵一个自然数的一个平方根是a，
∴这个自然数是a2，
∴与这个自然数相邻的上一个自然数是a2﹣1，
∴与这个自然数相邻的上一个自然数的平方根是±，
故选：D．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．
考点5、求一个数的平方根
【解题思路】本题运用了定义法，求一个数的平方根，先把被开方数化成x2=a的形式，再根据定义即可求出它的平方根.
例5．（2024春 平果市期末）16的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±8 D．8
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是：±4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
变式1．（2024春 赵县期末）下列说法正确的是（ ）
A．3的平方根是 B．
C． D．的算术平方根是6
【分析】根据算术平方根与平方根的性质即可得．
【解答】解：A．3的平方根是，故选项错误；
B．，故选项正确；
C．，故选项错误；
D．的算术平方根是，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根与平方根，熟练掌握算术平方根与平方根的性质是解题关键．
变式2．（2024春 甘井子区期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用算术平方根及平方根的定义逐项判断即可．
【解答】解：6，则A不符合题意；
0.9，则B不符合题意；
±±7，则C符合题意；
3，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查算术平方根及平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
变式3．求下列各数的平方根：
（1）121；
（2）2；
（3）（﹣13）2；
（4）．
【分析】根据开平方，可得答案．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）∵，
∴的平方根是．
【点评】本题考查了平方根，开方运算是解题关键，注意正数的平方根有两个，它们互为相反数．
变式4．求下列各数的平方根．
（1）81；（2）1.96；（3）30；（4）；（5）（﹣1）2；（6）．
【分析】（1）利用平方根的意义解答即可；
（2）利用平方根的意义解答即可；
（3）利用平方根的意义解答即可；
（4）利用平方根的意义解答即可；
（5）利用平方根的意义解答即可；
（6）利用平方根的意义解答即可．
【解答】解：（1）∵（±9）2＝81，
∴81的平方根为±9；
（2）∵（±1.4）2＝1.96，
∴1.96的平方根为±1.4；
（3）∵（）2＝30，
∴30的平方根为；
（4）∵，
∴的平方根为；
（5）∵，
∴的平方根为；
（6）17，
∵17，
∴的平方根为．
【点评】本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
考点6、利用平方根或算术平方根的定义求值
【解题思路】运用平方根及算术平方根的定义列方程求解，运用方程的思想求相关待定字母的值是数学中常用的方法.
例6．（2024春 民权县期末）若2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（ ）
A．3 B．﹣3 C．16 D．9
【分析】根据平方根的定义可得出关于m的方程，据此可求出m，进而可求出这个数．
【解答】解：因为2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，
所以2m﹣5+3m﹣15＝0，
解得m＝4，
所以2m﹣5＝3，3m﹣15＝﹣3，
所以这个数是9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方根，熟知正数的平方根有两个，且它们互为相反数是解题的关键．
变式1．（2024 游仙区校级二模）若﹣3xmy和5x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根是（ ）
A．8 B．﹣8 C．±4 D．±8
【分析】根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，再代入计算可得答案．
【解答】解：∵﹣3xmy和5x3yn的和是单项式，
∴﹣3xmy和5x3yn是同类项，
∴m＝3，n＝1，
∴（m+n）3＝（3+1）3＝64，64的平方根为±8．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根，同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
变式2．（2024春 城厢区校级期中）设一个正数的两个平方根是a﹣1和a+5，则这个正数为 ．
【分析】根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，可得：a﹣1+a+5＝0，据此求出a的值，进而求出这个正数即可．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根是a﹣1和a+5，
∴a﹣1+a+5＝0，
解得：a＝﹣2，
∴这个数为（a﹣1）2＝（﹣3）2＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查平方根，解题的关键是理解平方根的意义．
变式3．（2024春 仁怀市校级月考）（1）一个非负数的平方根是2a﹣1和a﹣5，这个非负数是多少？
（2）已知a﹣1和5﹣2a都是m的平方根，求a与m的值．
【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数，可得2a﹣1和a﹣5的关系，根据互为相反数的两个数的和为0，可得a的值，根据乘方，可得答案；
（2）根据正数的两个平方根互为相反数列出方程求出a，再求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，得（2a﹣1）+（a﹣5）＝0．
解得a＝2．
∴这个非负数是（2a﹣1）2＝（2×2﹣1）2＝9．
（2）根据题意，分以下两种情况：
①当a﹣1与5﹣2a是同一个平方根时，
a﹣1＝5﹣2a，解得a＝2．
此时，m＝12＝1；
②当a﹣1与5﹣2a是两个平方根时，
a﹣1+5﹣2a＝0，解得a＝4．
此时，m＝（4﹣1）2＝9．
综上所述，当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9．
【点评】本题考查了平方根，解题的关系是利用一个正数的平方根互为相反数，互为相反数的和为0．
变式4．（2024春 横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．
（1）求a，b的值；
（2）求4a﹣6b的平方根．
【分析】（1）根据平方根的定义列出方程求出b，再根据算术平方根的定义求出a，然后相加求出a+b，再根据平方根的定义解答．
（2）根据平方根的定义计算即可．
【解答】解：（1）∵3b+3的平方根为±3，
∴3b+3＝9，
解得b＝2，
∵3a+b的算术平方根为5，
∴3a+b＝25，
∵b＝2，
∴a，
（2）∵a，b＝2，
∴4a﹣6b，
∴4a﹣6b的平方根为．
【点评】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟记概念是解题的关键．
考点7、利用平方根解方程
【解题思路】先将方程化为ax2=b的形式，再利用平方根的定义求未知数的值.
