【精品解析】浙江省宁波市海曙区古林镇2024年九年级上学期数学强基试卷(11月)

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名称 【精品解析】浙江省宁波市海曙区古林镇2024年九年级上学期数学强基试卷(11月)
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2025-08-15 16:52:18

文档简介

浙江省宁波市海曙区古林镇2024年九年级上学期数学强基试卷(11月)
一、选择题 (每小题 5 分, 共 30 分)
1.(2024·古林模拟) 在智力竞答节目中,某参赛选手答对最后两题单选题就能顺利通关, 两题均有四个选项, 此选手只能排除第 1 题的错误选项, 第 2 题完全不会, 他还有两次 “求助” 机会 (使用可去掉一个错误选项), 为提高通关概率, 他的求助使用策略为(  )
A.两次求助都用在第 1 题
B.两次求助都用在第 2 题
C.在第 1、第 2 题各用一次求助
D.无论如何使用通关概率都相同
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率;等可能事件的概率;简单事件概率的计算
【解析】【解答】解:∵ 选手可以排除第 1 题的错误选项,
∴解答第1题共有3种等可能的结果,其中正确的结果有一种,故作对的概率为.
解答第2题共有4种等可能的结果,其中正确的结果有一种,故作对的概率为.
若①两次求助都用在第1题,:
则第1题可以排除掉所有的错误答案,第2题不能排除,
故此时通关的概率为.
②两次求助都用在第2题,竖列表示第一题,横列表示第二题,如表所示:
  √ × ×
√ (√,√) (×,√) (×,√)
× (√,×) (×,×) (×,×)
共有6种等可能的结果,其中通关的结果只有一种,故通关的概率为.
③ 在第 1、第 2 题各用一次求助,竖列表示第一题,横列表示第二题,如表所示:
  √ ×
√ (√,√) (×,√)
× (×,√) (×,×)
× (×,√) (×,×)
共有6种等可能的结果,其中通关的结果只有一种,故通关的概率为.
∵,
∴两次求助都用在第1题,通关概率更高.
故答案为:A
【分析】利用列表法求出每种方案通关的概率,比较大小,即可得到答案.
2.(2024·古林模拟)下列命题正确的是(  )
A.三个点确定一个圆
B.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
C.同弧或等弧所对的圆周角相等
D.圆内接平行四边形一定是正方形
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质;垂径定理;圆周角定理;圆内接四边形的性质;确定圆的条件
【解析】【解答】解:A、不在同一直线上的三个点确定一个圆,故原命题错误,不符合题意;
B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧,故原命题错误,不符合题意;
C、同弧或等弧所对的圆周角相等,正确,符合题意;
D、圆内接平行四边形一定是矩形,但不一定是正方形,故原命题错误,不符合题意.
故答案为:C.
【分析】不在同一直线上的三个点确定一个圆,据此判断A;根据垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧可判断B;同弧或等弧所对的圆周角相等,据此判断C;根据圆内接四边形的对角互补以及平行四边形的对角相等可判断D.
3.(2024·古林模拟)如图,半径为 的 的弦 .且 于 ,连结 , ,若 ,则半径 的长为(  )
A.1 B. C.2 D.
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理
【解析】【解答】解:连接 , ,
∵弦 ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
故答案为:C.
【分析】先求出,再求出 ,最后求解即可。
4.(2024·古林模拟) 如图,在 中,点 在 上,点 是 的中点,连接 并延长交 点 ,则 (  )
A.2: 3 B.2 :5 C. D.3: 7
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例;相似三角形的判定
【解析】【解答】解:过点D作DG//AE,交BC于点G,如图所示:
∵AE//DG,即EF//DG,
∴△BEF∽△BGD,
∴.
∵点F为BD的中点,
∴,
∴.
∴,
∵BE:BC=2:7,设BE=2x,则BC=7x.
∴.
∵AE//DG,
∴.
故答案为:A.
【分析】过点D作DG//AE,交BC于点G,证明△BEF∽△BGD,可得.由中点的性质可证得;设BE=2x,则BC=7x,代入可求得,再由平行线分线段成比例即可得到结论.
5.(2024·古林模拟) 已知抛物线 中, ; 方程 ( 有两根 ,其中 ,若 ,则一定有 (  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解:由题意可作抛物线 的图象如图1或图2或图3所示 ,满足:m图1 图2 图3
方程 ( 的两个根即二次函数与函数y=x的交点的横坐标.
故可作函数图象如图,满足:m图1 图2 图3
在图1中,,
∴,,
∴,不满足题意;
在图2中,,
∴,,
∴,不满足题意;
在图3中,,
∴,,
∴,满足题意; 此时mn<0.
故答案为:B.
【分析】根据题意得:方程 ( 的两个根即二次函数与函数y=x的交点的横坐标,分①,②,③三种情况做出图象,分析满足条件的图形,即可得到结论.
6.(2024·古林模拟) 如图, 中, 是 中点, 是以 为圆心,以 为半径的圆上的动点,连接 ,则 的最大值为(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】解直角三角形—边角关系;阿氏圆模型
【解析】【解答】解:∵△ABC中,,
∴.
∵点D为AB的中点,点A为圆心,
∴,
∴.
固定BP,如图所示:
∵,
∴点A的运动轨迹为阿氏圆O,
设OP=a,则AO=2a,OB=4a,
∵,
∴点C的运动轨迹为阿氏圆O',
∴∠OBO'=90°,
∴O'B=2a,O'C=a,
∴当PC最小时,的值最大,
∴.
故答案为:D.
【分析】根据阿氏圆的定义,固定BP,分别确定A点、C点的运动轨迹为阿氏圆,由此可知当PC最小时,的值最大,PC=PO'-O'C时最小,再求解即可.
7.(2024·古林模拟) 如图,在 中, 是边 上的点 (不与点 、 重合). 过点 作 交 于点 ; 过点 作 交 于点 是线段 上的点, 是线段 上的点, ,若已知 的面积,则一定能求出(  )
A. 的面积 B. 的面积
C. 的面积 D. 的面积
【答案】D
【知识点】平行线之间的距离;相似三角形的判定-AA;相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解:∵DE//AB,
∴∠EDC=∠B.
∵DF//AC,
∴∠ECD=∠FDB,
∴△BFD∽△DEC,
∴.
∵BN=2NF,DM=2ME,
∴,
∴.
又∵∠B=∠EDC,
∴△BND∽△DCM,
∴∠BDN=∠DCM,
∴ND//MC,
∴.
∵DM=2ME,
∴,
∴.
∴若已知△CMN的面积,一定可以求出△DCE的面积.
故答案为:D.
【分析】证明△BFD∽△DEC,可得;证明,可利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△BND∽△DCM,根据相似三角形的性质得∠BDN=∠DCM,继而得DN//MC.根据平行线的性质得.再结合DM=2ME,可得即可得到答案.
二、填空题 (每小题 5 分, 共 30 分)
8.(2024·古林模拟) 点 均在二次函数 的图象上,则 的大小关系是   (用“ ”连接).
【答案】
【知识点】二次函数y=a(x-h)²+k的性质;二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化
【解析】【解答】解:,
对称轴为:x=1,二次函数开口向下,
∴点到对称轴的距离越近,所对应的函数值越大.
∵点P1到,P2,P3对称轴的距离为:1-(-2)=3;2-1=1;3-1=2;3>2>1,
∴.
故答案为:.
【分析】将二次函数变形成顶点式,以判断出抛物线的对称轴,再根据二次函数开口向下可得点到对称轴的距离越近,所对应的函数值越大,据此分别计算出三个点到对称轴的距离并比较,即可得到结论.
9.(2024·古林模拟) 二次函数 的图象与一次函数 的图象没有交点,则 的取值范围是   .
【答案】 或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解:作函数图象如图所示:
∵中,二次项系数a=1>0,
∴二次函数开口向上.
一次函数 中,当x=-1时,y=6;当x=5时,y=0;
∵ 二次函数 的图象与一次函数 的图象没有交点,二次函数的对称轴为:x=b,
①当b<-1时,当x=-1时,,
可得:或(舍)
②当-1≤b≤5时,没有交点,即没有实数根,
整理得:,
∴,故.
③当b>5时,当x=5时,,此时一定没有交点.
综上: 或
故答案为: 或.
【分析】根据抛物线的解析式可得:二次函数开口向上,对称轴为:x=b,计算得一次函数中当x=-1时,y=6;当x=5时,y=0;再由两个函数没有交点可得①当b<-1时,;②当-1≤b≤5时,没有实数根;②当b>5时,,三种情况,分别计算b的取值范围,即可得到结论.
10.(2024·古林模拟)如图,平行四边形 中, , , ,点 在边 上运动以 为圆心, 为半径作 ,若 与平行四边形 的边有四个公共点,则 的长度满足条件是   .
【答案】 或
【知识点】圆-动点问题
【解析】【解答】解:如图1中,当⊙P与BC相切时,设切点为E,连接PE.
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC= =4,
设AP=x,则BP=5-x,PE=x,
∵⊙P与边BC相切于点E,
∴PE⊥BC,
∵BC⊥AC,
∴AC∥PE,
∴ ,
∴ ,
∴ ;
如图2中,当⊙P与CD相切时,设切点为E,连接PE.
∵S平行四边形ABCD=2× ×3×4=5PE,
∴PE= ,
观察图象可知: <AP< 时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4,
②⊙P过点A、B、C三点,如图3,⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4,
此时AP= ,
综上所述,AP的值的取值范围是: 或AP= .
故答案为: 或AP= .
【分析】求出与BC、CD相切时AP的长以及经过A、B、C三点时AP的长即可判断。
11.(2024·古林模拟) 如图,平面直角坐标系中, ,点 为 轴上一点,连接 ,点 为 的中点,点 为射线 上一个动点,当 为直角三角形时,点 的坐标为   .
【答案】 或(12,4)
【知识点】三角形全等的判定-AAS;三角形的中位线定理;已知正切值求边长
【解析】【解答】解:∵ ,
∴OA=4,
∵ ,
∴BO=8.