例7．（2024春 韩城市校级月考）求下列各式中x的值：
（1）4x2＝1；
（2）x2﹣16＝0．
【分析】（1）根据求平方根的方法解方程即可；
（2）根据求平方根的方法解方程即可．
【解答】解：（1）4x2＝1，
∴，
∴；
（2）x2﹣16＝0，
∴x2＝16，
∴x±4．
【点评】本题主要考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解题的关键．
变式1．（2024春 岳麓区校级月考）求下列各式中x的值．
（1）169x2＝100； （2）（x+1）2＝81．
【分析】（1）两边都除以169，再根据平方根的定义求解可得；
（2）先根据平方根的定义得出x+1的值，再解方程可得．
【解答】解：（1）169x2＝100，
，
，
∴；
（2）（x+1）2＝81，
，
x+1＝±9，
x＝8或﹣10．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．
变式2．（2024春 桃山区期中）求下列各式中x的值：
（1）3（5x+1）2﹣48＝0；
（2）2（x﹣1）3．
【分析】（1）根据平方根的定义求解即可；
（2）根据立方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）3（5x+1）2﹣48＝0，
∴3（5x+1）2＝48，
∴（5x+1）2＝16，
∴5x+1＝±4，
∴x或x＝﹣1；
（2）2（x﹣1）3，
∵∴，
∴x﹣1，
∴x．
【点评】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
变式3．（2024秋 银川月考）求下列各式中的x：
（1）3（x﹣1）2＝363；
（2）3（x+2）2﹣81＝0．
【分析】（1）根据等式的性质两边都除以3得到（x﹣1）2＝121，再根据平方根的定义进行计算即可；
（2）移项得3（x+2）2＝81，再两边都除以3得（x+2）2＝27，由平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）两边都除以3得，
（x﹣1）2＝121，
由平方根的定义得，
x﹣1＝11或x﹣1＝﹣11，
解得x＝12或x＝﹣10；
（2）移项得，3（x+2）2＝81，
两边都除以3得，（x+2）2＝27，
由平方根的定义得，
x+2＝3或x+2＝﹣3，
即x＝32或x＝﹣32．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提．
变式4．（2024春 武侯区月考）求下列各式中的x的值：
（1）9x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2+8＝72；
（3）3（x+2）2﹣27＝0； （4）（x﹣5）2＝8．
【分析】根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）移项得，9x2＝25，
两边都除以9得，x2，
由平方根的定义得，x＝±；
（2）（x﹣1）2+8＝72，
移项得，（x﹣1）2＝72﹣8，
合并同类项得，（x﹣1）2＝64，
由平方根的定义得，x﹣1＝±8，
即x＝9或x＝﹣7；
（3）移项得，3（x+2）2＝27，
两边都除以3得，（x+2）2＝9，
由平方根的定义得，x+2＝±3，
即x＝1或x＝﹣5；
（4）两边都乘以2得，（x﹣5）2＝16，
由平方根的定义得，x﹣5＝±4，
即x＝9或x＝1．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提．
1．（2024 灞桥区校级模拟）81的算术平方根为（ ）
A．±3 B．3 C．±9 D．9
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵92＝81，
∴81的算术平方根为9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
2．（2024春 黔西南州期末）的平方根是（ ）
A．4 B．2 C．±4 D．±2
【分析】先求得的值，然后根据平方根的定义求解即可．
【解答】解：4，4的平方根是±2．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是主要考查的是平方根和算术平方根的定义，求得的值是解题的关键．
3．（2024秋 天元区期末）若m与m﹣2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：∵m与m﹣2是同一个正数的两个平方根，
∴m+m﹣2＝0，
解得m＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了平方根，理解平方根的定义是正确解答的关键．
4．（2024春 老河口市月考）设x＝﹣22，y，那么xy等于（ ）
A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6
【分析】根据算术平方根以及有理数乘方的定义求出x、y的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵x＝﹣22，y，