∵点 为 的中点,
∴CD为△OBA的中位线,
∴CD//OA,C(0,4),
∵△AEB为直角三角形,
当∠BEA=90°,如图所示:
∵点D为AB边的中点,
∴,
∴.
∴.
当∠BAE=90°,过点E作EN⊥x轴与点N,如图所示:
∴∠BOA=∠BAE=∠ANE=90°,四边形OCEN为矩形,
∴NE=CO=4,CE=ON=OA+AN.
∴∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠NAE,
∴∠OBA=∠NAE,
∴OA=NE=4,
∴△BOA≌△ANE(AAS)
∴AN=BO=8.
∴CE=ON=OA+AN=12,
∴E(12,4).
综上,点E的坐标为: 或(12,4)
故答案为: 或(12,4).
【分析】利用正切函数的定义可求得OB=8,再利用勾股定理可得的长;由中位线定理得CD//OA,C(0,4),,再分∠BEA=90°,和∠BAE=90°两种情况分别讨论,计算CE的长,即可得点E的坐标.
12.(2024·古林模拟)如图,点 在线段 上,等腰 的顶角 ,点 是矩形 的对角线 的中点,连接 ,若 ,则 的最小值为   .
【答案】
【知识点】矩形的性质;解直角三角形—边角关系;相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解:过M作MH⊥DC交AB于点H,交DC于点G,过点D作DN⊥AC于点N,如图所示:
∵△ADC是等腰三角形,∠ADC=120°,DN⊥AC,AC=3,
∴,AN=CN=3,
∴,.
∵点是矩形 的对角线 的中点,
∴M为对角线CE与DF的交点,
∴MD=MC,
∵MG⊥DC,
∴点M为线段CD的垂直平分线上的动点,.
∴MB⊥MH时,MB最小.
此时MH⊥MB,MH⊥CD,
∴CD//MB,∠HMB=90°=∠DNC.
∴∠DCH=∠MBH.
∴△DNC∽△HMB,
∴.
在Rt△GCH中,,∠HCG=30°,
∴.
∴.
∴.
故MB的最小值为.
故答案为:.
【分析】过M作MH⊥DC交AB于点H,交DC于点G,过点D作DN⊥AC于点N,证明由等腰三角形三线合一的性质结合锐角三角函数可求得DC和DN的长.证明点M为线段CD的垂直平分线上的动点,可求得GC的长;再由“垂线段最短”可得MB⊥MH时,MB最小.此时有△DNC∽△HMB,利用相似三角形的性质可得;在Rt△GCH中解直角三角形求得HC的长,进而可得HB的长,再代入j即可得到MB 的最小值.
三、解答题 (第 13 题 10 分, 第 14、15 题每题 15 分)
13.(2024·古林模拟) 如图, 中, 过 中点 且与 分别交于点 .
(1)求证: 直线 是 的切线;
(2)延长 交 于点 ,连结 ,求证: ;
(3)在(2)的条件下,若 ,求 的长.
【答案】(1)证明:连接OC,如图所示:
∵OA=OB,点C为AB的中点,
∴OC⊥AB,
∴直线AB为的切线
(2)证明:, 点C为AB的中点,
∴∠AOC=∠BOC,
∵∠AOC=2∠ADC,∠FOC=2∠FDC,
(3)解:连接EF、CF,如图所示:
∵ED是直径,
∴∠DFE=90°,
由(2)得∠EOC=∠FOC,
∴,
∴OC⊥EF,
由(1)得OC⊥AB,
∴EF//AB,∠OCA=90°=∠DFE,
∴∠DEF=∠OAC.


∵ ,
∴OC=5,,

.
∵∠DCF=∠DEF=∠A,∠ADC=∠CDF,
∴△ADC∽△CDF.
∴,
∴.
【知识点】切线的判定;相似三角形的判定-AA;圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)连接OC,由等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论;
(2)由等腰三角形“三线合一”的性质可得∠AOC=∠BOC,再由圆周角定理得∠AOC=2∠ADC,∠FOC=2∠FDC,即而可得结论.
(3)连接EF、CF,由∠EOC=∠FOC结合垂径定理的推论,可得OC⊥EF,于是可得EF//AB,∠OCA=90°=∠DFE.再由AA可得△DEF∽△OAC,代入数据求得OA长,继而可得AD的长.再证明△ADC∽△CDF,可得,代入数据,即可求得CD的长.
14.(2024·古林模拟) 已知二次函数 ,记该函数在 上的最大值为 ,最小值为 ,已知 .
(1)当 时,求 的值;
(2)当 时,求 的值;
(3)已知 ( 为整数),若 为整数,求 的值.
【答案】(1)解:∵ ,
∴该二次函数对称轴为直线 ,且开口向上,
当 时有最小值,最小值为N=﹣a;
当 或4 时有最大值. 最大值为M=3a,
∴M-N=3a-(﹣a)=3.
解得
(2)解:当 时, ,开口向上,
① 当 ,即 时, ,

解得 .
② 当 时, ,

解得 ,均不符题意,舍去.
③ 当 时, ,

解得 ,均不符题意,舍去.
④ 当 时, ,

解得 .
综上, 或
(3)解:
解得t≥1,
∴t+2>2,
故 都在对称轴右侧,


∵和t均为整数,且t≥1,
.
当t=3时,
【知识点】二次函数的最值;二次函数y=ax²的性质;二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化
【解析】【分析】(1)对二次函数进行配方得到对称轴和开口方向,进而可知在x=2时取得最小值N=﹣a;在x=0或4时取得最大值M=3a,代入得到关于a的方程,求解即可得到a的值;
(2)把代入解析式得到,再分①当,②当时,③当时,④当时四种情况,分别表示出M和N,代入得到关于m的方程并求解,即可得m的值;
(3)由可得t≥1,继而可得t+2>2,故 都在对称轴右侧,根据二次函数的性质表示出M和N,代入并化简,可得,于是由和t均为整数,且t≥1,可得t=3,代入,即可求得a的值.
15.(2024·古林模拟) 点 是以 为直径的 上一点,过 的中点 作 于点 ,交 于点 ,连接 与 相交于点 .
(1)如图,若 也是 的直径,已知 ,求 的长.
(2) 如图.
① 求证: ;
② 若 ,求 的值.
【答案】(1)解:∵AB和CD都是直径,
∴∠ACB=∠CAF=90°,
∵,
∴∠BCF=∠BAF.
∴∠ACB-∠BCF=∠CAF-∠BAF,即∠ACF=∠CAB.
∵EF⊥AB,
∴∠AHE=∠FHA=∠CAF=90°,
∴∠HAF+∠AFE=90°=∠CAB+∠HAF,
∴∠AFE=∠CAB=∠ACF,
∴△AFE∽△ACF.
∴,即AF2=AE·AC.
∵点E为AC的中点,
∴.
∴.
在Rt△ACF中,AF2+AC2=CF2=AB2,
∴,

(2)① 为直径,



∵∠BCD=∠HAF,
∴∠ACD=∠HAF.
又∵∠FAE=∠CAF,
∴ △AFE∽△ACF.
∴,即AF2=AE·AC.
∵点E为AC的中点,
∴.
∴,
.
②作 交 延长线于点G,如图所示:
∴∠G=∠AHE,∠GCE=∠HAE,
∵点E为AC的中点,
∴AE=CE,
∴△CGE≌△AHE(AAS),
∴AH=CG,HE=GE.
∵AH:HD=7:5,
∴CG:HD=7:5.
∵CG//AB,即CG//HD,
∴△FCG∽△FDH,
∴,
设FG=7a,则FH=5a,
∴HE=GE=a,FE=FH+HE=6a.
由①得△AFE∽△ACF, ,
∴,
∴ ,
∴在 Rt 中, .