∴x＝﹣4，y＝3，
∴xy＝﹣4×3＝﹣12，
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根，有理数的乘方，理解算术平方根的定义以及有理数乘方的计算方法是正确解答的前提．
5．（2024秋 道县期末）若a，b为实数，且，则（ab）2024的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【分析】根据绝对值与算术平方根的和为零，可得绝对值与算术平方根同时为零，可得a、b的值，即可得到答案
【解答】解：由题可知，，
则a+2＝0，b0，
即a＝﹣2．b，
所以（ab）2024＝（﹣1）2024＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了非负数的性质，利用绝对值与算术平方根的和为零得出绝对值与算术平方根同时为零是解题关键，注意负数的奇数次幂是负数．
6．（2024春 崇川区校级期末）已知：0.71，2.24，7.1，22.4，请根据以上规律得到的结果（ ）
A．0.071 B．0.224 C．0.025 D．0.0224
【分析】根据被开方数每扩大（缩小）100倍，其算术平方根相应扩大（缩小）10倍，进行解答便可．
【解答】解：∵7.1，
∴，
故选：A．
【点评】本题主要考查了算术平方根的性质，熟记与正确理解性质：“被开方数每扩大（缩小）100倍，其算术平方根相应扩大（缩小）10倍．“是解答本题的关键所在．
7．（2024春 安顺期末）已知，求x+y的值 ．
【分析】根据算术平方根、绝对值的非负性分别求出x、y，代入计算即可．
【解答】解：∵，
∴x﹣2＝0，3y﹣13＝0，
∴x＝2，，
∴，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了两种形式的非负数的性质，能够利用非负数的性质得到关于未知数的方程是解题的关键．
8．（2024 淄川区二模）若与5x3yb的和是单项式，则（a+b）2的平方根为 ．
【分析】根据题意求得a，b的值后代入（a+b）2中计算，利用平方根的定义即可求得答案．
【解答】解：∵与5x3yb的和是单项式，
∴a＝3，b＝1，
则（a+b）2＝（3+1）2＝16，
那么（a+b）2的平方根是±4，
故答案为：±4．
【点评】本题考查合并同类项及平方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键．
9．（2024秋 新泰市期末）已知4a﹣11的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是1，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求﹣2a+b﹣c的立方根．
【分析】（1）根据平方根的定义列式求出a的值，再根据算术平方根的定义列式求出b的值，根据45可得c的值；
（2）把a、b、c的值代入所求代数式的值，再根据立方根的定义计算即可．
【解答】解：（1）∵4a﹣11的平方根是±3．
∴4a﹣11＝9，
∴a＝5，
∵3a+b﹣1的算木平方根是1，
∴3a+b﹣1＝1，
∴b＝﹣13；
∵c是的整数部分，45，
∴c＝4．
（2），
，
＝﹣3，
∴﹣2a+b﹣c的立方根是﹣3．
【点评】本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键．
10．求下列各式的值：
（1）； （2）±； （3）； （4）±．
【分析】（1）根据算术平方根定义计算；
（2）根据平方根定义计算；
（3）根据算术平方根定义计算；
（4）根据平方根定义计算．
【解答】解：（1）原式＝﹣14；
（2）原式＝±；
（3）原式＝0.5；
（4）原式＝±8．
【点评】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根定义，根据定义计算是解题关键．
11．（2024春 武侯区月考）求下列各式中的x的值：
（1）9x2﹣25＝0；
（2）（x﹣1）2+8＝72；
（3）3（x+2）2﹣27＝0；
（4）（x﹣5）2＝8．
【分析】根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）移项得，9x2＝25，
两边都除以9得，x2，
由平方根的定义得，x＝±；
（2）（x﹣1）2+8＝72，
移项得，（x﹣1）2＝72﹣8，
合并同类项得，（x﹣1）2＝64，
由平方根的定义得，x﹣1＝±8，
即x＝9或x＝﹣7；
（3）移项得，3（x+2）2＝27，
两边都除以3得，（x+2）2＝9，
由平方根的定义得，x+2＝±3，
即x＝1或x＝﹣5；
（4）两边都乘以2得，（x﹣5）2＝16，
由平方根的定义得，x﹣5＝±4，
即x＝9或x＝1．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提．
12．（2024春 鄱阳县期末）已知a、b满足，解关于x的方程（a+4）x+b2＝a﹣1．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式得到关于x的一元一次方程，求解即可．