【知识点】解直角三角形—边角关系;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应边;圆与三角形的综合;相似三角形的判定预备定理(利用平行)
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理可证得∠ACF=∠CAB,再证明∠AFE=∠CAB,可得∠ACF=∠AFE,于是可利用两角对应相等的两三角形相似得到△AFE∽△ACF,再由相似三角形的性质可得AF2=AE·AC.再结合中点定义可用AC的长表示出AF.最后在Rt△ACF中利用勾股定理,即可求出AC的长。
(2)①证明△AFE∽△ACF,可得AF2=AE·AC.再结合中点定义即可得到结论.
(2)② 交 延长线于点G,证明△CGE≌△AHE,可得AH=CG,HE=GE.于是有CG:HD=7:5.再证明△FCG∽△FDH,可得,设FG=7a,则FH=5a,于是可表示出HE和FE的长,由相似得,于是可表示出FC;最后在△GCF中利用勾股定理求出CG,代入正切公式即可得到结论.
1 / 1浙江省宁波市海曙区古林镇2024年九年级上学期数学强基试卷(11月)
一、选择题 (每小题 5 分, 共 30 分)
1.(2024·古林模拟) 在智力竞答节目中,某参赛选手答对最后两题单选题就能顺利通关, 两题均有四个选项, 此选手只能排除第 1 题的错误选项, 第 2 题完全不会, 他还有两次 “求助” 机会 (使用可去掉一个错误选项), 为提高通关概率, 他的求助使用策略为(  )
A.两次求助都用在第 1 题
B.两次求助都用在第 2 题
C.在第 1、第 2 题各用一次求助
D.无论如何使用通关概率都相同
2.(2024·古林模拟)下列命题正确的是(  )
A.三个点确定一个圆
B.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
C.同弧或等弧所对的圆周角相等
D.圆内接平行四边形一定是正方形
3.(2024·古林模拟)如图,半径为 的 的弦 .且 于 ,连结 , ,若 ,则半径 的长为(  )
A.1 B. C.2 D.
4.(2024·古林模拟) 如图,在 中,点 在 上,点 是 的中点,连接 并延长交 点 ,则 (  )
A.2: 3 B.2 :5 C. D.3: 7
5.(2024·古林模拟) 已知抛物线 中, ; 方程 ( 有两根 ,其中 ,若 ,则一定有 (  )
A. B. C. D.
6.(2024·古林模拟) 如图, 中, 是 中点, 是以 为圆心,以 为半径的圆上的动点,连接 ,则 的最大值为(  )
A. B. C. D.
7.(2024·古林模拟) 如图,在 中, 是边 上的点 (不与点 、 重合). 过点 作 交 于点 ; 过点 作 交 于点 是线段 上的点, 是线段 上的点, ,若已知 的面积,则一定能求出(  )
A. 的面积 B. 的面积
C. 的面积 D. 的面积
二、填空题 (每小题 5 分, 共 30 分)
8.(2024·古林模拟) 点 均在二次函数 的图象上,则 的大小关系是   (用“ ”连接).
9.(2024·古林模拟) 二次函数 的图象与一次函数 的图象没有交点,则 的取值范围是   .
10.(2024·古林模拟)如图,平行四边形 中, , , ,点 在边 上运动以 为圆心, 为半径作 ,若 与平行四边形 的边有四个公共点,则 的长度满足条件是   .
11.(2024·古林模拟) 如图,平面直角坐标系中, ,点 为 轴上一点,连接 ,点 为 的中点,点 为射线 上一个动点,当 为直角三角形时,点 的坐标为   .
12.(2024·古林模拟)如图,点 在线段 上,等腰 的顶角 ,点 是矩形 的对角线 的中点,连接 ,若 ,则 的最小值为   .
三、解答题 (第 13 题 10 分, 第 14、15 题每题 15 分)
13.(2024·古林模拟) 如图, 中, 过 中点 且与 分别交于点 .
(1)求证: 直线 是 的切线;
(2)延长 交 于点 ,连结 ,求证: ;
(3)在(2)的条件下,若 ,求 的长.
14.(2024·古林模拟) 已知二次函数 ,记该函数在 上的最大值为 ,最小值为 ,已知 .
(1)当 时,求 的值;
(2)当 时,求 的值;
(3)已知 ( 为整数),若 为整数,求 的值.
15.(2024·古林模拟) 点 是以 为直径的 上一点,过 的中点 作 于点 ,交 于点 ,连接 与 相交于点 .
(1)如图,若 也是 的直径,已知 ,求 的长.
(2) 如图.
① 求证: ;
② 若 ,求 的值.
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率;等可能事件的概率;简单事件概率的计算
【解析】【解答】解:∵ 选手可以排除第 1 题的错误选项,
∴解答第1题共有3种等可能的结果,其中正确的结果有一种,故作对的概率为.
解答第2题共有4种等可能的结果,其中正确的结果有一种,故作对的概率为.
若①两次求助都用在第1题,:
则第1题可以排除掉所有的错误答案,第2题不能排除,
故此时通关的概率为.
②两次求助都用在第2题,竖列表示第一题,横列表示第二题,如表所示:
  √ × ×
√ (√,√) (×,√) (×,√)
× (√,×) (×,×) (×,×)
共有6种等可能的结果,其中通关的结果只有一种,故通关的概率为.
③ 在第 1、第 2 题各用一次求助,竖列表示第一题,横列表示第二题,如表所示:
  √ ×
√ (√,√) (×,√)
× (×,√) (×,×)
× (×,√) (×,×)
共有6种等可能的结果,其中通关的结果只有一种,故通关的概率为.
∵,
∴两次求助都用在第1题,通关概率更高.
故答案为:A
【分析】利用列表法求出每种方案通关的概率,比较大小,即可得到答案.
2.【答案】C
【知识点】平行四边形的性质;垂径定理;圆周角定理;圆内接四边形的性质;确定圆的条件
【解析】【解答】解:A、不在同一直线上的三个点确定一个圆,故原命题错误,不符合题意;
B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧,故原命题错误,不符合题意;
C、同弧或等弧所对的圆周角相等,正确,符合题意;
D、圆内接平行四边形一定是矩形,但不一定是正方形,故原命题错误,不符合题意.
故答案为:C.
【分析】不在同一直线上的三个点确定一个圆,据此判断A;根据垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧可判断B;同弧或等弧所对的圆周角相等,据此判断C;根据圆内接四边形的对角互补以及平行四边形的对角相等可判断D.
3.【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理
【解析】【解答】解:连接 , ,
∵弦 ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
故答案为:C.
【分析】先求出,再求出 ,最后求解即可。
4.【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例;相似三角形的判定
【解析】【解答】解:过点D作DG//AE,交BC于点G,如图所示:
∵AE//DG,即EF//DG,
∴△BEF∽△BGD,
∴.
∵点F为BD的中点,
∴,
∴.
∴,
∵BE:BC=2:7,设BE=2x,则BC=7x.
∴.
∵AE//DG,
∴.
故答案为:A.
【分析】过点D作DG//AE,交BC于点G,证明△BEF∽△BGD,可得.由中点的性质可证得;设BE=2x,则BC=7x,代入可求得,再由平行线分线段成比例即可得到结论.
5.【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解:由题意可作抛物线 的图象如图1或图2或图3所示 ,满足:m图1 图2 图3
方程 ( 的两个根即二次函数与函数y=x的交点的横坐标.
故可作函数图象如图,满足:m图1 图2 图3
在图1中,,
∴,,
∴,不满足题意;
在图2中,,
∴,,
∴,不满足题意;
在图3中,,
∴,,
∴,满足题意; 此时mn<0.
故答案为:B.
【分析】根据题意得:方程 ( 的两个根即二次函数与函数y=x的交点的横坐标,分①,②,③三种情况做出图象,分析满足条件的图形,即可得到结论.
6.【答案】D
【知识点】解直角三角形—边角关系;阿氏圆模型
【解析】【解答】解:∵△ABC中,,
∴.
∵点D为AB的中点,点A为圆心,
∴,
∴.
固定BP,如图所示:
∵,
∴点A的运动轨迹为阿氏圆O,
设OP=a,则AO=2a,OB=4a,
∵,
∴点C的运动轨迹为阿氏圆O',
∴∠OBO'=90°,
∴O'B=2a,O'C=a,
∴当PC最小时,的值最大,
∴.
故答案为:D.
【分析】根据阿氏圆的定义,固定BP,分别确定A点、C点的运动轨迹为阿氏圆,由此可知当PC最小时,的值最大,PC=PO'-O'C时最小,再求解即可.
7.【答案】D
【知识点】平行线之间的距离;相似三角形的判定-AA;相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解:∵DE//AB,
∴∠EDC=∠B.
∵DF//AC,
∴∠ECD=∠FDB,
∴△BFD∽△DEC,
∴.
∵BN=2NF,DM=2ME,
∴,
∴.
又∵∠B=∠EDC,
∴△BND∽△DCM,
∴∠BDN=∠DCM,
∴ND//MC,
∴.
∵DM=2ME,
∴,
∴.
∴若已知△CMN的面积,一定可以求出△DCE的面积.
故答案为:D.
【分析】证明△BFD∽△DEC,可得;证明,可利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△BND∽△DCM,根据相似三角形的性质得∠BDN=∠DCM,继而得DN//MC.根据平行线的性质得.再结合DM=2ME,可得即可得到答案.
8.【答案】
【知识点】二次函数y=a(x-h)²+k的性质;二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化
【解析】【解答】解:,
对称轴为:x=1,二次函数开口向下,
∴点到对称轴的距离越近,所对应的函数值越大.
∵点P1到,P2,P3对称轴的距离为:1-(-2)=3;2-1=1;3-1=2;3>2>1,
∴.
故答案为:.
【分析】将二次函数变形成顶点式,以判断出抛物线的对称轴,再根据二次函数开口向下可得点到对称轴的距离越近,所对应的函数值越大,据此分别计算出三个点到对称轴的距离并比较,即可得到结论.
9.【答案】 或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解:作函数图象如图所示:
∵中,二次项系数a=1>0,
∴二次函数开口向上.
一次函数 中,当x=-1时,y=6;当x=5时,y=0;
∵ 二次函数 的图象与一次函数 的图象没有交点,二次函数的对称轴为:x=b,
①当b<-1时,当x=-1时,,
可得:或(舍)
②当-1≤b≤5时,没有交点,即没有实数根,
整理得:,
∴,故.
③当b>5时,当x=5时,,此时一定没有交点.
综上: 或
故答案为: 或.
【分析】根据抛物线的解析式可得:二次函数开口向上,对称轴为:x=b,计算得一次函数中当x=-1时,y=6;当x=5时,y=0;再由两个函数没有交点可得①当b<-1时,;②当-1≤b≤5时,没有实数根;②当b>5时,,三种情况,分别计算b的取值范围,即可得到结论.
10.【答案】 或
【知识点】圆-动点问题
【解析】【解答】解:如图1中,当⊙P与BC相切时,设切点为E,连接PE.
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC= =4,
设AP=x,则BP=5-x,PE=x,
∵⊙P与边BC相切于点E,
∴PE⊥BC,
∵BC⊥AC,
∴AC∥PE,
∴ ,
∴ ,
∴ ;
如图2中,当⊙P与CD相切时,设切点为E,连接PE.
∵S平行四边形ABCD=2× ×3×4=5PE,
∴PE= ,
观察图象可知: <AP< 时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4,
②⊙P过点A、B、C三点,如图3,⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4,
此时AP= ,
综上所述,AP的值的取值范围是: 或AP= .
故答案为: 或AP= .
【分析】求出与BC、CD相切时AP的长以及经过A、B、C三点时AP的长即可判断。
11.【答案】 或(12,4)
【知识点】三角形全等的判定-AAS;三角形的中位线定理;已知正切值求边长
【解析】【解答】解:∵ ,
∴OA=4,
∵ ,
∴BO=8.