【解答】解：根据题意得，2a+10＝0，b0，
解得a＝﹣5，b，
所以，方程为（﹣5+4）x+5＝﹣5﹣1，
即﹣x+5＝﹣6，
解得x＝11．
【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
13．（2024春 襄州区月考）解答题．
（1）一个正数a的平方根是2x﹣4与3﹣x，则a是多少？
（2）已知a、b满足0，求a+2b2的平方根．
【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出x的值，进而求出a的值；
（2）根据非负性，求出a，b的值，再进行计算即可．
【解答】解：（1）由题意，得：2x﹣4+3﹣x＝0，
解得：x＝1，
∴a＝（3﹣x）2＝22＝4；
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质，以及绝对值和算术平方根的非负性，是解题的关键．
14．（2024秋 高新区校级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|0，求a+3b+c的算术平方根．
【分析】根据算术平方根的概念列方程确定a的值，利用绝对值和算术平方根的非负性确定b和c的值，然后代入代数式，最后利用算术平方根的概念求解．
【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1＝9，
解得：a＝5，
∵|b﹣1|0，且|b﹣1|≥0，0，
∴b﹣1＝0，c+4＝0，
解得：b＝1，c＝﹣4，
∴a+3b+c＝5+3×1+（﹣4）＝5+3﹣4＝4，
2，
∴a+3b+c的算术平方根是2．
【点评】本题考查平方根，算术平方根，理解平方根，算术平方根的概念以及绝对值和算术平方根的非负性是解题关键．
15．（2024春 东城区校级期中）若（3x+y﹣1）2＝0，求的平方根．
【分析】先根据非负数的性质求出x，y的值，代入代数式即可得出结论．
【解答】解：∵（3x+y﹣1）2＝0，
∴，
解得，
∴原式3．
∴的平方根为±．
【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知非负数之和等于0时，各项都等于0是解答此题的关键．
16．（2024春 海淀区校级期中）已知：实数a，b满足|4﹣b|＝0．
（1）求a和b的值；
（2）求2a+10b的平方根．
【分析】（1）根据非负数的性质求出a与b的值即可；
（2）将a与b的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）由题可知，
，
解得，
则a＝﹣2，b＝4．
（2）2a+10b＝﹣2×2+10×4＝36，
故2a+10b的平方根为±6．
【点评】本题考查非负数的性质、绝对值以及平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
17．（2024春 西城区校级期中）母亲节要到了，小华给妈妈准备了一张正方形贺卡，面积为100cm2，还配了一个漂亮的长方形信封，长宽比为5：3，面积为150cm2，他能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请通过计算说明理由．
【分析】设长方形信封的长为5x cm，则宽为3x cm，根据长方形信封的面积为150平方厘米，即可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，进而可得出长方形信封的宽，由正方形贺卡的面积可求出贺卡的边长，将长方形信封的宽与正方形贺卡的边长比较后即可得出结论．
【解答】解：小芳不能将这张贺卡不折叠就放入此信封，理由如下：
设长方形信封的长为5x cm，宽为3x cm，
∵长方形面积为150cm2，
∴5x 3x＝150，
∴x2＝10，
解得或（舍去），
∴长方形的长和宽分别为，
∵正方形贺卡的面积为100cm2，
∴正方形贺卡的边长为，
∵，
∴，
∴长方形信封的宽小于正方形贺卡的边长，
∴小芳不能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
【点评】本题考查了算术平方根的应用，通过利用平方根解方程，找出信封的宽及贺卡的边长是解题的关键．
18．（2024秋 广平县校级期中）已知a+3的立方根是2，b﹣1的算术平方根为3，c2＝16．
（1）分别求a，b，c的值；
（2）若c＜0，求3a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）根据立方根，算术平方根，平方根的含义先求解a，b，c，从而可得答案；
（2）先求解3a﹣b+c，再求解平方根即可．
【解答】解：（1）∵a+3的立方根是2，b﹣1的算术平方根为3，
∴a+3＝8，b﹣1＝9，
解得：a＝5，b＝10，
∵c2＝16，
∴c＝±4；
（2）若c＜0，则c＝﹣4，
∵a＝5，b＝10，
∴3a﹣b+c＝15﹣10﹣4＝1，
∴3a﹣b+c的平方根是±1．
【点评】本题考查的是平方根，算术平方根，立方根的含义，熟记基本概念是解本题的关键．
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