∵点 为 的中点,
∴CD为△OBA的中位线,
∴CD//OA,C(0,4),
∵△AEB为直角三角形,
当∠BEA=90°,如图所示:
∵点D为AB边的中点,
∴,
∴.
∴.
当∠BAE=90°,过点E作EN⊥x轴与点N,如图所示:
∴∠BOA=∠BAE=∠ANE=90°,四边形OCEN为矩形,
∴NE=CO=4,CE=ON=OA+AN.
∴∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠NAE,
∴∠OBA=∠NAE,
∴OA=NE=4,
∴△BOA≌△ANE(AAS)
∴AN=BO=8.
∴CE=ON=OA+AN=12,
∴E(12,4).
综上,点E的坐标为: 或(12,4)
故答案为: 或(12,4).
【分析】利用正切函数的定义可求得OB=8,再利用勾股定理可得的长;由中位线定理得CD//OA,C(0,4),,再分∠BEA=90°,和∠BAE=90°两种情况分别讨论,计算CE的长,即可得点E的坐标.
12.【答案】
【知识点】矩形的性质;解直角三角形—边角关系;相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解:过M作MH⊥DC交AB于点H,交DC于点G,过点D作DN⊥AC于点N,如图所示:
∵△ADC是等腰三角形,∠ADC=120°,DN⊥AC,AC=3,
∴,AN=CN=3,
∴,.
∵点是矩形 的对角线 的中点,
∴M为对角线CE与DF的交点,
∴MD=MC,
∵MG⊥DC,
∴点M为线段CD的垂直平分线上的动点,.
∴MB⊥MH时,MB最小.
此时MH⊥MB,MH⊥CD,
∴CD//MB,∠HMB=90°=∠DNC.
∴∠DCH=∠MBH.
∴△DNC∽△HMB,
∴.
在Rt△GCH中,,∠HCG=30°,
∴.
∴.
∴.
故MB的最小值为.
故答案为:.
【分析】过M作MH⊥DC交AB于点H,交DC于点G,过点D作DN⊥AC于点N,证明由等腰三角形三线合一的性质结合锐角三角函数可求得DC和DN的长.证明点M为线段CD的垂直平分线上的动点,可求得GC的长;再由“垂线段最短”可得MB⊥MH时,MB最小.此时有△DNC∽△HMB,利用相似三角形的性质可得;在Rt△GCH中解直角三角形求得HC的长,进而可得HB的长,再代入j即可得到MB 的最小值.
13.【答案】(1)证明:连接OC,如图所示:
∵OA=OB,点C为AB的中点,
∴OC⊥AB,
∴直线AB为的切线
(2)证明:, 点C为AB的中点,
∴∠AOC=∠BOC,
∵∠AOC=2∠ADC,∠FOC=2∠FDC,
(3)解:连接EF、CF,如图所示:
∵ED是直径,
∴∠DFE=90°,
由(2)得∠EOC=∠FOC,
∴,
∴OC⊥EF,
由(1)得OC⊥AB,
∴EF//AB,∠OCA=90°=∠DFE,
∴∠DEF=∠OAC.


∵ ,
∴OC=5,,

.
∵∠DCF=∠DEF=∠A,∠ADC=∠CDF,
∴△ADC∽△CDF.
∴,
∴.
【知识点】切线的判定;相似三角形的判定-AA;圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)连接OC,由等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论;
(2)由等腰三角形“三线合一”的性质可得∠AOC=∠BOC,再由圆周角定理得∠AOC=2∠ADC,∠FOC=2∠FDC,即而可得结论.
(3)连接EF、CF,由∠EOC=∠FOC结合垂径定理的推论,可得OC⊥EF,于是可得EF//AB,∠OCA=90°=∠DFE.再由AA可得△DEF∽△OAC,代入数据求得OA长,继而可得AD的长.再证明△ADC∽△CDF,可得,代入数据,即可求得CD的长.
14.【答案】(1)解:∵ ,
∴该二次函数对称轴为直线 ,且开口向上,
当 时有最小值,最小值为N=﹣a;
当 或4 时有最大值. 最大值为M=3a,
∴M-N=3a-(﹣a)=3.
解得
(2)解:当 时, ,开口向上,
① 当 ,即 时, ,

解得 .
② 当 时, ,

解得 ,均不符题意,舍去.
③ 当 时, ,

解得 ,均不符题意,舍去.
④ 当 时, ,

解得 .
综上, 或
(3)解:
解得t≥1,
∴t+2>2,
故 都在对称轴右侧,


∵和t均为整数,且t≥1,
.
当t=3时,
【知识点】二次函数的最值;二次函数y=ax²的性质;二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化
【解析】【分析】(1)对二次函数进行配方得到对称轴和开口方向,进而可知在x=2时取得最小值N=﹣a;在x=0或4时取得最大值M=3a,代入得到关于a的方程,求解即可得到a的值;
(2)把代入解析式得到,再分①当,②当时,③当时,④当时四种情况,分别表示出M和N,代入得到关于m的方程并求解,即可得m的值;
(3)由可得t≥1,继而可得t+2>2,故 都在对称轴右侧,根据二次函数的性质表示出M和N,代入并化简,可得,于是由和t均为整数,且t≥1,可得t=3,代入,即可求得a的值.
15.【答案】(1)解:∵AB和CD都是直径,
∴∠ACB=∠CAF=90°,
∵,
∴∠BCF=∠BAF.
∴∠ACB-∠BCF=∠CAF-∠BAF,即∠ACF=∠CAB.
∵EF⊥AB,
∴∠AHE=∠FHA=∠CAF=90°,
∴∠HAF+∠AFE=90°=∠CAB+∠HAF,
∴∠AFE=∠CAB=∠ACF,
∴△AFE∽△ACF.
∴,即AF2=AE·AC.
∵点E为AC的中点,
∴.
∴.
在Rt△ACF中,AF2+AC2=CF2=AB2,
∴,

(2)① 为直径,



∵∠BCD=∠HAF,
∴∠ACD=∠HAF.
又∵∠FAE=∠CAF,
∴ △AFE∽△ACF.
∴,即AF2=AE·AC.
∵点E为AC的中点,
∴.
∴,
.
②作 交 延长线于点G,如图所示:
∴∠G=∠AHE,∠GCE=∠HAE,
∵点E为AC的中点,
∴AE=CE,
∴△CGE≌△AHE(AAS),
∴AH=CG,HE=GE.
∵AH:HD=7:5,
∴CG:HD=7:5.
∵CG//AB,即CG//HD,
∴△FCG∽△FDH,
∴,
设FG=7a,则FH=5a,
∴HE=GE=a,FE=FH+HE=6a.
由①得△AFE∽△ACF, ,
∴,
∴ ,
∴在 Rt 中, .

【知识点】解直角三角形—边角关系;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应边;圆与三角形的综合;相似三角形的判定预备定理(利用平行)
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理可证得∠ACF=∠CAB,再证明∠AFE=∠CAB,可得∠ACF=∠AFE,于是可利用两角对应相等的两三角形相似得到△AFE∽△ACF,再由相似三角形的性质可得AF2=AE·AC.再结合中点定义可用AC的长表示出AF.最后在Rt△ACF中利用勾股定理,即可求出AC的长。
(2)①证明△AFE∽△ACF,可得AF2=AE·AC.再结合中点定义即可得到结论.
(2)② 交 延长线于点G,证明△CGE≌△AHE,可得AH=CG,HE=GE.于是有CG:HD=7:5.再证明△FCG∽△FDH,可得,设FG=7a,则FH=5a,于是可表示出HE和FE的长,由相似得,于是可表示出FC;最后在△GCF中利用勾股定理求出CG,代入正切公式即可得到结论.
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